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高中物理解题高手:专题2 摩擦力


专题二
[重点难点提示]

摩擦力问题

摩擦力问题既是进行物体受力分析的重点,又是力学计算的难点和关键.因此,弄清 摩擦力产生的条件和方向的判断,掌握相关的计算规律,抓住它的特点,并正确分析、判 断它的作用效果,对于解决好跟摩擦力相关的各种力学问题具有非常重要的意义. 在对物体所受的摩擦力进行分析时,由于摩擦力存在条件的“复杂性

”,摩擦力方向的 “隐蔽性”及摩擦力大小的“不确定性”,使得对问题的研究往往容易出错.摩擦力的大小在 确定摩擦力的大小之前,必须先分析物体的运动状态,判断是滑动摩擦力,还是静摩擦力. 1.摩擦力的产生条件:①两物体必须接触;②接触处有形变产生;③接触面是粗糙 的;④接触物体间有相对运动或相对运动趋势。 2.摩擦力大小的计算:滑动摩擦力的计算公式为 f=μN,式中 μ 为滑动摩擦系数,N 为压力。 需要注意的是:滑动摩擦系数与材料的表面性质有关,与接触面大小无关,一般情况 下,可以认为与物体间的相对速度无关。 在滑动摩擦系数 μ 未知的情况下,摩擦力的大小也可以由动力学方程求解。 静摩擦力的大小:除最大静摩擦力外,与正压力不成正比关系,不能用某个简单公式 来计算,只能通过平衡条件或动力学方程求解。 在一般计算中,最大静摩擦力的计算与滑动摩擦力的计算采用同一公式,即 fm=μN, 并且不区别静摩擦系数与滑动摩擦系数。而实际上前者要稍大于后者。 3.摩擦力的方向:沿接触面的切线方向,并和相对运动或相对运动趋势方向相反。 需要注意的是:物体所受摩擦力方向可能与物体运动方向相同,也可能相反;摩擦力 可能是动力,也可能是阻力。摩擦力可以做正功,也可以做负功或不做功。滑动摩擦力的 功要改变系统的机械能,损失的机械能将转化为物体的内能。而静摩擦力的功不会改变系 统的机械能,不能将机械能转化为内能。 4.摩擦力做功特点: 静摩擦力做功:可以做正功、负功或不做功;一对相互作用的静摩擦力做功代数和为 0。 (故静摩擦力不损失系统机械能) 滑动摩擦力做:可以做正功、负功或不做功;一对滑动摩擦力做功代数和不为 0,且 为 ? f ?s , ?s 为相对位移。 类型一 静摩擦力的大小、方向

如图所示,表面粗糙的固定斜面顶端安有滑轮,两物块 P、Q 用轻绳连接并跨过定滑 轮(不计滑轮的质量和摩擦),P 悬于空中,Q 放在斜面上,均处 乎静止状态.当用水平向左的恒力推 Q 时,P、Q 仍静止不动, 则( ). A.Q 受到的摩擦力一定变小 B.Q 受到的摩擦力一定变大 C.轻绳上拉力一定变小 D.轻绳上拉力一定不变 分析与解答: :物体 P 始终处于静止状态,则绳上拉力恒等于物体 P 的重力,不会发生 变化,所以 D 选项正确.未加 F 时,物体 Q 处于静止状态,Q 所受静摩擦力方向不确定, 设斜面倾角为 α,则有 FT ? m p g , FT ? Ff ? mQ g sin ? ,即 Ff ? mQ g sin ? ? m p g ,当

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mQ g sin ? ? mp g 时, F f 方向沿斜面向上,再加水平向左的的推力 F, F f 可能变小, F f
可能反向变大; mQ g sin ? ? m p g 时,F f =0, 当 再加水平向左的推力 F,mQ g sin ? ? m p g 变大,当 mQ g sin ? ? m p g 时, F f 方向沿斜面向下,再加水平向左的推力 F, F f 变大.综 合得物体 Q 受到的静摩擦力可能变小,可能变大,A、B 选项均错误.答案为 D 变式 1 如图所示, 质量分别为 m 和 M 的两物体 P 和 Q 叠放在倾角为 θ 的斜面上, P、 Q 之间的动摩擦因数为 μ1,Q 与斜面间的动摩擦因数为 μ2。当它们从静止开始沿斜面滑下 时,两物体始终保持相对静止,则物体 P 受到的摩擦力大小为: A.0; C. μ2mgcosθ; B. μ1mgcosθ; D. (μ1+μ2)mgcosθ; P Q θ

分析与解答: :当物体 P 和 Q 一起沿斜面加速下滑时,其加速度 为:a=gsinθ-μ2gcosθ.因为 P 和 Q 相对静止,所以 P 和 Q 之间的摩擦

力为静摩擦力,不能用公式 f ? ? N 求解。对物体 P 运用牛顿第二定律得: mgsinθ-f=ma, 所以求得:f=μ2mgcosθ.答案为 C。 变式 2 长直木板的上表面的一端放置一个铁块,木板放置在水平面上,将放置铁块的一 端由水平位置缓慢地向上抬起,木板另一端相对水平面的位置保持不变,如图所示.铁块 受到摩擦力 f 木板倾角 ? 变化的图线可能正确的是(设最大静摩擦力的大小等于滑动摩擦 力大小) :

A B C D 分析与解答:本题应分三种情况进行分析: 1. 当 0 ≤ ? <arctan ? ( ? 为铁块与木板间的动摩擦因数)时,铁块相对木板处于静止状 态,铁块受静摩擦力作用其大小与重力沿木板面(斜面)方向分力大小相等,即 f = mgsin ? , ? =0 时,f = 0;f 随 ? 增大按正弦规律增大. 2.当 ? = arctan ? 时处于临界状态,此时摩擦力达到最大静摩擦,由题设条件可知其等于滑 动摩擦力大小. 3. 当 arctan ? < ? ≤900 时,铁块相对木板向下滑动,铁块受到滑动摩擦力的作用,根据摩 擦定律可知 f =

? FN = ? mgcos ? ,f 随 ? 增大按余弦规律减小.答案为 C

变式 3 a、b、c 三个物体,均重 30N,静止叠放在水平地面上,如图所示。各个接触面之 间的滑动摩擦系数均为 0.2。现用两个水平力 F1=10N,F2=15N,分别作 用于 b 和 c 上,方向相反。则地面对物体 c,c 对 b,b 对 a 的摩擦力是: A. 15N,5N,5N B. 15N,10N,ON C. 5N,10N,ON D. 5N,10N,10N 分析与解答:判断三个相关联的物体间的摩擦力是否存在,是静摩擦力还是滑动摩擦力以 及摩擦力的方向是一个难点,能否化难而易,取决于正确选择对象的突破口。以 b 与 c 的 接触面作为切人点,a、b 作为一个整体,重为 60N,则物体 c 所受 a、b 对它的正压力为 N =60N,如物体 b、 c 有相对滑动,则滑动摩擦力人 f1=μN = 0.2× 60N=l2N 此值大 于 F1=10N,所以在 F1 的作用下,物体 b 不可能在物体 c 的表面上滑动。那么在力 F2 的作 用下,物体 c 有没有可能在地面上产生滑动呢?用同样的办法可以估计出物体 c 与地面的
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滑动摩擦力 f2=0.2× 90N=18N,大于 F2,所以物体 c 不可能沿地面滑动,三物体保持相对 静止。所以,物体 b 与物体 a 间静摩擦力为零。物体 c 对物体 b 的滑动摩擦力为 fb=F1= 10N,方向向左。地面对物体 c 的静摩擦力为 fc= F2-fb=5N,方向向右。答案为 C 变式 4 如图所示,跨过定滑轮的轻绳两端分别系着
小锦囊

物体 A 和 B,物体 A 放在倾角为 ? 的斜面上,已知 A 物 体质量为 m,A 物体与斜面间的最大静摩擦力是与斜面 间弹力的 ? 倍( ? < tan ? ) ,滑轮摩擦不计,物体 A 要 静止在斜面上, 物体 B 质量的取值范围为多少?在 A 静 止的前提下,斜面体与地面间的摩擦情况又如何? 分析与解答:先以 B 为研究对象,若 A 处于将要上滑 的临界状态 有:T = mBg 再以 A 为研究对象,若 A 处于将要上滑的临界状态 有:T1 = fm + mgsin ? T1 = T 而 fm = ? N N = mgcos ? 得:mB = m(sin ? + ? cos ? ) 同理,若 A 处于将要下滑的临界状态 则有:T2 = fm + mgsin ?t T2 = T 得:mB = m(sin– ? cos ? ) m(sin– ? cos ? )≤mB≤m(sin ? + ? cos ? ) 在 A 静止的前提下,A 和滑轮支架对斜面体的总作 用力竖直向下,A、B 和斜面 C 整体对地面只有向下的 压力,地面与 C 间无摩擦力. 变式 5 如图所示,物体 P 左边用一根轻弹簧和竖直墙 相连, 放在粗糙水平面上, 静止时弹簧的长度大于原长。 若再用一个从零开始逐渐增大的水平力 F 向右拉 P,直

静摩擦力的分析要注意三性: (1)隐蔽性:静摩擦力方向 虽然总是阻碍相对运动趋势, 但 相对运动趋势往往不容易确定, 一般要用假设法去推理分析. (2)被动性:静摩擦力大小 没有确定的计算公式, 是因为其 大小往往需要由其它外力和运 动状态一起来决定, 或其它外力 跟静摩擦力的合力决定物体的 运动状态. 一般需要根据牛顿第 二定律或平衡条件确定. (3)可变性:静摩擦力的大 小和方向一般根据牛顿第二定 律或平衡条件确定. 只要其大小 在 0 ? f ? f m 范围内,当其它 外力变化, 或运动状态有所变化 时, 静摩擦力的大小和方向会作 相应的变化.

到把 P 拉动。在 P 被拉动之前的过程中,弹簧对 P 的弹力 N 的大小和地面对 P 的摩擦力 f 的大小的变化情况是 A.N 始终增大,f 始终减小 B.N 先不变后增大,f 先减小后增大 F C.N 保持不变,f 始终减小
P

D.N 保持不变,f 先减小后增大 分析与解答:拉动之前弹簧伸长量始终没变,因此弹力大小不变;静摩擦力是被动力,开 始方向向右,当水平力 F 增大时,摩擦力先减小,减小到零后,F 再增大,P 就有向右滑 动的趋势了,因此摩擦力向左,且逐渐增大到最大值。答案为 D 类型二 滑动摩擦力的大小、方向 为了测定小木板和斜面间的动摩擦因数, 某同学设计了如下的实验.在小木板上固定一个 弹簧测力计(质量不计),弹簧测力计下端吊一个光滑小球,将木板连同小球一起放在斜面 上,如图所示.用手固定住木板时,弹簧测力计的示数为 F1,放手后木板沿斜面下滑,稳定 时弹簧测力计的示数为 F2,测得斜面倾角为 θ,由测得的数据可求出木板与斜面间的动摩 擦因数是多少? 分析与解答:用手固定住木板时,对小球有 F1=mgsinθ 木板沿斜面下滑时,对小球有 mgsinθ-F2=ma
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θ

木板与小球一起下滑有共同的加速度,对整体有 (M+m)gsinθ-Ff=(M+m)a Ff=μ(M+m)gcosθ 得: ? ?

F2 tan? F1

变式 1 如图所示, 质量为 m 的物体放在水平放置的钢板 C 上, 与钢板的动摩擦因素为 μ。 由于受到相对于地面静止的光滑导槽 A、B 的控制,物体只能沿水平导槽运动。现使钢板 以速度 V1 向右匀速运动,同时用力 F 拉 动物体(方向沿导槽方向)使物体以速度 V2 沿导槽匀速运动,求拉力 F 大小。 A C V2 B V1 V1 V2 V f
小锦囊

滑动摩擦力的方向总是与物体“相对运 动”的方向相反。所谓相对运动方向,即是把 与研究对象接触的物体作为参照物, 研究对象 相对该参照物运动的方向。 当研究对象参与几 种运动时, 相对运动方向应是相对接触物体的 合运动方向。 静摩擦力的方向总是与物体 “相 对运动趋势” 的方向相反。 所谓相对运动趋势 的方向, 即是把与研究对象接触的物体作为参 照物, 假若没有摩擦力研究对象相对该参照物 可能出现运动的方向。

分析与解答:物体相对钢板具有向左的速 : 度分量 V1 和侧向的速度分量 V2,故相对 钢板的合速度 V 的方向如图所示, 滑动摩 擦力的方向与 V 的方向相反。 根据平衡条 件可得: F=fcosθ=μmg

V2 V ? V 22
2 1

从上式可以看出:钢板的速度 V1 越大,拉力 F 越小。 变式2 如图3所示,质量为 m 、带电量为+q的小物体,放在磁感应强度为B的匀强磁场中, 粗糙挡板ab的宽度略大于小物体厚度.现给带电体一个水平冲量 I ,试分析带电体所受摩擦 力的情况. a 分析与解答:带电体获得水平初速 v0 ? I / m 它在.它在 磁场中受洛仑兹力 f 洛 ? qv0 B ? qBI / m 和重力 G ? mg ,若

f 洛 ? G ,则带电体作匀速直线运动,不受摩擦力作用.
若 f洛 ? G , 则 带 电 体 贴 着 a 板 前 进 , 滑 动 摩 擦 力

b
小锦囊

对于滑动摩擦力 的大小, 必须了 还 解其与物体运动 状态无关, 接触 与 面积大小无关的 特点.

f 滑 ? ?N ? ? (qvB ? mg ) ,速度越来越小, f 滑 变小,当 v 减小到 v 0 ,
又有 qv0 B ? mg ,它又不受摩擦力作用而匀速前进. 若 f洛 ? G , 则 带 电 体 贴 着 b 板 前 逆 。 滑 动 摩 擦 力 ;

f 滑 ? ?N ? ? (mg ? qvB) ,它减速运动动直至静止,而 f 滑 却是变大的.

变式3 质量m=1.5Kg的物块(可视为质点)在水平恒力F的作用下,从水 平面上A点由静止开始运动,运动一段距离撤去该力,物体继续滑行t=2.0s停在B点.已知AB两 点间的距离S=5.0m,物块与水平面间的动摩擦因数 ? ? 0.20 ,求恒力F为多大?(g=10m/s2) 分析与解答:设撤去力 F 前物块的位移为 S 1 ,撤去力 F 时物块的速度为 v , 物 块 受

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到 的 滑 动 摩 擦 力 F1 ? ?mg 对 撤 去 力 后 物 块 滑 动 过 程 应 用 动 量 定 理 得 ? F1t ? 0 ? mv 由 运 动 学 公 式 得 S ? S1 ?

v t 2

对 物 块 运 动 的 全 过 程 应 用 动 能 定 理 FS1 ? F1 S ? 0 由以上各式得 F ?

2?mgs 2s ? ?gt 2

代 入 数 据 解 得 F ? 15 N 变式 4 如图所示,质量 m 的小木块原来静止在倾角为 30° 的斜劈上。当对木块施加一 个平行斜面的水平推力 F 时,木块恰能沿与斜劈底边成 60° 角的方向匀速下滑。求木块与 斜劈间的摩擦力是多大? 分析与解答:小木块受四个力作用, mg、N、f 、 F,将 mg 分解为:下滑为 F1=mgsin30° 和垂直斜面分 力 F2=mgcos30° 。由于小木块匀速运动,所以在垂直 斜面方向上有:N=mgsin30° 。对在斜面内的力由平 衡条件有:F1=fsin60° ,则 f=

2 3 mg (如图所示) 3F1 = 3 3

类型三摩擦力的作用效果 如 图 所 示 ,静 止 在 水 平 面 上 的 纸 带 上 放 一 质 量 m为 的 小 金 属 块 (可 视 为 质 点 ), 金 属 块 离 纸 带 右 端 距 离 为 L, 金 属 块 与 纸 带 间 动 摩 擦 因 数 为 μ.现 用 力 向 左 将 纸 带 从 金 属 块 下 水 平 抽 出 ,设 纸 带 加 速 过 程 极 短 ,可 认 为 纸 带 在 抽 动 过 程 中 一 直 做 匀 速 运 动 .求 : (1)属 块 刚 开 始 运 动 时 受 到 的 摩 擦 力 的 大 小 和 方 向 ; (2)要 将 纸 带 从 金 属 块 下 水 平 抽 出 ,纸 带 的 速 度 v应 满 足 的 条 件 . 分析与解答: 1) 属 块 与 纸 带 达 到 共 同 速 度 前 , 属 块 受 到 的 摩 擦 力 为 : f ? ?mg , ( 金 金 方向向左。 (2)出 纸 带 的 最 小 速 度 为 v 0 即 纸 带 从 金 属 块 下 抽 出 时 金 属 块 速 度 恰 好 等 于 v0 。 对 金 属 块 : f ? ma 金 属 块 位 移 : s1 ?

v 0 ? at

1 2 at 纸 带 位 移 : s 2 ? v0 t 2
2?gl

两 者 相 对 位 移 : S 2 ? S1 ? l 解 得 : v 0 ? 故要抽出纸带,纸带速度 v ? 变式 1

2 ?gl

一小圆盘静止在桌布上,位于一方桌的水平桌面的中央。桌布的一边与桌的
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AB 边重合,如图。已知盘与桌布间的动摩擦因数为 μ1,盘与桌面间的动摩擦因数为 μ2。 现突然以恒定加速度 a 将桌布抽离桌面,加速度方向是水平的且垂直于 AB 边。若圆盘最 后未从桌面掉下,则加速度 a 满足的条件是什么?(以 g 表示重力加速度) 分析与解答:对盘在桌布上有 μ1mg = ma1 在桌面上有 μ2mg = ma2 υ1 =2a1s1
2

υ1 =2a2s2

2

1 盘没有从桌面上掉下的条件是 s2≤─ l - s1 2 1 2 对桌布 s = ─ a t 2 1 而 s = ─ l + s1 2 由以上各式解得 a≥( μ1 + 2 μ2) μ1g/ μ2 变式 2 风洞实验室中可产生水平方向的,大小可调节的风力。现将一套有小球的细直 杆放入风洞实验室。小球孔径略大于细杆直径。如图所示。 (1)当杆在水平方向上固定时,调节风力的大小,使小球在杆上作匀速运动,这时小 球所受的风力为小球所受重力的 0.5 倍。求小球与杆间的动摩擦因数。 (2)保持小球所受风力不变,使杆与水平方向间夹角为 370 并固定,则小球从静止出 发在细杆上滑下距离 S 所需时间为多少?(sin370 = 0.6,cos370 = 0.8) 分析与解答:依题意,设小球质量为 m, 小球受到的风力为 F,方向与风向相同,水平 向左。当杆在水平方向固定时,小球在杆上匀 速运动,小球处于平衡状态,受四个力作用: 重力 G、支持力 FN、风力 F、摩擦力 Ff,如图 21 所示.由平衡条件得: FN=mg F=Ff Ff=μFN FN1 F G F Ff1 FN G Ff
2 1 对盘 s1 = ─ a 1t 2

解上述三式得:μ=0.5. 同理,分析杆与水平方向间夹角为 370 时小球的受力情况:重力 G、支持力 FN1、风力 F、 摩擦力 Ff1,如图 21 所示。根据牛顿第二定律可得:

mg sin? ? F cos? ? F f 1 ? ma

FN 1 ? F sin? ? mg cos? ? 0
Ff1=μFN1 解上述三式得 a ?

F cos? ? mg sin? ? F f 1 m

?

3 g. 4

由运动学公式,可得小球从静止出发在细杆上滑下距离 S 所需时间为:

t?

2 S 2 6 gS ? . a 3g

变式 3 如图所示,质量 m=2kg 的物体原静止在水平地面上,物体与地面间的动摩擦因数 μ=0.75,一个与水平方向成 37° 角斜向上、大小 F=20N 的力拉物体,使物体匀加速运 动,2s 后撤去拉力. 求物体在地面上从静止开始总共运动多远才停下来? (sin37° =0.6,cos37° =0.8,g=10m/s2)
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分析与解答:开始时物体受重力、支持力、摩擦力、拉力作用. 竖直方向上

?F
?F

y

? N ? F sin 37? ? mg ? 0

得 N ? mg ? F sin 37? 水平方向上

x

? F cos 37? ? ?N

所以 F cos37? ? ? (mg ? F sin 37?) ? ma1
a1 ? F cos37? ? ? (mg ? F sin 37?) 20 ? 0.8 ? 0.75 ? (2 ? 10 ? 20 ? 0.6) 5m/s2 ? ? m 2

头 2s 物体的位移 S1 ?

1 2 1 a1t = ×5×22m=10m 2 2

第 2s 末物体的速度 v ? a1t ? 10m / s 拉力撤去后,摩擦力 f ? ?mg 设加速度大小为 a 2 位移 S 2 ?

a2 ? ? f / m ? ??g ? 7.5m / s 2

0 ? v2 0 ? 10 2 ? m ? 6.7 m 2a 2 ? 7.5 ? 2

总位移: S ? S1 ? S 2 ? 16.7m 类型四 连接体中的摩擦力 如图所示,质量为 m 的物体 A 放置在质量为 M 的物体 B 上,B 与弹簧相连,它们一起 在光滑水平面上做简谐振动,振动过程中 A、B 之间无相对运动。设弹簧的倔强系数为 K, 当物体离开平衡位置的位移为 x 时,A、B 间摩擦力的大小等于: A.0 B.Kx C. ?

?m? ? Kx ?M ?

D. ?

? m ? ? Kx ?M ?m?

分析与解答:物体 A、B-起在光滑水平面上作简谐振动,且振动过程中无相对运动, 因此可以把它们作为整体(系统)来讨论。作为一个整体,在水平方向只受弹簧拉力 F(= Kx)的作用,而作加速度不断变化的运动。牛顿第二定律是即时规律,即加速度 a 与合力

Kx 。然后再以物体 B 为研究对象,依据 M ?m m 同样规律来求 A、B 间相互的静摩擦力 f,有 f=ma= Kx 。答案为 D M ?m
F 是时刻对应满足牛顿第二定律的,故有 a= 变式 1 水平地面上叠放着两个物体 A 和 B(如图 5 所示) ,质量分别为 m 和 M。A 与 B,B 与地面摩擦因数分别为 μl 和以 μ2,现用水平拉力 F 作用在 A 上,要使 A、B 一起做 匀速运动,μl 和 μ2 之间应满足的条件是什么? 分析与解答:从 A、B 整体来看,要使 A、B 一起匀速运动,必有: F= μ2(M+m)g
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从 B 的平衡状态来看,A 对 B 的摩擦力 f=μ2(M+m)g 由 A、B 一起匀速运动可知 f 应满足:f≤μlmg 得: 变式2

?1 M ? m ? 即为所求。 ?2 m
1如 图 所 示 ,物 块 和 斜 面 体 的 质 量 分 别 为 m.M,物 块 在 平 行 于 斜 面 的 推 力 F

作 用 下 沿 斜 面 加 速 度 a向 上 滑 动 时 ,斜 面 体 仍 保 持 静 止 .斜 面 倾 角 为 θ,试 求 地 面 对 斜 面体的支持力和摩擦力. 分析与解答: 于 小 物 块 沿 斜 面 加 速 上 升 , 以 物 块 与 斜 面 不 能 看 成 一 个 整 体 , 由 所 应分别对物块与斜面进行研究。 ( 1) 取 物 块 为 研 究 对 象 , 受 力 分 析 如 图 所 示 :

由 题 意 得 : FN 1 ? mg cos?

F ? mg sin ? ? F f 1 ? ma
由 ②得 : F f 1 ? F ? mg sin ? ? ma ( 2) 取 斜 面 为 研 究 对 象 , 受 力 分 析 如 图 17得 :

? FN 2 ? F f?1 sin ? ? Mg ? FN 1 cos? ? F f 2 ? F f?1 cos? ? FN 1 sin ?
又 因 为 F f 1 与 F f?1 是 作 用 力 与 反 作 用 力 , Fn1 与 Fn?1 是 作 用 力 与 反 作 用 力 由 牛 顿 第 三 定 律 得 : F f?1 ? F f 1 ? F ? mg sin ? ? ma

? FN 1 ? FN 1 ? mg cos?
得 : FN 2 ? ( M ? m) g ? ( F ? ma ) s in?

F f 2 ? ( F ? mg ) cos?
变式 3 如图物体 A 叠放在物体 B 上, 置于光滑水平面上。 B 质量分别为 mA=6kg, B A, mB=2kg,A,B 之间的动摩擦因数 μ=0.2,开始时 F=10N,此后逐渐增加,在增大到 45N 的过程中,则( ) A.当拉力 F<12N 时,两物体均保持静止状态 B.两物体开始没有相对运动,当拉力超过 12N 时,开始相对滑动
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C.两物体间从受力开始就有相对运动 D.两物体间始终没有相对运动 分析与解答: 首先以 A, 整体为研究 B 对象。受力如图,在水平方向只受拉力 F,根据牛顿第二定律列方程 F=(mA+mB)a 再以 B 为研究对象,如图,B 水平方向受摩擦力 f = mBa 当 f 为最大静摩擦力时,得 a=12/2=6(m/s2) 代入式 F=(6+2)× 6=48N 由此可以看出当 F<48N 时 A,B 间的摩擦力都达不到最大静摩擦力,也就是说,A, B 间不会发生相对运动。答案为 D 变式 4 如图所示,质量为 m 的人站在质量为 M 的木板上,通过绕过光滑定滑轮的 绳拉木板,使人和木板一起匀速运动。已知两处绳均呈水平状,且木板与水平面间的动摩 擦因数为 μ。求木板对人的摩擦力 Ft0 的大小。

分析与解答: 若人对绳的拉力大小为 F,则将人与木板视为整体和将人隔离后,其受力 情况分别如图所示。由于人与木板做匀速运动,于是分别可得 2F-Ff=0, FN-(m+M)g=0 F-Ft0=0 而滑动摩擦力 F f 与正压力 FN 间关系为 Ft=Μfn 1 由此即可得Ft0= (m+M)g 2 类型五 用动能定理求摩擦力的功

传送带通过滑道将长为 L 、质量为 m 的柔软匀质物体以初速 v0 向右送上水平台面, 物体前端在台面上滑动 s 距离停下来(如图所示) ,已知滑道上的摩擦不计,物与台面间的 动摩擦因数 ? ,而且 s ? L ,试计算物体的初速度 v0 分析与解答: L , V0 0 0

m 0 ? x ? L, Ff ? ? gx L 1 W1 ? ? Ff L ? ? ? mgL 2

x ? L, Ff ? ? mg , W2 ? ? ? mg ( s ? L)
由动能定理得 ?

1 1 ? mgL ?? mg (s ? L) = 0 ? mv0 2 2 2

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L v0 ? 2? g ( s ? ) 2
变式 1 物体 A 和半径为 r 的圆柱体 B 用细绳相连接并跨过定滑轮,半径为 R 的 圆柱体 C 穿过细绳后搁在 B 上,三个物体的质量分别为 mA=o.8 kg、mB=mC=0.1 kg.现 让它们由静止开始运动,B 下降 h1=0.5m 后,C 被内有圆孔(半径为 R’)的支架 D 挡住 (r<R’<R),而 B 可穿过圆孔继续下降,当 B 下降 h2=o.3m 时才停下,运动的初末状态分 别如图甲、乙所示.试求物体 A 与水平面间的动摩擦因数.(不计滑轮的摩擦以及空气阻 力,9 取 10 m/s2) A C B D h1 D A C h1

B 甲 乙 分析与解答:第一过程 A、B、C 三物体一起运动,第二过程 A、B 一起运动.由动能定理 有: 第一过程:(mB+mc)gh1—μmAgh1=(mA+mB+mC)v2/2 第二过程:mBgh2 一 μmAgh2=o 一(mA+mB)v2/2 代人数据解得 μ=0.2. 变式 2 如图所示,固定斜面倾角为 θ,整个斜面长分为 AB、BC 两段,AB=2BC。小物 块 P(可视为质点)和 AB、BC 两段斜面间的动摩擦因数分别为 μ1、μ2。已知 P 由静止开 始从 A 点释放,恰好能滑动到 C 点而停下,那么 θ、μ1、μ2 间应满足的关系是 A. tan? ? 2?1 ? ? 2 3 C.tanθ=2μ1-μ2 B. tan? ? ?1 ? 2? 2
3

A

D.tanθ=2μ2-μ1
C
θ

分析与解答:设斜面的长度是 l,小物块从斜面顶端下滑到斜 面底端的全过程用动能定理:

B

mgl sin ? ? ?1mg cos? ?
得 tan? ? 2?1 ? ? 2 3 变式 3

2l l ? ? 2 mgl cos? ? ? 0 3 3

答案为 A

一质量为 m 的滑雪者从 A 点由静止沿粗糙曲面滑下,到 B 点后水平飞离 B 点.

空间几何尺寸如图所示,滑雪者从 B 点开始做平抛运动的水平距离为 S,求滑雪者从 A 点 到 B 点的过程中摩擦力对滑雪者做的功. 分析与解答:设滑雪者离开 B 时的速度为 v, 由平抛运动规律得 S=vt A B h C S

h?

1 2 gt 2
1 2 mv 2

H

滑雪者由 A 到 B 的过程中,由动能定理得

mg ( H ? h) ? W f ?
得: 变式 4

Wf ?

mgS 2 ? mg ( H ? h) 4h

如图 4 所示,一小物块从倾角 θ=37°的斜面上的 A 点由静止开始滑下,最后停
87

在水平面上的 C 点.已知小物块的质量 m=0.10kg,小物块与斜面和水平面间的动摩擦因数 均为 μ=0.25,A 点到斜面底部 B 点的距离 L=0.50m,斜面与水平面平滑连接,小物块滑过 斜面与水平面连接处时无机械能损失.求: (1)小物块在斜面上运动时的加速度; (2)BC 间的距离; (3)若在 C 点给小物块一水平初速度使小物块恰能回到 A 点,此初速度为多大. (sin370=0.6,cos370=0.8,g=10m/s2) 分析与解答: (1)小物块受到斜面的摩擦力 f1=μmgcosθ 在平行斜面方向又牛顿第二定律 mgsinθ-f=ma 解得 a=gsinθ-μgcosθ (2)小物块由 A 运动到 B,根据运动学公式有
2 v B ? 2aL

解得v B ? 2aL ? 2.0m / s

小物块由 B 运动到 C 的过程中所受摩擦力 f2=μmg 跟据动能定理有-f2SBC=0解得 SBC=0.8m (3)设小物块在 C 点以初速度 vC 运动,恰好回到 A 点,由动能定理得

1 mvB 2 2

1 2 ?mgL sin ? ? f 1 L ? f 2 sBC ? 0 ? mvC 2
解得v C ? 2 3m / s ? 35m / s .
变式 5 一个质量为 m 带电量为-q 的小物体,可在水平轨 道 ox 轴上运动, 端有一与轨道垂直的固定墙.轨道处于匀强电场 o 中,场强大小为 E,方向沿 ox 轴正方向,如图所示.小物体以初 速 v0 从距离 o 点为 x0 处沿 ox 轨道运动,运动时受到大小不变的 摩擦力 f 作用,且 f<Eq,设小物体与墙碰撞时不损失机械能,且 电量保持不变,求它在停止运动前所通过的路程 s.
小锦囊

解答本题时要注意: 一 是要充分利用题目给 出的条件 f<Eq,判断 出小物体做往复运动, 但最终停在 o 点; 二是 要清楚电场力及滑动 摩擦力做功的特点, 正 确表达出各力对小物 块的总功, 对全过程运 用动能定理, 而不是分

阶段处理, 使问题复杂 分析与解答: 带电小物体所受电场力大小不变,方向总指 化. 向墙壁,且电场力的大小总大于滑动摩擦力的大小,所以小物体 多次和墙相碰后必静止于 o 点,在整个过程中电场力所做的功为 W1=Eqxo. 设小物体的总路程为 s.由于在整个运动过程中滑动摩擦力方向总与小物体相对轨道运 动的方向相反,则整个过程中滑动摩擦力对物体做的功 W2=-fs 在整个过程中小物体的初速度为 v0,而末速度为 0,依动能定理得: Eqx0-fs=0-mv02/2 解得:s=(2Eqx0+mv02)/2f 类型六

动量守恒中的摩擦力的功

88

在光滑的水平面上有一质量 M=2kg 的木板 A,其右端挡板上固定一根轻质弹簧,在靠 近木板左侧的 P 处有一大小忽略不计质量为 m=2kg 的滑块 B.木板上 Q 处的左侧粗糙,右 侧光滑.且 PQ 间距离 L=2m,如图所示.某时刻木板 A 以 vA=1m/s 的速度向左滑行,同时滑 块 B 以 vB=5m/s 的速度向右滑行,当滑块 B 与 P 处相距

3 L 时,二者刚好处于相对静止状 4

态, 若在二者共同运动方向的前方有一障碍物, 木板 A 与它碰后以原速率反弹(碰后立即撤 去该障碍物).求 B 与 A 的粗糙面之间的动摩擦因数 μ 和滑块 B 最终停在木板 A 上的位置.(g 取 10m/s2) 分析与解答:设 M、N 共同速度为 v,由动量守恒定律有

mv B ? Mv A ? ( M ? m)v
v? mv B ? Mv A ? 2m / s M ?m

B

vB
A

vA P
L

Q

对 A、B 组成的系统,由能量守恒有:

?mg L ?

3 4

1 1 2 1 2 Mv A ? mv B ? ( M ? m)v 2 2 2 2

代入数据得 μ=0.6 木板 A 与障碍物碰撞后以原速率反弹, 假设 B 向右滑行并与弹簧发生相互作用, A、 当 B 再次处于相对静止状态时,两者的共同速度为 u,在此过程中 A、B 和弹簧组成的系统动 量守恒、能量守恒. 由动量守恒定律得

mv ? Mv ? (M ? m)u

设 B 相对 A 的路程为 s,由能量守恒得 ?mgs ? 代入数据得 由于 s ?

1 1 ( M ? m)v 2 ? ( M ? m)u 2 2 2

s?

2 m 3

L ,所以 B 滑过 Q 点并与弹簧相互作用,然后相对 A 向左滑到 Q 点左边, 4 1 设离 Q 点距离为 s1 ,则: s1 ? s ? L ? 0.17 m 4
变式 1 一质量 M=2kg 的长木板 B 静止在光滑的水平面上, 的右端与竖直挡板的 B 距离为 S=0.5m.一个质量为 m=1kg 的小物体 A 以初速度 v0=6m/s 从 B 的左端水平滑上 B, 当 B 与竖直挡板每次碰撞时,A 都没有到达 B 的右端. 设定物体 A 可视为质点,A、B 间的动摩擦因数 μ=0.2,B 与竖直挡板碰撞时间极短且 碰撞过程中无机械能损失,g 取 10m/s2.求: (1)B 与竖直挡板第一次碰撞前的瞬间,A、B 的速度值各是多少? (2)最后要使 A 不从 B 上滑下,木板 B 的长度至少是多少?(最后结果保留三位有效数 字.) 分析与解答: (1)设 A、B 达到共同速度为 v1 时,B 向右运动距离为 S1 由动量守恒定律有 由动能定理有

mv 0 ? ( M ? m)v1

?mgS1 ? Mv12
89

1 2

v0 A

B
S

联立解得 S1=2m 由于 S=0.5m<2m,可知 B 与挡板碰撞时,A、B 还未达到共同速度.设 B 与挡板碰撞 前瞬间 A 的速度为 vA,B 的速度为 vB,则 由动量守恒定律有 由动能定理有

mv 0 ? mv A ? MvB

?mgS ?

1 2 MvB 2

联立解得 vA=4m/s、 vB=1m/s (2)B 与挡板第一次碰后向左减速运动,当 B 速度减为零时,B 向左运动的距离设为 SB,由动能定理有
2 ?mgS B ? MvB

1 2

由上式解得 SB=0.5m 在 A 的作用下 B 再次反向向右运动, 设当 A、 向右运动达到共同速度 v2 时 B 向右运 B 动距离为 S2,由动量守恒定律有 由动能定理有

mv A ? MvB ? (M ? m)v2

1 2 2 2 解得 v 2 ? m / s 、 S 2 ? m ? S B 3 9 2 故 A、B 以共同速度 m / s 向右运动,B 第二次与挡板碰撞后,以原速率反弹向左运 3
2 ?mgS2 ? Mv2

动.此后由于系统的总动量向左,故最后 A、B 将以共同速度 v3 向左匀速运动. 由动量守恒定律有 (M-m)v2=(M+m)v3 解得

v3 ?
1 2

2 m/ s 9
1 2

设 A 在 B 上运动的总量程为 L(即木板 B 的最小长度),由系统功能关系得:
2 2 ?mgL ? mv 0 ? ( M ? m)v3

代入数据解得 L=8.96m 变式 2 如图,光滑水平面上,小车和铁块一起向右运动,小车与竖直墙壁相碰(碰撞 中不计动能损失,小车足够长,且 M>m)铁块与小车间摩擦因数为 μ,求:小车弹回后运 动多远铁块相对小车静止。 分析与解答: 与墙碰撞后,车向左速度为 v,由于 M>m 最终二者一起向左运动 由动量守恒定律 Mv ? mv ? (m ? M) v1

M v ? mv m?M 对于车由动能定理 1 1 2 ?mgS ? Mv2 ? Mv1 2 2 v1 ?

小锦囊

思维发散: 其中有几个 隐含条件的挖掘很重 要, “车足够长, 如 M>m” 等, 物理过程为车碰撞 速度反向,大小不变, 小车向左减速, 金属块 先向右后向左运动, 最 终二者同速

90

M( v 2 ? S?
变式 3

( M ? m) 2 ( M ? m) 2 2?mg

v2 )

如图所示,在光滑地面上排放两个相同的木块,长度皆为 l=1.00m,在左边的

木块的左上端放一小金属块,它的质量和一个木块的质量相等.现令小金属块以初速度 v0 =2.00m/s 开始向右滑动,金属块与木块间的动摩擦因数μ ?=0.10,取 g=10m/ s ,求右边 木块的最后速度. 分析与解答:首先假设:若金属块能停在左边的木 块上时,金属块和两木块一起运动的速度为 v,金 属块距左边木块的左端的距离为 x,要求 x 一定满 足:0<x≤l. 把金属块及两木块作为一个系统,列系统的动量守恒方程和能的转化与守恒方程有
2

mv0 =3mv

1 v ? v0 3

1 2 1 mv0 ? (3m)v 2 ? mgx 2 2

2 2 3v0 ? v0 ? 6gx

x?

2 2v0 2 ? 22 4 ? ? m 6? g 6 ? 0.1?10 3

∵ l=1m,x>l,不符合 0<x≤l 的要求. ∴ 金属块不会停在左边的木块上. 进一步考察,假设金属块能停在右边的木块上时,左边的木块速度为 v1 ,右边的木块 和金属块共同速度为 v2 ,金属块距右边木块的左端的距离为 x? ,要求 x? 一定满足:0<

? x? ≤l.另外,金属块刚好离开左边木块时的速度为 v0 .对金属块滑离左边木块的过程,列
系统的动量守恒方程和能的转化与守恒方程,有

? mv0 ? mv0 ? 2mv1

? v0 ? v0 ? 2v1

1 2 1 1 2 2 mv 0 ? ( mv ?0 ? 2mv 1 ) ? ? ?mgl 2 2 2 1 ? 把 v0 式,得: v1 =1m/s 或 v1 = m/s. 3
对金属块在左、右木块上滑动的整个过程列系统的动量守恒方程和能的转化与守恒方 程,有
91

mv0 ? mv1 ? 2mv2

1 2 1 2 1 2 mv 0 ? ( mv 1 ? (2m)v2 ) ? ? mg (l ? x?) 2 2 2 1 5 解: v2 ? m/s 或 v 2 ? m/s. 2 6
把 v2 与前边解出的 v1 一起进行讨论

1 v1 = m/s 3 5 对应这个 v1 值解出的 v 2 ? m/s,其他值不合题意舍去. 6
∵ v2 > v1 ∴ 把 v1 、 v2 的值代入解得

x? =0.25m



x? <l

∴ 金属块最后停在右边的木块上和右边的木块一起以 v2 的速度作匀速直线运动. 该 题解到此已经结束,因此右边的木块最后的速度为

5 m/s ≈0.83m/s. 6

变式 4 如图所示,一辆质量 2m,长为 2l 的平板车静止在水平地面上,一块质量为 m 的小金属块静止在平板车右端(A 点) ,金属块与平板车之间有摩擦,并且在 AC 段与 CB 段动摩擦因数不同, 平板车与地面间的摩擦可忽略. 现给平板车施加一个水平向右的恒 力,使平板车向右运动,并且金属块在平板车上开始滑动,当金属块滑到平板车的中点 C 时,立即撤去这个力. 已知撤去力的瞬间,金属块的速度为 v0,平板车的速度为 2 v0. 最后 金属块恰好停在平板车的左端(B 点)与平板车一起共同运动. (1)最后平板车与金属块的共同运动速度多大? (2)如果金属块与平板车在 AC 段的摩擦因数为 μ1,在 CB 段的摩擦因数为 μ2. 求:μ1 与 μ2 的比值. 分析与解答: (1)撤去力 F 后,金属块与平板车总动量守恒: mv0 + 4mv0 = 3mv,得 v =

5 v0; 3
v0 , t1

(2)拉力 F 作用时,金属块的加速度为:a1 = μ1g =

平板车的加速度为 a2 =

2v 0 = 2μ1g. t1

2 (2v0 ) 2 v0 拉力 F 作用的过程中有: - =l 2a 2 2a1

2 v0 由上述三式得:μ1 = 2 gl

拉力 F 撤去后,金属块的加速度为:a1'= μ2 g ,
92

平板车的加速度为 a2'=

1 μ2 g . 2

有:

2 v 2 ? ( 2v 0 ) 2 v 2 ? v0 - =l ? 2a 2' 2a1'

由上述两式得:μ2 =

2 v0 3gl



μ1 3 = μ2 2

变式 5 如图所示,一矩形绝缘木板放在光滑水平面上,另一质量为 m、带电量为 q 的小物块沿木板上表面以某一初速度从 A 端沿水平方向滑入, 木板周围空间存在足够大、 方向竖直向下的匀强电场.已知物块与木板间有摩擦,物块沿木板运动到 B 端恰好相对静 止.若将匀强电场的方向改为竖直向上,大小不变,且物块仍以原初速度沿木板上表面从 A 端滑入,结果物块运动到木板中点时相对静止.求: ⑴物块所带电荷的性质. ⑵匀强电场场强的大小. 分析与解答:⑴电场方向改为竖直向上后,物块相对木板运动 的位移变小,说明摩擦力变大,它们之间的压力变大了,物块所受的电场力向下,所以物 块带负电. ⑵设匀强电场的场强大小为 E,木板质量为 M、长度为 L,物块的初速度为 v0,物块 和木板共同速度为 v. 当电场方向向下时: 由物块在竖直方向受力平衡得:N1+qE = mg 由物块与木板组成的系统动量守恒得:mv0 = (M + m)v 由系统能量守恒得:μN1L = 1 1 mv02- (m+M)v2 2 2

当电场方向向上时: 由物块在竖直方向受力平衡得: qE+mg = N2 由物块与木板组成的系统动量守恒得:mv0 = (M + m)v 1 1 1 由系统能量守恒得:μN2? L = mv02- (m+M)v2 2 2 2 解得:E = mg 3q

[解题方法归纳与提升] 摩擦力问题,既是进行物体受力分析的重点,又是力学计算的难点和关键.因此,弄 清摩擦力产生的条件和方向的判断,掌握相关的计算规律,抓住它的特点,并正确分析、 判断它的作用效果,对于解决好跟摩擦力相关的各种力学问题具有非常重要的意义.

93


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