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【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义 三角函数与平面向量的综合应用第五章


数学

川(理)

专题三 三角函数与平面向量的
综合应用
第五章 平面向量

基础知识·自主学习
要点梳理
1.三角恒等变换 (1)公式:同角三角函数基本关系式、诱导公式、和差公式. (2)公式应用:注意公式的正用、逆用、变形使用的技巧,观察三角 函数式中角之间的联系,式子之间

以及式子和公式间的联系. (3)注意公式应用的条件、三角函数的符号、角的范围. 2.三角函数的性质 (1)研究三角函数的性质,一般要化为 y=Asin(ωx+φ)的形式,其特 征:一角、一次、一函数. (2)在讨论 y=Asin(ωx+φ)的图象和性质时,要重视两种思想的应 用: 整体思想和数形结合思想, 一般地,可设 t=ωx+φ,y=Asin t, 通过研究这两个函数的图象、性质达到目的.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
3.解三角形 解三角形问题主要有两种题型:一是与三角函数结合起来考查, 通 过三角变换化简,然后运用正、余弦定理求值;二是与平面向量结 合(主要是数量积),判断三角形形状或结合正、余弦定理求值.试 题一般为中档题,客观题、解答题均有可能出现. 4.平面向量 平面向量的线性运算, 为证明两线平行提供了重要方法. 平面向量 数量积的运算解决了两向量的夹角、垂直等问题. 特别是平面向量 的坐标运算与三角函数的有机结合,体现了向量应用的广泛性.
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基础知识·自主学习
基础自测

题号
1 2 3 4 5

答案
3 -4 π 6
?2 π? f(x)=2sin?3x+6?+1 ? ?

解析

10 10 12 35

基础知识

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题型分类·深度剖析
题型一 三角恒等变换
思维启迪 解析 探究提高
? π? 3 π 3π 【例 1】 设 <α< ,sin ?α- ? = ,求 4? 5 3 4 ? sin α-cos 2α+1 的值. tan α

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题型分类·深度剖析
题型一 三角恒等变换
思维启迪 解析 探究提高
? π? 3 π 3π 【例 1】 设 <α< ,sin ?α- ? = ,求 4? 5 3 4 ? sin α-cos 2α+1 的值. tan α

可以先将所求式子化简,寻求和 已知条件的联系.

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题型一 三角恒等变换
探究提高
? 思维启迪 解析 π? 3 π 3π 【例 1】 设 <α< ,sin ?α- ? = ,求 4? 5 3 4 ? π 3π sin α-cos 2α+1 <α< , 解 方法一 由 3的值. 4 tanπ π α ? π? 3 π 得 <α- < ,又 sin?α-4?= , 12 4 2 ? ? 5 ? π? 4 所以 cos?α-4 ?= . ? ? 5 π π 所以 cos α=cos[(α- )+ ] 4 4 ? ? π? π? π π 2 ?α- ?cos -sin?α- ?sin = =cos , 4? 4? 4 4 10 ? ? 7 2 所以 sin α= . 10 sin α+2sin2α 14+5 2 故原式= =cos α(1+2sin α)= . sin α 50 cos α

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题型一 三角恒等变换
解析 探究提高
? 思维启迪 π? 3 π 3π 【例 1】 设 <α< ,sin ?α- ? = ,求 4? 5 3 4 ? ? sin α-cos 2α+1 π?=3,得 sin α-cos α=3 2, 方法二 由 sin?α-4 ? 5 ? 的值. ? 5 tan α 18 两边平方,得 1-2sin αcos α= , 25 7 即 2sin αcos α= >0. 25 π 3π π π 由于 <α< ,故 <α< . 3 4 3 2 32 2 因为(sin α+cos α) =1+2sin αcos α= , 25 4 2 故 sin α+cos α= , 5 7 2 2 解得 sin α= ,cos α= .下同方法一. 10 10

基础知识

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题型一 三角恒等变换
思维启迪 解析 探究提高
? π? 3 π 3π 【例 1】 设 <α< ,sin ?α- ? = ,求 4? 5 3 4 ? sin α-cos 2α+1 的值. tan α

三角变换的关键是寻求已知和 所求式子间的联系,要先进行 化简,角的转化是三角变换的 “灵魂” .要注意角的范围对式 子变形的影响.

基础知识

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变式训练 1 已知
? π? cos?α-6 ?+sin ? ? ? 7π? 4 3 α= ,则 sin?α+ 6 ?的值是 5 ? ?

( C ) 2 3 A.- 5 2 3 B. 5 4 C.- 5 4 D. 5

? π? 解析 cos?α-6?+sin ? ? ? π? 4 ?sin?α+6?= , ? ? 5

4 3 3 3 4 3 α= 5 ?2sin α+ 2 cos α= 5

所以

? ? 7π? π? 4 ?α+ ?=-sin?α+ ?=- . sin 6? 6? 5 ? ?

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题型二 三角函数的图象与性质
思维启迪 解析 探究提高

【 例 2 】 (2011· 江 )已 知 函 数 f(x) = 浙

π π Asin( x+φ),x∈R,A>0,0<φ< ,y 3 2 =f(x)的部分图象如图所示,P、Q 分别为该图象的最高点和最低点, 点 P 的坐标为(1,A). (1)求 f(x)的最小正周期及 φ 的值; (2)若点 R 的坐标为(1,0),∠PRQ= 2π ,求 A 的值. 3

基础知识

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题型分类·深度剖析
题型二 三角函数的图象与性质
思维启迪 解析 探究提高

【 例 2 】 (2011· 江 )已 知 函 数 f(x) = 浙

π π Asin( x+φ),x∈R,A>0,0<φ< ,y 3 2 =f(x)的部分图象如图所示,P、Q 分别为该图象的最高点和最低点, 点 P 的坐标为(1,A). (1)求 f(x)的最小正周期及 φ 的值; (2)若点 R 的坐标为(1,0),∠PRQ= 2π ,求 A 的值. 3

三角函数图象的确定,可以利用 图象的周期性、最值、已知点的 坐标列方程来解决.

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题型二 三角函数的图象与性质
思维启迪 解析 探究提高

【 例 2 】 (2011· 江 )已 知 函 数 f(x) = 浙

π π 2π Asin( x+φ),x∈R,A>0,0<φ< ,y 3 2 解 (1)由题意得 T= =6.

π =f(x)的部分图象如图所示,P、Q 3 π 因为 P(1,A)在 y=Asin( x+φ)的图象上, 3 分别为该图象的最高点和最低点, 点 π 所以 sin( +φ)=1. 3 P 的坐标为(1,A). π π 又因为 0<φ< ,所以 φ= . 2 6 (1)求 f(x)的最小正周期及 φ 的值; (2)设点 Q 的坐标为(x0,-A). (2)若点 Rπx +π=3π,得 x =4,所以 由题意可知 的坐标为(1,0),∠PRQ= Q(4,-A). 0 3 0 6 2 2π 2π ,求 A 的值. 中,∠PRQ= ,由余弦定理得 连接 PQ,在△PRQ 3 3 2 2 2 2 RP +RQ -PQ A +9+A2-?9+4A2? 1 cos∠PRQ= = =- ,解得 A2=3. 2RP· RQ 2 2A· 9+A2 又 A>0,所以 A= 3.
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题型分类·深度剖析
题型二 三角函数的图象与性质
思维启迪 解析 探究提高

【 例 2 】 (2011· 江 )已 知 函 数 f(x) = 浙

π π Asin( x+φ),x∈R,A>0,0<φ< ,y 3 2 =f(x)的部分图象如图所示,P、Q 分别为该图象的最高点和最低点, 点 P 的坐标为(1,A). (1)求 f(x)的最小正周期及 φ 的值; (2)若点 R 的坐标为(1,0),∠PRQ= 2π ,求 A 的值. 3

本题确定 φ 的值时,一定要考虑 φ 的范围;在三角形中利用余弦 定理求 A 是本题的难点.

基础知识

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题型分类·深度剖析
变式训练 2 已知函数 f(x)=Asin ωx+Bcos ωx(A,B,ω 是常数, 1 ω>0)的最小正周期为 2,并且当 x= 时,f(x)max=2. 3 (1)求 f(x)的解析式; ?21 23? (2)在闭区间? 4 , 4 ?上是否存在 f(x)的对称轴?如果存在,求出其 ? ? 对称轴方程;如果不存在,请说明理由. 解 (1)因为 f(x)= A2+B2sin(ωx+φ),由它的最小正周期为 2,知
2π 1 1 π =2,ω=π,又因为当 x= 时,f(x)max=2,知 π+φ=2kπ+ ω 3 3 2 π (k∈Z),φ=2kπ+ (k∈Z), 6 ? ? π? π? 所以 f(x)=2sin?πx+2kπ+6?=2sin?πx+6?.
?

故 f(x)的解析式为
基础知识

? ? π? f(x)=2sin?πx+6?. ? ?

?

?

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思想方法

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题型分类·深度剖析
变式训练 2 已知函数 f(x)=Asin ωx+Bcos ωx(A,B,ω 是常数, 1 ω>0)的最小正周期为 2,并且当 x= 时,f(x)max=2. 3 (1)求 f(x)的解析式; ?21 23? (2)在闭区间? 4 , 4 ?上是否存在 f(x)的对称轴?如果存在,求出其 ? ? 对称轴方程;如果不存在,请说明理由.
(2)当垂直于 x 轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时,该直线 π π 1 就是正弦曲线的对称轴, πx+ =kπ+ (k∈Z), 令 解得 x=k+ , 6 2 3 21 1 23 59 65 由 ≤k+ ≤ ,解得 ≤k≤ ,又 k∈Z,知 k=5,由此可知 4 3 4 12 12 ?21 23? 16 ? , ?上存在 f(x)的对称轴,其方程为 x= . 在闭区间 4 4? 3 ?
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题型分类·深度剖析
题型三 三角函数、平面向量、解三角形的综合应用
思维启迪 解析

【 例 3】 已知向 量 m= ? ? ? ? x x 2x ? 3sin ,1?,n=?cos ,cos ?. 4 4 4? ? ? ? ?2π ? (1)若 m· n=1, cos? 3 -x?的值; 求 ? ? (2)记 f(x)=m· n,在△ABC 中, 角 A,B,C 的对边分别是 a,b, c,且满足(2a-c)cos B=bcos C, 求函数 f(A)的取值范围.

探究提高

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题型分类·深度剖析
题型三 三角函数、平面向量、解三角形的综合应用
【 例 3】 已知向 量 m= 探究提高 思维启迪 解析 ? ? ? ? x x 2x ? 3sin ,1?,n=?cos ,cos ?. 4 4 4? ? ? ? (1)由向量数量积的运算转化成三 ?2π ? (1)若 m· n=1, cos? 3 -x?的值; 求 ? ? 角函数式,化简求值.(2)在△ABC (2)记 f(x)=m· n,在△ABC 中, 中,求出∠A 的范围,再求 f(A)的 角 A,B,C 的对边分别是 a,b, c,且满足(2a-c)cos B=bcos C, 求函数 f(A)的取值范围.

取值范围.

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题型分类·深度剖析
题型三 三角函数、平面向量、解三角形的综合应用
思维启迪 解析

【 例 3】 已知向 量 m= ? ? ? ? x x 2x ? 3sin ,1?,n=xcos x ? ? ,cos 2x 4 4 +cos4?. 解? (1)m· ? 3sin ? · n= cos 4 4 4 x ?2π ? 1+cos cos? -x?的值; (1)若 m· 求 3 x n=1, 2 ? 3 ?x ? π? 1 = sin + =sin?2+6 ?+ , 2 2 2 ? ? 2 ?x (2)记 f(x)=m· π? 1 n,在△ABC 中, ∵m· n=1,∴sin?2+6?= . ? ? 2 角 A,B,C 的对边分别是 a,b, ? ? ? ?
π x π 1 cos?x+3?=1-2sin2?2+6 ?= , ? ? ? ? 2 c,且满足(2a-c)cos B=bcos C, ?2π ? ? π? 1 cos? 3 -x?f(A)的取值范围. . =-cos?x+3?=- 求函数 ? 2 ? ? ? (2)∵(2a-c)cos B=bcos C,

探究提高

由正弦定理得(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C, ∴2sin Acos B-sin Ccos B=sin Bcos C.

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题型三 三角函数、平面向量、解三角形的综合应用
解析

【 例 3】 已知向 量 m= 思维启迪 ? ? ? ? x x 2x ? 3sin ,1?,n=?cos ,cos ?. ∴2sin Acos B=sin(B+C). 4 4 4? ? ? ? ?2π ? ∵A+B+C=π,∴sin(B+C)=sin A≠0. (1)若 m· n=1, cos? 3 -x?的值; 求 ? ? 1 π 2π ∴cos B= ,∵0<B<π,∴B= .∴0<A< . 2 3 (2)记 f(x)=m· n,在△ABC 3中, ?A π? ?1 ? π A π π ? + ?∈? ,1?. ∴角 A,B,C 的对边分别是 a,b, < + < ,sin 2 6 6 2 6 2 ? ? ?2 ? c,且满足(2a-c)cos B=bcos C, ?x π? 1 又∵f(x)=sin?2+6 ?+ . ? ? 2 求函数 f(A)的取值范围.
?A π? 1 ∴f(A)=sin? 2 +6 ?+ . ? ? 2

探究提高

故函数

? 3? f(A)的取值范围是?1,2?. ? ?

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题型三 三角函数、平面向量、解三角形的综合应用
【 例 3】 已知向 量 m= 探究提高 思维启迪 解析 ? ? ? ? x x 2x ? 3sin ,1?,n=?cos ,cos ?. (1)向量是一种解决问题的工具,是 4 4 4? ? ? ? ?2π ? (1)若 m· n=1, cos? 3 -x?的值; 一个载体,通常是用向量的数量积 求 ? ? 运算或性质转化成三角函数问题. (2)记 f(x)=m· n,在△ABC 中, (2)三角形中的三角函数要结合正 角 A,B,C 的对边分别是 a,b, 弦定理、余弦定理进行转化,注意 c,且满足(2a-c)cos B=bcos C, 角的范围对变形过程的影响. 求函数 f(A)的取值范围.

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题型分类·深度剖析
变式训练 3 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且

lg a-lg b=lg cos B-lg cos A≠0. (1)判断△ABC 的形状; (2)设向量 m=(2a,b),n=(a,-3b),且 m⊥n,(m+n)· (n-m)=14, 求 a,b,c 的值. 解 (1)因为 lg a-lg b=lg cos B-lg cos A≠0,
a cos B 所以b=cos A≠1,所以 sin 2A=sin 2B 且 a≠b.

因为 A,B∈(0,π)且 A≠B,
π 所以 2A=π-2B,即 A+B=2且 A≠B.

所以△ABC 是非等腰的直角三角形.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 3 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且

lg a-lg b=lg cos B-lg cos A≠0. (1)判断△ABC 的形状; (2)设向量 m=(2a,b),n=(a,-3b),且 m⊥n,(m+n)· (n-m)=14, 求 a,b,c 的值.

(2)由 m⊥n,得 m· n=0.所以 2a2-3b2=0.
由(m+n)· (n-m)=14,得 n2-m2=14,
所以 a2+9b2-4a2-b2=14,即-3a2+8b2=14. 联立①②,解得 a= 6,b=2.所以 c= a2+b2= 10.





故所求的 a,b,c 的值分别为 6,2, 10.
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题型分类·深度剖析
高考圈题 5.高考中的平面向量、三角函数客观题
?πx π? y=2sin? 6 -3 ?(0≤x≤9)的最大值与最小值之 ? ?

典例 1:(5 分)(2012· 山东)函数 和为 A.2- 3 考 点 分 析

( B.0 C.-1 解 题 策 略 D.-1- 3 解 析 解 后 反 思

)

基础知识

题型分类

思想方法

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题型分类·深度剖析
高考圈题 5.高考中的平面向量、三角函数客观题
?πx π? y=2sin? 6 -3 ?(0≤x≤9)的最大值与最小值之 ? ?

典例 1:(5 分)(2012· 山东)函数 和为 A.2- 3 考 点 分 析

( B.0 C.-1 解 题 策 略 D.-1- 3 解 析 解 后 反 思

)

本题考查三角函数的性质,考查整体思想和数形结合思想.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
高考圈题 5.高考中的平面向量、三角函数客观题
?πx π? y=2sin? 6 -3 ?(0≤x≤9)的最大值与最小值之 ? ?

典例 1:(5 分)(2012· 山东)函数 和为 A.2- 3 考 点 分 析

( B.0 C.-1 解 题 策 略 D.-1- 3 解 析 解 后 反 思

)

π π 根据整体思想,找出角 x- 的范围,再根据图象求函数的最值. 6 3

基础知识

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
高考圈题 5.高考中的平面向量、三角函数客观题
?πx π? y=2sin? 6 -3 ?(0≤x≤9)的最大值与最小值之 ? ?

典例 1:(5 分)(2012· 山东)函数 和为 A.2- 3 考 点 分 析

( A ) B.0 C.-1 解 题 策 略 D.-1- 3 解 析 解 后 反 思

π πx π 7π 由题意- ≤ - ≤ . 3 6 3 6

画出 y=2sin x 的图象如图,知,
π π π 当6x-3=-3时,ymin=- 3. π π π 当6x-3=2时,ymax=2.

故 ymax+ymin=2- 3.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
高考圈题 5.高考中的平面向量、三角函数客观题
?πx π? y=2sin? 6 -3 ?(0≤x≤9)的最大值与最小值之 ? ?

典例 1:(5 分)(2012· 山东)函数 和为 A.2- 3 B.0

( A ) C.-1 D.-1- 3

考 点 分 析

解 题 策 略

解 析

解 后 反 思

(1)函数 y=Asin(ωx+φ)可看作由函数 y=Asin t 和 t=ωx+φ 构成的 复合函数. (2)复合函数的值域即为外层函数的值域,可以通过图象观察得到.

基础知识

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思想方法

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题型分类·深度剖析
高考圈题 5.高考中的平面向量、三角函数客观题
典例 2:(5 分)(2012· 天津)在△ABC 中,∠A=90° ,AB=1,AC=2.设点 P, → → → → → → Q 满足AP=λAB,AQ=(1-λ)AC,λ∈R.若BQ· =-2,则 λ 等于( CP ) 1 2 4 A. B. C. D.2 3 3 3 考 点 分 析 解 题 策 略 解 析 解 后 反 思

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
高考圈题 5.高考中的平面向量、三角函数客观题
典例 2:(5 分)(2012· 天津)在△ABC 中,∠A=90° ,AB=1,AC=2.设点 P, → → → → → → Q 满足AP=λAB,AQ=(1-λ)AC,λ∈R.若BQ· =-2,则 λ 等于( CP ) 1 2 4 A. B. C. D.2 3 3 3 考 点 分 析 解 题 策 略 解 析 解 后 反 思

本题考查向量的线性运算,考查向量的数量积和运算求解能力.

基础知识

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
高考圈题 5.高考中的平面向量、三角函数客观题
典例 2:(5 分)(2012· 天津)在△ABC 中,∠A=90° ,AB=1,AC=2.设点 P, → → → → → → Q 满足AP=λAB,AQ=(1-λ)AC,λ∈R.若BQ· =-2,则 λ 等于( CP ) 1 2 4 A. B. C. D.2 3 3 3 考 点 分 析 解 题 策 略 解 析 解 后 反 思
→ → → → 根据平面向量基本定理, 将题中的向量BQ, 分别用向量AB, 表 CP AC 示出来,再进行数量积计算.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
高考圈题 5.高考中的平面向量、三角函数客观题
典例 2:(5 分)(2012· 天津)在△ABC 中,∠A=90° ,AB=1,AC=2.设点 P, → → → → → → Q 满足AP=λAB,AQ=(1-λ)AC,λ∈R.若BQ· =-2,则 λ 等于( B ) CP 1 2 4 A. B. C. D.2 3 3 3 考 点 分 析 解 题 策 略 解 析 解 后 反 思
→ → → → → BQ=AQ-AB=(1-λ)AC-AB, → → → → → CP=AP-AC=λAB-AC, 2 → → →2 →2 BQ· =(λ-1)AC -λAB =4(λ-1)-λ=3λ-4=-2,即 λ=3. CP

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
高考圈题 5.高考中的平面向量、三角函数客观题
典例 2:(5 分)(2012· 天津)在△ABC 中,∠A=90° ,AB=1,AC=2.设点 P, → → → → → → Q 满足AP=λAB,AQ=(1-λ)AC,λ∈R.若BQ· =-2,则 λ 等于( B ) CP 1 2 4 A. B. C. D.2 3 3 3 考 点 分 析 解 题 策 略 解 析 解 后 反 思

(1)利用平面向量基本定理结合向量的线性运算表示向量是向量问题 求解的基础; (2)本题在求解过程中利用了方程思想.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高
方 法 与 技 巧 失 误 与 防 范
基础知识

1. 研究三角函数的图象、 性质一定要化成 y=Asin(ωx+φ) +B 的形式,然后利用数形结合思想求解.

2.三角函数与向量的综合问题,一般情况下向量知识作 为一个载体,可以先通过计算转化为三角函数问题再 进行求解.
1.三角函数式的变换要熟练公式,注意角的范围.

2.向量计算时要注意向量夹角的大小,不要混同于直 线的夹角或三角形的内角.
题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6

7 9 8 → → 1.(2012· 大纲全国)△ABC 中,AB 边的高为 CD,若CB=a,CA=b, → a· b=0,|a|=1,|b|=2,则AD等于 ( ) 1 1 2 2 3 3 4 4 A. a- b B. a- b C. a- b D. a- b 3 3 3 3 5 5 5 5

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6

7 9 8 → → 1.(2012· 大纲全国)△ABC 中,AB 边的高为 CD,若CB=a,CA=b, → a· b=0,|a|=1,|b|=2,则AD等于 ( D ) 1 1 2 2 3 3 4 4 A. a- b B. a- b C. a- b D. a- b 3 3 3 3 5 5 5 5

解 析
利用向量的三角形法则求解. 如图,∵a· b=0,∴a⊥b,
∴∠ACB=90° ,

∴AB= AC2+BC2= 5.

又 CD⊥AB,∴AC2=AD· AB, 4 5 → 4→ 4 4 4 ∴AD= 5 .∴AD=5AB=5(a-b)=5a-5b.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2.已知向量 a=(2,sin x),b=(cos2x,2cos x),则函数 f(x)=a· 的 b 最小正周期是 π A. B.π 2 ( C.2π D.4π )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2.已知向量 a=(2,sin x),b=(cos2x,2cos x),则函数 f(x)=a· 的 b 最小正周期是 π A. B.π 2 ( B ) C.2π D.4π

解 析
f(x)=2cos2x+2sin xcos x=1+cos 2x+sin 2x
=1+
? π? 2π 2sin?2x+4?,T= 2 =π. ? ?

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分

A组

专项基础训练

1 7 9 2 3 4 6 8 5 3.已知 a,b,c 为△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,向量 m=( 3,

-1),n=(cos A,sin A).若 m⊥n,且 acos B+bcos A=csin C, 则角 A,B 的大小分别为 π π 2π π A. , B. , 6 3 3 6 ( π π C. , 3 6 π π D. , 3 3 )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分

A组

专项基础训练

1 7 9 2 3 4 6 8 5 3.已知 a,b,c 为△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,向量 m=( 3,

-1),n=(cos A,sin A).若 m⊥n,且 acos B+bcos A=csin C, 则角 A,B 的大小分别为 ( C ) π π 2π π π π π π A. , B. , C. , D. , 6 3 3 6 3 6 3 3 由 m⊥n 得 m· n=0,即 3cos A-sin A=0, 解 析

? π? 2cos?A+6?=0, ? ?

π π 7π π π π ∵6<A+6< 6 ,∴A+6=2,即 A=3. 又 acos B+bcos A=2Rsin Acos B+2Rsin Bcos A

=2Rsin(A+B)=2Rsin C=c=csin C, π π π π 所以 sin C=1,C=2,所以 B=π-3-2=6.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

A组

专项基础训练

7 9 2 3 4 6 8 5 → → → 4. 已知向量OB=(2,0), 向量OC=(2,2), 向量CA=( 2cos α, 2sin α), → → 则向量OA与向量OB的夹角的取值范围是 ( ) ? ?π ?5 ?π π? 5 ? π? 5 ? A.?0,4 ? B.?4,12π? C.?12π,2 ? D.?12,12π? ? ? ? ? ? ? ? ?

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

A组

专项基础训练

7 9 2 3 4 6 8 5 → → → 4. 已知向量OB=(2,0), 向量OC=(2,2), 向量CA=( 2cos α, 2sin α), → → 则向量OA与向量OB的夹角的取值范围是 ( D ) ? ?π ?5 ?π π? 5 ? π? 5 ? A.?0,4 ? B.?4,12π? C.?12π,2 ? D.?12,12π? ? ? ? ? ? ? ? ?

解 析
→ → → 由题意,得:OA=OC+CA=(2+ 2cos α, 2+ 2sin α),所以点 A 的轨迹是圆(x-2)2+ → (y-2)2=2,如图,当 A 位于使向量OA与圆 → → 相切时,向量OA与向量OB 的夹角分别达到 最大、最小值,故选 D.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

π 5.(2012· 北京)在△ABC 中,若 a=3,b= 3,∠A= ,则∠C 的 3 大小为________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

π 5.(2012· 北京)在△ABC 中,若 a=3,b= 3,∠A= ,则∠C 的 3 π 2 大小为________.

解 析
利用正弦定理及三角形内角和性质求解. a b 在△ABC 中,由正弦定理可知sin A=sin B, 3 3× 2 1 bsin A 即 sin B= a = 3 =2. π 又∵a>b,∴∠B=6. π ∴∠C=π-∠A-∠B=2.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

6.在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(-1,2),B(2cos x,-2cos 2x), → → C(cos x,1),其中 x∈[0,π],若AB⊥OC,则 x 的值为______.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

6.在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(-1,2),B(2cos x,-2cos 2x), π π → → 2或3 C(cos x,1),其中 x∈[0,π],若AB⊥OC,则 x 的值为______.

解 析
→ → 因为AB=(2cos x+1,-2cos 2x-2),OC=(cos x,1),

→ → 所以AB· =(2cos x+1)cos x+(-2cos 2x-2)· OC 1
=-2cos2x+cos x=0,
1 π π 可得 cos x=0 或 cos x=2,所以 x 的值为2或3.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

7.已知函数 f(x)=sin x-cos x,且 f′(x)=2f(x),f′(x)是 f(x)的导 1+sin2x 函数,则 2 =________. cos x-sin 2x

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

7.已知函数 f(x)=sin x-cos x,且 f′(x)=2f(x),f′(x)是 f(x)的导 19 1+sin2x -5 函数,则 2 =________. cos x-sin 2x

解 析
由题意知,f′(x)=cos x+sin x,由 f′(x)=2f(x),

得 cos x+sin x=2(sin x-cos x),得 tan x=3,
1+sin2x 1+sin2x 所以 2 = cos x-sin 2x cos2x-2sin xcos x 2sin2x+cos2x 2tan2x+1 19 = 2 = =- 5 . cos x-2sin xcos x 1-2tan x
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

A组

专项基础训练

7 9 2 3 4 6 8 5 8.(10 分)已知 A,B,C 的坐标分别为 A(3,0),B(0,3),C(cos α, ?π 3π? sin α),α∈?2, 2 ?. ? ?

→ → (1)若|AC|=|BC|,求角 α 的值; 2sin α+sin 2α → → (2)若AC· =-1,求 BC 的值. 1+tan α
2

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分

A组

专项基础训练

1 7 9 2 3 4 6 8 5 8.(10 分)已知 A,B,C 的坐标分别为 A(3,0),B(0,3),C(cos α, ?π 3π? sin α),α∈?2, 2 ?. ? ?

→ → (1)若|AC|=|BC|,求角 α 的值; 2sin α+sin 2α → → (2)若AC· =-1,求 BC 的值. 1+tan α
2

→ → 解 (1)∵AC=(cos α-3,sin α),BC=(cos α,sin α-3), →2 ∴AC =(cos α-3)2+sin2α=10-6cos α, →2 BC =cos2α+(sin α-3)2=10-6sin α, → → →2 →2 由|AC|=|BC|,可得AC =BC , 即 10-6cos α=10-6sin α,得 sin α=cos α.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

解 析

练出高分

A组

专项基础训练

1 7 9 2 3 4 6 8 5 8.(10 分)已知 A,B,C 的坐标分别为 A(3,0),B(0,3),C(cos α, ?π 3π? sin α),α∈?2, 2 ?. ? ?

→ → (1)若|AC|=|BC|,求角 α 的值; 2sin α+sin 2α → → (2)若AC· =-1,求 BC 的值. 1+tan α ?π 3π? 5π 解 析 又 α∈?2, 2 ?,∴α= . 4 → → ? ? (2)由AC· =-1, BC 得(cos α-3)cos α+sin α(sin α-3)=-1, 2 ∴sin α+cos α=3. 2sin2α+sin 2α 2sin2α+2sin αcos α 又 = =2sin αcos α. sin α 1+tan α 1+cos α
基础知识 题型分类 思想方法
2



练出高分

练出高分

A组

专项基础训练

1 7 9 2 3 4 6 8 5 8.(10 分)已知 A,B,C 的坐标分别为 A(3,0),B(0,3),C(cos α, ?π 3π? sin α),α∈?2, 2 ?. ? ?

→ → (1)若|AC|=|BC|,求角 α 的值; 2sin α+sin 2α → → (2)若AC· =-1,求 BC 的值. 1+tan α
2

解 析
4 由①式两边分别平方,得 1+2sin αcos α= , 9 2 5 2sin α+sin 2α 5 ∴2sin αcos α=-9.∴ =-9. 1+tan α

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(12 分)设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, a=2bsin A. (1)求 B 的大小;(2)求 cos A+sin C 的取值范围.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(12 分)设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, a=2bsin A. (1)求 B 的大小;(2)求 cos A+sin C 的取值范围.

1 π 所以 sin B=2,由△ABC 为锐角三角形可得 B=6. 5π 5π (2)由(1)可知 A+C=π-B= 6 ,故 C= 6 -A. 故 cos A+sin C=cos
?5π ? A+sin? 6 -A? ? ? ?π ? =cos A+sin?6+A?=cos ? ? ? 3 3 =2cos A+ 2 sin A= 3? ? ?

解 (1)由 a=2bsin A, 解 析 根据正弦定理得 sin A=2sin Bsin A,

1 3 A+2cos A+ 2 sin A ? ? π? 3 1 ? cos A+2sin A? = 3sin?A+3?, 2 ? ? ?
思想方法 练出高分

基础知识

题型分类

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(12 分)设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, a=2bsin A. (1)求 B 的大小;(2)求 cos A+sin C 的取值范围.
π 由△ABC 为锐角三角形可得,0<C< , 2 5π π π 5π 故 0< 6 -A<2,解得3<A< 6 , π π π 又 0<A<2,所以3<A<2. ? π? 3 2π π 5π 1 故 3 <A+3< 6 ,所以2<sin?A+3?< 2 , ? ?

解 析

? π? 3 3 所以 2 < 3sin?A+3?<2, ? ?

即 cos A+sin C
基础知识

? 的取值范围为? ? ?

3 3? ? ,2?. 2 ?
思想方法 练出高分

题型分类

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3
2?

专项能力提升
4
?

5

6

7

? π? 1? 1.(2012· 江西)已知 f(x)=sin x+4 ?,若 a=f(lg 5),b=f?lg 5?,则 ? ? ? ?

( A.a+b=0 C.a+b=1 B.a-b=0 D.a-b=1

)

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3
2?

专项能力提升
4
?

5

6

7

? π? 1? 1.(2012· 江西)已知 f(x)=sin x+4 ?,若 a=f(lg 5),b=f?lg 5?,则 ? ? ? ?

( A.a+b=0 C.a+b=1 B.a-b=0 D.a-b=1

)

解 析
将函数整理,利用奇函数性质求解.
由题意知 f(x)=sin
2



? π? 1-cos?2x+2? ? ?

? π? ?x+ ? 4? ?

1 则 g(x)为奇函数,且 f(x)=g(x)+2,
基础知识 题型分类

2

1+sin 2x 1 = ,令 g(x)= sin 2x, 2 2
思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3
2?

专项能力提升
4
?

5

6

7

? π? 1? 1.(2012· 江西)已知 f(x)=sin x+4 ?,若 a=f(lg 5),b=f?lg 5?,则 ? ? ? ?

(C ) A.a+b=0 C.a+b=1 B.a-b=0 D.a-b=1

解 析
? ? 1? 1? 1 1 a=f(lg 5)=g(lg 5)+ ,b=f?lg 5?=g?lg 5?+ , 2 ? ? ? ? 2

则 a+b=g(lg

? 5)+g?lg ?

1? ?+1=g(lg 5)+g(-lg 5)+ 5?

1=1,故 a+b=1.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

2. 已知

? 1 a=?- , ? 2 ?

A.1

3? ? , b=(1, 3), 则|a+tb| (t∈R)的最小值等于( 2? ? 3 1 2 B. C. D. 2 2 2

)

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

2. 已知

? 1 a=?- , ? 2 ?

A.1

3? ? , b=(1, 3), 则|a+tb| (t∈R)的最小值等于( 2? ? 3 1 2 B. C. D. 2 2 2
? 3 ? + 3t?, 2 ?

)

解 析
方法一 ∴|a+tb|
=4t
2

? 1 a+tb=?- +t, ? 2 ?

2

? ? 1 ? 2 =?-2+t? +? ? ? ? ?

? 3 ? + 3t?2 2 ?

1 3 2 ∴当 t=- 时,|a+tb| 取得最小值 , 4 4 3 即|a+tb|取得最小值 2 .
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

? 1?2 3 +2t+1=4?t+4? + , 4 ? ?

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

2. 已知

? 1 a=?- , ? 2 ?

A.1

3? ? b=(1, 3), 则|a+tb| (t∈R)的最小值等于( B ) ?, 2? 3 1 2 B. C. D. 2 2 2

解 析
方法二 → → 如图所示,OA=a,OB=b,在 OB 上任

→ → 取一点 T,使得OT=-tb (t<0),则|a+tb|=|TA|, 显然,当 AT⊥OB 时,取最小值.

→ → 由TA· =(a+tb)· OB b=a· b+tb2=0,
1 1 3 得 t=- ,∴当 t=- 时,|a+tb|取得最小值 . 4 4 2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组

专项能力提升

7 2 3 4 6 5 ? 3 3? → → → 3.在△ABC 中,AB· =3,△ABC 的面积 S△ABC∈? , ?,则AB与 BC ? 2 2? ? ? → BC夹角的取值范围是 ( ) ?π π? ?π π? ?π π? ?π π? A.?4,3 ? B.?6,4 ? C.?6,3 ? D.?3,2 ? ? ? ? ? ? ? ? ?

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

B组

专项能力提升

7 2 3 4 6 5 ? 3 3? → → → 3.在△ABC 中,AB· =3,△ABC 的面积 S△ABC∈? , ?,则AB与 BC ? 2 2? ? ? → BC夹角的取值范围是 ( B ) ?π π? ?π π? ?π π? ?π π? A.?4,3 ? B.?6,4 ? C.?6,3 ? D.?3,2 ? ? ? ? ? ? ? ? ?

解 析
→ → → → → → → → 记AB与BC的夹角为 θ,AB· =|AB|· |· θ=3,|AB|· |= BC |BC cos |BC 3 1→ → 1→ → 3 ,S△ABC= |AB|· |·sin(π-θ)= |AB|· |sin θ= tan θ,由 |BC |BC cos θ 2 2 2 ? 3 ? ?π π? ? ? 题意得 tan θ∈? ,1?,所以 θ∈?6 ,4 ?,正确答案为 B. ? ? ? 3 ?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6

7 ? ?π?? 4. (2011· 安徽)已知函数 f(x)=sin(2x+φ), 其中 φ 为实数. f(x)≤?f?6 ?? ? ? ?? ?π? 对 x∈R 恒成立,且 f?2 ?>f(π),则 f(x)的单调递增区间是 ? ?

____________________________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6

7 ? ?π?? 4. (2011· 安徽)已知函数 f(x)=sin(2x+φ), 其中 φ 为实数. f(x)≤?f?6 ?? ? ? ?? ?π? 对 x∈R 恒成立,且 f?2 ?>f(π),则 f(x)的单调递增区间是 ? ?

____________________________.

解 析

?π? ?π ? ∴f?6?=sin?3+φ?=± 1, ? ? ? ?

? ?π?? π ?f? ??知,当 x= 时 f(x)取最值, 由?x∈R,有 f(x)≤ 6 6 ? ? ??

π π ∴ +φ=± +2kπ(k∈Z), 3 2 π 5π ∴φ= +2kπ 或 φ=- +2kπ(k∈Z), 6 6 ?π? 又∵f?2?>f(π),∴sin(π+φ)>sin(2π+φ), ? ?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6

7 ? ?π?? 4. (2011· 安徽)已知函数 f(x)=sin(2x+φ), 其中 φ 为实数. f(x)≤?f?6 ?? ? ? ?? ?π? 对 x∈R 恒成立,且 f?2 ?>f(π),则 f(x)的单调递增区间是 ? ? ? π 2π? ?kπ+ ,kπ+ ?(k∈Z) 6 3? ? ____________________________. 5π ∴-sin φ>sin φ,∴sin φ<0.∴φ 取- +2kπ(k∈Z). 解 析 6 ? ? 5π 5π ?2x- ?. 不妨取 φ=- 6 ,则 f(x)=sin 6? ? π 5π π 令- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ(k∈Z), 2 6 2 π 4π ∴ +2kπ≤2x≤ +2kπ(k∈Z), 3 3 π 2π ∴ +kπ≤x≤ +kπ(k∈Z). 6 3 ?π ? 2π ∴f(x)的单调递增区间为?6+kπ, 3 +kπ?(k∈Z).
? ?

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

?π ? 1 ?π β? ? β? π π 3 5. 0<α< , <β<0, ?4+α?= , ?4-2?= , cos?α+2? 若 - cos cos 则 2 2 3 ? ? 3 ? ? ? ?

=________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

?π ? 1 ?π β? ? β? π π 3 5. 0<α< , <β<0, ?4+α?= , ?4-2?= , cos?α+2? 若 - cos cos 则 2 2 3 ? ? 3 ? ? ? ?

5 3 9 =________.

解 析
?π ? 2 π ∵0<α< ,∴sin?4+α?= 2, 2 ? ? 3
? π β? π 6 ? - ?= ∵- <β<0,∴sin 4 2 , 2 3 ? ?



? ?π ? ?π β ? β? cos?α+2?=cos[?4+α?-?4-2?] ? ? ? ? ? ?

1 3 2 6 5 = × + 2× = 3. 3 3 3 3 9
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

6.(2012· 山东)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一 单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点 P 的位置在(0,0),圆在 x 轴上沿正向滚动.当圆滚 → 动到圆心位于(2,1)时,OP的坐标为____________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

6.(2012· 山东)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一 单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点 P 的位置在(0,0),圆在 x 轴上沿正向滚动.当圆滚 → (2-sin 2,1-cos 2) 动到圆心位于(2,1)时,OP的坐标为___________________.

解 析
利用平面向量的坐标定义、解三角形知识以及数形结合思想求解. 2 设 A(2,0),B(2,1),由题意知劣弧 长为 2,∠ABP=1=2. 设 P(x,y), ? π? 则 x=2-1×cos?2-2? =2-sin 2,
? ?

→ ∴OP的坐标为(2-sin 2,1-cos 2).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

? π? y=1+1×sin?2-2?=1-cos ? ?

2,

练出高分
1
2

B组
3

专项能力提升

5 7 4 6 ? ? 2x 4x 7.(13 分)已知 f(x)=loga?sin 2-sin 2?(a>0 且 a≠1),试讨论函数的 ? ? 奇偶性、单调性.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1
2

B组
3

专项能力提升

5 7 4 6 ? ? 2x 4x 7.(13 分)已知 f(x)=loga?sin 2-sin 2?(a>0 且 a≠1),试讨论函数的 ? ? 奇偶性、单调性.

解 析


? ? ?? ? 2x ? 2x? f(x)=loga?sin 2 1-sin 2?? ? ?? ?

1-cos 2x =loga . 8 故定义域为 cos 2x≠1,即{x|x≠kπ,k∈Z},关于原点对称

且满足 f(-x)=f(x),所以此函数是偶函数.

1 令 t=8(1-cos 2x),
则t
? π? 的递增区间为?kπ,kπ+2?(k∈Z); ? ?

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1
2

B组
3

专项能力提升

5 7 4 6 ? ? 2x 4x 7.(13 分)已知 f(x)=loga?sin 2-sin 2?(a>0 且 a≠1),试讨论函数的 ? ? 奇偶性、单调性.

解 析
? ? π 递减区间为?kπ-2,kπ?(k∈Z). ? ?

所以,当 a>1

? π? 时,f(x)的递增区间为?kπ,kπ+2?(k∈Z);递减 ? ?

? ? π 区间为?kπ-2,kπ?(k∈Z). ? ?

当 0<a<1

? ? π 时,f(x)的递增区间为?kπ-2,kπ?(k∈Z);递减区 ? ?

? π? 间为?kπ,kπ+2?(k∈Z). ? ?

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分


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