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高中数学立体几何精华编


立体几何编

令狐鸣
1. (2010 安徽卷理 18) 如图, 在多面体 A B C D E F 中, 四边形 A B C D 是正方形,E F ∥ A B ,E F ? F B ,A B ? 2 E F ,
? B F C ? 9 0 ? , B F ? F C , H 为 B C 的中点。

(Ⅰ)求证: F H

∥平面 E D B ;(Ⅱ)求证: A C ? 平面 E D B ; (Ⅲ)求二面角 B ? D E ? C 的大小。
D

E

F

C

H A B

2、 (2011 新课标)如图,四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为平行四 边形,∠DAB=60° ,AB=2AD,PD⊥底面 ABCD. (Ⅰ)证明:PA⊥BD; (Ⅱ)若 PD=AD,求二面角 A-PB-C 的余弦值。

3、 (北京卷理 16)如图,正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直,CE⊥AC,EF∥AC,AB= 2 ,CE=EF=1. (Ⅰ)求证:AF∥平面 BDE; (Ⅱ)求证:CF⊥平面 BDE; (Ⅲ)求二面角 A-BE-D 的大小。

4、 (山东卷 20)在如图所示的几何体中,四边形 A B C D 是正方形, M A ? 平面 A B C D , P D // M A , E 、 G 、 F 分 别为 M B 、 P B 、 P C 的中点,且 A D ? P D ? 2 M A . (I)求证:平面 E F G ? 平面 P D C ; (II)求点 M 到平面 平面 PBC 的距离。 (Ⅲ)求二面角 A ? PB ? C 的大小。

5、 (09 海南)如图,在三棱锥 P ? A B C 中,⊿ P A B 是等边三角形, ∠PAC=∠PBC=90 ?(Ⅰ)证明:AB⊥PC(Ⅱ)若 P C ? 4 ,且平面 P A C ⊥平面 P B C ,求三棱锥 P ? A B C 体积。

6、 (09 新课标)如图,四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长都是地面边 长的 2 倍,P 为侧棱 SD 上的点。 (Ⅰ)求证:AC⊥SD; (Ⅱ)若 SD⊥平面 PAC,求二面角 P-AC-D 的大小 (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,侧棱 SC 上是否存在一点 E, 使得 BE∥平面 PAC。若 存在,求 SE:EC 的值;若不存在,试说明理由。
w.w.w. k.s.5.u .c.o.m w.w.w. k.s. 5.u.c.o.m

7、 (2011 北京)如图,在四棱锥 P ? A B C D 中, P A ? 平面 A B C D ,底面 A B C D 是菱形, A B ? 2 , ? B A D ? 6 0 . (Ⅰ)求证: B D ? 平面 P A C ; (Ⅱ)若 P A ? A B , 求 P B 与 A C 所成角的余弦值; (Ⅲ)当平面 P B C 与平面 P D C 垂直时,求 P A 的长.

?

A1 8、 (湖南卷理 18)如图 5 所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是棱 DD 1 的中点。 B1 (Ⅰ)求直线 BE 与平面 ABB1A1 所成的角的正弦值; (Ⅱ)在棱 C1D1 上是否存在一点 F,使 B1F//平面 A1BE?证明你的结论。 (提示:向量法) A B 图5 C C1

D1 E D

9、已知四边形 A B C D 是空间四边形, E , F , G , H 分别是边 A B , B C , C D , D A 的中点 (1) 求证:EFGH 是平行四边形 (2) 若 BD= 2 3 ,AC=2,EG=2。求异面直线 AC、BD 所成的角和 EG、BD 所成的角。 A E B F C G

H D

10、如图,已知空间四边形 A B C D 中, B C ? A C , A D ? B D , E 是 A B 的中点。 求证: (1) AB ? 平面 CDE; (2)平面 C D E ? 平面 A B C 。 E A

B

C

D

11、如图,在正方体 A B C D ? A1 B 1 C 1 D 1 中, E 是 A A 1 的中点, 求证: A1 C / / 平面 B D E 。 B1

A
1

D1

C E
1

A

D

B

C

12、已知 ? A B C 中 ? A C B ? 9 0 , S A ? 面 A B C , A D ? S C ,求证: A D ? 面 S B C .
S

?

D

A C

B

13、已知正方体 A B C D ? A1 B 1C 1 D 1 , O 是底 A B C D 对角线的交点. 求证:(1) C1O∥面 A B 1 D 1 ;(2) A1 C ? 面 A B 1 D 1 .
A1

D1 B1

C1

D O A B

C

14、正方体 A B C D ? A ' B ' C ' D ' 中,求证: (1) A C ? 平 面 B ' D ' D B ; (2) B D ' ? 平 面 A C B ' .

15、正方体 ABCD—A1B1C1D1 中. (1)求证:平面 A1BD∥平面 B1D1C; (2)若 E、F 分别是 AA1,CC1 的中点,求证:平面 EB1D1∥平面 FBD A1 E

D1 B1

C1 F

D A

G B

C

16、四面体 A B C D 中, A C ? B D , E , F 分别为 A D , B C 的中点, 且 E F ?
? B D C ? 9 0 ,求证: B D ? 平面 A C D
?

2 2

AC ,

17、如图 P 是 ? A B C 所在平面外一点, P A ? P B , C B ? 平面 P A B , M 是 P C 的中点, N 是 A B 上的点, A N ? 3 N B (1)求证: M N ? A B ; (2)当 ? A P B ? 9 0 , A B ? 2 B C ? 4 时,求 M N 的长。
M
?

P

C

A N

B

C 18、 如图, 在正方体 A B C D ? A1 B 1 C 1 D 1 中,E 、F 、 分别是 A B 、A D 、 1 D 1 的中点.求证: 平面 D 1 E F ∥平面 B D G . G

19、如图,在正方体 A B C D ? A1 B 1 C 1 D 1 中, E 是 A A 1 的中点. (1)求证: A1 C / / 平面 B D E ; (2)求证:平面 A1 A C ? 平面 B D E .

20、已知 A B C D 是矩形, P A ? 平面 A B C D , A B ? 2 , P A ? A D ? 4 , E 为 B C 的中点. (1)求证: D E ? 平面 P A E ; (2)求直线 D P 与平面 P A E 所成的角.

21、如图,在四棱锥 P ? A B C D 中,底面 A B C D 是 ? D A B ? 6 0 且边长为 a 的菱形,侧面 P A D 是等边三角形,且平
0

面 P A D 垂直于底面 A B C D . (1)若 G 为 A D 的中点,求证: B G ? 平面 P A D ; (2)求证: A D ? P B ; (3)求二面角 A ? B C ? P 的大小.

22、如图 1,在正方体 A B C D ? A1 B 1 C 1 D 1 中, M 为 C C 1 的中点,AC 交 BD 于点 O,求证: A1 O ? 平面 MBD.

23、如图2,在三棱锥A-BCD 中,BC=AC,AD=BD, 作 BE⊥CD,E为垂足,作 AH⊥BE 于H. 求证:AH⊥平面 BCD.

24、在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,求证:A1C⊥平面 BC1D
D1 C1

A1

B1

D

C

A

B

25、如图,过 S 引三条长度相等但不共面的线段 SA、SB、SC,且∠ASB=∠ASC=60°,∠BSC=90°,求证:平面 ABC⊥平面 BSC.

26. 将两块三角板按图甲方式拼好,其中 ? B ? ? D ? 9 0 ? , ? A C D ? 3 0 ? , ? A C B 板 A C D 沿 A C 折起,使 D 在平面 A B C 上的射影恰好在 A B 上,如图乙. (1)求证: A D ? 平面 B D C ; (2)求二面角 D ? A C ? B 的大小; (3)求异面直线 A C 与 B D 所成角的大小.

? 45? , AC ? 2

,现将三角

27. 如图,在正三棱柱 ABC

? A1 B 1 C 1 中,各棱长都等于

a,D、E 分别是 AC 1 、 BB 1 的中点,

(1)求证:DE 是异面直线 AC 1 与 BB 1 的公垂线段,并求其长度; (2)求二面角 E
? AC
1

?C

的大小;

(3)求点 C 1 到平面 AEC 的距离.

28. 如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD (1)求二面角 ? 1 ?
EF ? B

? A1 B 1 C 1 D 1 中,E、F

分别为棱 AB 和 BC 的中点,EF 交 BD 于 H.

的正切值;
?

(2)试在棱 B 1 B 上找一点 M,使 D 1 M (3)求点 D 1 到平面 EFB 1 的距离.

平面 EFB 1 ,并证明你的结论;

29. 如图,斜三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面是直角三角形,AC⊥CB,∠ABC=45°,侧面 A1ABB1 是边长为 a 的菱形,且垂直于底面 ABC,∠A1AB=60°,E、F 分别是 AB1、 BC 的中点. (1)求证 EF//平面 A1ACC1; (2)求 EF 与侧面 A1ABB1 所成的角; (3)求三棱锥 A—BCE 的体积.

30. 已知直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,△ABC 为等腰直角三角形,∠BAC=90°,且 AB=AA1,D、E、F 分别 为 B1A、C1C、BC 的中点。 (I)求证:DE∥平面 ABC; (II)求证:B1F⊥平面 AEF; (III)求二面角 B1—AE—F 的大小(用反三角函数表示) 。

31. 在直角梯形 ABCD 中,∠A=∠D=90°,AB<CD,SD⊥平面 ABCD,AB=AD=a, S D=
2a

,在线段 SA 上取一点 E(不含端点)使 EC=AC,截面 CDE 与 SB 交于点 F。

(Ⅰ)求证:四边形 EFCD 为直角梯形; (Ⅱ)求二面角 B-EF-C 的平面角的正切值; (Ⅲ)设 SB 的中点为 M,当
CD AB

的值是多少时,能使△DMC 为直角三角形?请给出证明。
S

E

F M C D

A

B

32. 如图.已知斜三棱柱 ABC- A1 B 1 C 1 的各棱长均为 2,侧棱 BB 1 与底面 ABC 所成角为 垂直于底面 ABC. (1)求证:点 B 1 在平面 ABC 上的射影为 AB 的中点; (2)求二面角 C- AB 1 -B 的大小; (3)判断 B 1 C 与 C 1 A 是否垂直,并证明你的结论.

π 3

,且侧面 ABB

1

A1

33. 如图,以正四棱锥 V-ABCD 底面中心 O 为坐标原点建立空间直角坐标系 O-xyz,其中 Ox∥BC,Oy∥

AB,E 为 VC 中点,正四棱锥底面边长为 2a,高为 h.求 cos( BE , DE ) ;

34. 已知长方体 ABCD- A1 B 1 C 1 D 1 中,棱 AB=BC=3, BB 1 =4,连结 B 1 C ,过 B 点作 B 1 C 的垂线交 CC 1 于 E, 交 B 1 C 于 F. (1)求证: A1 C ⊥平面 EBD; (2)求 ED 与平面 A1 B 1 C 所成角的大小; (3)求二面角 E-BD-C 的大小.

35. 如图,在正方体 ABCD- A1 B 1 C 1 D 1 中,E、F 分别是 BB 1 ,CD 的中点. (1)证明:AD⊥ D 1 F ; (2)求 AE 与 D 1 F 所成的角; (3)证明:面 AED⊥面 A1 FD 1 ; (4)设 AA 1 =2,求三棱锥 F- A 1 ED 1 的体积 V F ? A ED .
1 1

36. 已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 AA1 上一点,平面 B1CE⊥平面 BCE,AB=BC=1,AA1=2。 (1)求平面 B1CE 与平面 B1BE 所成二面角 ? 的大小; (文科只要求求 tan ? ) (2)求点 A 到平面 B1CE 的距离。

37. 已知正三棱柱 ABC—A1B1C1 的底边长为 1,高为 h(h>3),点 M 在侧棱 BB1 上移动,到底面 ABC 的距离 为 x,且 AM 与侧面 BCC1 所成的角为α ; (Ⅰ)若α 在区间 [ (Ⅱ)若 ? 为
?
6

?
6

,

?
4

]

上变化,求 x 的变化范围; 所成的角.

, 求 AM 与 BC

38. 如图所示, 垂直于正方形 ABCD 所在平面, =2, 是 PB 的中点,DP 与 AE 夹角的余弦值为 PD AB E (1)建立适当的空间坐标系,写出点 E 的坐标; (2)在平面 PAD 内求一点 F,使 EF ? 平面 PCB.

3 3



39.如图所示,已知直三棱柱 ABC

? A1 B 1 C 1 中, ? ACB
?

=90o,侧面 AB 1 与侧面 AC 1 所成的二面角为 60°,
? a

M 为 AA 1 上的点, ? A1 MC

1

?

30°, ? CMC

1

90°, AB



(1)求 BM 与侧面 AC 1 所成角的正切值; (2)求顶点 A 到面 BMC 1 的距离.

40. 如 图 , 斜 三 棱 柱 直且∠ BCA=90°,∠ B 30°, (Ⅰ)证明 AC
1

ABC ? A 1 B 1 C 1
BC ? 60
?

,已知侧面
? BB
1

B

B1

BB 1 C 1 C

与底面 ABC 垂
A ? B1 B ? C

, BC

=2,若
C C1 A A1

二面角



? 平面 BB 1 C 1 C



(Ⅱ)求 AB 1 与平面 BB 1 C 1 C 所成角的正切值; (Ⅲ)在平面 AA 1 B 1 B 内找一点 P,使三棱锥 P
? BB 1 C

为正三棱锥,并求 P 到平面 BB 1 C 距离

41. 已知平行六面体 ABCD
ABCD

? A1 B 1 C 1 D 1

的底面为正方形, o 1 , o 分别为上、下底面的中心,且 A 1 在底面

的射影是 o 。
?

(I)求证:平面 o 1 DC

平面 ABCD
? 2 EA 1 ,问点 F

(II)若点 E , F 分别在棱上 AA 1 , BC 上,且 AE (III)若 ? A 1 AB
? 60
?

在何处时, EF

? AD

,求二面角 C

? AA 1 ? B

的大小(用反三角函数表示)


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