当前位置:首页 >> 数学 >>

函数的图像和性质(教师版)


江云教育

我们用智慧播撒爱

我们用爱传递优秀

三角函数的图像与性质 教材:人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学(B 版) 》必修 4 本节课“三角函数的图像和性质”选自实验教材第一章第四节。下面我将从五个方面说明本节课的 教学设计。 1 教学设计思路 2 教材分析 3 学情分析 4 教学目标与重点、难点 5 教学流程 一、教学设计思路:新课程标准倡导积极主动、勇于探索的学习方式,把学习的主动权还给 学生。以此为宗旨,我采用自主学习、合作探究方法,引导学生自主学习、探究学习,努力做到教 法、学法的最优组合,并体现以下几个特点: (1)苏霍姆林斯基说过: “在人的内心深处,都有一种根深蒂固的需要,那就是希望自己是一 个发现者和探索者.”本节课正是抓住学生的这一心理需求,充分利用互动工具,让学生动手实践、 思考探索,合作交流,真正意义上做到尊重学生的创造性,挖掘学生的潜力,让他们对整个学习过 程充满激情,快乐学数学。 (2)注重信息反馈,坚持师生间的多向交流。当学生接触新知—周期性、单调性、值域等性 质时以及利用性质画出图象时, 要引导学生多思、 多说、 多练, 要充分暴露他们所遇到的知识障碍, 并在师生之间的多向交流中,不断的得到解决,使知识深化。 二、教材分析: 地位与作用: 本节课是在学生掌握了单位圆中的正弦函数线和诱导公式的基础上进行的, 不仅 是对前面所学知识应用的考察,也是后续学习正、余弦函数性质的基础。对函数图像清晰而准确的 掌握也为学生在解题实践中提供了有力的工具。 本小节内容是三角函数的图象与性质, 是本章知识 的重点,有着承前启后的作用。 美国华盛顿一所大学有句名言: “我听见了,就忘记了;我看见了,就记住了;我做过了,就理解了.” 要想让学生深刻理解三角函数性质和图像,就应该让学生主动去探索,大胆去实践,亲身体验知识 的发生和发展过程 三、学生情况分析: 知识上,通过高一对函数的学习,学生已经具备了一定的绘图技能,能 够类比推理画出图像,并通过观察图像,总结性质。心理上,具备了一定的分辨能力、语言表达能 力,初步形成了辩证的思维方法。另外学生基础差异较大,在小组中尽量搭配合理,在练习和作业 中注意分层,另外学生对观察正切线得出函数单调性以及利用单位圆中的三角函数线作图有困难, 要加强指导。 四、鉴于以上认识,确定本节课的(一)教学目标为: 1. 知识与技能目标:通过研究掌握正弦函数图像及其画法;掌握余弦函数图像;深刻理解 五点作图法中五点的本质。利用正切函数已有的知识(如定义、诱导公式、正切线等) ,自己或 合作通过绘制正切线的变化研究性质,根据性质探究正切函数的图象。 2. 过程与方法:通过主动思考,主动发现,亲历知识的形成过程,使对正弦函数图像的认 知更为深刻。让学生借助单位圆中的三角函数线能画出 y ? tan x 的图象,借助图象理解正切函数
(?

? ?



, ) 2 2 上的性质(如单调性、周期性、最大值和最小值、图象与 x 轴的交点等) ,并能解决

一些简单问题。 3. 情感态度与价值观:用联系的观点看待问题,善于类比联想,直观想象,对数形结合有 进一步认识,激发学习数学的兴趣,养成良好的数学品质。让学生亲身经历数学研究的过程,体 验探索的乐趣,增强学习数学的兴趣。

每天进步就精彩!

江云教育

我们用智慧播撒爱

我们用爱传递优秀

(二) 、教学重点、难点 1. 教学重点: (1)正弦函数、余弦函数的图像形状 (2)利用正切函数已有的知识(如定义、诱导公式、正切线等)研究性质, (3)根据性质探究正切函数的图象。 2.教学难点: y ? sin x 在 x ??0, 2? ? 时的函数图像。画正切函数的简图,体会与 x 轴的交点以及
x?

?
2

渐近线

? k? , k ? Z

在确定图象形状时所起的关键作用。

五、教学流程 1、课前准备 教师准备:power 课件、多媒体教室计算机正常检查 学生预习: 1、探究与发现中如何利用单位圆中的三角函数线研究正余弦函数的性质的? 2、课本中信息技术应用 教学环节 知识铺垫 问题引入 教学程序 师生活动 问题 1: 初中时, 我们如何得到一个函数的图像? 问答结合 多媒体辅助 问题 2:那么我们用同样的方法能得到 y ? sin x 的函数图像吗? 如果能,这样得到的函数图像是准确的吗? 问题 3:我们可以发现取三角函数值的近似值是 做图不准确的主要原因, 那么通过我们学习过的 哪些知识能准确的找到函数值所对应的位置 呢? y 问题 4: sin x ? 是比值的关 r 系,我们在哪里还学过这样的比例关系呢? 推 导 描 画 1 建立直角坐标系,画单位圆 图象 2 取角作正弦线 3 平移得点 4 描画图象 寻 找 快 速 1 用这种方法作图准确, 但真正画图确较难实现, 作图法 那么有没有什么办法让我们能快速得到正弦函 数的大致图像呢?大家可以联想一下初中我们 是如何画一次函数、二次函数的图像。 2 找关键点 3 五点作图法 4 两种画法的区别 推 导 正 弦 1 利用诱导公式和函数周期性推出时的函数图像 函 数 图 2 利用诱导公式和正弦函数图像得到余弦函数图 象、余弦 像 函数图象 跟踪练习 1 观察正弦、余弦函数图像,写出满足下列条件 创设探究氛 围 诱导启发 探索尝试 自主思考 发现总结 组织交流 设计意图 从原有知识出发, 类 比联想, 引入问题情 景,学生主动参与, 积极思考

通过对问题的探究, 解决问题的尝试亲 历知识的形成过程, 使该过程得到重视, 促进交流、合作

多媒体辅助 教学

学生自主完 熟练图象

每天进步就精彩!

江云教育
提高能力

我们用智慧播撒爱

我们用爱传递优秀

的 x 区间 (1) sin x ? 0 (2) sin x ? 0 (3) cos x ? 0 (4) cos x ? 0 2 画出下列函数的简图

成教师指导 灵活应用 点拨 加深对五点本质的 认识 多媒体辅助

小结

? (1) y ? 2sin x (2) y ? sin( x ? ) 3 ? (3 y ? sin 2 x (4) y ? cos(2 x ? ) 6 知识层面:正弦函数图像、余弦函数图像 能力层面:会画简图、会应用图像

学生小结 教师补充

布置作业 板书设计

书后练习 正弦函数、余弦函数的图象和性质 1 正弦函数图像 练习:1 2 余弦函数图像 2

对本节课所学知识 有一个清晰的认识, 能抓住重点进行课 后复习 学生课下完 巩固课上所学知识 成 培养自主学习能力

教学环节 引入

教学程序

设计意图

师生活动

1、正弦和余弦函数都 让 学 生 回 顾 俗话说条条大路通罗马, 以前我们研究函数都 有哪些性质? 正 弦 和 余 弦 是借助于函数的图象来研究函数的性质; 当然 函数性质 反过来也可借助于函数的性质研究函数的图 象, 本节课就是从一个全新的角度来研究正切 函数的性质与图象。 正切 函 数 2. 类 比 正 弦 和 余 弦 函 启 发 学 生 类 启发学生利用定义、 公式、 正切线等自己或合 性质 数的性质猜想正切函 比 正 弦 和 余 作探究正切函数性质 数应该有哪些性质? 弦 函 数 的 性 指导学生如何应用几何画板中正切线变化观 3. 你能利用正切函数 质 来 猜 想 正 察正切函数性质 已有的知识研究正切 切 函 数 应 该 学生明晰: 函数性质吗? 有哪些性质 1. 正 切 函 数 的 定 义 域 : 定 义 域 为 然后应用几 ? ?? 何 画 板 中 正 ? x x ? k? ? ? 2? ? 切线变化合 作探究正切 2.正切函数的周期性由 tan(x ? ? ) ? tan x , 函数性质 可知正切函数是周期函数,最小正周期: T ?? 3.正切函数的奇偶性: 由 tan(? x) ? ? tan x , 可知正切函数是奇函 数 4.正切函数的单调性

每天进步就精彩!

江云教育

我们用智慧播撒爱

我们用爱传递优秀

(1)给出在 ( ? ? , ? ) 内的一些特殊角,进
2 2

行计算、观察、归纳,猜想。 (2)借助多媒体,动态演示单位圆中的 正切线的变化规律可以得出:正切函数在
(?

? ?

, ) 内是增函数,又由正切函数的周期性 2 2

可 知 : 正 切 函 数 在 开 区 间 ? ? (? ? k? , ? k? ), k ? Z 内都是增函数。
2 2

正切 函 数 4、你能尝试利用正切 让 学 生 根 据 图像 函数性质画出图像 正切函数性 吗? 质理性分析 5、你能尝试按课本 48 试 画 出 正 切 页信息技术应用中利 函数图象,并 用 正 切 线 画 出 根据图像观 y=tanx , x ? (? ? , ? ) 图 察 出 用 三 点 2 2 两线法画简 象吗? 图,让学生利 6、请你观察正切函数 用 现 代 信 息 图象, 你认为哪些点和 技 术 合 作 探 线是关键性的? 究正切函数 7、请你利用正切函数 图 图像再次回顾一下性 质 正切 函 数 8、 已知函数 y=tanx, 巩 固 正 切 函 . 图象 和 性 数的性质和 质应用 图像 ? ? (1) x ? [? , ] , 若 3 4 求 y 的取值范围; ( 2 ) 若
? ? ? ?? ? x ? ?0, ? ? ? , ? ? ,求 ? 2? ?2 ?

教师要重点强调正切函数只有增区间没 有减区间。 5.正切函数的值域 用多媒体展示单位圆中的正切线的变化规律, 得到:正切函数的值域是实数集 R 1、教师针对正切函数的性质明晰其相应 的几何特征。 2、指导同学之间相互合作,自主探究正 切函数图象特征。 3 、 多 媒 体 演 示 演 示 正 切 函 数 ? ? y=tanx , 图象几何作法。
x ? (? , ) 2 2

4、三点两线法画正切函数图象

[?

? ?

1、利用函数在区间

, ] 3 4 上单调递增

? ? ? ?? ? ?0, ? ? ? , ? ? 得到答案. 把 y=tanx 在区间 ? 2 ? ? 2 ? 上 2、

的图像不断向左、 右扩展, 也可得到正切函数
y ? tan x ( x ? R且x ? k? ?

?
2

,k ?Z)





y 的取值范围

像.因此, 有同学说正切函数在一个周期上 递增是错误的. 也可以对照说明, 作正切函数

? ? ?? ?? , ? 图时选择 ? 2 2 ? 的合理性

每天进步就精彩!

江云教育
9 、

我们用智慧播撒爱

我们用爱传递优秀

求 函 数 巩固正切函 分别请三位同学板演, 其余同学在练习本 数 的 性 质 和 上完成评析: ? ? y ? tan( x ? ) 的 定 图像 1.明确解题步骤。 2 3 2.采用类比方法得到正切函数周期的简 义域、周期和单调区 便运算方法 T ? ? ? 间。 小结 本节探究学习了哪些 学 生 交 先由学生思考回答,教师再补充完善 知识有何收获体会? 流在本节课 1、正切函数的性质 学习中的体 2、正切函数图象 会、收获,交 3、本课蕴含着数形结合、类比、归纳、 流 学 习 过 程 猜想等数学思想方法。 中的体验和 感受,师生合 作共同完成 小结.

学习反馈与检测: A 层次

? 1、求函数 y ? tan( x ? ) 的定义域. 4

2、不通过求值,比较下列各组中两个正切函数值的大小:



3、求满足下列条件的 x 的集合: (1)tanx=0 (2)tanx=1

4、求下列函数的单调区间:

? (1) y ? tan(2 x ? ) 3

每天进步就精彩!

江云教育
B 层次 1、求下列函数的定义域

我们用智慧播撒爱

我们用爱传递优秀

? (1)函数 y ? tan(2 x ? ) 3

(2)函数 y=tan(-2x+

? ) 4

2、比较大小:(1) tan( ?

11? 2? ) 与 tan 5 4

3、求满足下列条件的 x 的集合:(1)tanx≤1(2) ?1 ? tan x ? 1(0 ? x ? ? )

4、求下列函数的单调区间函数 y=tan(-2x+ 作业设计: 基础部分 1:比较大小:
(1) tan138? _____tan143? (2) tan 281? _____tan305? 19 23 (3) tan(? ? ) _____tan(? ? ) 7 8

? ) 4

2:指出满足条件的 x 的范围:
(1) tan x ? 0; (2)1 ? tan x ? 0; (3) tan ? 3

?? ? 提高部分:1、求函数 f ( x) ? tan ? 2 x ? ? 的定义域、周期和单调区间 4? ?

2、你还能探索出正切函数还有哪些性质?

每天进步就精彩!

江云教育

我们用智慧播撒爱

我们用爱传递优秀









设 计 意 图

(一)新课引入 实物演示: 让学生观察, 了解日常生活中 “装满细沙的漏斗在做单摆运动时, 沙子落在与单摆运动方向 的实际问题转化为数学问题, 垂直运动的木板上的轨迹” 提高学生对数学学习的兴趣。 思考:1、该曲线是何曲线? 2、你有办法画出该曲线的图象吗?

(二)新课 1、课件演示: “正弦函数图象的几何作图法”

通过课件演示突破利用单位 圆画正弦函数图象这一难点。 2、 教师引导: 培养学生观察能力、分析能 在直角坐标系的 力。 x 轴上任意取一 点 O1, O1 为圆 以 心作单位圆,从 圆 O1 与 x 轴的交 点 A 起把圆 O1 分成 12 等份 (份数宜取 6 的倍数, 份数越多, 画出的图象越精确) , 注意渗透由抽象到具体的思 ? ? 想, 促进学生数学思想方法的 过圆 O1 上的各分点作 x 轴的垂线,可以得到对应于 0、 6 、 3 、 形成, 引导学生确实掌握 “数 形结合”的思想方法。 ?
2 、??、 2? 等角的正弦线,相应地,再把 x 轴上从 0 到 2? 这一

段( 2? ≈6.28)分成 12 等份,把角 x 的正弦线向右平移,使它的 起点与 x 轴上的点 x 重合, 再用光滑的曲线把这些正弦线的终点连 结起来,就得到了函数 y ? sin x , x ? ?0,2? ?的图象,因为终边相同 的 角 有 相 同 的 三 角 函 数 值 , 所 以 函 数 y ? sin x 在

x ? ?2k? ,2(k ? 1)? ? , k ? Z , k ? 0 的图象与函数 y ? sin x , x ? ?0,2? ?
的图象的形状完全一样,只是位置不同,于是只要将它向左、右平 行移动(每 次 2? 个单位长度) ,就可以得到正弦函数 y ? sin x , x ? R 的图象, 即正弦曲线。

每天进步就精彩!

江云教育

我们用智慧播撒爱

我们用爱传递优秀

3、提出问题: 问题一:正弦函 数有哪些主要性质? 提出问题, 培养学生认真观察 4、学生分组讨论交流、相互评价,教师巡视并参与学生的讨 和勇于探索、勤于思考的精 论。 神。 学生通过观察正弦函数图象 的特点, 分组完成了正弦函数 的主要性质的建构。 培养学生 学生合作学习和数学交流的 能力。 只需指出函数的定义域、值 域、 奇偶性和单调性即可, 关 于函数的周期性安排下一个 课时再讲, 函数的单调区间学 生可能说不完整。 根据不同层次的学生的回答, 教师给予不同的评价。 根据终边相同的角有相同的 三角函数值来说明 x 的取值。 关于奇函数,还可以通过 sin(-x)=-sinx 进行补充论 证。 对于函数在它的定义域上都 有:( , )成立,叫做 周期。由( )可知 周期。

5、提问部分小组,教师进行归纳并板书。

性质: (板书) 定义域:R 值 域: ?? 1,1?
x ? 2 k? ?

?
2 , k ? Z 时,函数取最大值 1;





x ? 2 k? ?

?
2 , k ? Z 时,函数取最大值-1。

奇偶性:奇函数 周期性: 2k? ( k ? Z , k ? 0 )是周期,2π 是最小正周期。

? ?? ? ?2k? ? 2 ,2k? ? 2 ? k ? Z ?, 单调性:在区间 ? 上为增函数;在区
? 3? ? ? ?2k? ? 2 ,2k? ? 2 ? k ? Z ?, 间? 上为减函数。

问题二:1、函数 y ? sin x , x ? ?0,2? ? 的图象中起着关键作用 的点是哪些点? 图象中起关键作用的五点, 学 2、几何作图法虽然比较精确,但是不太实用,如何快捷地画 生可能说不全, 应进行耐心引 出正弦函数的图象呢? 导。 五个关键点:

每天进步就精彩!

江云教育

我们用智慧播撒爱

我们用爱传递优秀

? 3? (0,0), ( ,1), (? ,0), ( ,?1), (2? ,0) 2 2
事实上,描出这五个点,函数 y ? sin x , x ? ?0,2? ?的图象的形 状就基本确定了。 今后在精确度要求不太高时, 常常先找出这五个 关键点, 用光滑曲线将它们连结起来即可得到函数的简图, 我们把 这种方法称为“五点作图法” 。 课件演示: “正弦函数图象的五点作图法” 让学生感觉正弦函数的图象 的形状。 “五点作图法”的一般步骤: 列表、描点、连线。 应注意在图中标出关键点的 横、纵坐标。 请二个学生板演

课堂练习:用“五点作图法”画出函数 y ? sin x , x ? ?0,2? ?的 简图。 6、范例:
1 y ? 1? sin x 的定义域; (1)求函数

答案: (1)由 sin x ? 0 得: x ? k? ,
k ?Z .

(2)求使得函数 y ? sin 2 x, x ? R 取得最大值的自变量 x 的集 (2)当 x ? 合,并说出最大值是什么? 7、小结: (1) 正弦函数图象的几何作图法 (2) 正弦函数图象的五点作图法 (3) 正弦函数图象的主要性质

?x

x ? k? ?

?

4 , k ? Z? 时 , y

取最大值 1. 注意换元思想的教学渗透。 提问学生, 由学生小结, 然后 教师重新演示课件, 进行总结 和补充。

8、布置作业: (1)复习正弦函数的图象与主要性质 (2)思考正弦函数的其它性质,如对称性等。 (3)预习余弦函数的图象与性质 (4)书面作业:P57 习题 4.8 的第 1 题的第 13、小题,第 2 作业布置注意分层, 满足不同 题的第 134 小题,第 9 题的 14 小题。 层次学生的需要。 1 sin x ? 2 的 x 的取值范围; (5)选做题:1、求
y ? sin( 2 x ?

?

2、求函数

) 3 的单调递减区间。

每天进步就精彩!

江云教育

我们用智慧播撒爱

我们用爱传递优秀

每天进步就精彩!


相关文章:
函数的图像和性质(教师版)
教学重点: (1)正弦函数、余弦函数的图像形状 (2)利用正切函数已有的知识(如定义、诱导公式、正切线等)研究性质, (3)根据性质探究正切函数的图象。 2.教学难点:...
二次函数图像的性质教师版
二次函数图像的性质教师版_教学反思/汇报_教学研究_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档二次函数图像的性质教师版_教学反思/汇报_教学研究_教育专区。一...
12指、对函数的图像与性质-教师版
12指、对函数的图像与性质-教师版_数学_高中教育_教育专区。教学内容概要高中数学备课组 日期 教师: 上课时间 年级:高三 学生: 主课题:指数函数和对数函数的图像...
余弦函数的图像与性质教师版
余弦函数的图像与性质教师版_高一数学_数学_高中教育_教育专区。§ 6 6.1 6.2 余弦函数的图像与性质 余弦函数的图像 余弦函数的性质 课标解读 1. 会利用诱导...
热点问题1 函数的图象与性质(教师版)
热点问题1 函数的图象与性质(教师版)_数学_高中教育_教育专区。2016高考数学热点深入分析 内部资料 热点问题 1 一、填空题 1.已知 a 为非零常数,函数 f ( x...
三角函数的图像与性质教师版
三角函数的图像与性质教师版_数学_高中教育_教育专区。三角函数的图像与性质 1.函数 f(x)=2sin xcos x 是( ). A.最小正周期为 2 π 的奇函数 B.最小...
第1部分 专题1 第2讲 函数的图象与性质(教师版)
第1部分 专题1 第2讲 函数的图象与性质(教师版)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高三二轮专题复习 第1 部分 专题 1 第 2 讲 函数的图象与性质 限时规范...
函数图象与性质作业(教师版)
函数图象与性质 f(-x)-f(x) 1、设奇函数 f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数,且 f(2)=0,则不等式 ≥0 的解集为 x ( A.[-2,0]∪[2,+∞) C...
一次函数的图像与性质-教师版
一次函数的图像与性质知识点 1:正比例函数的图像特征与性质 正比例函数 y=kx(k≠0)的图像是经过原点(0,0)的一条直线。 K K>0 函数图像 y x y 图像的...
二次函数及其图像和性质(教师版)
二次函数及其图像和性质(教师版)_数学_初中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 二次函数及其图像和性质(教师版)_数学_初中教育_教育专区。【知识...
更多相关标签: