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正方形提高题


5.请阅读,并完成填空与证明: 初二(8)、(9)班数学兴趣小组展示了他们小组探究发现的结果,内容为:

A N

A M
O

D B N

A M O E

M B
O C
图1

B

N

/>C
图2

C

D
图3

(1)图 1 正三角形 ABC 中,在 AB、AC 边上分别取 M、N,使 BM=AN,连接 BN,CM,发 现 BN=CM,∠NOC=60o,请证明上述结论。

(2)图 2 正方形 ABCD 中,在 AB、BC 边上分别取 M、N,使 AM=BN,连接 AN、DM, 那么 AN= ,且∠NOD= 度。

(3) 图 2 正五边形 ABCDE 中,在 AB、BC 边上分别取 M、N,使 AM=BN,连接 AN、EM, 那么 AN= ,且∠NOE= 度。 。

(4)请你大胆猜测在正 n 边形中的结论:

20. 如图, 在边长为 4 的正方形 ABCD 中, P 在 AB 上从 A 向 B 运动, 点 连接 DP 交 AC 于 点Q . (1)试证明:无论点 P 运动到 AB 上何处时,都有 ?ADQ ≌ ?ABQ ; (2)当点 P 在 AB 上运动到什么位置时, ?ADQ 的面积是正方形 ABCD 面积的

1 ; 6

(3) 若点 P 从点 A 运动到点 B , 再继续在 BC 上运动到点 C , 在整个运动过程中, 当点 P 运动到什么位置时, ?ADQ 恰为等腰三角形.

10.已知:如图,正方形 ABCD 中,点 E、M、N 分别在 AB、BC、AD 边上,CE=MN, ∠MCE=35° ,求∠ANM 的度数.

11. 已知: 如图, 是正方形 ABCD 对角线 AC 上一点, AE=AB, E 且 EF⊥AC, BC 于 F. 交 求 证:BF=EC.

6.如图所示,已知正方形 ABCD,延长 CB 至 E,连结 AE,过点 A 作 AF⊥AE?交 DC 于 F. 求证:△ADF≌△ABE.

7.如图所示,正方形 ABCD 的边 CD 在正方形 ECGF 的边 CE 上,连结 BE,DG.?观察猜想 BE 与 DG 之间的大小关系与位置关系,并证明你的猜想的结论.

8.如图所示,正方形 ABCD 对角线交于 O,点 O 是正方形 A′B′C′O?的一个顶点,两个正 方形的边长都是 2,那么正方形 A′B′C′O 绕 O 无论怎样转动时,?求图中两个正方形 重叠部分的面积.

◆拓展创新 9.如图甲所示,正方形 ABCD 对角线 AC,BD 相交于点 O. (1)若 E 为 AC 上一点,过 A 作 AG⊥EB 于 G,AG,BD 交于 F,求证:OE=OF; (2)若点 E 在 AC 延长线上(如图乙所示)AG⊥EB 交 EB 的延长线于 G,AG?延长线交 DB 延长线于 F,其他条件不变,OE=OF 还成立吗?若成立,请给予证明;若不成立,请说明 理由.

3. 如图所示, 顺次延长正方形 ABCD 的各边 AB, CD, 至 E, G, ?且使 BE=CF=DG=AH. BC, DA F, H, 求证:四边形 EFGH 是正方形.

6.已知,如图所示,在△ABC 中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为 D,AN 是△ABC?外角∠CAM 的平 分线,CE⊥AN,垂足为点 E. (1)求证:四边形 ADCE 为矩形; (2)当△ABC 满足什么条件时,四边形 ADCE 是一个正方形?直接写出你的结论,不必证 明.

7.如图所示,有四个动点 P,Q,E,F 分别从正方形 ABCD 的四个顶点出发,沿着 AB,BC, CD,DA 以同样速度向 B,C,D,A 各点移动. (1)试判断四边形 PQEF 是否是正方形,并证明; (2)PE 是否总过某一定点,并说明理由.

6.如图所示,在正方形 ABCD 的边 BC 的延长线上取一点 E,使 CE=?CA,?连接 AE 交 CD 于 F,求∠AFD 的度数.

7.如图所示,点 E,F 在正方形 ABCD 的边 BC,CD 上,AE,BF 相交于点 G,BE=CF, 求证:(1)AE=BF.(2)AE⊥BF.

11. 如图所示, D 是线段 AB 的中点, C 是线段 AB 的垂直平分线上的任意一点, 点 点 DE⊥AC 于 E,DF⊥BC 于 F. (1)求证:CE=CF. (2)当点 C 运动到什么位置时,四边形 CEDF 成为正方形?请说明理由.

15.如图所示,四边形 ABCD 是正方形,M 是 AB 延长线上一点,直角三角尺的一条直角 边经过点 D,且直角顶点 E 在 AB 边上滑动(点 E 不与点 A,B 重合),另一直角边与 ∠CBM 的平分线 BF 相交于点 F. (1)如图(1)所示,当点 E 在 AB 边的中点位置时: ①通过测量 DE,EF 的长度,猜想 DE 与 EF 满足的数量关系是_______. ②连接点 E 与 AD 边的中点 N,猜想 NE 与 BF 满足的数量关系是________. ③请证明你的上述两个猜想. (2)如图(2)所示,当点 E 在 AB 边上的任意位置时,请你在 AD 边上找到一点 N, 使得 NE=BF,进而猜想此时 DE 与 EF 有怎样的数量关系.

18. (绵阳) 在正方形 ABCD 中, P 是 CD 上一动点, 点 连接 PA, 分别过点 B, 作 BE?⊥PA, D DF⊥PA,垂足分别为 E,F,如图(1)所示. (1)请探索 BE,DF,EF 这三条线段长度具有怎样的数量关系,若点 P 在 DC?的延长 线上,如图(2)所示,那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系??若点 P 在 CD 的延长线上呢?如图(3)所示,请分别直接写出结论. (2)请在(1)中的三个结论中选择一个加以证明.

11.如图 2 所示,已知方格纸中是 4 个相同的正方形,则∠1+∠2+∠3=



21、 如图 11, 在正方形 ABCD 中, 是 DC 边上一点, 是 CB 延长线上的一点, DH=BE, H E 且 请判断△AEH 的形状,并说明你的理由。
D H C

A 图 11 E

B

28、 如图 20,将一把三角尺放在边长为 1 的正方形 ABCD 上使它的直角顶点 P 在对角线 AC 上 滑动,直角的一边始终经过点 B,另一边与射线 DC 相交于点 Q,当点 Q 在边 CD 上时, 线段 PQ 与线段 PB 之间有怎样的大小关系?试证明你观察得到的结论.
A P Q B D

图 20 24、如图 16,点 M 是矩形 ABCD 的边 AD 的中点,点 P 是 BC 边上的一动点,PE⊥CM、PF⊥BM, 垂足分别为 E、F ⑴当四边形 PEMF 为矩形时,矩形 ABCD 之长与宽满足什么条件? ⑵在(1)中当点 P 运动到什么位置时,四边形 PEMF 变为正方形?为什么. M
E F B P C

C

A

D

图 16

21、 如图 9, 已知正方形 ABCD 中, 为 CD 边上的一点, 为 BC 延长线上一点, CE=CF。 E F 且 若∠BEC=60°,求∠EFD 的度数。 A D E B

C

F

22、已知:如图,D 是△ABC 的 BC 边上的中点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别是 E、F,

且 BF=CE。 求证:(1)△ABC 是等腰三角形; (2)当∠A=900 时,试判断四边形 AFDE 是怎样的四边形?证明你的判断结论。

A

F

E

B

D

C

24.(10 分)如图 16(1),在正方形 ABCD 中,M 为 AB 的中点,E 为 AB 延长线上一点, MN⊥DM,且交∠CBE 的平分线于点 N. (1)DM 与 MN 相等吗?试说明理由. (2)若将上述条件“M 为 AB 的中点”改为“M 为 AB 上任意一点”,其余条件不变, 如图(2),则 DM 与 MN 相等吗?为什么?

14.(17 分)已知:如图,在正方形 ABCD 中,AC,BD 交于点 O,延长 CB 到点 E,使 BE=BC, 连结 DE 交 AB 于点 F,求证:OF=

1 BE. 2

21.(4 分)在正方形 ABCD 所在的平面内有一点 P,使△ PAB、△ PBC、△ PCD、△ PDA 都是等腰三角形,具有这样性质的点共有多少个?试画图说明.

21.(12 分)如图,△ABC 中,点 O 为 AC 边上的一个动点,过点 O 作直线 MN∥BC,设 MN 交∠BCA 的外角平分线 CF 于点 F,交∠ACB 内角平分线 CE 于 E.

(1)求证:EO=FO; (2)当点 O 运动到何处时,四边形 AECF 是矩形?并证明你的结论; (3)若 AC 边上存在点 O,使四边形 AECF 是正方形,猜想△ABC 的形状并证明你的结论。

A M E B C O F

N

24.(6 分)设四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,?以对角线 AC?为边作第二个正方形 ACEF,再以对角线 AE 为边作第三个正方形 AEGH,如此下去?? (1)记正方形 ABCD 的边长为 a1=1,按上述方法所作的正方形的边长依次为 a2,a3, a4,???an,请求出 a2,a3,a4 的值; (2)根据以上规律写出 an 的表达式.


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