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长春市普通高中2016届高三质量监测数学(理科)


长春市普通高中 2016 届高三质量监测(一) 数学(理科)试题
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. 已知集合 A ? {0, 1, 2} , B ? {z | z ? x ? y, x ? A, y ? A} ,则 B ? A. 2. 复数 A.

?0,1,2,3,4?

B.

?0,1, 2?

C.

?0,2,4?
2

D. ?1, 2?

1+i ( i 是虚数单位)的虚部为 1? i i 1 2i B. C. D.

3.抛物线 y 2 ? ?4x 的准线方程为

x ? ?1 x ?1 y ? ?1 B. y ? 1 C. D. 4. 已知向量 a , b 满足 a + b ? (5, ?10) , a ? b ? (3, 6) ,则 a,b 夹角的余弦值为
A. A.

?

13 13

B.

13 13

C. ?

2 13 13

D.

2 13 13

5.下列说法中正确的是 A.“ f (0) ? 0 ”是“函数 f ( x ) 是奇函数”的充要条件;
2 B. 若 p : ?x0 ? R, x0 ? x0 ?1 ? 0 .则 ?p : ?x ? R, x2 ? x ?1 ? 0 ;

C. 若 p ? q 为假命题,则 p, q 均为假命题; D. “若 ? ?

?
6

,则 sin ? ?

1 ? 1 ”的否命题是“若 ? ? ,则 sin ? ? ”. 2 6 2

? y ≥ 2x ? 2 6. 若实数 x, y 满足 ? ? y ≥ ? x ? 1 ,则 z ? 2 x ? y 的最小值为 ? y ≤ x ?1 ?
A. ?2 B. ?1 C. 1 D. 2

7.执行如图所示的程序框图,输出 s ?
开始

2015 .那么判断框内应填 2016

k ? 1, s ? 0
否 是

s ? s?

1 k ( k ? 1)

输出s 结束

k ? k ?1
A. k ≤ 2015?

B.

k ≤ 2016 ? C. k ≥ 2015?

D. k ≥ 2016 ?

8.在 ?ABC 中, AB ? 2, AC ? 3 , BC 边上的中线 AD ? 2 ,则 ?ABC 的面积为
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A.

6 4

B.

15

C.

3 15 4

D.

3 6 16

9. 已知几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为

A.

4? 6

B.

6 ? 6 C. 2 ? 2 2 ? 6

D. 2 ? 2 3 ? 6

10.已知函数 y ?

x3 ,则其图像为 e| x |

A.

B.

C. 11. 函数 f ( x) ? sin( x ?

D.

?

) cos( x ? ) ,给出下列结论: 6 6

?

① f ( x ) 的最小正周期为

?
?
6 , 0)

② f ( x ) 的一条对称轴为 x ? ④ f (x ? C. 3

?
6

③ f ( x ) 的一个对称中心为 (

?
6

) 是奇函数

其中正确结论的个数是 A. 1 B. 2

D. 4

2 12.设函数 f ( x ) 在 R 上的导函数为 f ?( x ) ,且 2 f ( x) ? xf ?( x) ? x .下面的不等式在 R 上恒成立的是

A. f ( x) ? 0
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B. f ( x) ? 0

C. f ( x) ? x
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D. f ( x) ? x

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (2 x ? ) 的展开式中常数项是___________.
6

1 x

14. 已知随机变量 ? 服从正态分布 N (m,σ 2 ) ,若 P(? ≤ ?3) ? P(? ≥ 4) ,则 m= ________. 15. 已知三棱锥 S ? ABC 中 , SA ? BC ? 13 , SB ? AC ? 5 , SC ? AB ? 10 . 则该三棱锥的外接球 表面积为________. 16.如图,等腰梯形 ABCD 中, AB ? 2DC , 3 AE ? 2EC .一双曲线经过 C , D , E 三点,且以 A , B 为焦 点,则该双曲线离心率是 ________.

??? ?

????

??? ?

??? ?

三、解答题 17.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 2 ,且满足 an?1 ? Sn ? 2n?1 (n ? N? ) . (1)证明数列 ?

? Sn ? 为等差数列; n ? ?2 ?

(2)求 S1 ? S2 ? ? ? Sn . 18.(本小题满分 12 分) 为了调查某高中学生每天的睡眠时间,现随机对 20 名男生和 20 名女生进行问卷调查,结果如下: 女生: 睡眠时间(小时) 人数 男生: 睡眠时间(小时) 人数

? 4,5?
2

?5, 6?
4

?6,7 ?
8

?7,8?
4

?8,9?
2

? 4,5?
1

?5, 6?
5

?6, 7 ?
6

?7,8?
5

?8,9?
3

(1)从这 20 名男生中随机选出 3 人,求恰有一人睡眠时间不足 7 小时的概率; (2)完成下面 2×2 列联表,并回答是否有 90%的把握认为“睡眠时间与性别有关”? 睡眠时间少于 7 小时 男生 女生
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睡眠时间不少于 7 小时

合计

合计

P( K 2 ≥ k ) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
( K2 ?

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

19.(本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA1 ? 平面 ABC , ?BAC ? 90? , AB ? AC ? 2 , AA 1 ? 3.

P 点,若 ?PBC 为等边三角形,求出点 P 的位置; (1)过 BC 的截面交 A 1A 于
(2)在(1)条件下,求平面 PBC 与平面 PB1C1 所成二面角的大小. 20. (本小题满分 12 分) 设点 A , B 的坐标分别为 (?2, 0) , (2, 0) ,直线 AP , BP 相交于点 P ,且它们的斜率之积是 ? (1)求点 P 的轨迹 C 的方程; (2) D , E , F 为曲线 C 上的三个动点 , D 在第一象限 , E , F 关于原点对称 , 且 | DE |?| DF | , 问

1 . 4

?DEF 的面积是否存在最小值?若存在,求出此时 D 点的坐标;若不存在,请说明理由.
21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? ax ?1 . (1)判断函数 f ( x ) 的单调性; (2)若 g ( x) ? ln(ex ?1) ? ln x ,当 x ? (0, ??) 时,不等式 f ( g ( x)) ? f ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围. 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分) 选修 4—1:几何证明选讲. 已知 ?ABC 中, AB ? AC ,以点 B 为圆心,以 BC 为半径的圆分别交 AB , AC 于两 D , E 两点,且 EF 为该圆的直径.

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(1)求证: ?A ? 2?F ; (2)若 AE ?

1 EC ? 1 .求 BC 的长. 2

23. (本小题满分 10 分) 选修 4—4:坐标系与参数方程. 已知曲线 C 的参数方程为 ?

? ? ? x ? 3cos ? ( ? 为参数),直线 l 的极坐标方程为 ? sin(? ? ) ? 2 2 . 4 ? ? y ? sin ?

(1)写出曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程; (2)设点 P 为曲线 C 上的动点,求点 P 到直线 l 距离的最大值. 24.(本小题满分 10 分) 选修 4—5:不等式选讲. 已知函数 f ( x) ?| x ? a | ? | x ? 5 | . (1)若不等式 f ( x) ≥ 3 恒成立,求 a 的取值范围; (2)当 a ? 2 时,求不等式 f ( x) ≥ x2 ? 8x ? 15 的解集.

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长春市普通高中 2016 届高三质量监测(一) 数学(理科)试题参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 简答与提示: 1.A【命题意图】本题考查集合中元素的计算与集合的性质. 【试题解析】A 题意可知,集合 B ? {z | z ? x ? y, x ? A, y ? A} ? {0,1, 2,3, 4} ,故选 A. 2.C【命题意图】本题考查复数的除法运算与复数虚部的概念. 【试题解析】C

1? i (1 ? i)2 2i ? ? ? i ,虚部为 1,故选 C. 1 ? i (1 ? i)(1 ? i) 2

3.D 【命题意图】本题考查抛物线的准线的概念,是对学生的基础知识的直接考查. 【试题解析】D 由题意,抛物线 y 2 ? ?4x 的准线为 x ? 1 ,故选 D. 4.D【命题意图】本题主要对向量的基本运算进行考查.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (a ? b) ? (a ? b) ? ( a ? b) ? ( a ? b) 【试题解析】D a ? ? (1, ?8) ,则 a, b 的夹角余弦 ? (4, ?2) , b ? 2 2 ? ? a ?b 20 2 13 ? ? . 故选 D. ? 值为 cos ? ? ? 13 | a |?| b| 20 ? 65

5.D【命题意图】本题是对逻辑问题的综合考查,全面考查考生对各种逻辑问题的理解. 【试题解析】D 选项 A 中,由奇函数定义可知,“ f (0) ? 0 ”是“函数 f ( x ) 是奇函数”的既不充分也
2 不必要条件;选项 B 中,若 p : ?x0 ? R , x02 ? x0 ? 1 ? 0 ,则 ? p : ?x ? R , x ? x ? 1 ≤ 0 ;选

项 C 中,若 p ? q 为假命题,只能判定 中至少有一个为假命题;选项 D 的说法正确,故选 D. 6.B【命题意图】本题考查线性规划以及目标函数的几何意义等知识. y F(3,4) 【试题解析】B 图为可行域,而目标函数 z ? 2 x ? y 可化为

p, q

y ? 2 x ? z ,即 ?z 为该直线在 y 轴上的截距,当直线过 (0,1) 时, 最大值,此时 z 取得最小值为 ?1 ,故选 B.
1 7.A【命题意图】本题考查程序框图的基本运作过程,同时通过程序框 O 列中的裂项求和进行考查. x 1 【试题解析】A 由程序框图,当 k ? 2015 时,还应该进入循环, k ? 2016 时,不再进入循环,故应填 k ≤ 2015 ,故选 A. 8.C【命题意图】本题主要考查解三角形,以及利用余弦定理搭建三角形中边与角的关系式.

截距取得 图也对数 而 当

【试题解析】C 由题意,设 CD ? BD ? x ,根据余弦定理可得, cos C ? 可得 x ?

10 10 6 且 cos C ? , sin C ? ,故 S? ABC 4 2 4

9 ? x2 ? 4 9 ? 4 x2 ? 4 , ? 2 ?3? x 2 ? 3? 2x 1 3 15 ,故选 C. ? AC ? BC ? sin C ? 2 4

9.B【命题意图】本题主要考查考生对三视图的理解,以及简单几何体表面积的计算. 【试题解析】B 由三视图可知,该几何体是底面为等腰直角三角形,高为 3 的三棱锥,且顶点在底 面上的投影为斜边的中点,据此可求得该几何体的表面积为 6 ? 6 .故选 B. 10.A【命题意图】本题考查对图像特征的理解,以及利用求导等手段发现函数特点的方法.

x3 为奇函数,且 y? |x ?0 ? 0 ,可推出在原点处切线的斜率为 0,故选 A. e| x | 11.B【命题意图】本题考查三角变换公式,以及 y ? A sin(? x ? ? ) 中各个量对函数图像的影响. ? ? 1 ?
【试题解析】A 函数 y ? 【试题解析】B 由题 f ( x) ? sin( x ?

6

) cos( x ? ) ? sin(2 x ? ) ,可知①④正确,故选 B. 6 2 3

12.A【命题意图】本题是利用导数考查抽象函数的特征问题,目的在于考核考生对导数的理解,包括函数 的特征点,以及导数对函数图像的影响等.
2 【试题解析】A 当 x ? 0 时,可得 f ( x) ? 0 ;当 x ? 0 时,将 2 f ( x) ? xf ?( x) ? x 的两侧同时乘以 x

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可得 2 xf ( x) ? x2 f ?( x) ? x3 ,即 [ x2 f ( x)]? ? x3 ? 0 ,则 x 2 f ( x) 在 x ? 0 时单调递增,即

x2 f ( x) ? 02 ? f (0) ? 0 ,所以 f ( x) ? 0 ;当 x ? 0 时,将 2 f ( x) ? xf ?( x) ? x2 的两侧同时乘以 x 可得 2 xf ( x) ? x2 f ?( x) ? x3 ,即 [ x2 f ( x)]? ? x3 ? 0 ,则 x 2 f ( x) 在 x ? 0 时单调递减,即 x2 f ( x) ? 02 ? f (0) ? 0 ,所以 f ( x) ? 0 ,综上可得到 f ( x) ? 0 . 故选 A.
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 简答与提示: 13. ?160 【命题意图】本题考查二项展开式系数问题. 1 3 【试题解析】常数项为 T4 ? C6 (2 x)3 (? )3 ? ?160 . x 1 14. 【命题意图】本题考查正态分布的基本知识,特别是正态分布 N (?, ? 2 ) 中各个量的意义. 2 ?3 ? 4 1 【试题解析】由正态分布的性质可知, m ? ? . 2 2 S 15. 14? 【命题意图】本题考查了球的内接几何体问题,特别涉及到 体,以及长方体的局部几何体的外接球问题. B 解析】由条件,可将三棱锥 S ? ABC 放入如图所示的长方体中,设 高分别为 a, b, c ,有 a2 ? b2 ? SC 2 ? 13,

了长方 【试题 其长宽 以长方 半径为

c2 ? b2 ? SB2 ? 10, a2 ? c2 ? SA2 ? 5 ,得到 a2 ? b2 ? c2 ? 14 ,所
体的体对角线长为 14 ,该长方体的外接球也就是三棱锥的外接球
14 ,从而其表面积为 14? . 2

a A b

C c

16. 7 【命题意图】本题通过平面几何的性质考查双曲线的标准方程以及离心率,对学生的运算求解能力 提出很高要求,是一道较难题.

??? ? 2 ??? ? c x2 y 2 A ( ? c , 0), C ( , y ) AE ? EC ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0) , ,由 , 0 2 3 a 2 b2 ? c2 y0 2 ? ?1 ? y2 c2 ? 4a 2 b 2 2c 2 y0 得 E (? , ,消去 02 ,解得 2 ? 7 ,离心率为 7 . ) ,从而满足 ? 2 2 5 5 b a ? 4c ? 4 y0 ? 1 ? ? 25a 2 25b 2
【试题解析】设双曲线的标准方程为 三、解答题 17.(本小题满分 12 分) 【命题意图】本题考查数列通项公式及其前 n 项和公式的求法,其中涉及错位相减法在数列求和问题 中的应用. 【试题解析】 (1) 证明:由条件可知, Sn?1 ? Sn ? Sn ? 2n?1 ,即 Sn?1 ? 2Sn ? 2n?1 ,

Sn ?1 Sn Sn ? n ? 1 ,所以数列 { n } 是以 1 为首项,1 为公差的等差数列. (6 分) n ?1 2 2 2 Sn ? 1 ? n ? 1 ? n ,即 Sn ? n ? 2n ,令 Tn ? S1 ? S2 ? ?? Sn (2) 由(1)可知, n 2 2 ① Tn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? ?? n ? 2n
整理得

2Tn ???????????1? 22 ?? ? (n ?1) ? 2n ? n ? 2n?1
① ? ②, ?Tn ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? n ? 2
2 n n?1

② (12 分)

,整理得 Tn ? 2 ? (n ?1) ? 2n?1 .

18.(本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查学生对概率知识的理解,以及统计案例的相关知识,同时考查学生的数 据处理能力.
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【试题解析】解:(1) 设所求事件概率为 P ,则 P ? (2) 男生 女生 合计 睡眠少于 7 小时 12 14 26

1 C12 C82 28 ? . 3 C20 95

(6 分)

睡眠不少于 7 小时 8 6 14

合计 20 20 40

20(12 ? 6 ? 14 ? 8)2 40 ? ? 0.440 ? 2.706 20 ? 26 ?14 ? 20 91 所以没有 90% 的把握认为“睡眠时间与性别有关” k?

(12 分)

19.(本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题以三棱柱为载体,考查立体几何的基础知识. 本题通过分层设计,考查了二面角 等知识,考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解析】解: (1)由题意 PC ? PB ? 2 2 ,在三棱柱中,由 AA1 ? 平面 ABC 且

AB ? AC ? 2 可得, PA ? 2 ,故点 P 的位置为 AA1 的三等分点,且靠近 A1 处.
(4 分) (2) 以 A 为坐标原点,CA 方向为 x 轴,AB 方向为 y 轴,AA1 建立如图所示的空间直角坐标系,有
C1 z A1
B1

方向为 z 轴,

P(0,0, 2), B(0, 2,0), C(?2,0,0), B1 (0, 2,3), C1 (?2,0,3) ? 设平面 PB1C1 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) , ? ???? C ? n ?2x ? z ? 0 ? ? PB1 ? 0 有 ? ? ???? ,得 ? , ? A 2 y ? z ? 0 n ? PC ? 0 ? x ? ? 1 ? ?? 令 z ? ?2 ,得 n ? (1,1, ?2) ,同理可得平面 PBC 的一个法向量为 m ? (1,1,1) , ?? ? 可得 m ? n ? 0 ,所以平面 PBC 与平面 PB1C1 所成角为直二面角,大小为 90 ? .

B y

(12 分) 20.(本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题考查椭圆的标准方程的求取,直线和椭圆的位置关系及函数最值的求法,考查学 生的逻辑思维能力和运算求解能力. 【试题解析】(1) 设点 P 的坐标为 ( x, y ) ,由题意可知 k PA ? k PB ? ?

1 y y 1 ? ? ? ,因此点 ,即 4 x ? 2 x ?2 4

P 的轨迹方程为

x2 ? y 2 ? 1 ( x ? ?2) . 4

(5 分)

(2) 由题意知 OD ? EF ,设 EF : y ? kx (k ? 0) , OD : y ? ? 设 E( x1 , y1 ), F (? x1 , ? y1 ), D( x2 , y2 ),

1 x k

? x2 4 1? k 2 ? ? y2 ? 1 2 2 2 由? 4 ,消去 y 得 (1 ? 4k ) x ? 4 ,所以 | EF |? 1 ? k | 2 x1 |? 1 ? 4k 2 ? y ? kx ?
同理可得 x2 ?

2 1? 4 k2

, | OD |? 1 ?

1 ? k2

2 1? 4 k2

?

2 1? k 2 4 ? k2

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所以 S?DEF ?

1 | OD || EF |? 2

4 4? 9 9 ? 2 1? k (1 ? k 2 )2

?

4 1 1 25 ?9( ? )2 ? 2 1? k 2 4



1 1 2 5 2 5 ? ,即 k 2 ? 1, k ? ?1 时, S ?DEF 取最小值,此时 D( , ) . (12 分) 2 1? k 2 5 5

21.(本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识,具体涉及到导数的运算,用导数来研究函数的单调 性等,以及函数图像的判定,考查学生解决问题的综合能力. 【试题解析】解:(1) f ( x) ? e x ? ax ?1 , f ?( x) ? e x ? a , 当 a ≤ 0 时, f ?( x) ? 0 ,则 f ( x ) 在 R 上单调递增; 当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? e x ? a ? 0 ,得 x ? ln a , 则 f ( x ) 在 (??,ln a] 上单调递减,在 (ln a, ??) 上单调递增. (2) 不妨先证明 0 ? g ( x) ? x ( x ? 0) ,即 0 ? ln(e ?1) ? ln x ? x ,
x x 先证 ln(e ?1) ? ln x ? 0 ,即 e ? 1 ? x ,显然成立.
x

(4 分)

x 再证 ln(e ?1) ? ln x ? x ,只需证 e ? 1 ? xe ,
x x

设 h( x) ? xe ? e ? 1,则 h?( x) ? e ? xe ? e ? xe ? 0 , 即 h( x) ? h(0) ? 0 , 0 ? g ( x) ? x 得证.
x x x x x x

由当 a ≤ 0 时,则 f ( x ) 在 R 上单调递增,可知 f ( g ( x)) ? f ( x) , 当 0 ? a ≤ 1 时, ln a ≤ 0 ,又 f ( x ) 在 (ln a, ??) 上单调递增, f ( g ( x)) ? f ( x) , 当 a ? 1 时, f ( x ) 在 (0,ln a) 上单调递减, f ( g ( x)) ? f ( x) 与条件不符. 综上 a ≤ 1 . (12 分)

22. (本小题满分 10 分) 【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明,具体涉及到三角形相似等内容. 本小题重点考查考生 对平面几何推理能力. 【试题解析】 (1) 因为 AC ? AB , 所以 ?ABC ? ?ACB , 又因为 BC ? BE , 所以 ?BEC ? ?ECB , 所以 ?BEC ? ?ABC ,所以 ?A ? ?EBC ? 2?F . (5 分) (2) 由(1)可知 ?ABC ∽ ?BEC ,从而

EC BC ? ,由 AE ? 1, EC ? 2, AC ? 3 ,得 BC ? 6 . BC AC
(10 分)

23.(本小题满分 10 分) 【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识,具体涉及到极坐标方程与平面直角坐 标方程的互化、利用曲线的参数方程的几何意义求解曲线上点到直线的距离等内容. 本小题考查考生 的方程思想与数形结合思想,对运算求解能力有一定要求. 【试题解析】 (1) 曲线 C 的普通方程为 (2) 设点 P 坐标为 ( 3 cos? ,sin ? ) ,

x2 ? y 2 ? 1,直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 4 ? 0 . 3
(5 分)

| 3 cos ? ? sin ? ? 4 | ? ? 2 2 ? 2 sin(? ? ) 3 2 所以点 P 到直线 l 距离的最大值为 3 2 .
点 P 到直线 l 的距离 d ?

(10 分)

24.(本小题满分 10 分) 【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识,具体涉及到绝对值不等式解法等内容. 本小题重点 考查考生的化归与转化思想.
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【试题解析】 (1) 由于 f ( x) ?| x ? a | ? | x ? 5 |?| a ? 5 | ,所以 f ( x) ? 3 ?| a ? 5 |? 3 ,解得 a ? 2 或

a ? 8.

(5 分)

? 7 ? 2 x, x ? 2 ? (2) f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 5 |? ? 3, 2 ? x ? 5 , ? 2 x ? 7, x ? 5 ?
原不等式等价于 ?

x?2 x?5 ? ? ? 2? x?5 ,或 ? ,或 ? 2 2 2 ?7 ? 2 x ? x ? 8 x ? 15 ?2 x ? 7 ? x ? 8 x ? 15 ?3 ? x ? 8x ? 15
(10 分)

解得 2 ? x ? 5 ? 3 ,原不等式解集为 {x | 2 ? x ? 5 ? 3} .

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