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2011年奉贤区高三调研测试数学试卷(文理合卷)附答案


2011 年奉贤区高三调研测试
高三数学试卷(文理合卷) 2010.12.31 一. 填空题 (本大题满分 56 分) 1、已知全集 U ? R ,集合 M ? x x ? 4 ? 0 ,则 CU M =
2

?

?

2、函数 y ? 16 ? 2 的定义域[
x

>3、已知 lim ? ?

? an 2 ? ? n? ? b , a ? b ? ? n ?? 3n ? 1 ? ?
x

4、⊿ABC 的三内角的正弦值的比为 4:5:6,则此三角形的最大角为(用反余弦表示)

?1? 5、 (理)已知函数 f ? x ? ? ? ? ?x ? 1? 的反函数 ?3? (文)已知函数 f ?x ? ? 3 , x ? 1 的反函数
x

6、用数学归纳法证明“ 5 ? 2 能被 3 整除”的第二步中, n ? k ? 1 时,为了使用归纳假
n n

设,应将 5 ? 2 变形为 从而可以用归纳假设去证明。 7、已知{ an }是等差数列, a1 ? 15 , S 3 ? 39 ,则过点 P?2, a 2 ? , Q(4, a4 ) 的直线的方向向量可 以为 8 、 理 ) 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 已 知 圆 x ? y ? 4 上 有 且 仅 有 四 个 点 到 直 线 (
2 2

k ?1

k ?1

12 x ? 5 y ? c ? 0 的距离为 1,则实数 c 的取值范围是_________
?? (文)直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 与圆 x ? y ? 8 相交于 A、B 两点,则?AB
2 2

9、 (理)已知 ? ∈(0, ? ),则直线 x ? y ? tan? ? 1 ? 0 的倾斜角 (用 ? 的代数式表示)

1 2

(文)已知 ? ∈(0, ? ),则直线 x ? tan? ? y ? 1 ? 0 的倾斜角 (用 ? 的代数式表示) 10、执行右边的程序框图,输出的 W= 11、设等比数列 {a n } 的公比 q ? 1 ,若 {a n ? c} 也是等比数列,则 c ? 12、斜率为 1 的直线与椭圆

1 2

则m? 13、若 {an } 是等差数列, m, n, p 是互不相等的正整数,有正确的结论: 是互不相等的正整数,有

x2 y2 ? ? 1 相交于 A, B 两点,AB 的中点 M ?m,1? , 4 3

(m ? n)a p ? (n ? p)am ? ( p ? m)an ? 0 , 类比上述性质, 相应地, 若等比数列 {bn } ,m, n, p

14、 (理)已知点 A(1, 0), B(0,1) 和互不相同的点 P , P2 , P3 ,?, Pn ,?,满足 1

???? ??? ? ??? ? OPn ? an OA ? bn OB (n ? N * ) , O 为坐标原点,其中 {an }、 bn } 分别为等差数列和等比 {

数列, P 是线段 AB 的中点,对于给定的公差不为零的 {an } ,都能找到唯一的一个 {bn } , 1 使得 P , P2 , P3 ,?, Pn ,?,都在一个指数函数(写出函数的解析式)的图像上. 1 ( 文 ) 已 知 点 A(1, 0) ,B (0,1) 互 不 相 同 的 点 P , P2 , P3 , ? , Pn , ? , 满 足 和 1 ???? ??? ? ??? ? * OPn ? an OA ? bn OB (n ? N ) , O 为坐标原点,其中 {an }、 bn } 分别为等差数列和等比 {

数列,若 P 是线段 AB 的中点,设等差数列公差为 d ,等比数列公比为 q ,当 d 与 q 满足条 1 件时,点 P , P2 , P3 ,?, Pn ,?共线 1 二、选择题(每题 5 分,共 20 分) 15、在 ?ABC 中, cos A ? sin A ? cos B ? sin B ”是“ C ? 90 ”的( ) “ (A) .充分非必要条件 (B) .必要非充分条件 (C) .充要条件 (D) .非充分非必要条件 16、车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数,单位为辆/分,上班高峰期某十字
?

路口的车流量由函数 F(t)=50+4sin

t (其中 t ? R 0≤t≤20)给出,F(t)的单位是 2

辆/分,t 的单位是分,则在下列哪个时间段内车流量是增加的 () (A) .[0,5] (B) .[5,10] (C) .[10,15] (D) .[15,20] 17、若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合,则称这两个函数为“同形”函数,给出 下列四个函数: f1 ?x ? ? 2 log 2 x , f 2 ?x ? ? log 2 ?x ? 2? , f 3 ? log 2 x , f 4 ? log 2 ?2 x ?则
2

“同形”函数是(

(A) f 1 ? x ? 与 f 2 ? x ? .



(C) f 2 ? x ? 与 f 4 ? x ? . 18、 (理)设集合 A ? ?( x, y )

(D) f 1 ? x ? 与 f 4 ? x ? .

(B) f 2 ? x ? 与 f 3 ? x ? .

? ?

? y2 ? x 2 ? 1, a ? 1? , B ? ( x, y ) y ? t x , t ? 2a , t ? 1 , 2 a ?

?

?

则 A ? B 的子集的个数是() (A) .4 (B) .3 (C) .2 (D) .1 2 2 x y x (文)设集合 A ? {? x, y ? | ? ? 1} , B ? ( x, y ) y ? a , a ? 0, a ? 1 ,则 A ? B 的子 4 16 集的个数是() (A) .2 (B) .3 (C) .4 (D) .1 三、解答题(13 分+13 分+14 分+16 分+18 分)

?

?

19、已知函数 f ?x ? ?

1? 2x 1? x ? log 2 x 1? x 1? 2 1? 2x ? 2 (6 分) 1? 2x

(1) 、判别函数的奇偶性,说明理由(7 分)(2) ; 、解不等式 f ? x ? ?

20、在△ABC 中,已知角 A 为锐角,且 f ( A) ?

?cos 2 A ? 1?sin A

A A? ? 2? cos2 ? sin 2 ? 2 2? ? (1) 、将 f ? A? 化简成 f ? A? ? M sin?wA ? ? ? ? N 的形式(6 分) ; 7? (2) 、若 A ? B ? ; , f ( A) ? 1, BC ? 2 ,求边 AC 的长.(7 分) 12

?

cos 2 A ? 1 . 2

21、 (理)已知 i, j 是 x,y 轴正方向的单位向量,设 a ? ?x ? 2?i ? y j a = ( x ? 2)i ? yj ,

?

?

?

? b ? ?x ? 2?i ? y j b =,且满足 a ? b ? 2

(1) 、求点 P(x,y)的轨迹 E 的方程.(5 分) (2) 、若直线 l 过点 F2 ?2,0 ? 且法向量为 n ? (t ,1) ,直线与轨迹 E 交于 P、Q 两点.点
?

M ?? 1,0? ,无论直线 l 绕点 F2 怎样转动, MP ? MQ 是否为定值?如果是,求出定值;如果 不是,请说明理由.并求实数 t 的取值范围; 分) (9
(文)已知 F1 ? 3 ,0 , F2

?

? ?

3 ,0 ,点 P 满足 PF 1 ? PF 2 ? 4 ,记点 P 的轨迹为 E,

?

(1) 、求轨迹 E 的方程; 分) (5 (2) 、如果过点 Q(0,m)且方向向量为 c =(1,1) 的直线 l 与点 P 的轨迹交于 A,B 两点,当

OA ? OB ? 0 时,求 ? AOB 的面积。 分) (9

22、数列 ?an ? 的前 n 项和记为 S n ,前 kn 项和记为 S kn n, k ? N

?

*

?,对给定的常数 k ,若

S ( k ?1) n S kn

是与 n 无关的非零常数 t ? f ?k ? ,则称该数列 ?an ? 是“ k 类和科比数列” ...... ,

(理科做以下(1) (3) (2) )

? a ? 1? (1) 、已知 S n ? ? n ; ? , a n ? 0 ,求数列 ?an ? 的通项公式(5 分) ? 2 ? (2) 、证明(1)的数列 ?a n ?是一个 “ k 类和科比数列” 分) ; ...... (4
(3) 、设正数列 ?cn ? 是一个等比数列,首项 c1 ,公比 Q ?Q ? 1? ,若数列 ?lg c n ? 是一个 “ k 类和科比数列” ...... ,探究 c1 与 Q 的关系(7 分)

2

(文科做以下(1) (3) (2) )

4 2 ; a n ? (n ? N * ) ,求数列 ?an ? 的通项公式(6 分) 3 3 c (2) 、在(1)的条件下,数列 a n ? 2 n ,求证数列 ?cn ? 是一个 “1 类和科比数列” 分) ; ....... (4
(1) 、已知 S n ? (3) 、设等差数列 ?bn ? 是一个 “ k 类和科比数列” ...... ,其中首项 b1 ,公差 D ,探究 b1 与 D 的数量关系,并写出相应的常数 t ? f ?k ? (6 分) ;

m ?1 ? , x ? ? ,5? ,其中 m 是不等于零的常数, x ?4 ? (1)(理)写出 h?4 x ? 的定义域(2 分) 、 ; (文) m ? 1 时,直接写出 h ? x ? 的值域(4 分) (2)(文、理)求 h ? x ? 的单调递增区间(理 5 分,文 8 分) 、 ;
23、设 h?x ? ? x ? ( 3 ) 已 知 函 数 f ( x) ( x ? [a , b ], 定 义 : f1 ( x)? m i n f{ t ( ) | ? 、 ? t a )
(x ? [a , b ], x } )
f 2 ( x) ? max{ f (t ) | a ? t ? x} ( x ?[a, b]) .其中,min{ f ( x) | x ? D} 表示函数 f ( x) 在 D 上的最小 值, max{ f (x ) | x ? D} 表示函数 f ( x) 在 D 上的最大值.例如: f ( x) ? cos x , x ? [0, ? ] ,则 f1 ( x) ? cos x, x ? [0,? ] , f 2 ( x) ? 1, x ?[0, ? ]



(理) m ? 1 时, M ? x ? ? 当 设

h?x ? ? h?4 x ? h?x ? ? h?4 x ? ? , 不等式 t ? M1 ?x ? ? M 2 ?x ? ? n 2 2

恒成立,求 t, n 的取值范围(11 分) ;

(文)当 m ? 1 时, h1 ? x ? ? h2 ? x ? ? n 恒成立,求 n 的取值范围(8 分) ;

2011 奉贤区高三数学期末调研考参考答案 2011、1、4
一、填空题(56 分) 1、 x x ? 2或x ? ?2 或?? ?,?2? ? ?2,?? ? ;

?

?

4 ,或 x x ? 4 ; 2、 ?? ?,?

?

?

3、

8 ; 3

4、 arccos ;

1 8

5 、 理 y ? l o g x? x ? 1

7、 ?1,?2? 不唯一, ?a,?2a ? 形式均可以; 9、理

2 5k ? 2 k ? 3 ? 5k ;

?

?

3

? ?

1? ? , 文 y ? l o g x?x ? 3? 3 3?

6、 55 ?2
k

?

k

?? 3 ? 2

k



8、理 ?? 13,13 ? ,文 2 3 ; 10、22; 12、 ?

?
2

? ? ;文 ? ? ?

11、0; 13、 b p
m?n

4 3

? bm

n? p

? bn

p ?m

?1

14、 y ? ( ) 理

1 x 4 ;

14、 ? 文

?d ? 0 ?d ? 0 或? 另一种描述:d ? 0 或 q ? 1 且 d ? 0与q ? 1 ?q ? 1 ?q ? 1

不同时成立 二、选择题(20 分) 15.A □B □ C □ D □ 16.A □ B □C □D □

17.A □B □C □D □18.A □ B □C □D □ 三、解答题

?1 ? 2 x ? 0 ? 19、解: (1)定义域 ?1 ? x (2 分) x ? ?? 1,0? ? ?0,1? (1 分) , (直接写出得 3 分) ?0 ? ?1 ? x ?x 1? x 1? x 1? 2 2x ?1 f ?? x ? ? ? log 2 1? x ? x ? log 2 1? x ? ? f ?x ? (2 分) 1 ? 2?x 2 ?1 所以 f ? x ? 是奇函数(1 分) 1? x 1? x 3 (2) log 2 1? x ? 2, (1 分) , (1 ? 4 , 分)? x ? 或 x ? 1(2 分) 1? x 5 3? ? 最后不等式的解集是 ?? 1,0 ? ? ? 0, ? (2 分) ? 5? 2 2 cos A sin A cos 2 A ? 1 ? 20、解: (1) f ? A? ? (2 分) 2 cos A 2 cos 2 A ? 1 (1 分) ? cos A ? sin A ? 2 1 ? (sin 2 A ? cos 2 A ? 1) (1 分) 2 2 ? 1 ? sin(2 A ? ) ? (2 分) 2 4 2 2 ? 1 ? 2 sin(2 A ? ) ? ? 1,? sin(2 A ? ) ? . (2 分) (2)由 f ( A) ? 1得 2 4 2 4 2 ? 3? ? 7? ? 5? (A,B,C 各 1 分 共 3 分) ?2A ? ? , A ? .又 ? A ? B ? ,? B ? . ? C ? . 4 4 4 12 3 12 BC AC BC sin B 在△ABC 中,由正弦定理得: ? . ? AC ? ? 6 (2 分) sin A sin B sin A

y2 (4 ? 1( x ? 1) , 分+1 分定义域) 3 (2)设直线 l 的方程为 t ( x ? 2) ? y ? 0 或 y ? ?t ?x ? 2? (1 分) ? y ? ?t ( x ? 2) ? 2 2 2 2 由 ? 2 y2 得 (t ? 3) x ? 4t x ? 4t ? 3 ? 0 (1 分) x ? ?1 ? 3 ? 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 )
21、 (理)解: (1)方程为 x ?
2

? t2 ?3 ? 0 ? 4 2 2 2 ?? ? 16t ? 4(t ? 3)( 4t ?23) ? 36 ? 36t ? 0 4t 由条件得 ? (只计算 ? ? 36 ? 36t 2 ? 0 1 分) ? x1 ? x 2 ? 2 ?0 t ?3 ? ? 4t 2 ? 3 x1 x 2 ? 2 ?0 ? t ?3 ?
解得 t 2 ? 3 即 t ? (??,? 3 ) ? ( 3,??) (1 分)

? x1 x2 ? x1 ? x2 ? 1 ? t 2 ?x1 ? 2??x2 ? 2? (1 分) ? (t 2 ? 1) x1 x 2 ? (2t 2 ? 1)( x1 ? x 2 ) ? 1 ? 4t 2 (1 分)

MP? MQ ? ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) ? y1 y 2 (1 分)

?

?

4t 4 ? 7t 2 ? 3 8t 4 ? 4t 2 ? 2 ? 1 ? 4t 2 =0(2 分) 2 t ?3 t ?3 2 2 (文)解:(1)点 P 的轨迹方程为 x ? y ? 1 (4 分) 4
= 说明只出现

?x ? 3?

2

? y2 ?

?x ? 3?

2

? y 2 ? 4 (1 分)

只出现点 P 的轨迹是以( 3 ,0),(- 3 ,0)为焦点的椭圆(2 分) (2) 依题意直线 AB 的方程为 y=x+m.(1 分) 设 A( x1 , y1 ),B( x 2 , y 2 ) 代入椭圆方程,得 5x 2 ? 8mx ? 4m 2 ? 4 ? 0 , 分) (1

? ? 64 m 2 ? 20 4m 2 ? 4 ? 0, ?m 2 ? 5 (1 分)

?

?

4m ? 4 m2 ? 4 2 x1 x 2 ? , y1 y 2 ? ?x1 ? m ??x 2 ? m ? ? x1 x 2 ? m?x1 ? x 2 ? ? m ? ( 1+1=2 5 5
2

分)

5m 2 ? 8 8 2 10 x1 x 2 ? y1 y 2 ? ? 0, m 2 ? , m ? ? (1 分) 5 5 5

因 此

AB ? 1 ? 1 x1 ? x 2 ? 2

?x1 ? x2 ?2 ? 4 x1 x2

?

2 4 2 80 ? 16 m 2 ? 5 ? m2 5 5

=

4 170 (1 分) 25 m 2 5 d O ? AB ? = (1 分) 5 2

S ?AOB ?

2 136 1 2 (1 分) AB ? d ? (5 ? m 2 )m 2 = 25 2 5

?a ? 1? ? ?a n ? 1? 4 22、理科(1) 作差得 a n ?1 ? n ?1 2 4 ?a ? 1? Sn ? n 4 2 2 化简整理 2a n ?1 ? 2a n ? a n ?1 ? a n ,? a n ?1 ? a n ? 2
2

S n ?1 ?

?a n?1 ? 1?2

2

1分

所以 ?a n ?成等差数列 计算 a1 ? 1

2分 1分 1分 1分

a n ? 2n ? 1
2 2 (2)计算 S ?k ?1?n ? ?k ? 1? n ; S kn ? k n ;所以
2 2

S ( k ?1) n S kn

所以数列 ?a n ?是一个 “ k 类和科比数列” ...... (3) lg c n ?1 ? lg c n ? lg

? k ?1? ?? ? 与 n 无关的常数 ? k ?
4分

2

所以 ?lg c n ? 是一个等差数列,首项 lg c1 ,公差 lg Q

c n ?1 ? lg Q 是一个常数, cn

n?n ? 1? ? lg Q 2 kn?kn ? 1? 1分 S kn ? knlg c1 ? ? lg Q 2 (k ? 1)n?(k ? 1)n ? 1? 1分 S ( k ?1) n ? (k ? 1)n lg c1 ? ? lg Q 2 (k ? 1)n ? ?(k ? 1)n ? 1? ? lg Q S ( k ?1) n (k ? 1)n ? lg c1 ? 2 ? ? t 对一切 n ? N * 恒成立 kn?kn ? 1? S kn kn ? lg c1 ? ? lg Q 2 2 2 化简整理 ?k ? 1? ? k t ? lg Q ? n ? ??k ? 1? ? kt??2 lg c1 ? lg Q ? ? 0 对一切 n ? N * 恒成立 , S n ? n lg c1 ?
所以 ?

1分

??k ? 1?2 ? k t2 ? 0 ?2 lg c1 ? lg Q ? 0
2

?

?

3分 1分

? Q ? c1

4 2 ? ?S n ? 3 a n ? 3 ? 22、文(1)解:联立: ? ?S ? 4 a ? 2 ?n ? 2 ? ? n ?1 3 n ?1 3 ? 4 4 ? a n ? a n ?1 ? a n 3 3 a ? n ? 4?n ? 2 ? 1分 a n ?1 所以 a n 是等比数列, 4 2 1分 a1 ? a1 ? , a1 ? 2 3 3

2分

1分

a n ? 2.4 n ?1 ? 2 2 n ?1

1分
2

(2) a n ? 2n ? 1 前 n 项的和 S n ? n 1 分

S 2 n ? 4n 2 1 分

S 2n ? 41 分 Sn 所以数列 ?a n ?是一个 “1 类和科比数列” .......
(3)对任意一个等差数列数列 ?bn ? ,首项 b1 ,公差 D

1分

S kn ? knb ? 1 S ( k ?1) n

S ( k ?1) n S kn
1分

kn?kn ? 1? D 1分 2 (k ? 1)n?(k ? 1)n ? 1? ? (k ? 1)nb1 ? D1 分 2 (k ? 1)?(k ? 1)n ? 1? (k ? 1)b1 ? D 2 ? ?t 对 k ?kn ? 1? kb1 ? D 2





n? N*







2?k ? 1?b1 ? ?k ? 1??(k ? 1)n ? 1? ? 2ktb ? k ?kn ? 1?Dt 对一切 n ? N * 恒成立 1 ?k ? 1 ? kt??2b1 ? D? ? n ? D?k 2t ? (k ? 1)2 ? 对一切 n ? N * 恒成立 ??k 2 t ? (k ? 1) 2 ?D ? 0 所以 ? 2分 ??k ? 1 ? k t??2b1 ? D ? ? 0
D ? 2B1 1 分
所 2分 23、理 以

? k ?1? t ?? ? ? k ?

2

? 1 5? 2分 ? ? 1 ?1 ? ?1 ? (2) m ? 0 时, h ? x ? 在 ? ,5? 递增; 0 ? m ? 、 时, h ? x ? 在 ? ,5? 递增 16 ?4 ? ?4 ? 1 ? m ? 25 时, h ? x ? 在 m ,5 递增 16
(1) ? 4 x ? ? ,5?,? x ? ? , ? 、 4 16 4

?1 ? ? ?

?

?

(对 1 个 2 分,2 个 3 分,3 个 5 分

3 1 ? 4x 2 4x ?1 1 ? 所以, h?x ? ? h?4 x ? x ? ? , ? ?4 2 ? ?1 ? h?x ? ? h?4 x ? x ? ? ? ?2? ? 1 5? h?x ? ? h?4 x ? x ? ? , ? ? 2 4?
(3) 、由题知: h? x ? ? h?4 x ? ?

?

?
1分 1分 1分

1分

?h? x ?, h? x ? ? h?4 x ? M ?x ? ? ? ?h?4 x ?, h? x ? ? h?4 x ? ? 1 ?1 1 ? ?x ? x , x ? ? 4 , 2 ? ? ? ? M ?x ? ? ? ?4 x ? 1 , x ? ? 1 , 5 ? ?2 4? ? 4x ? ? ?
? 1 ?1 1? x?? , ? ?x ? x , ? ?4 2? M 1 ?x ? ? ? ?5 , x ? ?1 , 5? ?2 4? ?2 ? ? ? ?17 ?1 ? x ? ? ,1? ?4 , ? ?4 ? M 2 ?x ? ? ? ?4 x ? 1 , x ? ?1, 5 ? ? 4? ? 4x ? ? ?
? 1 17 ?1 1? x?? , ? ?x ? x ? 4 , ?4 2? ? ? 7 ?1 ? M 1 ? M 2 ? ?? , x ? ? ,1? ?2 ? ? 4 ?5 ? 1 ? ? 5? ? ? ? 4 x ? ?, x ? ?1, ? 2 ? 4x ? ? 4? ?

1分

1分

1分

1分

? 21 ? M 1 ?x ? ? M 2 ?x ? ? ?? ,0? ? 10 ? 21 ? n ? 0, t ? ? 10
23、 (文) (1) h? x ? ? ?2, 、

1分 2分

? 26 ? ? ? 5?

4分 2分 2分 2分

?1 ? ? ? 1 ?1 ? 0 ? m ? 时, h ? x ? 在 ? ,5? 递增 16 ?4 ? 1 ? m ? 25 时, h ? x ? 在 m ,5 递增 16 ? 1 ?1 ? ? x ? , x ? ? ,1? (3) h1 ? x ? ? ? x ?4 ? 2 分 ?2, x ? ?1,5? ?
(2) m ? 0 时, h ? x ? 在 ? ,5? 递增 、 4

?

?

?17 ?1 ? ? 4 , x ? ? 4 ,4? ? ? ? 2分 h2 ? x ? ? ? ? x ? 1 , x ? ?4,5? ? x ?

? 1 17 ?1 ? ? x ? x ? 4 , x ? ? 4 ,1? ? ? ? 1分 ? 9 h1 ? x ? ? h2 ? x ? ? ?? , x ? ?1,4? ? 4 1 ? ?2 ? x ? x x ? ?4,5? ?

? 16 ? h1 ?x ? ? h2 ?x ? ? ?0, ? 2 分 ? 5? 16 所以 n ? 5

1分


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