当前位置:首页 >> 数学 >>

倒数第7天 数列、不等式、推理与证明


倒数第 7 天 数列、不等式、推理与证明
[保温特训]
(时间:45 分钟)
1.设 0<a<b,则下列不等式中正确的是 a+b A.a<b< ab< 2 a+b C.a< ab<b< 2 a+b B.a< ab< 2 <b a+b D. ab<a< 2 <b ( )



a+b 解析 (特值法):取 a=2,b=8,则 ab=4, 2 =5, a+b ∴a< ab< 2 <b. 答案 B 2.若 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,且 S8-S3=10,则 S11 的值为 A.12 B.18 C.22 D.44 11(a1+a11) 2 ( ).

解析 S8-S3=a4+a5+a6+a7+a8=5a6=10,∴a6=2,∴S11= =11a6=22. 答案 C

3.在等比数列{an}中,a3=6,前 3 项和 S3=18,则公比 q 的值为 A.1 1 C.1,或-2 1 B.-2 1 D.-1,或-2

(

).

6 6 解析 依题意知:S3=a1+a2+a3=q2+q+6=18,即 2q2+q-1=0,解得 q 1 =1,或 q=-2. 答案 C

?x≥-1, 4.若变量 x,y 满足约束条件?y≥x, 则 z=2x+y 的最大值为 ?3x+2y≤5,
A.1 B.2 C.3 D.4

(

).

解析 作出满足约束条件的可行域如图所示. 将目标函数 z=2x+y 化为 y=-2x+z,平移直线 y=-2x,经过点 A 时,z 取得最大. ?y=x, 由? 得 A(1,1). ?3x+2y=5, ∴zmax=2×1+1=3. 答案 C 5.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,Sn=2an+1,则 Sn= A.2n-1 ?3?n-1 B.?2? ? ? ?2?n-1 C.?3? ? ? D. 1 2
n-1

(

).

Sn+1 3 解析 Sn=2an+1=2(Sn+1-Sn), 整理得 2Sn+1=3Sn, 即 S =2, 又 a1=S1=2a2, n 3 1 1 3 S2 2a3 4 3 解得 a2=2,S2=a1+a2=1+2=2a3,a3=4,所以S =2a =1=2,所以 Sn= 1 2 2 ?3?n-1 ?2? . ? ? 答案 B 6.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=9,S6=36,则 a7+a8+a9=( A.63 B.45 C.36 D.27 ).

?S3=3a1+3d=9, ? 解析 设公差为 d,则? 解得 a1=1,d=2,则 a7+a8+ 6×5 S6=6a1+ 2 d=36, ? ? a9=3a8=3(a1+7d)=45. 答案 B 2 1 m 7.已知 a>0,b>0,若不等式a+b≥ 恒成立,则 m 的最大值为 2a+b A.10 B.9 C.8 D.7 ( ).

2b 2a 2b 2a ?2 1? 解析 ∵a>0,b>0,∴2a+b>0,∴m≤?a+b?(2a+b)=5+ a + b ,而 a + b ? ? ≥4(当且仅当 a=b 时取等号),∴m≤9. 答案 B

8.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 8a2+a5=0,则下列式子中数值不能确 定的是 a5 A.a 3 S5 B.S
3

( an+1 C. a n Sn+1 D. S n
3

).

a5 S5 解析 由 8a2+a5=0,得 8a2+a2q3=0,∵a2≠0,∴q=-2,∴a =q2=4;S
3

1-q5 11 an+1 Sn+1 1-qn+1 = = ; a =q=-2; S = ,其值与 n 有关. 1-q3 3 1-qn n n 答案 D

?x+2y-3≤0, 9.已知变量 x,y 满足条件?x+3y-3≥0,若目标函数 z=ax+y(其中 a>0)仅在 ?y-1≤0,
点(3,0)处取得最大值,则 a 的取值范围是 1? ? A.?-∞,-2? ? ? 1? ? C.?0,2? ? ? ? 1 ? B.?-2,0? ? ? ?1 ? D.?2,+∞? ? ? ( ).

解析 画出 x,y 满足条件的可行域如图所 示,要使目标函数 z=ax+y 仅在点(3,0) 处取得最大值,则直线 y=-ax+z 的斜率 应小于直线 x+2y-3=0 的斜率,即-a< 1 1 -2,∴a>2. 答案 D 10.将正整数排成下表: 1 2 5 3 4 6 7 8 12 9 13 14 15 16

10 11 ??

则数表中的数字 2 014 出现在 A.第 44 行第 78 列 C.第 44 行第 77 列 B.第 45 行第 78 列 D.第 45 行第 77 列

(

).

解析 第 n 行有 2n-1 个数字,前 n 行的数字个数为 1+3+5+?+(2n-1) =n2,∵442=1 936,452=2 025,且 1 936<2 014,2 025>2 014,∴2 014 在 第 45 行,又 2 025-2 014=11,且第 45 行有 2×45-1=89 个数字, ∴2 014 在第 89-11=78 列. 答案 B 11.已知等差数列{an}的公差 d≠0,它的第 1,5,17 项顺次成等比数列,则这 个等比数列的公比是________.
2 解析 依题意知 a5 =a1·a17,即 a2 (a5+12d),∴8a5d-48d2=0, 5=(a5-4d)·

a5 ∵d≠0,∴a5=6d,∴q=a =
1

a5 6d = =3. a5-4d 6d-4d

答案 3

?x+y≥2, 12.若实数 x,y 满足不等式组?2x-y≤4,则 2x+3y 的最小值是________. ?x-y≥0,
解析 如图所示,当直线 2x+3y=0 平行移 动经过点 A(2,0)时,2x+3y 取得最小值, 最小值为 2×2+3×0=4. 答案 4 13.观察下列等式: 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 ?? 照此规律,第 n 个等式为________. 答案 n+(n+1)+(n+2)+?+(3n-2)=(2n-1)2 1 14.若 f(x)=- 2 x2 +bln(x+2)在(- 1 ,+∞)上是减函数,则 b 的取值范围是 ________. 解析 依题意知:f′(x)=-x+ b ≤0,在(-1,+∞)上恒成立,即 b≤x2+ x+2

2x,令 g(x)=x2+2x,在(-1,+∞)上 g(x)>-1,所以 b≤-1. 答案 (-∞,-1] 15.数列{an}的前 n 项和记为 Sn,a1=t,点(Sn,an+1)在直线 y=2x+1 上,n∈ N*. (1)当实数 t 为何值时,数列{an}是等比数列?
? ? 1 ? ? (2)在(1)的结论下,设 bn=log3an+1,Tn 是数列?b ·b ?的前 n 项和,求 T2 013 ? n ? n+1? ?

的值. 解 (1)由题意得 an+1=2Sn+1,an=2Sn-1+1(n≥2),两式相减得 an+1-an= 2an,即 an+1=3an(n≥2),所以当 n≥2 时,数列{an}是等比数列,要使 n≥1 a2 2t+1 时,数列{an}是等比数列,只需a = t =3,从而 t=1.
1

(2)由(1)得:an=3n-1,bn=log3an+1=n. 1 1 1 1 = =n- bn·bn+1 n(n+1) n+1 T2
013



1? 1 1 1 ? ?1 1? + +?+ = ?1-2? + ?2-3? + ? + ? ? ? ? b1·b2 b2·b3 b2 013·b2 014

1 ? ? 1 1 ? 1 2 013 ? 1 ?2 012-2 013?+?2 013-2 014?=1- = 2 014 2 014. ? ? ? ?

[知识排查]
1.等差数列中的重要性质,若 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq;等比数列中的 重要性质:若 m+n=p+q,则 aman=ap·aq. 2.已知数列的前 n 项和 Sn 求 an 时,易忽视 n=1 的情况,直接用 Sn-Sn-1 表示 ?S1,n=1, an;应注意 an,Sn 的关系中是分段的,即 an=? ?Sn-Sn-1,n≥2. 3.易忽视等比数列的性质,导致增解、漏解现象,如忽视等比数列的奇数项或 偶数项符号相同而造成增解;在等比数列求和问题中忽视公比为 1 的情况导 -q ) a1-anq ?a1(11- = ,q≠1, q 1-q 致漏解,在等比数列中,Sn=? ?na1,q=1. 4.数列求通项有几种常用方法?数列求和有几种常用的方法? 5.用基本不等式求最值(或值域)时,易忽略验证“一正二定三相等”这一条件.
n

6. 两个不等式相乘时, 必须注意同向同正时才能相乘, 同时要注意“同号可倒”, 1 1 1 1 即 a>b>0?a<b;a<b<0?a>b. 7.在解含参数的不等式时,怎样进行讨论?(特别是指数和对数的底数)讨论完 之后,要写出:综上所述,原不等式的解是??. 1 1 1 1 1 1 1 8.常用放缩技巧:n- = <n2< = -n. n+1 n(n+1) n(n-1) n-1 9. 求解线性规划问题时, 不能准确把握目标函数的几何意义导致错解, 如 y-2 是 x+2

指已知区域内的点与点(-2,2)连线的斜率,而(x-1)2+(y-1)2 是指已知区 域内的点到点(1,1)的距离的平方等. 10.解决不等式恒成立问题的常规求法是:借助相应函数的单调性求解,其中的 主要技巧有数形结合法、变量分离法、主元法,通过最值产生结论.应注意 恒成立与存在性问题的区别,如对?x∈[a,b],都有 f(x)≤g(x)成立,即 f(x) -g(x)≤0 的恒成立问题,但对?x∈[a,b],使 f(x)≤g(x)成立,则为存在性问 题,即 f(x)min≤g(x)max,应特别注意两函数中的最大值与最小值的关系.


相关文章:
倒数第7天
倒数第 7 天 数列不等式推理与证明 [保温特训] (时间:45 分钟) 1.设 0<a<b,则下列不等式中正确的是 ( a+b A.a<b< ab< 2 a+b C.a< ab...
数列、不等式、推理与证明
数列不等式推理与证明 asdasd隐藏>> 2012 年数学一轮复习精品试题第六、七模块 数列不等式、推 年数学一轮复习精品试题第六、 数列不等式、 理与证明...
第七章 不等式、推理与证明
阶段性测试题七(不等式推理与证明) 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题...n? n∈N+,则数列{an}的前 n 项和是( n A. n+1 n+1 C. 2n+4 [...
...:第七章不等式、推理与证明(含答案精析) .
2014到2016年高考文科汇编专题:第七不等式推理与证明(含答案精析) ._高三...· 广州模拟)若数列{an}是等差数列, 则数列{bn}(bn= a1+a2+…+an )也...
2016届二轮 数列 不等式、推理与证明 专题测试卷(全国...
2016届二轮 数列 不等式推理与证明 专题测试卷(全国通用)_学科竞赛_高中教育...1 7.[2016· 辽宁五校联考]抛物线 x2=2y 在第一象限内图象上一点 (ai,2...
第六章 不等式与推理证明
第六章 不等式与推理证明_军事/政治_人文社科_专业...方向不变.(×) (3)一个非零实数越大,则其倒数...a0 的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞),则方程 ax...
第六章:不等式、推理与证明
第六章:不等式推理与证明_军事/政治_人文社科_...左边为项数个连续自然数平方的倒数和,右边为项数的...·T20)已知{an}是由非负整数组成的无穷数列,该...
第六章__不等式、推理与证明
第六章__不等式推理与证明_数学_高中教育_教育...的大小关系是___. b a a b 7 1 1? a-b ...数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透,自然地...
...考前体系通关训练:倒数第7天《数列、不等式》
创新设计2014高三数学三轮复习-考前体系通关训练:倒数第7天数列不等式》_高三数学_数学_高中教育_教育专区。考前体系通关训练 倒数第 7 天 数列不等式 [...
专题七 数列、推理与证明
专题七【真题感悟】 数列推理与证明 2013.3 1....②倒数法:数列有形如 f ( a n , a n ? 1 ...【考点】等差数列和等比数列的基本性质,基本不等式,...
更多相关标签: