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2013年省第一次统测理科数学质量分析报告


2013 年云南省第一次高中毕业生复习统一检测 理科数学质量分析报告
一、抽样统计分析
1.抽样全卷基本情况
样本数 1072 满分值 150 平均分 74.28 难度 0.5 标准差 23.2 及格 人数 301 及格率 28.08 最高分 139

2.抽样分数段
分数段 人数 合计 分数段 人数 合计 90~99

138 100~109 106 0~49 164 50~59 111 60~69 165 771 110~119 39 301 120~129 15 130~139 3 140~150 0 70~79 177 80~89 154 1072 抽样总数

2013 年云南省第一次统测理科数学质量分析报告第 1 页( 共 25 页)

3.各小题抽样情况 (1)选择题
正 题 满 分值 确 选 项 A 人 数 A 比 例% B 人 数 B 比 例% C 人 数 C 比 例% D 人 数 D 比 例% 未 (多) 选人数 未 (多) 选 例% 比



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

C B D A D C A C B B C A

155 13 24 450 85 240 517 9 26 94 118 352

14.46 1.21 2.24 41.98 7.93 22.39 48.23 0.84 2.43 8.77 11.01 32.84

143 1026 36 196 109 100 196 41 911 630 73 293

13.34 95.71 3.36 18.28 10.17 9.33 18.28 3.82 84.98 58.77 6.81 27.33

725 10 85 163 86 481 178 982 85 152 795 198

67.63 0.93 7.93 15.21 8.02 44.87 16.6 91.6 7.93 14.18 74.16 18.47

32 7 906 243 776 235 160 23 34 178 69 208

2.99 0.65 84.51 22.67 72.39 21.92 14.93 2.15 3.17 16.6 6.44 19.4 满分 人数 725 1026 906 450 776 481 517 982 911 630 795 352

17 16 21 20 16 16 21 17 16 18 17 21

1.59 1.49 1.96 1.87 1.49 1.49 1.96 1.59 1.49 1.68 1.59 1.96

题 号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

满分值 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

平均分 3.38 4.79 4.23 2.1 3.62 2.24 2.41 4.58 4.25 2.94 3.71 1.64

难度 0.68 0.96 0.85 0.42 0.72 0.45 0.48 0.92 0.85 0.59 0.74 0.33

区分度 0.46 0.3 0.4 0.47 0.48 0.53 0.31 0.35 0.29 0.53 0.48 0.4

标准差 2.34 0.99 1.8 2.47 2.23 2.49 2.5 1.39 1.78 2.46 2.19 2.35

满分率 67.63 95.71 84.51 41.98 72.39 44.87 48.23 91.6 84.98 58.77 74.16 32.84

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题 号

满 分 值

平 均 分



区 分

标 准 差

及 格 人 数

及 格 率

满 分 人 数

满 分 率

最 高 分





选 择 题

60

39.88

0.66

0.86

12.45

664

61.94

44

4.1

60

(2)填空题
题 满 分 号 值 平 均 分 度 难 区 分 度 标 准 差 及 格 人 数 13 14 15 16
填 空 题

及 格 率

满 分 人 数

满 分 率

最 高 分

5 5 5 5

3.37 4.49 0.06 0.94

0.67 0.9 0.01 0.19

0.37 0.28 0.04 0.46

2.34 1.52 0.53 1.96

722 963 12 202

67.35 89.83 1.12 18.84

722 963 12 202

67.35 89.83 1.12 18.84

5 5 5 5

20

8.86

0.44

0.57

3.85

162

15.11

4

0.37

20

(3)解答题
题 满 分 号 值 平 均 分 度 难 区 分 度 标 准 差 及 格 人 数 17 18 19 20 21 22 12 12 12 12 12 10 4.64 3.82 7.26 3.72 1.7 0.39 0.32 0.61 0.31 0.14 0.56 0.59 0.63 0.55 0.56 2.37 4.08 4 1.98 2.14 100 259 443 22 33 9.33 24.16 41.32 2.05 3.08 及 格 率 满 分 人 数 18 69 322 9 8 1.68 6.44 30.04 0.84 0.75 12 12 12 12 12 满 分 率 最 高 分

4.83

0.48

15

31.25

9

18.75

10

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23 24
解 答 题

10 10 70

4.85 4.93
25.54

0.49 0.49
0.36 0.87 11.82

107 129
91

18.42 38.05
8.49

72 42
1

12.39 12.39
0.09

10 10
70

(4)第 II 卷 题 号 满 分 值 第 II 卷 90 34.39 0.38 0.89 13.94 91 8.49 0 0 85 平 均 分 难 度 区 分 度 标 准 差 及格 人数 及 格 率 满分 人数 满 分 率 最 高 分

二、各题质量分析
第 1 题:直线 x ? (A) 0

?
3

的倾斜角等于 (B)

? 3

(C)

? 2

(D) ?

本题考查考生对直线方程的理解,考查倾斜角的概念. 解:根据直线方程的特点,得直线 x ? 故选 C. 答题分析:1.很多考生一看题目,不假思索就选倾斜角等于

?
3

的倾斜角等于

?
2

.

? .这是对直线方程中 3

“角”知识的负迁移,事实上,直线方程中所含的角并不一定是直线的倾斜角. 2.本题把学生易混淆的概念和知识放在一起进行考查,比较有新意. 第 2 题:已知 i 是虚数单位,复数 (A) i (C) ? 1 ? i 本题考查复数的四则运算.
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1? i ? 1? i

(B) ? i (D) ? 1 ? i

解:∵

1? i 1? i (1 ? i ) 2 1 ? 2i ? i 2 ? ?i . ? ? ? ?i ,∴ 2 1? i 1 ? i (1 ? i )(1 ? i ) 1? i

故选 B. 答题分析:本题所考查的知识和方法非常基本,但仍有不少考生出错,说明还需加 强复数基本概念及运算的复习。 第 3 题:已知 ( 1 ? 3x )3 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x 3 ,则 (A) 2 (C) ?
9 7
a0 ? a2 ? a1 ? a3

(B)

1 2 7 9

(D) ?

本题考查二项式定理、赋值法、特殊到一般的思想方法,同时考查学生整体求解的 意识和能力. 解法 1(整体求解) :令 x ? 1 ,得 (a0 ? a2 ) ? (a1 ? a3 ) ? ?8 . 令 x ? ?1 ,得 (a0 ? a2 ) ? (a1 ? a3 ) ? 64 .
? a 0 ? a 2 ? 28, ∴? ?a1 ? a 3 ? ?36 .



a0 ? a 2 7 ?? . a1 ? a3 9

故选 D. 解法 2(待定系数法) :因为 ( 1 ? 3x )3 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x 3 , 而 (1 ? 3x )3 ? 1 ? 9 x ? 27 x2 ? 27 x3 ,
? a0 ? 1 ? a ? ?9 a ? a2 28 7 ? 1 所以 ? ,∴ 0 ? ?? . a1 ? a3 ?36 9 ? a2 ? 27 ? a3 ? ?27 ?

故选 D. 答题分析:1.在用二项式定理展开 (1 ? 3x )3 时,一些考生容易把符号算错,从而导 致错误. 2.展开 (1 ? 3x )3 时,可以直接运用完全立方差公式,对于平方差、完全立方和等基 本公式,学生务必熟练掌握.
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第 4 题:要得到函数 y ? 3 sin ( 2 x ? (A)向右平行移动 (C)向右平行移动

?
3

) 的图象,只需要将函数 y ? 3 cos 2 x 的图象

? 个单位 12

(B)向左平行移动 (D)向左平行移动

? 个单位 12

? 个单位 6

? 个单位 6

本题考查函数图象的平移及三角函数的诱导公式。

?? ? ? 解法 1(余弦化正弦) :∵ y ? 3cos 2 x ? 3sin ? 2 x ? ? ? 3sin 2( x ? ) , 2? 4 ?
而 y ? 3 sin ( 2 x ?

?
3

) ? 3 sin 2( x ?

?
6

) , 从 而 将 y ? 3 cos 2 x 的 图 象 向 右 平 行 移 动

?
6

?

?
4

?

? 个单位,即可得到 y ? 3 sin ( 2 x ? ) 的图象. 故 选(A). 3 12

?

?? ? 解法 2(余弦化正弦) :∵ y ? 3cos 2 x ? 3sin ? 2 x ? ? , 2? ?
?
∴ 将 y ? 3 cos 2 x 的 图 象 向 右 平 行 移 动
y ? 3 sin ( 2 x ?

3

? 2

?
2 ?

?
12

个单位,即可得到

?
3

) 的图象. 故选(A).

解法 3(正弦化余弦) : ∵ y ? 3sin ( 2 x ?

?

?? ?? ? ? ? ) ? 3cos ? ? ? 2 x ? ? ? 3cos ? 2 x ? ? , 3 3? 6? ? 2 ?
? ? 个单位, 即可得到 y ? 3 sin ( 2 x ? ) 的图象. 3 12

∴将 y ? 3 cos 2 x 的图象向右平行移动 故选 A.

答题分析:三角函数图象的平衡移这是学生学习中的一个难点,学生经常搞不清楚 到底是左移还是右移,什么时候要除以 ? .事实上,这类问题解决的关键是着眼于自变 量 x ,即便是对复合函数 f ? g ? x ? ? ,自变量仍然是 x ,而不是 g ? x ? .另外,解决这类问 ? ? 题的常用方法是:化统正弦或统到余弦,同名函数后就可进行比较平移.

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第 5 题:某程序框图如图所示,现输入下列四个函数:
f ( x) ? 1 , f ( x) ? log3 ( x 2 ? 1 ) , x
开始

f ( x) ? 2 x ? 2? x , f ( x) ? 2 x ? 2 ? x ,
则输出的函数是 (A) f ( x) ?
1 x

输入函数 f ( x )

f(x)+f(?x)=0? 是 f ( x )存在零点? 是 输出函数 f ( x ) 否



(B) f ( x) ? log3 ( x 2 ? 1 ) (C) f ( x) ? 2 x ? 2? x (D) f ( x) ? 2 x ? 2 ? x

结束

本题利用考查函数奇偶性、零点为载体,考查程序框图。 解 : 在 函 数 f ( x) ?
1 , f ( x) ? log3 ( x 2 ? 1 ) , f ( x) ? 2 x ? 2? x , f ( x) ? 2 x ? 2 ? x x

中, 既是奇函数, 又有零点的函数是 f ( x) ? 2 x ? 2 ? x , 所以输出的函数是 f ( x) ? 2 x ? 2 ? x . 故选 D. 答题分析:通常的程序框图试题,都是一些数值计算的问题,但本题所判断的却是 函数的性质,试题有新意,这对学生进一步理解程序框图的价值和作用有较好的指导意 义. 第 6 题:已知平面向量 a ? ( sin 2 x , cos2 x ) , b ? ( sin2 x , ? cos2 x ) , R 是实数集,
2 ? 那么 f ( m ) ? f ( x) ? a ? b ? 4 cos x ? 2 3 sin x cosx . 如果 ?m ? R , x ? R ,f ( x) ? f (m) ,

(A) 2 ? 2 3

(B) 3

(C) 0

(D) 2 ? 2 3

本题综合考查向量、全称量词、特称量词、三角函数求最值、三角恒等变形等知识. 解:∵ f ( x) ? a ? b ? 4 cos2 x ? 2 3 sin x cos x ? cos2x ? 3 sin 2x ? 2
? 2 s i n2(x ?

?
6

) ? 2, x ? R ,

∴ f ( x) ? a ? b ? 4 cos2 x ? 2 3 sin x cos x 的最小值等于 0 . ∵ ?m ? R , ?x ? R , f ( x) ? f (m) , ∴ f ( m ) 是 f ( x ) 的最小值. ∴ f ( m) ? 0 .
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故选 C. 答题分析:解题时要能读懂题意,特别是要能理解逻辑语言所表达的数学含义,即 由 ?m ? R ,?x ? R , f ( x) ? f (m) ,读出 f ( m ) 是 f ( x ) 的最小值,则自然就找到了解题 思路:求 f ( x ) 的最小值。由于 f ( x ) 是三角函数,从而化为单一三角函数求极极值。由 此可,本题的关键还是对逻辑语言的理解及向量的运算。

2? x ? 2 ? x ? 3 ? ln 2 ? x , ? 2 ? x ? 1 , ( 第 7 题:已知 f ( x ) 的定义域为 ? 2 , 2 ) ,且 f ( x ) ? ? 2 ? ? 4 x 2 ? 5x ? , 1 ? x ? 2 , 3 ?
如果 f [ x ( x ? 1 )] ?

2 ,那么 x 的取值范围是 3
(B) x ? ?1 或 x ? 0 (D) ? 1 ? x ? 0

(A) ? 2 ? x ? ?1或 0 ? x ? 1 (C) ? 2 ? x ? ?
5 4

本题考查分段函数、复合函数、解不等式等知识,同时考查学生思维的灵活性和敏 捷性.

( 解法 1:∵ f ( x ) 的定义域为 ? 2 , 2 ) ,且 f ( x ) 是递减函数, f (0) ?
? x ( x ? 1) ? ?2, ? ∴ ? x ( x ? 1) ? 2, 解得 ? 2 ? x ? ?1或 0 ? x ? 1 . ? x ( x ? 1) ? 0, ?

2 , 3

选(A).
? x2 ? x ? 2 ? 0 ? x( x ? 1) ? ?2 解法 2(排除法) :由 ? ,可得 ? 2 ,即 ?2 ? x ? 1 .排除 B. ?x ? x ? 2 ? 0 ? x( x ? 1) ? 2

当x ? 除 C、D.

3 21 21 2 2 ? 21 ? ? 21 ? 时, x ? x ? 1? ? ,而 f ? ? ? ?4 ? ? ? ? 5 ? ? ? ,符合要求,排 4 16 16 3 3 ? 16 ? ? 16 ?

2

故选 A. 答 题 分 析 : 1. 本 题 实 质 上 是 考 查 函 数 f ? x ? 的 单 调 性 . 由 于 分 段 函 数

2? x ? 2 ? x ? 3 ? ln 2 ? x , ? 2 ? x ? 1, 2 ? f ( x) ? ? 的形式较为复杂,且由不等式 f [ x ( x ? 1 )] ? ,要能 3 ? ?4 x 2 ? 5 x ? 2 , 1 ? x ? 2 , ? 3 ?
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观察出 f (0) ?

2 。因此 , 本题要求要有较高的观察、联想、思维能力. 3

第 8 题: 一个几何体的三视图如图所示, 其中正视图与侧视图都是边长为 4 的正三角形, 俯视图是半径为 2 的圆,则这个几何体的体积为 (A) 16 3? (C)
8 3? 3

(B) 8 3?
正视图

侧视图

(D)

16 ? 3
俯视图

本题考查立体几何中的三视图,考查空间想象能力. 解:根据几何体的三视图,可得几何体是圆锥.
1 8 3? ∴圆锥的体积 V ? ? ? 2 2 ? 12 ? . 3 3

故选 C. 答题分析:本题由三视图还原所得到的几何体(圆锥)较为基本和常规,体现考查 基本知识与能力的思想。 第 9 题:如图, A 、 B 两点之间有 4 条网线连接,每条网线能通过的最大信息量 分别为 1 , 2 , 3 , 4 . 从中任取两条网线,则这两条网线通过的最大信息量之和等 于 5 或 6 的概率是 (A) (C)
5 6 1 3

(B) (D)

1 2 1 6

1 A 2 3 4 B

本题考查古典概型的基本计算,考查组合的基本知识,考查分类讨论方法.
2 解:从 4 条网线中任取两条网线的取法有 C4 ? 6 种,最大信息量之和等于 5 的有 2

种,最大信息量之和等于 6 的有 1 种,所以这两条网线通过的最大信息量之和等于 5 或 6 的概率等于 故选 B.
2 ?1 1 ? . 6 2

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第 10 题: 若平面向量 a 与平面向量 b 的夹角等于 的夹角的余弦值等于 (A)
1 26

? , a ? 2 , b ? 3 , 2a ? b 与 a ? 2 b 则 3

(B) ?

1 26

(C)

1 12

(D) ?

1 12

本题考查向量的运算,考查两个向量夹角余弦的求法. 解:∵ 2a ? b ? 4a ? b ? 4a? b ? 13 ,
a ? 2b ? a ? 4b ? 4a ?b ? 52 ? 2 13 ,
( 2a ? b) ? ( a ? 2b) ? 2a ? 2b ? 3a ?b ? ?1 ,
2 2

2

2

2

2

∴ 2a ? b 与 a ? 2 b 的夹角的余弦值等于 ? 故选 B.

1 . 26

第 11 题:已知抛物线的顶点在原点,焦点在 x 轴的正半轴上,若抛物线的准线与双曲 线 5x 2 ? y 2 ? 20的两条渐近线围成的三角形的面积等于 4 5 ,则抛物线的方程为 (A) y 2 ? 4 x (B) x 2 ? 4 y (C) y 2 ? 8x (D) x 2 ? 8 y

本题考查抛物线和双曲线的基本知识. 解:设抛物线的方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0) , 5x 2 ? y 2 ? 20的两条渐近线为 y ? ? 5x ,
1 p 由题意得 ? ? 5 p ? 4 5 ,解得 p ? 4 . 2 2

∴抛物线的方程为 y 2 ? 8x . 故选 C. 答题分析:本题难度不大,但是所涉及的知识点多,涉及抛物线、抛物线的准线、 双曲线、双曲线的渐近线、三角形的面积等.考生有可能在这些知识点迷宫中因思路不 清晰而迷失方向.

第 12 题: ? ABC 中, 在 三个内角 A ,B ,C 的对边分别为 a ,b ,c , a ? 2 ,b ? 2 2 , 若
C?

?
12

,则内角 A 的值为 (B)

(A)

? 6

? 3

(C)

5? ? 和 6 6

(D)

2? ? 和 3 3

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本题考查解三角形,考查余弦定理和正弦定理. 解:∵ c ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? 12 ? 8 2 cos( 45? ? 30 ? )
? 8?4 3 ? 6 ? 2 ,

∴ sin A ?

sin C 1 ?a ? . c 2

∵ A 是 ? ABC 的内角, ∴ A ? 30? 或 A ? 150? . ∵a ? b, ∴ A ? 30? . 故选 A. 答题分析: 本题的难点在于算出 A ? 30? 或 A ? 150? , 不知道如何取舍而误选 C.事实 上,只要我们注意到在三角形中, a ? b ? A ? B ? sin A ? sin B ,很多角的取舍问题便 迎刃而解了. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。
? x ? 4 y ? ?3 , ? 第 13 题:已知 x , y 满足约束条件 ?3 x ? 5 y ? 25, 则 z ? 2 x ? y 的最大值等 ? x ?1, ?





本题考查解线性规划问题的基本知识和方法.
? x ? 4 y ? ?3 , ? 解:做出 ?3x ? 5 y ? 25, 表示的平面区域,容 ? x ?1 ?

易得到 z ? 2 x ? y 的最大值等于 12 . 答题分析:本题也可以先解出三角形的三个 顶点坐标,再代入目标函数验证谁是最大即可.

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第 14 题: 经过随机抽样获得 100 辆汽车经过某一雷达测速地区的时速 (单位:km / h ) , 并绘制成如图所示的频率分布直方图, 其中这 100 辆汽车时速的范围是
[ 30 , 80 ] ,数据分组为 [ 30 , 40 ) , [ 40 , 50 ) , [ 50 , 60 ) , [ 60 , 70 ) , [ 70 , 80 ] .设时速达到或超过 60 km / h
0.039

频率 组距

0.028 0.018 0.010 0.005 O 30 40 50 60 70 80 时速(km/h)

的汽车有 x 辆,则 x 等于



本题考查统计中的频率分布直方图,考查学生对图表信息的识别和加工能力. 解: 由已 知 , 得组距 为 10 ,所以 时速 达到或 超过 60 km / h 的汽车的 频率等 于
(0.028 ? 0.010) 10 ? 0.38 . ?

所以

m ? 0.38 ,解得 m ? 38 . 100 4 mx ? 2013 在 ( 1 , 3 ) 上只有一个极值点,则实 3

第 15 题:已知 f ( x) ? x 3 ? mx 2 ? 数 m 的取值范围为



本题考查导数,考查三次函数的极值,考查二次函数根的分布.
4 解: y ? ? 3x 2 ? 2mx ? m . 3

由已知得 3x 2 ? 2mx ?

4 m ? 0 在 ( 1, 3 ) 内只有一个实数根. 3

∴ f ?(1) f ?(3) ? 0 ,解得 经过检验, m ? ∴
9 81 ?m? . 2 14

9 81 ?m? . 2 14

81 9 不满足要求, m ? 满足要求. 14 2

答题分析: 1.上述解法中容易出错的地方是没有进行讨论, 从而误答为
4 2.本题也可如下求解:因为 y ? ? 3x 2 ? 2mx ? m . 3

9 81 ?m? . 2 14

由已知得 3x 2 ? 2mx ?

4 m ? 0 (*)在 ( 1, 3 ) 内只有一个实数根. 3

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此时可以分三种情况进行讨论:① f ?(1) f ?(3) ? 0 ;②当 f ?(1) ? 0 时,解出 m 的值, 代入*式,再看方程(*)在 ( 1, 3 ) 内是否只有一个实数根.③当 f ?(3) ? 0 时,解出 m 的值, 代入*式,再看方程(*)在 ( 1, 3 ) 内是否只有一个实数根. 这样做就不容易出错了!

第 16 题:如果长方体 ABCD? A1 B1C1 D1 的顶点都在半径为 9 的球 O 的球面上,那 么长方体 ABCD? A1 B1C1 D1 的表面积的最大值等于 本题考查长方体与其外接球之间的关系,考查空间想象能力. 解:设长方体 ABCD? A1 B1C1 D1 的三条棱长分别为 a , b , c ,由已知得
a 2 ? b 2 ? c 2 ? 182 ? 324.



∵ ab ? bc ? ca ? a 2 ? b2 ? c 2 , ∴ ABCD? A1 B1C1 D1 的表面积的最大值等于 648 . 答题分析:解答本题需要学生熟悉两个结论:1.长方体的外接球直径等于长方体的 体对角线.2.重要不等式 ab ? bc ? ca ? a 2 ? b2 ? c 2 .

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 第 17 题: (本小题满分 12 分) 已知数列 ? an ?是各项都是正数的等比数列, a3 ? 4 , ? an ? 的前 3 项和等于 7 . (Ⅰ)求数列 ? an ?的通项公式; (Ⅱ)若 a1b1 ? a2b2 ? ? ? an bn ? ( 2 n ? 3 ) 2n ? 3,设数列 ? bn ? 的前 n 项和为 S n , 求证:

1 1 1 1 ? ??? ? 2? . S1 S 2 Sn n

本题考查等比数列通项公式的求法,考查已知数列的前 n 项和求通项公式,考查用 裂项法求数列的前 n 项和,考查用放缩法证明不等式.
? a1 q 2 ? 4 , (Ⅰ)解:设 ? an ?的公比为 q ,由已知得 q ? 0 ,且 ? ?a1 ? a1 q ? 4 ? 7.

?a ? 1, ∴? 1 ? q ? 2.
∴数列 ? an ?的通项公式为 an ? 2 n?1 .
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(Ⅱ)证明:当 n ? 1 时, a1b1 ? 1 ,解得 b1 ? 1 . 当 n ? 2 时, a n bn ? (2n ? 3)2 n ? 3 ? (2n ? 2 ? 3)2 n?1 ? 3 ? ∵ an ? 2 n?1 , ∴当 n ? 2 时, bn ? 2n ? 1. ∵ b1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 1满足 bn ? 2n ? 1, ∴数列 ? bn ? 的通项公式为 bn ? 2n ? 1. ∴数列 ? bn ?是首项为 1 ,公差为 2 的等差数列. ∴ Sn ? n2 . ∴当 n ? 1 时, 当 n ? 2 时, ∴
1 1 ?1? 2? . S1 1

(2n ? 1)2 n . 2

1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ? . Sn n n ( n ? 1) n ? 1 n

1 1 1 1 ? ??? ? 2? . S1 S 2 Sn n

答题分析:第Ⅱ问中,有如下难点: 1.学生看到等式 a1b1 ? a2b2 ? ? ? an bn ? ( 2 n ? 3 ) 2n ? 3后,就无从下手了.事实上, 这里的本质是知道数列 ?anbn ? 的前项 n 和,求通项 anbn . 2.求出
1 1 ? 2 后,不能灵活地对其进行放缩,从而无法往下解. Sn n

?1? 3.放缩后,求数列 ? ? 的前 n 项和,要进行裂项相消,这样就能达到证明不等式的 ? Sn ?

目的.

第 18 题: (本小题满分 12 分) 在一次特技模拟训练中,某射手用射击的方法引爆一个油罐.规定:油罐引爆成功 指射手命中油罐 2 次,而且如果油罐引爆成功就停止射击,如果油罐引爆还未成功,射 手将继续向油罐射击, 直到油罐引爆成功或者子弹打光才停止射击.已知该射手只有 5 发 子弹,每次命中油罐的概率都是
9 ,且各次命中与否相互独立. 10

(Ⅰ)假设该射手射击了 5 次,求油罐引爆没有成功的概率 P ; (Ⅱ)假设该射手射击了 X 次才停止射击,求 X 的均值.

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本题考查概率,考查分布列以及数学期望的计算. 解: (Ⅰ)根据题意,油罐没有被引爆成功有两种情形:
1 (1) 5 发子弹只有 1 发击中,其概率为: P1 ? C 5 ?

9 1 9 ? ( )4 ? ; 10 10 20000

(2) 5 发子弹都没有击中,其概率为 P2 ? (

1 5 1 ) ? . 10 100000

∵“ 5 发子弹只有 1 发击中”与“ 5 发子弹都没有击中”互斥, ∴油罐引爆没有成功的概率 P = P1 ? P2 ?
23 . 50000

(Ⅱ)根据题意, X 的可能取值为 2 , 3 , 4 , 5 .
9 81 P ( X ? 2) ? ( ) 2 ? ; 10 100
1 P( X ? 3) ? C2 ?

1 9 9 81 ? ? ? ; 10 10 10 500
9 1 9 243 ? ( )2 ? ? ; 10 10 10 10000 9 1 9 9 1 1 37 1 ? ( ) 3 ? ? C5 ? ? ( ) 4 ? ( ) 5 ? . 10 10 10 10 10 10 10000

1 P( X ? 4) ? C3 ?

1 P( X ? 5) ? C 4 ?

( ? ∴ E X) 2 ?

81 81 243 37 22217 ? 3? ? 4? ? 5? ? . 100 500 10000 10000 10000

答题分析:1.本题有两个难点:最大的难点是对题意的准确理解,只有这样才能选 择正确的解题方法.其次是问题的解答伴有一定的计算量,需要计算准确,否则前功尽 去. 2.问题Ⅰ的上述解法中,油罐没有被引爆成功是按照击中的子弹发数来分类的,即 有两种情形:① 5 发子弹只有 1 发击中;② 5 发子弹都没有击中. 也可按照前 4 发和第 5 发之间的关系来分类:①前 4 发都不中,则第 5 发是否射中 都没有关系,所以 P1 ? (
1 P2 ? C4 ?

1 4 ) .②前 4 发恰好射中一发,则第 5 发必须是没有射中,所以 10

9 1 1 36 ? ( )3 ? ? . 10 10 10 100000
46 23 ? . 100000 50000

所以油罐引爆没有成功的概率 P = P ? P2 ? 1

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第 19 题: (本小题满分 12 分) 如图,边长为 2 的等边 ? PCD 所在平面与矩形 ABCD 所在平面垂直, BC ? 2 2 ,
M 为 BC 的中点. P

(Ⅰ)求证: PM ? AM ; (Ⅱ)求平面 PMA 与平面 PCD 所成二面角(锐角) 的正切值.
A D M B

C

本题考查空间线线位置关系(垂直)的证明,考查“无棱”二面角的求法. 解: (Ⅰ)证明: 以 D 点为原点,分别以直线 DA 、 DC 为 x 轴、 y 轴,建立如图 所示的空间直角坐标系 D ? xyz .根据题意,得 D(0,0,0), P(0,1, 3),C(0,2,0) ,

A(2 2,0,0), M ( 2,2,0) .
∴ PM ? ( 2 ,1, ? 3 ) ,

z

P

AM ? (? 2 , 2 , 0 ) .
∴ PM ? AM ? 0 . ∴ PM ? AM . ∴ PM ? AM . (Ⅱ) 设 n1 ? ( x, y, z) 为平面 PMA 的 解: 法向量,则 n1 ? 平面 PMA .
A
D

C
M B

y

x

?n1 ? PM ? 0, ? 2 x ? y ? 3z ? 0, ? z ? 3 y, ? ? ? ∴? 即? 化简得 ? ?? 2 x ? 2 y ? 0, ? x ? 2 y. ?n1 ? AM ? 0, ? ? ?
取 y ? 1 ,得 n1 ? ( 2,1, 3) . 取 n2 ? (1,0,0) ,由已知易得 n2 ? 平面 PCD . ∴ cos ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 n1 ? n2

?

2 6

?

3 3 6 , sin ? n1 , n2 ?? 1 ? ( ) 2 ? . 3 3 3

∴ tan ? n1 , n2 ??

sin ? n1 , n2 ? cos ? n1 , n2 ?

? 2.

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∴平面 PMA 与平面 PCD 所成二面角(锐角)的正切值等于 2 . 答题分析:1.本题是一个确定的图形,并且比较容易建立空间直角坐标系,特别对 于第Ⅱ问求无棱二面角, 使用坐标法 来解决成为首选. 2.本题也可以用综合法(几何 法)来证明. 第Ⅰ问:设 O 为 DC 的中点,因 为 等 边 ? P C D所 在 平 面 与 矩 形
ABCD 所 在 平 面 垂 直 , 所 以 PO ? DC ,从而 PO ? 平面 ABCD .
A D
P

E

O
M
B

C

N

接下来只要在矩形 ABCD 中证明 OM ? AM ,由三垂线定理即可证明 PM ? AM . 第Ⅱ问:在平面 ABCD 内延长 AM 交 DC 于 N ,连接 PN ,则 PN 为平面 PMA 与平 面 PCD 的交线,即找到了二面角的棱.因为 MC ? 平面 PCD ,过 C 作 CE ? PN 于 E ,连 接 ME ,则 ?MEC 即为所求二面角的平面角,接下来解 ?MEC 即可.

第 20 题: (本小题满分 12 分) 已知 F1 、 F2 是双曲线 x 2 ?
x2 ?
4 y2 ? 1 的两个焦点,离心率等于 的椭圆 E 与双曲线 5 15

y2 ? 1 的 焦 点 相 同 , 动 点 P( m , n ) 满 足 PF ? PF2 ? 10 , 曲 线 M 的 方 程 为 1 15

x2 y2 ? ? 1. 2 2

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)判断直线 m x ? n y ? 1 与曲线 M 的公共点的个数,并说明理由;当直线
m x ? n y ? 1 与曲线 M 相交时,求直线 m x ? n y ? 1 截曲线 M 所得弦长的取值范围.

本题综合考查直线、圆、椭圆、不等式等知识,考查平面解析几何中数形结合的思 想方法,考查学生的运算能力和综合解题能力. 解: (Ⅰ)解:∵ F1 、 F2 是双曲线 x 2 ? ∴不妨设 F1 (? 4 , 0 ) , F2 ( 4 , 0 ) .
y2 ? 1 的两个焦点, 15

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y2 ? 1 的焦点相同, ∵椭圆 E 与双曲线 x ? 15
2

∴设椭圆 E 的方程为

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0) , a2 b2

? c ? 4, ?c ? 4, ?c 4 ? 根据已知得 ? ? , 解方程组得 ? a ? 5, ? b 2 ? 9. ? a 52 2 2 ? ?b ? a ? c ,
x2 y2 ? ?1 . ∴椭圆 E 的方程为 25 9

(Ⅱ)解:∵动点 P( m , n ) 满足 PF ? PF2 ? 10 , 1 ∴ P( m , n ) 是椭圆 E 上的点. ∴ ∵
m2 n2 ? ?1 . 25 9 m2 n2 m2 n2 m2 ? n2 ? ? ? ? , 25 9 9 9 9

∴ m2 ? n2 ? 9 . ∵曲线 M 是圆心为 ( 0 , 0 ) ,半径 r ? 2 的圆, 圆心 ( 0 , 0 ) 到直线 m x ? n y ? 1 的距离 d ? ∴直线 m x ? n y ? 1 与曲线 M 有两个公共点. 设直线 m x ? n y ? 1 截曲线 M 所得弦长为 l ,则
1 m2 ? n2 ? 1 ? 2, 3

l ?2 2?

1 . m ? n2
2

∵动点 P( m , n ) 满足 PF ? PF2 ? 10 ,∴ P( m , n ) 是椭圆 E 上的点. 1 ∴ ∵
m2 n2 ? ?1 . 25 9 m2 n2 m2 n2 ? ? ? ? 1 ,∴ m 2 ? n 2 ? 25 . 25 25 25 9

∴ 9 ? m 2 ? n 2 ? 25 . ∴
1 1 1 17 1 49 ? 2 ? .∴ ? 2 ? 2 ? . 2 2 9 m ?n 25 25 m ? n 9

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17 1 7 2 17 14 . ? 2? 2 ? .∴ ?l? 2 3 5 3 m ?n 5
2 17 14 , ]. 3 5

∴直线 m x ? n y ? 1 截曲线 M 所得弦长的取值范围为 [

答题分析:1.本题条件较多,但一个一个理清楚后,问题还是可以解决的,特别对 于第Ⅰ问,求椭圆的方程非常容易,可惜不少考生还是未能得分. 2.第Ⅱ问的解题思路是这样的: 依题意, P( m , n ) 是椭圆 E 上的点,所以得到
m2 n2 ? ?1 . 25 9

要 判 断 直 线 和 圆 的 位 置 关 系 , 可 得 圆 心 (0 , 0 ) 到 直 线 m x ? n y ?1 的 距 离
d? 1 m2 ? n 2

,接下来要比较 d 和半径 2 的大小关系.解法中的方法是采用放缩法来求

出 m2 ? n2 的范围 9 ? m 2 ? n 2 ? 25 ,从而可以证明圆心到直线的距离 d 小于半径 2 ,同 时也可以求出弦长 l ? 2 2 ?

1 的取值范围. m ? n2
2

3.第Ⅱ问的解题思路也可以是这样的: 得到

?m ? 5cos? m2 n2 ? ? 1 后,用三角换元 ? ,很容易求得 d ? 25 9 ?n ? 3sin ?

1 m2 ? n 2

的取值范

围,得出 d ? 2 ,同时可以得出弦长 l ? 2 2 ? d 2 的取值范围. 4.第Ⅱ问的解题思路还可以是这样的: 得出 d ?
1 m2 ? n 2

后,因为 P ? m, n? 在椭圆

x2 y2 ? ? 1 上,而 m2 ? n2 的几何意义 25 9

为椭圆上的点到原点的距离,显然其最大值和最小值分别为椭圆的长半轴长和短半轴 长,即 3 ? m2 ? n2 ? 5 .这样计算量就会减少很多了.

第 21 题: (本小题满分 12 分) 已知 f ( x ) ? a x 2 ? x ? x ln x 的导函数是 h( x) , M 是 h( x) 的图象上的点, N 是直线
x ? 2 y ? 1 ? 0 上的点.

(Ⅰ)若 h( x) 在点 (1 , 2 a ) 处的切线与直线 x ? y ? 2 ? 0 垂直,

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求证: MN ?

( 3 ? 2 ln 5 ? 2 ln 2 ) 5 ; 5

(Ⅱ)是否存在实数 a ,使 f ( x ) 在 ( 2 , ? ? ) 上单调递减?若存在,求出 a 的取值范 围;若不存在,请说明理由. 本题考查导数的运算、导数与函数的单调性、最值的关系,考查不等式的恒成立, 考查数形结合的思想方法,考查考生的综合解题能力. 解: (Ⅰ)证明:根据已知得 f (x ) 的定义域为 ( 0 , ? ? ) . ∵ f ( x ) ? a x 2 ? x ? x ln x ,∴ h( x) ? f ?( x) ? 2ax ? ln x . ∴点 (1 , 2 a ) 在 h( x) 的图象上. ∵ h( x) 在点 (1 , 2 a ) 处的切线与直线 x ? y ? 2 ? 0 垂直, ∴ h?(1) ? 2a ? 1 ? ?1 .∴ a ? ?1 . ∴ h( x) ? ?2 x ? ln x . 设 M ( x , ? 2 x ? ln x) , d 是 M 到直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 的距离, 则d ?

5 x ? 2 ln x ? 1 5

.设 F ( x) ? 5x ? 2 ln x ? 1 ,则 F ?( x) ? 5 ?

2 . x

∴当 x ?

2 2 时, F ?( x) ? 5 ? ? 0 ,即 F (x) 为增函数, 5 x
2 2 时, F ?( x) ? 5 ? ? 0 ,即 F (x) 为减函数. 5 x 2 时, F (x) 取得最小值. 5

当0 ? x ?

∴在 ( 0 , ? ? ) 上,当 x ?

2 ∴当 x ? 0 时, F ( x) ? F ( ) ? 3 ? 2 ln 5 ? 2 ln 2 ? 0 . 5

∵ M 是 h( x) 的图象上的点, N 是直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 上的点, ∴ MN ? d ?

3 ? 2 ln 5 ? 2 ln 2 5

?

( 3 ? 2 ln 5 ? 2 ln 2 ) 5 . 5

(Ⅱ)解: f ( x ) 在 ( 2 , ? ? ) 上单调递减的充要条件为 当 x ? ( 2 , ? ? ) 时, h( x) ? f ?( x) ? 2ax ? ln x ? 0 ,即 2a ? ? 设 H ( x) ?
ln x 1 ? ln x ,则 H ?( x ) ? . x x2
ln x . x

当 x ? e 时, H ?( x) ? 0 ,即 H (x ) 是减函数,当 0 ? x ? e 时, H ?( x) ? 0 ,即 H (x ) 是增函数.
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1 ∴在 ( 2 , ? ? ) 上,当 x ? e 时, H (x ) 取得最大值 . e

1 1 ∴当 x ? e 时, ? H (x) 取得最小值 ? .∴ a ? ? . e 2e

∴当 a ? ?

1 时, f ( x ) 在 ( 2 , ? ? ) 上单调递减. 2e

答 题 分 析 : 1. 第 Ⅰ 问 的 解 题 思 路 是 : 在 曲 线 h( x) ? ?2 x ? ln x 上 任 取 一 点
M ( x , ? 2 x ? ln x) ,可以得到点 M 到直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 的距离 d ?

5 x ? 2 ln x ? 1 5

.接下

来以导数为工具,求出 d ?

5 x ? 2 ln x ? 1 5

的最小值即可.

2.第Ⅰ问的解题思路也可以是:利用平行直线的知识,可以在 h( x) ? ?2 x ? ln x 上求 出切线斜率等于 2 的切点,则该切点到直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 的距离即为 MN 的最小值,这 样计算量会少很多. 3. 第Ⅱ问的本质是不等式 h( x) ? f ?( x) ? 2ax ? ln x ? 0 在 ( 2, ? ? ) 上恒成立,求参数

a 的取值范围.
解答中是采用分离参数的方法进行的,即 2a ? ? 最小值,从而解决问题. 也可以直接求函数 h( x) ? f ? ( x) ? 2ax ? ln x 在 ( 2, ? ? ) 上的最大值,然后让最大值
? 0 .但这样的解法需要对 a 进行分类讨论,较为繁琐.

ln x ln x 恒成立,然后去求 y ? ? 的 x x

第 22 题: (本小题满分 10 分)选修 4 ? 1 :几何证明选讲 如图,A 是⊙ O 上的点,PC 与⊙ O 相交于 B 、C 两点, D 在⊙ O 上,CD // AP , 点
AD 、 BC 相交于点 E , F 为线段 CE 上的点,且 DE 2 ? EF ? EC .

(Ⅰ)求证: ? P ? ? EDF ; (Ⅱ)求证: CE ? EB ? EF ? EP . 本题考查平面几何中的三角形相似以及圆的相关知识(主要涉及相交弦定理等) , 考查推理论证能力.
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证明: (I) ∵ DE 2 ? EF ? EC , ∴ DE : EC ? EF : DE . ∵ ?DEC ? ?FED , ∴ ? DEC ∽ ? FED . ∴ ? C ? ? EDF . ∵ CD // AP , ∴ ?C ? ? P . ∴ ? P ? ? EDF . (II)∵ ? P ? ? EDF , ? PEA? ? DEF , ∴ ? PEA∽ ? DEF . ∴ EP : DE ? AE : EF ,即 DE ? AE ? EF ? EP . ∵弦 AD 与弦 BC 相交于点 E ,∴ DE ? AE ? CE ? EB . ∴ CE ? EB ? EF ? EP . C D
O
F

A

P B
E

第 23 题: (本小题满分 10 分)选修 4 ? 4 :坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 x O y 中,曲线 C 的参数方程为 ? 于
? x ? 2t ,
2 ? y ? 16 t ? 9,

( t 为参数 ) ,倾斜角等

2? 的直线 l 经过点 P ,在以原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,点 P 的极 3

坐标为 ( 1 ,

? ). 2

(Ⅰ)求点 P 的直角坐标; (Ⅱ)设 l 与曲线 C 交于 A 、 B 两点,求 PA ? PB 的值. 本题考查点的直角坐标和极坐标的互化, 考查抛物线的参数方程, 考查直线的参数方程, 考查直线参数方程的几何意义. 解: (Ⅰ)由已知可得 P (cos

?
2

, sin

?
2

) ,即 P(0 , 1) .

? x ? 2t , (Ⅱ)把曲线 C 的参数方程 ? ( t 为参数 ) 化为直角坐标方程得 y ? 16 t 2 ? 9, ?
y ? 4x 2 ? 9 .

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1 ? 2? ? ? x ? ? 2 t, ? x ? t cos 3 , ? ? l 的参数方程为 ? ( t 为参数 ) ,即 ? ( t 为参数 ) . ? y ? 1 ? t sin 2? ? y ? 1 ? 3 t, ? ? 3 ? ? 2 1 ? ? x ? ? 2 t, ? 把? 代入 y ? 4 x 2 ? 9 ,化简得 2t 2 ? 3t ? 20 ? 0 .∴ t1t 2 ? ?10 . 3 ? y ? 1? t ? ? 2 根据参数 t 的几何意义得 PA ? PB ? t1t2 ? 10 .
∴ PA ? PB ? 10 . 答题分析:1.第Ⅰ问比较简单,可以直接写出点 P 的直角坐标. 2. 第Ⅱ问有不少考生是用直线 l 的普通方程,联立曲线 C 的普通方程,从而把问题 转化为解析几何中的典型问题——直线和二次曲线相交的问题, 最后再试图用解析几何 的方法加以解决.然而因为运算量比较大,很少有能做对的. 3.第Ⅱ问是直线和二次曲线相交的问题,直接利用直线参数方程的意义来解题非常 方便.这应该引起师生的重视.

第 24 题: (本小题满分 10 分)选修 4 ? 5 :不等式选讲 已知 f ( x) ? x 2 ? 2x ? 4 ? a . (Ⅰ)当 a ? ? 3 时,求不等式 f ( x) ? x 2 ? x 的解集; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为实数集 R ,求实数 a 的取值范围. 本题考查绝对值不等式的解法,考查绝对值函数最大值的求法. 解: (Ⅰ)当 a ? ? 3 时, f ( x) ? x 2 ? 2x ? 4 ? 3 . 当 x ? 0 时,由 f ( x) ? x 2 ? x 得 ? x ? 1 ? 0 ,解得 x ? 1 . ∴x ? 0. 当 0 ? x ? 2 时,由 f ( x) ? x 2 ? x 得 ? 3x ? 1 ? 0 ,解得 x ?
1 . 3 当 x ? 2 时,由 f ( x) ? x 2 ? x 得 x ? 7 ? 0 ,解得 x ? 7 . 1 . 3

∴0 ? x ?

∴ x ? 7.

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? 1? ∴当 a ? ? 3 时, f ( x) ? x 2 ? x 的解集为 ? x x ? ? ? ? x x ? 7 ?. 3? ? 2 (Ⅱ) f ( x) ? 0 的解集为实数集 R ? a ? ?x ? 2 x ? 4 .

当 x ? 2 时, ? x 2 ? 2 x ? 4 ? ?x 2 ? 2x ? 4 ? ? ( x ? 1) 2 ? 5 ? ? 4 , 当 x ? 2 时, ? x 2 ? 2 x ? 4 ? ?x 2 ? 2x ? 4 ? ? ( x ? 1) 2 ? 3 ? ? 3 . ∴ ? x 2 ? 2 x ? 4 的最大值等于 ? 3 . ∴ a ? ?x 2 ? 2 x ? 4 ? a ? ?3 . ∴实数 a 的取值范围为 [? 3 , ? ? ) . 答题分析:1.第Ⅰ问实际上是解含两个绝对值符号的绝对值不等式,其基本方法是 分段讨论. 2.第Ⅱ问通过分离参数后,实际上是求含一个绝对值符号的函数的最大值,其基本 方法还是分段去绝对值符号.

四、教学建议
1. 高度重视运算能力. 近年来的高考数学试题,对运算能力的要求都有所加强,在本次云南省统一测试中 也得到了较好地反映, 比如第 20 题解析几何中的复杂运算, 21 题函数中的代数变形, 第 第 18 题概率大题中的繁杂数字计算等.因此要高度重视运算能力的培养.然而由于运 算能力的培养并非一日之功,因此要坚持长期训练培养,在平时的学习中,凡是复杂计 算,都必须认真演算完毕,而不能是懂算理算法后就停止了,平时不训练有素,考场上 肯定是快不起来的,考试也一定是要吃大亏的. 2.高度重视算理的通畅和算法的选择. 试卷中不少的试题(特别是中等难度以上的试题)都可以采用多种解法进行解题. 然而解法多了在考场上并不一定是好事,考生首先需要选择采用哪种解题方法.例如第 19 题立体几何,如果采用综合法(几何法) ,那么将会增加不少难度,特别对于第Ⅱ问, 由于二面角无棱, 如果用综合法该问可能就成为难题了.第 20 题解析几何也存在利用几 何意义减少运算量.第 21 题函数与导数是采用分离参数法还是采用直接求函数的最值, 两者运算量的差异是大相径庭的.第 23 题坐标系与参数方程, 如果采用直线的参数方程 将会很简单,否则若是采用普通方程,那将会是一个难题.

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而要想在考场上快捷地得出较好的解法,就取决于平时对典型问题算理的通畅,对 各种算法之间差异及优劣的深刻认识和亲身体验和领悟.需要对典型题目的深刻研究和 总结,而不能仅仅停留在大量做题的低层次解题.特别对于想要得高分段的学生更是这 样:必须要对中等难度以上的试题能够驾轻就熟,思维流畅,思维敏捷与灵活,同时还 需要计算准确与熟练,计算书写快捷等. 3.重视基础知识、基本方法和基本题型. 重视双基,永远都不会有错.相反,忽视双基,肯定是要吃大亏的.本次考试,有很 多道试题都是考查基础知识和基本方法, 可是很多考生还是出错.例如第 1 题: 直线 x ? 的倾斜角等于( 个角 ).本题应该说甚为简单,答案是

?
3

? .可很多考生一看见直线方程中有 2

? ? ,毫不犹豫地就选 了.这除了审题不细外,合理的解释就是对直线方程中的倾 3 3

斜角理解不到位,稍微一个干扰和变式就懵了! 再比如第 12 题,算出 A ? 30? 或 A ? 150? 后,很多考生不知道如何取舍而误选 C.事 实上,在解三角形中, a ? b ? A ? B ? sin A ? sin B ,这是基础知识,也是基本方法, 可是很多考生掌握的并不好. 4.教会学生思考,教会学生学习. 数学教学应该把注意力聚焦到教会学生思考, 教会学生学习.如果我们的教学总是在 不停地把知识、方法和题型灌输给学生,而不是学生在教师的引导和启发下探究并自我 得到和融会贯通,那么面对没有训练过的中上层次的试题,学生注定是不会做的(这也 就是俗称的教过的不一定会做, 没有教过的是肯定不会做) .因为学生在三年的被学习环 境中,他很可能只会做老师教过的、有套路的,一旦情况有所变化,学生也只能望题兴 叹了.要教会学生思考, 教学中就要多讲是怎么想到的, 应该怎么想, 而不是做给学生看, 更不是让学生死记硬背.要教会学生学习, 就要舍得并敢于适度放手, 给时间让学生思考, 让学生经历和体验知识的发生、发展过程,让学生自我领悟——因为教师无法替代学生 思考,更无法替代学生学习.

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