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数学必修五第一章 解三角形1.1 正弦定理和余弦定理(共17张PPT)课件


1.1.2余弦定理

复习回顾

a b c ? ? 正弦定理: sin A sin B sin C

? 2R

变型: a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C

a : b : c ? sin A : sin B : sin C

可以解决两类有关三角形的问题?
(1)已知两角和任一边。

(2)已知两边和一边的对角。

研究:在三角形ABC中,AB=c,BC=a,CA=b, 求a ∵ BC ? AC ? AB

BC

2

? ( AC ? AB ) 2
2 2

BC ? AC ? AB ? 2 AC ? AB

2

?| AC |2 ? | AB |2 ?2 | AC | ? | AB | ? cos A
2 2 2 a ? b ? c ? 2bc cos A 即:

余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其 他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的 余弦的积的两倍。

a2=b2+c2-2bccosA
b2= a2+c2-2accosB

c2 =a2+ b2-2abcosC
应用:已知两边和一个夹角,求第三边.

余弦定理推论:

b ?c ?a cosA= 2bc 2 2 2 a ?c ?b cosB= 2ac
2 2 2

cosC=

a ?b ?c 2ab
2 2

2

应用:已知三条边求角度.

由a2=b2+c2-2bccosA可得
(1)若A为直角,则a? =b? +c?

(2)若A为锐角,则a? <b? +c?
(3)若A为钝角,则a? >b? +c?

利用余弦定理,可以解决以 下两类有关三角形的问题:
(1)已知两边和它们的夹角,求

第三边和其他两个角;

(2)已知三边,求三个角。

4.定理的应用
例1.已知b=8,c=3,A=600求a.
解:
∵a2=b2+c2-2bccosA

=64+9-2×8×3cos600
=49

? a=7

练习

1. 在? ABC中,已知a =2 ,c ? 6 ? 2, B ? 135 , 解此三角形
0

b ? 2 2, A ? 30 , C ? 15
0

0

例2.在△ABC中,已知a=

,b=2, 6

c= 3 ? 1 ,解三角形 解:由余弦定理得 2 2 2 2 2 2 2 ? ( 3 ? 1) ? ( 6 ) 1 b ? c ? a cos A ? ? ? 2bc 2 2 ? 2 ? ( 3 ? 1)

? A ? 60?
( 6 ) ? ( 3 ? 1) ? 2 2 a ? c ? b cos B ? ? ? 2ac 2 2 ? 6 ? ( 3 ? 1)
2 2 2 2 2 2

? B ? 45?
C ? 180? ? A ? B ? 180? ? 60? ? 45? ? 75?

练习 1 在 ?ABC 中,已知 b= 4 3 ,c= 2 A= 120 ,求 a. 2 在 ?ABC 中,已知
0

3,

a ? 2 21

a= 2

3 , b= 2

2



c= 6 ? 2 ,求 A、B、C 的值。

A ? 60 , B ? 45 , C ? 75
0 0

0

例3、在△ABC中, a ?b ?c 那么A是(A)
2 2

2



A. 钝角 C. 锐角

B. 直角 D. 不能确定

提炼:设a是最长的边,则 △ABC是钝角三角形 ? a △ABC是锐角三角形 △ABC是直角三角形
2

?b ?c
2

2

? a ?b ?c
2 2

2

? a ?b ?c
2 2

2

练习:
4. 在△ABC中,已知a=7,b=10,c=6, 判定△ABC的形状 分析: △ABC的形状是由大边b所对的大角 B决定的。
2? 2 ? ? ? B?(90 ,180 )?b a c
2

变式:若已知三边的比是7:10:6,怎么求解

5.在△ABC中,已知a=7,b=8,cosC= 求最大角的余弦值

13 14

,

分析:求最大角的余弦值,最主要的是判断 哪个角是最大角。由大边对大角,已知两边 可求出第三边,找到最大角。
2 ? 2 ? 2abcosC ? 解: c a b ? 72 ?82 ? 2?7?8?13 ?9
2

则有:b是最大边,那么B 是最大角 2? 2? 2 2? 2? 2 cos B ? a c b ? 3 7 8 ?? 1 2ac 2?3?7 7

?c ?3

14

四.小结:
(1)余弦定理:

(2)推论:

a ? b ? c ? 2bc cos A 2 2 2 b ? a ? c ? 2ac cos B 2 2 2 c ? a ? b ? 2ab cos C
2 2 2

b2 ? c 2 ? a 2 cos A ? 2 2 2 2bc a ?b ?c cos C ? 2ab 2 2 2 c ? a ?b cos B ? 2ca

(3)余弦定理可以解决的有关三角形 的问题:
1) 已知两边及其夹角,求第三边和其他 两个角。

2) 已知三边求三个角。
3) 判断三角形的形状。


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