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高中数学-二分法求函数零点


二分法的概念 对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a)· f(b)<0 的函数 y=f(x),通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.由函数的零点与相应方程根的关系,可 用二分法来求方程的近似解. 给定精确度 (1)确定区间 ,用二分法求函数 , ,验证 · 零点近似值的步骤如下: <0,给定

精确度 ;

(2)求区间 (3)计算 1若

, : =

的中点



,则

就是函数的零点;

2若 3若

· ·

<0,则令 <0,则令 ;即若

= =

(此时零点 (此时零点 < ,则得到零点近似值

) ; ) ; (或 ) ;否则重复步骤 2-4.

(4)判断是否达到精确度

结论: 由函数的零点与相应方程根的关系,我们可用二分法来求方程的近似解. 思考:为什么由 < ,便可判断零点的近似值为 (或 )?

一、能用二分法求零点的条件 例1 下列函数中能用二分法求零点的是( )

判定一个函数能否用二分法求其零点的依据是:其图象在零点附近是连续不断的,且该零点为变号零点.因此, 用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用,对函数的不变号零点不适用.

变式迁移 1

下列函数图象与 x 轴均有交点,但不宜用二分法求交点横坐标的是(

)

1

二、求函数的零点 例2 判断函数 y=x3-x-1 在区间[1,1.5]内有无零点,如果有,求出一个近似零点(精确度 0.1).

分析 由题目可获取以下主要信息:①判断函数在区间[1,1.5]内有无零点,可用根的存在性定理判断;②精确度 0.1.解答本题在判断出在[1,1.5]内有零点后可用二分法求解. 解 因为 f(1)=-1<0,f(1.5)=0.875>0,且函数 y=x3-x-1 的图象是连续的曲线,所以它在区间[1,1.5]内有零 点,用二分法逐次计算,列表如下: 区间 (1,1.5) (1.25,1.5) (1.25,1.375) (1.312 5,1.375) 由于|1.375-1.312 5|=0.062 5<0.1, 所以函数的一个近似零点为 1.312 5. 点评 由于用二分法求函数零点的近似值步骤比较繁琐,因此用列表法往往能比较清晰地表达.事实上,还可 中点值 1.25 1.375 1.312 5 1.343 75 中点函数近似值 -0.3 0.22 -0.05 0.08

用二分法继续算下去,进而得到这个零点精确度更高的近似值. 变式迁移 2 求函数 f(x)=x3+2x2-3x-6 的一个正数零点(精确度 0.1).

解 由于 f(1)=-6<0,f(2)=4>0,可取区间(1,2)作为计算的初始区间,用二分法逐次计算,列表如下: 区间 (1,2) (1.5,2) (1.5,1.75) (1.625,1.75) (1.687 5,1.75) 由于|1.75-1.687 5|=0.062 5<0.1, 所以可将 1.687 5 作为函数零点的近似值. 中点 1.5 1.75 1.625 1.687 5 1.718 75 中点函数值 -2.625 0.234 4 -1.302 7 -0.561 8 -0.170 7

三、二分法的综合运用 例3 分析
x

证明方程 6-3x=2x 在区间[1,2]内有唯一一个实数解,并求出这个实数解(精确度 0.1). 由题目可获取以下主要信息:①证明方程在[1,2]内有唯一实数解;②求出方程的解.解答本题可借助函

数 f(x)=2 +3x-6 的单调性及根的存在性定理证明,进而用二分法求出这个解. 证明 设函数 f(x)=2x+3x-6, ∵f(1)=-1<0,f(2)=4>0, 又∵f(x)是增函数,所以函数 f(x)=2x+3x-6 在区间[1,2]内有唯一的零点, 2

则方程 6-3x=2x 在区间[1,2]内有唯一一个实数解. 设该解为 x0,则 x0∈[1,2], 取 x1=1.5,f(1.5)=1.33>0,f(1)· f(1.5)<0, ∴x0∈(1,1.5), 取 x2=1.25,f(1.25)=0.128>0, f(1)· f(1.25)<0,∴x0∈(1,1.25), 取 x3=1.125,f(1.125)=-0.445<0, f(1.125)· f(1.25)<0,∴x0∈(1.125,1.25), 取 x4=1.187 5,f(1.187 5)=-0.16<0, f(1.187 5)· f(1.25)<0, ∴x0∈(1.187 5,1.25). ∵|1.25-1.187 5|=0.062 5<0.1, ∴1.187 5 可以作为这个方程的实数解. 点评 用二分法解决实际问题时,应考虑两个方面,一是转化成函数的零点问题,二是逐步缩小考察范围,逼

近问题的解. 变式迁移 3 3 求 2的近似解(精确度为 0.01 并将结果精确到 0.01).

3 解 设 x= 2,则 x3-2=0. 3 令 f(x)=x3-2,则函数 f(x)的零点的近似值就是 2的近似值,以下用二分法求其零点的近似值. 由于 f(1)=-1<0,f(2)=6>0,故可以取区间[1,2]为计算的初始区间. 用二分法逐步计算,列表如下: 区间 [1,2] [1,1.5] [1.25,1.5] [1.25,1.375] [1.25,1.312 5] [1.25,1.281 25] [1.25,1.265 625] [1.257 812 5,1.265 625] 由于|1.265 625-1.257 812 5|=0.007 81<0.01, 所以函数 f(x)零点的近似值是 1.26, 3 即 2的近似值是 1.26. 四、总结 1.能使用二分法求方程近似解的方法仅对函数的变号零点适用,对函数的不变号零点不适用. 1 2.二分法实质是一种逼近思想的应用.区间长度为 1 时,使用“二分法”n 次后,精确度为 n. 2 3.求函数零点的近似值时,所要求的精确度不同,得到的结果也不相同.精确度为 ε,是指在计算过程中得到 某个区间(a,b)后,若其长度小于 ε,即认为已达到所要求的精确度,可停止计算,否则应继续计算,直到 |a-b|<ε 为止. 练习 3 中点 1.5 1.25 1.375 1.312 5 1.281 25 1.265 625 1.257 812 5 1.261 718 75 中点函数值 1.375 -0.046 9 0.599 6 0.261 0 0.103 3 0.027 3 -0.01 0.008 6

1.下列函数中不能用二分法求零点的是( A.f(x)=2x+3 B.f(x)=lnx+2x-6 D.f(x)=2x-1

)

C.f(x)=x2-2x+1

2. 设 f(x)=3x+3x-8, 用二分法求方程 3x+3x-8=0 在 x∈(1, 2)内近似解的过程中得 f(1)<0, f(1.5)>0, f(1.25)<0, 则方程的根落在区间( )

A.(1,1.25) B.(1.25,1.5) C.(1.5,2) D.不能确定 3.函数 f(x)=x2-5 的正零点的近似值(精确到 0.1)是( A.2.0 B.2.1
x-1

)

C.2.2

D.2.3 )

4.方程 2 A.(0,1)

+x=5 的解所在的区间是(

B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

5. 用二分法研究函数 f(x)=x3+3x-1 的零点时, 第一次经计算 f(0)<0, f(0.5)>0, 可得其中一个零点 x0∈________, 第二次应计算________.以上横线上应填的内容为( A.(0,0.5),f(0.25) B.(0,1),f(0.25) C.(0.5,1),f(0.25) D.(0,0.5),f(0.125) 6.在用二分法求方程 f(x)=0 在[0,1]上的近似解时,经计算,f(0.625)<0,f(0.75)>0,f(0.687 5)<0,即可得出方程 的一个近似解为____________(精确度为 0.1). 7.用二分法求方程 x2-5=0 在区间(2,3)的近似解经过________次二分后精确度能达到 0.01. 8.用二分法求函数的零点,函数的零点总位于区间[an,bn] (n∈N)上,当|an-bn|<m 时,函数的零点近似值 x0 = an+bn 与真实零点 a 的误差最大不超过______.答案 2 m 2 )

4


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