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云南师大附中2015届高考适应性月考卷(五)理科数学-答案


云南师大附中 2015 届高考适应性月考卷(五) 理科数学参考答案
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 【解析】
, 3, 5, 6, 8}, ∴( U A) 1.∵痧 U A ? {2 B ? {3, 6, 8} ,故选 B.

1 B

/>2 A

3 A

4 B

5 C

6 C

7 C

8 B

9 D

10 C

11 D

12 A

2. z ?

5 ? i (5 ? i)(1 ? i) ? ? 2 ? 3i, 在复平面内对应的点的坐标为 (2,3) ,故选 A. 1 ? i (1 ? i)(1 ? i)

3. 1 ? 2 ? 4 ? 8 ? 16 ? 1024 ,结束循环时 i ? 32 ,故条件可为 i≥32 ,故选 A. 4.如图 1 所示, x, y 所满足的可行域为图中阴影部分区域,

x z 对于直线 y ? ? ? ,显然经过 P 点时截距取得最小值, 3 3
即 z 取得最小值,此时 z ? 3 ? 3 ? 0 ? 3 ,故选 B. 5.易知,A、B、D 选项分别对应的是俯视、正视、侧视时 的投影,故选 C.
图1

∵3a3 ? 4a7, ∴3(a1 ? 2d ) ? 4(a1 ? 6d ) , 8d? 0 , a1 ? 0 , 6. 得 a1 ? 1 即 a19 ? 0 ,S18 ? S19 . 而 d ? 0,

故 Sn 的最小值在 n ? 18 或 n ? 19 处取得,故选 C. 7.在 △ ABC 中, b ? a ? c ? b ? a ,故 1 ? c ? 3 .又 △ ABC 为钝角三角形,显然钝角不为 A,
∴ cos B ? 0 或 cos C ? 0 ,即

a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? b2 ? c 2 b ? 2 代入,最终解 ? 0或 ? 0 ,将 a ? 1, 2ac 2ab

得 1 ? c ? 3 或 5 ? c ? 3 ,故选 C.
3 8.假如 A 书给谁没有规定,一共有 C2 4 ? A3 种分法,本来 A 书给哪个同学都是等可能的,现在

理科数学参考答案·第 1 页(共 11 页)

规定 A 书只能给甲同学,所以一共有

3 C2 4 ? A3 ? 12 种分法,故选 B. 3

9. | OB ? OC | =1,即 | CB | =1 ,则 C 点在以 B 为圆心,1 为半径的 圆上运动,如图 2 所示,连接 AB ,与此圆相交于点 C1, C2 ,显 然 | AC1 | ≤ | AC | ≤| AC2 | ,由余弦定理可知,
| AB |? | OB |2 ? | OA |2 ?2 | OB | ? | OA | ? cos π ? 7, 3

图2

所以 7 ? 1≤| AC | ≤ 7 ? 1 ,故选 D.
∴ MN ∥ PB, 10.如图 3,∵ M、N 分别为AB和AP的中点,
∵ MN ? CN, ∴ PB ? CN ,又 P ? ABC 为正三棱锥,
∴ PB ? AC , AC

CN ? C ,

∴ PB ? 平面 PAC ,∴ PB ? PA,PB ? PC ,

图3

同理可得 PA ? PC ,所以 PA,PB,PC 两两垂直,且 PA ? PB ? PC ? 1 ,所以外接球半径
3 ,所以外接球表面积为 3π ,故选 C. 2



11. f ( x) ? kx ? k ? 0 ,即方程 f ( x) ? k ( x ? 1) 有四个实数 根,即函数 y ? f ( x) 和函数 y ? k ( x ? 1) 的图象有四个 交点,分析得, y ?

ln( x ? 1) 的图象先增后减,在 x ?1

x ? e ? 1 处取得最大值,如图 4 所示,设直线与
图4

y?

? ln( x ? 1) ? ln( x ? 1) 则 0 ? k ? k0 即可. 设切点为 ? x0, 0 ( x ≥ 0) 的图象相切时斜率为 k 0 , ?, x0 ? 1 ? x ?1 ?
1 ? ln( x0 ? 1) ln( x0 ? 1) 1 ? ln( x0 ? 1) ? ( x ? x0 ) ,又切线经过点 ,则切线方程为 y ? 2 ( x0 ? 1) x0 ? 1 ( x0 ? 1) 2

则 k0 ?

理科数学参考答案·第 2 页(共 11 页)

(?1,0) ,代入解得 x0 ? e ? 1 ,故 k0 ?

1 1 ,故概率为 P ? ,故选 D. 4e 2e

12.如图 5 所示,设右焦点为 F2 ,连接 PF2 ,
F1 F2 为圆的直径, PF1 ? PF2 ,∴△F1MA∽△F1PF2 ,

F1M ? 3MP ,∴

F1 A F1 F2

?

F1M F1 P

?

3 3 3 ,∴a ? c ? ? 2c ? c , 4 4 2
2

∴ c ? 2a ,又 S△F1MA ?

27 ? 4 ? 27 ? 12 , ,∴ S△F1PF2 ? ? ? ? 4 4 ?3?
图5
2 2

故 PF1 ? PF2 ? 24 ,又 PF1 ? PF2 ? 2a ,

PF1 ? PF2 ? (2c) ? 16a ,即 ( PF1 ? PF2 ) ? 2 PF1 ? PF2 ? 16a ,
2 2

2

2

即 4a 2 ? 48 ? 16a 2 ,∴a2 ? 4, b2 ? c2 ? a2 ? 12 ,所以双曲线方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,故选 A. 4 12

第Ⅱ 卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 题号 答案 【解析】
r r ? x6? r ? (?2 x 2 )r ? C6 ? (?2)r ? x 13.展开式的通项公式 Tr ?1 ? C6 ? 1 6? 3r 2

13 240

14 8

15 2017

16 ①③

,显然 r ? 4 时得到常数项,此

时, T5 ? 240 .
?2 1? x 4y x 4y ? 2≥4 ? 2 ? ?8. 14.由题意 x ? 2 y ? ( x ? 2 y ) ? ? ? ? 2 ? ? y x y x ?x y?

15.当 x≤2015 时, f ( x) ? ? f ( x ? 3) ? ?[? f ( x ? 6)] ? f ( x ? 6) ,此时 f ( x) 为周期为 6 的周期函 数, 2015 ? 6 ? 335 ? 5 ,∴ f (1) ? f (2011) ? ? f (2014) ? f (2017) ? 2017 .
? 16.① y ? 2sin ? x ? ? π? π? π π? π? π? ? ? ? 2? ? cos ? x ? ? ? 2sin ? x ? ? ? cos ? x ? ? ? 2cos ? x ? ? 4? 4 4 2 4 4? ? ? ? ? ? ? ?

? π? 3 ? ? ?π π? ? 1 ? cos ? 2 x ? ? ? 1 ? sin 2 x , x ? ? , ? ,∴ y ? ?1 ? ,2? ,故①正确; 2? 2 ? ?6 3? ? ?

理科数学参考答案·第 3 页(共 11 页)

② f ( x) 的定义域为 {x x ? 2kπ, k ? Z} ,周期不可能为 ? ,故②错;
?π ? 1? 对 称 的 点 为 ③ 设 点 P ( x,y ) 为 函 数 y ? g ( x) 图 象 上 的 点 , 则 其 关 于 ? , ?8 ?
?π P? ? ? x ,2 ? ?4 π? ? ?π ? ? ? π? y ,而 P? 在函数 f ( x) ? 2sin ? 3x ? ? 图象上,故 2 ? y ? 2sin ?3 ? ? x ? ? ? ? 4? ? ? ? 4? ? ?4

?π ? ? 2sin ? ? 3 x ? ? 2 cos 3 x ,∴ y ? 2 ? 2cos3x ,故③正确. ?2 ?

三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)
an ? 2an?1 ? 1(n≥2) ,∴ a2 ? 2a1 ? 1 ? 3 . 解:(Ⅰ)因为 a1 ? 1,
an ? 1 ? 2 ,又 a1 ? 1 ? 2 , an ?1 ? 1

当 n≥2 时, an ? 1 ? 2(an ?1 ? 1) ,

∴{an ? 1} 是以 2 为首项, 2 为公比的等比数列,

∴an ? 1 ? (a2 ? 1) ? 2n?2 ? 2n ,∴an ? 2n ? 1 (n≥2) ,

又 n ? 1 时,a1 ? 2 ? 1 ? 1 也满足 an ? 2n ? 1 ,∴an ? 2n ? 1 . …………………………(6 分) (Ⅱ) bn ? log2 (an ? 1) ? log2 2n ? n , cn ? an ? bn ? n ? (2n ? 1) ? n ? 2n ? n ,

Tn ? 1? 21 ? 1 ? 2 ? 22 ? 2 ? ??? ? n ? 2n ? n ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? ??? ? n ? 2n ?

n(n ? 1) , 2

令 Sn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? ??? ? n ? 2n ,①
2Sn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? ??? ? n ? 2n?1 ,②

①-②得:

理科数学参考答案·第 4 页(共 11 页)

?Sn ? 21 ? 22 ? ??? ? 2n ? n ? 2n?1 ?

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n?1 ? (1 ? n) ? 2n?1 ? 2 , 1? 2

得 Tn ? Sn ?

n(n ? 1) n(n ? 1) ? (n ? 1) ? 2n?1 ? ?2. 2 2

…………………… (12 分)

18. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:如图 6 所示,连接 BD ,交 AE 于点 F ,因为 E 为 CD 中点,故 DE ? 1 ,

AD AB ? ? 2 ,又 ?BAD ? ?ADE ? 90? , DE AD
∴△BAD∽△ ADE ,∴?ABD ? ?DAE ,

∴ ?DAE ? ?ADB ? ?ABD ? ?ADB ? 90? ,
∴ ?AFD ? 90? ,即 AE ? BD .

因为是沿着 AE 折叠的,故不改变 D1 F ? AE,BF ? AE , 又 D1 F
BF ? F ,∴ AE ? 平面 BD1 F ,
图6

∴ AE ? BD1 . 而 BD1 ? 平面 BD1 F ,

…………………………………… (6 分)

(Ⅱ)解: (法一)如图 7 所示,∵ D1 F ? AE ,且 D1 ? AE ? B 为直二面角,
∴ D1 F ? 平面 ABCE ,∴ D1 F ? BC ,

过 F 作 FG ∥ EC ,∴ FG ? BC ,
FG D1 F ? F , BC ? 平面 D1GF ,∴ BC ? D1G ,

∴ ?D1GF 为二面角 D1 ? BC ? A 的一个平面角,

易求得 D1 F ?

6 4 , FG ? ,∴ D1G ? 3 3

2 16 22 ? ? , 3 9 3
图7

4 GF 2 22 , cos ?D1GF ? ? 3 ? GD1 11 22 3
故二面角 D1 ? BC ? A 的余弦值为
2 22 . 11

………………………… (12 分)

(法二)已知 D1 F ? AE,BF ? AE ,且 D1 ? AE ? B 为直二 面角,故知 FD1、FE、FB 两两垂直,故可建立如图 8 所示
?2 6 ? ? 6 2 3 ? 的空间直角坐标系, B ? 0? ? 3 ,0,0 ? ?,C? ? 3 , 3 , ?, ? ? ? ?

理科数学参考答案·第 5 页(共 11 页)

? ? 6 2 3 6? 6? , ∴ D1C ? ? D1 ? 0, ? , ,? ?, ? 0, ? ? 3 ? 3 3 ? ? ? 3 ? ? ? 6 2 3 , BC ? ? 0? ?? 3 , 3 , ? ? ? ? 6? 由(Ⅰ)知 FD1 ? ? 为平面 ABC 的一个法向量, 0, ? ? 0, 3 ? ? ?
设平面 D1 BC 的一个法向量为 n ? ( x2,y2,z2 ) ,
? ? 6 2 3 6? , ,? ?( x2,y2,z2 ) ? ? ? ? 0, ? 3 3 ? ? ? 3 ? ?n ? D1C, ? ?n ? D1C ? 0, ? 则? 即? 有? ? ? n ? BC ? 0, ?( x ,y ,z ) ? ? ? 6 ,2 3 ,0 ? ? 0, ? n ? BC, ? ? ? 2 2 2 ? ? 3 ? 3 ? ? ?
图8

? 6 2 3 6 x ? y2 ? z2 ? 0, ? ? 3 2 3 3 从而 ? 取 y2 ? 1 ,则 x2 ? 2,z2 ? 2 2 , 2 3 ? 6 ? x2 ? y2 ? 0, ? 3 ? 3
所以 n ? ( 2,, 1 2 2) . 设二面角 D1 ? BC ? A 的大小为 ? ,
6 ?2 2 2 22 ∴ cos ? ? ? 3 ? , 11 | FD1 | ? | n | 6 ? 11 3 FD1 ? n
2 22 . 11

故二面角 D1 ? BC ? A 的余弦值为 19. (本小题满分 12 分)

……………………… (12 分)

解: (Ⅰ)设甲球员罚球命中数为 x ,乙球员罚球命中数为 y ,则应有 x ? y ? 2 ,
9 ?1? ? 3? P( x ? 0,y ? 2) ? ? ? ? ? ? ? , 625 ?5? ?5?
2 2

4 1 1 3 2 96 , P( x ? 1 ,y ? 1) ? C1 ? ? C2 ? ? ? 2 ? 5 5 5 5 625

理科数学参考答案·第 6 页(共 11 页)

64 ?4? ?2? P( x ? 2,y ? 0) ? ? ? ? ? ? ? , 625 ?5? ?5?

2

2

P( x ? y ? 2) ?

9 96 64 169 . ? ? ? 625 625 625 625

………………………… (6 分)

(Ⅱ)若不犯规,则甲球员得分的期望 E ( X1 ) ? 2 ? 0.95 ? 1.9 ,
1 2, 3, 若犯规,则甲球员得分 X 2 可以的取值为 0,,

4 1 1 4 4 4 1 32 , P( X 2 ? 1) ? ? C1 , P( X 2 ? 0) ? ? ? ? ? ? 2 5 5 5 125 5 5 5 125
P( X 2 ? 2) ? 4 ? 4 ? 1 1 69 1 4 4 ?? ? ? ? ? , P( X 2 ? 3) ? ? ? , 5 ? 5 ? 5 5 125 5 5 25
2

∴ E( X 2 ) ?

4 32 69 4 ?0? ?1 ? ? 2 ? ? 3 ? 1.84 , 125 125 125 25
………………………… (12 分)

E ( X1 ) ? E ( X 2 ) , 所以应该犯规.

20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) e ?
c a 2 ? b2 1 ? ? ,又菱形面积 S ? 2ab ? 4 3 ,易得: a ? 2, b? 3, a a 2

故椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1. 4 3

………………………… (4 分)

(Ⅱ)设点 M ( x1,y1 ),N ( x2,y2 ) ,当切线与 x 轴不垂直时,设切线方程为 y ? kx ? m ,
? x2 y 2 ? 1, ? ? 联立 ? 4 得 (4k 2 ? 3) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 12 ? 0 , 3 ? y ? kx ? m, ?

x1 ? x2 ?

?8km 4m2 ? 12 , , x x ? 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

?? ?8km ?2 4m 2 ? 12 ? ∴ MN ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ] ? (1 ? k 2 ) ?? 2 ?, ? ? 4? 4k 2 ? 3 ? ?? 4k ? 3 ? ? ?

理科数学参考答案·第 7 页(共 11 页)

化简得: MN ? (1 ? k 2 )

(192k 2 ? 144 ? 48m2 ) ,① (4k 2 ? 3)2

m 5 5 因为直线 y ? kx ? m 与圆 x2 ? y 2 ? 相切,故 , ? 2 3 3 1? k

5 即 m2 ? (k 2 ? 1) ,将其代入①式得: 3
MN ? (1 ? k 2 ) (112k 2 ? 64) ,令 t ? k 2 (t≥0) , (4k 2 ? 3)2

则 MN ? 16 ?

(t ? 1)(7t ? 4) 7t 2 ? 11t ? 4 ? 4 ? (4t ? 3)2 16t 2 ? 24t ? 9

t 1 7 1 ? ? 2 7 2 16 16 t ? 24t ? 9 16 ? 4? ? 4? ? 16 ? 16 16t 2 ? 24t ? 9 8t ? 1

? 4?

7 ? 16

6 5 1 7 1 ? , ≤4 ? ? 25 5 16 ? ? ? ? 25 4 ? ? 8t ? 1 ? ? 10 ? 4?? ? 2 (8t ? 1) ? 8t ? 1 ? 10 ? ? 8t ? 1 ? ? ? ? 2 25 1 . , 即t ? 时等号成立,此时 k ? ? 2 8t ? 1 2 6 5 5 ,代入算得 MN ? 7 ? , 5 3

当且仅当 8t ? 1 ?

当斜率不存在时, x2 ? 故当 k ? ?

2 6 5 15 1 时, | MN | 取得最大值 ,又 S△OMN ? ? | MN | ?r , r 为定值 , 2 5 3 2 2 . 2

故 MN 取得最大值时, S△OMN 亦取得最大值 3 ,此时 k ? ? 21. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)若 a ? ?1 , f ( x) ? 则 f ?( x) ?

…………(12 分)

ex ? x2 ? 2 x ? 3 , x

ex ? x ? ex (ex ? 2x2 )( x ? 1) , e x ? 2 x 2 ? 0 恒成立, ? 2 x ? 2 ? 2 2 x x

? ?) ,单调递减区间为 (??, 0) 和 (0, 1) . 故知 f ( x) 的单调递增区间为 (1,

理科数学参考答案·第 8 页(共 11 页)

……………………………………………………………… (4 分) (Ⅱ)对任意的 x ? (0,4] , f ( x) ?

ex ? a( x2 ? 2x ? 3)≥0 恒成立, x

由于 x2 ? 2x ? 3 ? ( x ? 1)( x ? 3) , x ? 3 时,任意 a 都成立. 当 x ? (0,3) 时, x2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,故等价于 a≥
ex 恒成立, x( x ? 2 x ? 3)
2

令 g ( x) ?
∴ g ?( x) ?

ex ,x ? (0, 3) ,故等价于 a≥g ( x)max , x( x ? 2 x ? 3)
2

e x ( x3 ? 2 x 2 ? 3x) ? (3x 2 ? 4 x ? 3)e x e x ( x3 ? 5 x 2 ? x ? 3) e x ( x ? 1)( x 2 ? 4 x ? 3) ? ? , [ x( x 2 ? 2 x ? 3)]2 [ x( x 2 ? 2 x ? 3)]2 [ x( x 2 ? 2 x ? 3)]2

当 x ? (0,3) 时,知 x2 ? 4 x ? 3 ? 0 ,
1) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递增; 故易得当 x ? (0, 3) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递减, 当 x ? (1,

e e ∴ g ( x)max ? g (1) ? ? ,∴ a≥ ? ; 4 4
当 x ? (3,4] 时, x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,故等价于 a≤
ex 恒成立, x( x 2 ? 2 x ? 3)

令 h( x ) ?

ex ,x ? (3,4] ,故等价于 a ≤ h( x)min , x( x ? 2 x ? 3)
2

同理可得 h?( x) ?

e x ( x ? 1)( x 2 ? 4 x ? 3) , [ x( x 2 ? 2 x ? 3)]2

当 x ? (3,4] 时,知 x ? 1 ? 0 , x2 ? 4 x ? 3 ? 0 , 故 h?( x) ? 0 ,故 h( x) 单调递减,故 h( x)min ? h(4) ?

e4 e4 ,∴ a≤ . 20 20

e e4 综上:? ≤a≤ . 4 20
22. (本小题满分 10 分) 【选修 4?1:几何证明选讲】 (Ⅰ)证明:如图 9,∵ PA 是切线, AB 是弦, ∴ ?BAP ? ?C . 又∵ ?APD ? ?CPE ,

………………………… (12 分)

理科数学参考答案·第 9 页(共 11 页)
图9

∴ ?BAP ? ?APD ? ?C ? ?CPE .

?ADE ? ?BAP ? ?APD , ?AED ? ?C ? ?CPE ,
∴ ?ADE ? ?AED . ………………………………………………………………… (5 分)

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知 ?BAP ? ?C ,又∵ ?APC ? ?BPA , ∴ △ APC ∽ △ BPA ,∴

PC CA . ? PA AB

∵ AC ? AP ,∴ ?APC ? ?C ,∴ ?APC ? ?C ? ?BAP . 由三角形内角和定理可知, ?APC ? ?C ? ?CAP ? 180? . ∵ BC 是圆 O 的直径,∴ ?BAC ? 90? ,∴ ?APC ? ?C ? ?BAP ? 180? ? 90? ? 90? ,

1 ∴ ?C ? ?APC ? ?BAP ? ? 90? ? 30? . 3
在 Rt△ ABC 中, ∴

1 CA 1 CA ,即 , ? ? tan C AB tan 30? AB
…………………………………………… (10 分)

CA PC CA ∴ ? 3, ? ? 3. AB PA AB

23. (本小题满分 10 分) 【选修 4?4:坐标系与参数方程】

? 2? ? 2? 2 解: (Ⅰ)圆的直角坐标方程为: ? x ? , ?? y? ? ? ? ? ? ? ?r 2 2 ? ? ? ?
? 2 2? 圆心坐标为 C ? , ? ?? ?, ? = 2 ? ? 2
圆心 C 在第二象限,? ?
? 2? ? 2? ? ? ?? 2 ? ? ?? ? ? ?1, ? ? ? 2 ?
2 2

2

2

3π ? 3π ? ,圆心极坐标为 ? 1, ? . 4 ? 4 ?

…………………………(5 分)

(Ⅱ)圆 C 上的点到直线 l 的最大距离等于圆心 C 到直线 l 的距离和半径之和,l 的直角坐 标方程为 x ? y ? 1 ? 0 ,
? 2 2 ? ?1 2 2 2

? r ? 2 2, r ?

3 2 . 2

…………………………………………… (10 分)

24. (本小题满分 10 分) 【选修 4?5:不等式选讲】
?3x ? 1( x ? 1), ? 解: (Ⅰ) f ( x) ? ? x ? 3(?1≤x≤1), ??3x ? 1( x ? ?1), ?

理科数学参考答案·第 10 页(共 11 页)

? 4 ? ∴ f ( x) ? 5 的解集为 ? x x ? 或x ? ?2 ? . 3 ? ?

…………………………………… (5 分)

(Ⅱ) f ( x) ? [2,? ?) , f ( x) ? a(a ? R) 的解集为空集,则 a ? (??,2] . …………(10 分)

理科数学参考答案·第 11 页(共 11 页)


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