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4.11已知三角函数值求角


§4.11已知三角函数值求角
1.复习正、余弦函数的图象和性质
y
1

? 2?

??

0

?1

y
1

?

2?

x

? 2?

r />??

0

?

2?

?1

x

2.回答下列问题
(1)正余弦函数在区间 ?0, 2? ? 上是否具有 单调性? ? ? ?? ? , ? (2)正弦函数在区间 ? 2 2 ? ? 上,满足条 件 sin x ? a ?1 ? a ? 1 的 x有几个? 在?0, 2? ?上呢?

?

?

0, ? ? ? (3)余弦函数在区间
件 cos x ? a 在 ?0, 2? ?上呢?

? ?1 ? a ? 1?

上,满足条 的 x 有几个?

新课教学:

1 例1. 已知: sin x ? ? ? 2 (1)若 x ? [ ? , ],求 2 2
1.反正弦的概念

x; (2)若 x ? [0,2? ],求x ;
? ? ?? 在闭区间 ? ? , ?上,符合条件 ? 2 2?

x 角叫做实数 a 的反正弦,记作: arcsin a ? ? 即x ? arcsin a ? ?1 ? a ? 1? 其中x ? [ ? , ] 2 2
的 且

sin x ? a ? ?1 ? a ? 1?

a ? sin x

例2.已知: (1) 若 (2)若 x ? [0,2? ] , 求

1 cos x ? 2 x ? [0, ? ] ,求

x x



.

2.反余弦函数的概念 在闭区间 ? 0, ? ? 上,符合条件

cos x ? a(?1 ? a ? 1) 的角 x 叫做实数 a 的反余弦,记作: arccos a 即x ? arccos a其中 x ??0,? ? 且a ? cos x

练习:
(1)已知 cos x ? ?0.7660,且

(2)已知 cos x ? ?0.7660,且 x ??0, 2? ? ,求x 的取值集合

x ??0,? ?,求 x

? ? ?? 例3.(1)已知sin x ? ?0.3322 ,且 x ? ? ? , ? 2 2 ? ? 求 x (用弧度表示)
(2)已知, sin x ? ?0.3322且 x ? 0, 2? 求 的取值集合

x

?

?

练习:
课本76页1,2(1)(2)(4)(5)3(1)(3)
3.归纳总结

(1)已知三角函数值求角解题的一般步骤:
(2)
定 义 记 法 取值范围 反正弦 反余弦

y

3? ? 2

?? ?

?
2

0 ?

2

?

3? 2

x

(1)若 (2)若

1 例4.已知 : tan x ? 3 ? ?
x ? (?

, ) ,求 x (精确到 0.1? ) 2 2 x ? [0,2? ] ,求 x
? ? ? ? 内,符合条 2 2?

3.反正切的概念? ? ? ? ,
在开区间

件 tan x ? a (a 为任意实数)的角 叫做实数 a 的反正切,
? 2 2?

x,

记作 : arctan a ,即 x ? arctan a ? ? ?? 其中 x ? ? ? , ? 且 a ? tan x .

例5.

? ? ?? (1)已知: cot x ? ? 2 ,且 x ? ? ? , ? ,求 ? 2 2? (2)已知: cot x ? ? 2 ,且 0, 2? ,求

?

?

x x

的取值集合.

练习:
课本76页2(3)(6)3(2)(4)

练习1、求适合下列条件的角x

练习2、求适合下列条件的x的 集合

1、已知任意一个角(角必须 属于所涉及的三角函数的定义 域)可以求出它的三角函数值; 反过来,已知一个三角函数值, 也可以求出与它对应的角。

2、已知角的某个三角函数值求 角的步骤如下:
(1)找出与函数值的绝对值对应的锐角 (2)根据所给值的符号,判断角α所在的象 限,求得[0,2π)范围内的角α,即如果适合 条件的角在第二象限,α=180°-α1;如果在 第三象限,α=180°+α1;如果在第四象限, α=360°-α1。 (3)将以上求得的角α各边上2kπ,即用终 边相同的角的表示式写出所有适合条件的角



归纳小结,强化思想
1.sinx=a的解集
(1) 因为 |sinx|≤1,所以当 |a| > 1时,方程 sinx=a的解

集为

; ?

(2)当|a|=1时, x
(3)当|a|<1时, x (4)

? 2k? ? arcsin a, k ? Z
k ? Z; ? k? ? (?1) arcsin a ,
k

sin x ? sin ? x ? k? ? (?1) ? , k ? Z
,
k

2.cosx=a的解集
(1)因为|cosx|≤1,所以当|a|>1时,方程 cosx=a的解集为 ?

? 2k? ? arccos a, k ? Z k?Z (3)当|a|<1时, x ? 2k? ? arccos a , (4) cosx ? cos?, x ? 2 k? ? ? , k ? Z x (2)当|a|=1时,
3.tanx=a的解集:x=kπ+arctana,k ? Z

书面作业: 习题4.11
第1题 第3题 第2题 第4题


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