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二项式定理与数列求和


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二项式定理与数列求和
陕西 1 对一道高考题的探究 刘大鸣

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题目(03 上海高考)已知数列 ?a n ? 是首项为 a 1 ,公比为 q 的等比数列. ⑴ 求
a1C 2
0

? a 2 C 2 ? a 3C

2

1

2

, a1C 3 0

? a 2 C 3 ? a 3C 3

1

2

? a 4C 3

3

; ⑵ 由 ⑴ 的结果归纳慨括出关于正整数的 n 的

一个结论,并加以证明. 简析: 注意二项式定理展开式的特征“除二项式系数外是关于
b a

为公比的等比数列的和”.用等比数列
? a1 ?1 ? q ?

的 通 项 公 式 , 逆 用 定 理 解 决 .⑴

a1C 2

0

? a 2 C 2 ? a 3C 2

1

2

? a1 ? 2 a1 q ? a1 q

2

2



a1C 3 ? a 2 C 3 ? a 3 C 3

0

1

2

? a 4C 3

3

? a1 ? 3 a1 q ? 3 a1 q

2

? a1 q

3

? a1 ?1 ? q ? ;
3

⑵ 由⑴的结果归纳慨括出关于正整数的 n 的
q

一 个 结 论 : 数 列
a1C n
0

?a n ?

是 首 项 为
n n

a1
n

, 公 比 为

的 等 比 数 列 , 则

? a 2 C n ? a 3C n

1

2

? a 4 C n ? ? ? ?? 1 ? a n ? 1C n
3

? a1 ?1 ? q ?

将通项公式代入逆用二项式定理证明:
n

a1C n

0

? a Cn

?

? a 2C n ? a 3C n
0

1

2

? a 4 C n ? ? ? ?? 1? a n ?1 C n
3 n 2

? qC

1 n

? q Cn
2

? q C n ? ? ? ?? 1? q C n
3 3 n n

n

?? a

? a1C n
1

0

? a 1 qC

1 n

? a1q C n
2

2

? a 1 q C n ? ? ? ?? 1? a 1 q
3 3 n

n

?1 ? q ? n .

2 类比推广探究方法和结论: 重新认识二项式定理,其展开式,实质为二项式系数构成的一个数列与一个等比数对应项的积构成的数 列的和,于是,沟通了二项式定理和数列的求和的关系.凡与二项式系数有关的恒等式问题,常常借助二项 式定理和数列求和的解决. 问题:如何求 定理求和; 若 an 是某等比数列的和,则求和公式代入分解组合,整体逆用二项式定理求和;若 ?a n ? 是等差数列, 则“反序整体思维求和”. 3 应用
例 1 .a n ? 1 ? q ? q ? ? ? q
2 n ?1

?
i?0

n

a i C n ? 探究的结论及方法: 若 ?a n ? 是等比数列,则通项公式代入,逆用二项式
i

?q

? ? 1, n ? N

*

?, A

n

? C n a 1 ? C n a 2 ? ? ? C n a n , 若 - 3 ? q ? 1, 求

1

2

n

n

An 2
n

.

简析:如何求和?等比数列求和公式代入,分解组合整体逆用二项式定理化简求解.注意二项式定理展开 式的特征,两个特殊数列对应项的积构成的数列之和,重新改写所求和,分解组合,目标逆用二项式定 理
由题设知, 1 1? q an ? 1? q
n

.
,? A n ? C n ?
1

1? q 1? q

1? q
n

? Cn ?
n

2

1? q

2

1? q

? ? ? Cn ?

n

1? q

n

1? q

?

1 1? q

?C

1 n

? Cn ? ? ? Cn

2

n

??

q 1? q

?C

1 n

q ? Cn q ? ? Cn q
2

2

n

n

?

?

?2

n

? 1 ? ?1 ? q ? ? 1 ?

?

1 1? q

?2

n

? ?1 ? q ? .

?

例 2 (教材第二册下(A) 146 页 8 题) 求 S n ? C n ? 2 C n ? 3 C n ? ? ? nC

1

2

3

n n

.

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性质及等差数列“角数和”性质, “反序求和”使问题简单化.

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简析:教材的意图是用组合数性质推论“连锁反应”求证. 若注意二项式定理展开式的特征和组合数的

? S n ? C n ? 2C n ? 2 S n ? nC
r

1

2

? 3 C n ? ? ? nC
1 n

3

n n

, S n ? nC
0 n n

n n

? ? n ? 1 ?C n

n ?1

? ? ? 2C n .

2

? Cn

1

n n

? nC
r

? nC
r

2 n

? ? ? nC
r

? n 2 ,? S n ? n ? 2

n ?1

例 3 求和 C r ? C r ? 1 ? C r ? 2 ? ? ? C n ? 1 ? n ? r ? ? ? 简析:可用组合数性质推论“连锁反应”求证.若注意到二项式定理和组合数及数列求和之间的关系,受 教材第二册下(A) 146 页 7 题求解的启示,构造等比数列和的恒等式,对照某项的系数获解.依题设可构建

?1 ? x ?r
r

? ?1 ? x ?

r ?1

? ? ? ?1 ? x ? ?
n

?1 ? x ?r ?1 ? ?1 ? x ?n ? r ? 1 ? ? 1 ? ?1 ? x ?
r

1 x

??1 ? x ?

n ?1

? ?1 ? x ? , 对照两边的
r

?

x

r ?1

系数可得

,

C r ? C r ? 1 ? C r ? 2 ? ? ? C n ?1

r

r

?n

? r ? ? C n ?1 .
r

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