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排列组合和二项式定理(第14课)二项式定理(3)




题:

10.4 二项式定理(三)

教学目的: 1 理解和掌握二项式系数的性质,并会简单的应用; 2.初步了解用赋值法是解决二项式系数问题; 3.能用函数的观点分析处理二项式系数的性质,提高分析问题和解决问题 的能力 教学重点:二项式系数的性质及其对性质的理解和应用 教学难点:二项式系数的性质及其对性质的理解和应用 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1.二项式定理及其特例:
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n 0 n 1 n r n ?r r n n ? (1) (a ? b) ? Cn a ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn b (n ? N ) , n 1 r r n (2) (1 ? x) ? 1 ? Cn x ? ? ? Cn x ? ? ? x . r n?r r 2.二项展开式的通项公式: Tr ?1 ? Cn a b

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3.求常数项、有理项和系数最大的项时,要根据通项公式讨论对 r 的限制;求 有理项时要注意到指数及项数的整数性 二、讲解新课: 1 二项式系数表(杨辉三角)
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(a ? b)n 展开式的二项式系数,当 n 依次取1, 2,3 ?时,
二项式系数表,表中每行两端都是 1 ,除1 以外的每一个 数都等于它肩上两个数的和 2.二项式系数的性质:
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1 (a ? b)n 展开式的二项式系数是 Cn0 ,C n ,Cn2 ,?,Cnn .Cnr

可以看成以 r 为自变量的函数 f (r ) 定义域是 {0,1, 2,?, n} ,例当 n ? 6 时,其图象是 7 个孤立的 点(如图) (1)对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等

m n?m (∵ Cn ? Cn ) .

直线 r ?

n(n ? 1)(n ? 2)?(n ? k ? 1) n ? k ?1 k , ? Cn ?1 ? k! k n ? k ?1 n ? k ?1 n ?1 k k ?1 ∴ Cn 相对于 Cn 的增减情况由 决定, , ?1? k ? k k 2 n ?1 当k ? 时,二项式系数逐渐增大.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的, 2
k (2)增减性与最大值.∵ Cn ?

n 是图象的对称轴. 2

且在中间取得最大值;
n
n ?1 n ?1

当 n 是偶数时, 中间一项 C n2 取得最大值; n 是奇数时, 当 中间两项 Cn 2 ,Cn 2 取得最大值. (3)各二项式系数和:
n 1 r r n ∵ (1 ? x) ? 1 ? Cn x ? ? ? Cn x ? ? ? x ,

n 0 1 2 r n 令 x ? 1 ,则 2 ? Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? ? ? Cn

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三、讲解范例: 例 1.在 (a ? b)n 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系 数的和
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n 0 n 1 n r n ?r r n n ? 证明:在展开式 (a ? b) ? Cn a ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn b (n ? N )

n 0 1 2 3 n n 中,令 a ? 1, b ? ?1 ,则 (1 ? 1) ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? ? ? (?1) Cn , 0 2 1 3 即 0 ? (Cn ? Cn ? ?) ? (Cn ? Cn ? ?) , 0 2 1 3 ∴ Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? ? ,

即在 (a ? b)n 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数 的和.
0 2 1 3 n ?1 说明:由性质(3)及例 1 知 Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? ? ? 2 .
7 2 7 例 2.已知 (1 ? 2 x) ? a0 ? a1 x ? a2 x ? ? ? a7 x ,求:

(1)a1 ? a2 ??? a7 ; (2) 1 ? a3 ? a5 ? a7 ; (3) a0 | ? | a1 | ??? | a7 | . | a 解: (1)当 x ? 1 时, (1? 2x)7 ? (1? 2)7 ? ?1,展开式右边为

a0 ? a1 ? a2 ??? a7
∴ a0 ? a1 ? a2 ??? a7 ? ?1 , 当 x ? 0 时, a0 ? 1 ,∴ a1 ? a2 ??? a7 ? ?1?1 ? ?2 , (2)令 x ? 1 , a0 ? a1 ? a2 ??? a7 ? ?1 ① ②

7 令 x ? ?1 , a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 3

7 ① ? ② 得: 2(a1 ? a3 ? a5 ? a7 ) ? ?1 ? 3 ,∴ a1 ? a3 ? a5 ? a7 ? ?

1 ? 37 . 2

(3)由展开式知: a1, a3 , a5 , a7 均为负, a0 , a2 , a4 , a8 均为正,
7 ∴由(2)中①+② 得: 2( a0 ? a2 ? a4 ? a6 ) ? ?1 ? 3 ,

∴ a0 ? a2 ? a4 ? a6 ?

?1 ? 37 , 2

∴ | a0 | ? | a1 | ??? | a7 |? a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7

? (a0 ? a2 ? a4 ? a6 ) ? (a1 ? a3 ? a5 ? a7 ) ? 37
2 10 3

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例 3.求(1+x)+(1+x) +?+(1+x) 展开式中 x 的系数
10 解: (1 ? x) ? (1 ? x) 2 ? ? 1 ? x) ? (

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(1 ? x)[1 ? (1 ? x)10 ] 1 ? (1 ? x)

=

( x ? 1)1 1 ? ( x ? 1) , x
3 4
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7 ∴原式中 x 实为这分子中的 x ,则所求系数为 C11

例 4.在(x +3x+2) 的展开式中,求 x 的系数

2

5

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解:∵ (x 2 ? 3x ? 2)5 ? (x ? 1)5 (x ? 2)5
1 5 ∴在(x+1) 展开式中,常数项为 1,含 x 的项为 C 5 ? 5 x , 1 4 5 5 在(2+x) 展开式中,常数项为 2 =32,含 x 的项为 C 5 2 x ? 80 x

∴展开式中含 x 的项为 1 ? (80 x ) ? 5x (32) ? 240 x , ∴此展开式中 x 的系数为 240 例 5.已知 ( x ?
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2 n 第五项与第三项的二项式系数之比为 14; 3, ) 的展开式中, x2
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求展开式的常数项

解:依题意 C4 : C2 ? 14: 3 ? 3C4 ? 14C2 n n n n ∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2! ? n=10 设第 r+1 项为常数项,又 Tr ?1 ? C10 ( x )
r 10? r
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(?

2 r r ) ? (?2) r C10x x2

10?5 r 2



10 ? 5r ? 0?r ? 2, 2
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2 ? T2?1 ? C1 0 (?2) 2 ? 180 . 此所求常数项为 180

四、课堂练习: (1) ? 2 x ? 5 y ? 为
20

的展开式中二项式系数的和为 项;

,各项系数的和

,二项式系数最大的项为第

(2) ( x ? )n 的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则第四项为
0 1 2 n n 1 2 3 ? n (3)Cn + 2C n + 4C n + ?? 2 C n ? 729 ,则 Cn ?Cn ?Cn ? ? Cn ? (

1 x

. )

A. 63

B. 64
50

C. 31

D. 32

(4)已知: (2 ? 3x)

? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a50 x50 ,
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2 2 求: (a0 ? a2 ? ? ? a50 ) ? (a1 ? a3 ? ? ? a49 ) 的值

答案: (1) 220 , 3 , 11 ;
20

(2)? 展开式中只有第六项的二项式系数最大,

3 ∴ n ? 10 , T4 ? C10 ( x )7 ( )3 ? 120 x ;

1 x

(3)A.
r n?r 五、小结 :1.性质 1 是组合数公式 C n ? C n 的再现,性质 2 是从函数的角度

研究的二项式系数的单调性,性质 3 是利用赋值法得出的二项展开式中所有二 项式系数的和; 2.因为二项式定理中的字母可取任意数或式,所以在解题时根据题意,给字母 赋值,是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法 六、课后作业:
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七、板书设计(略) 八、课后记:
6
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求 0.998 的近似值,使误差小于 0.001 .
6 6 0 1 1 6 6 解: 0.998 ? (1 ? 0.002) ? C6 ? C6 (?0.002) ? ? ? C6 (?0.002) , 2 2 展开式中第三项为 C6 0.002 ? 0.00006 , 小于 0.001 , 以后各项的绝对值更小, 6 6 0 1 1 可忽略不计,∴ 0.998 ? (1 ? 0.002) ? C6 ? C6 ( ?0.002) ? 0.998 ,

一般地当 a 较小时 (1? a)n ? 1? na

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