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陕西渭南市2013年高三教学质量检测 (Ⅱ)数学(理)


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陕西渭南市 2013 年高三教学质量检测 (Ⅱ)

数学(理)试题
注意事项: 1.本试题满分 150 分,考试时间 120 分钟; 2.答卷前务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写在答题卡和答题纸上; 3.将选择题答案填涂

在答题卡上,非选择题按照题号在答题纸上的答题区域内做答案。

第Ⅰ 卷(选择题 共 50 分)
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1.集合 A={x ? Z A.{1}

1 ? 2 x ? 2} ,B= {y y ? cos x, x ? A},则 A ? B = 2
B.{0} C.{0,1}
*

D.{-1,0,1}

2.在数列{an}中 a1=2i(i 为虚数单位)(1+i)an+1=(1-i)an(n ? N )则 a2013 的值为 , A.-2 B.-2i C.2i D.2

x2 y2 ? ? 1 的右焦点与抛物线 y 2 ? 12x 的焦点相同,则此双曲线的离心率为 3.已知双曲线 m 5
A.6 B.

3 2
1 4

C.

3 2 2
4 9

D.

3 4

4.已知 x 与 y 之产间的几组数据如下表: x y 0 1 3 6

? ? 则 y 与 x 的线性回归方程 y =bx+a 必过
A. (1,3) B. (1,5,4) C. (2,5) D. (3,7) 5.某几何体的主视图与俯视图如图所示,左视图与主视图相同,且图中的四边形都是边长为 2,的 正方形,两条虚线互相垂直,则该几何体的体积是 A.

4 3

B.

20 3

C.6

D.4

6.函数 y ? f (x) 在(0,2)上是增函数,函数 f(x+2)是偶函数,则 A. f (1) ? f ( ) ? f ( )

5 2

7 2

B. f ( ) ? f (1) ? f ( )

5 2

7 2

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C. f ( ) ? f ( ) ? f (1)

7 2

5 3

D. f ( ) ? f (1) ? f ( )

7 2

5 2

7.执行右边程序据图,输出的结果是 34,则①处应填入的条件是 A.k>4 B.k>3 C.k>2 D.k>5 8.若多项式 ?1 ? x? ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a3 x 3 ,则
3

a1 ? 2a2 ? 3a3 ? 4a4 ?
A.26 C.27 B.23 D.29

?x ? 0 x ? 2y ? 3 ? 9.设 x,y 满足约束条件 ? y ? x ,则 的取值范围是 x ?1 ?4 x ? 3 y ? 12 ?
A.[1,5] B.[2,6] C.[3,11] D.[3,10]

x 2 x3 x 4 x 2013 ? ? ??? 10.已知函数 f ( x) ? 1 ? x ? 的零点均在区间 ?a, b??a ? b, a, b ? Z ? 内, 2 3 4 2013
则圆 x ? y ? b ? a 的面积的最小值是
2 2

A.4 ?

B. ?

C.9 ?

D.以上都不正确

第Ⅱ 卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,请将正确答案写在答题纸相应区域上) 11.某高三学生希望报名参加某 6 所高校中的 3 所学校的自主招生考试,由于其中 A、B 两所学校的 考试时间相同, 因此, 该学生不能同时报考这两所学校, 则该学生不同的报名方法种数是 。 (用数学作答) 12.观察下列等式:1× 2=

1 1 × 2× 1× 3, 1× 2+2× 3= × 3× 2× 4, 3 3 1 1× 2+2× 3+3× 4= × 4× 3× 5,……,照此规律, 3 计算 1×2+2×3+……+n(n+1)= 。 ? N *) (n

13.已知正数 a、b 均不大于 4,则 a2-4b 为非负数的概率为 。 14.给出下列命题 ①“a=3”是“直线 ax-2y-1=0 与直线 6x-4y+c=0 平行”的充要条件;
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② P : ?x ? R, x 2 ? 2 x ? 2 ? 0, 则 P : ?x ? R, x 2 ? 2x ? 2 ? 0; ③函数 y ? 2 sin ( x ?
2

?
4

) ? cos 2 x 的一条对称轴方程是 x ? 2 1 ? 的最小值为 9。 a b


3? ; 8

④若 a ? 0, b ? 0, 且 2a ? b ? 1 ,则 其中所有真命题的序号是

15. (考生注意;请在下列三题中任选一题作答,若多答,则按所做第一题评卷计分) A. (不等式选讲)不等式 2 ? x ? x ? 1 ? a 对于任意 x ? [0,6] 恒成立的实数 a 的集合为 B. (几何证明选讲)在圆内接△ABC 中,AB=AC= 5 3 ,Q 为圆 上一点,AQ 和 BC 的延长线交于点 P,且 AQ:QP=1:2,则 AP= 。 C. (坐标系与参数方程)以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半 轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线的极坐标方程为 ? ? 它与曲线 ? 。

?
4

( ? ? R) ,

? x ? 1 ? 2 cos? ( ? 为参数)相交于两点 A 和 B,则 AB ? ? y ? 1 ? 2sim?



三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤) 16. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,A,B,C 的对边分别为:a,b,c,且 b cos C ? 3a cos B ? c cos B 。 (Ⅰ)求 cosB 的值; (Ⅱ)若 BA · ? 2, b ? 2 2 ,求 a 和 c。 BC

17. (本小题满分 12 分) 已知数列{an}的前 n 项和 S n ? 12n ? n 2 , (n ? N * ) (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设数列{ bn -|an|}是首项为 1,公比为 2 的等比数列,求{bn}的前 n 项和 Tn。

18. (本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱 AA1⊥底面 ABC,∠ACB=90o,E 是棱 CC1 上动点 F 是 AB
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中点,AC=1,BC=2,AA1=4。 (Ⅰ)当 E 是棱 CC1 中点时,求证:CF∥ 平面 AEB1; (Ⅱ)在棱 CC1 上是否存在点 E,使得二面角 A-EB1-B 的余弦值是 的长,若不存在,请说明理由。

2 17 ,若存在,求 CE 17

19. (本小题满分 12 分) 某校要用三辆汽车从新区把教职工接到老校区,已知从新校区到老校区有两条公路,汽车走公 路①堵车的概率为

1 3 ,不堵车的概率为 ;汽车走公路②堵车的概率为 P,不堵车的概率为 1-P, 4 4 7 ,求走公路②堵车的概率; 16

若甲、乙两辆汽车走公路①,丙汽车由于其他原因走公路②,且三辆车是否堵车相互之间没有影响。 (Ⅰ)若三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求三辆汽车中被堵车辆的个数 X 的分布列和数学期望。

20. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 2 ? 2 ? 1, (a ? b ? 0) 的离心率 e ? , 过焦点垂直于长袖的直线被椭圆截得的 2 2 a b

线段长为 2 。 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 P、Q 两点,若 OP · =0(0 为坐标原点) ,试求直线 l OQ 在 y 轴上截距的取值范围。

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21. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? 1n

x ?1 1? x · a ? 0) ( ? 2 a( x ? 1)

(Ⅰ)若函数 f(x)在区间(2,4)上存在极值,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若函数 f(x)在 ?1,??? 上为增函数,求实数 a 的取值范围;
* (Ⅲ)求证:当 n ? N 且 n ? 2 时,

1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? 1nn 。 2 3 4 n

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