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珠海市2012-2013学年度第一学期期末学生学业质量监测高三理科数学


珠海市 2012--2013 学年度第一学期期末学生学业质量监测

高三理科数学试题
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1.已知全集 U ? R ,集合 A={y | y=2x,x∈R},则 CU A = A. ? C. (-∞,0] B.

(0,+∞) D.R
?a ? 2 ?b ? 3

开 始 n=12, i=1

2.已知 a,b 是实数,则“ ? A.充分不必要条件 C.充分必要条件

”是“ a ? b ? 5 ”的

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

n 是奇数? 是 n=3n+1 否 n n= 2 i=i+1 n=5? 否

3.若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是 A.4 B.5 C.6 D.7 4. 已知直线 l,m 和平面 α, 则下列命题正确的是 A.若 l∥m,m ? α,则 l∥α B.若 l∥α,m ? α,则 l∥m C.若 l⊥m,l⊥α,则 m∥α D.若 l⊥α,m ? α,则 l⊥m 5.已知是虚数单位,复数 A.
1 10 ? 3 10
π 4

是 输出 i 结 束 (第 3 题图)

i 3?i


1 10 ? 3 10 i

i

B. ?

C. ?

1 8

?

3 8

i

D. ?

1 8

?

3 8

i

6. 函数 y=sin (2x+ A.向左平移 C.向左平移
π 8 π 4

)的图象可由函数 y=sin 2x 的图象 B.向右平移
π 8

个单位长度而得到 个单位长度而得到

个单位长度而得到 个单位长度而得到

D.向右平移

π 4

?x ? y ? 5 ? 0 ? 7.若实数 x,y 满足不等式组 ? x ? y ? 0 ?x ? 3 ?

则 2x+4y 的最小值是

A.6

B.4

C. ? 2

D. ? 6

8. 对于直角坐标平面内的任意两点 A( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) ,定义它们之间的一种“距离”:

第 1 页 共 10 页

‖AB‖= x1 ? x2 ? y1 ? y2 ,给出下列三个命题: ①若点 C 在线段 AB 上,则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖; ②在△ ABC 中,若∠C=90° ,则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖; ③在△ ABC 中,‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖. 其中真命题的个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D.3

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生 只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置. (一)必做题(9-13 题) 9.函数 y ?
sin x x

的导函数 y ? ?

. .

10.在递增等比数列{an}中, a 2 ? 2, a 4 ? a3 ? 4 ,则公比 q = 11.某学校三个社团的人员分布如下表(每名同学只参加一个社团): 合唱社 高一 高二 45 15 粤曲社 30 10 武术社
a

20 y B A F1 O F2 x

学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查,按分层抽样 的方法从社团成员中抽取 30 人,结果合唱社被抽出 12 人,则这 三个社团人数共有_______________. 12.在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 C =
?
3

, b ? 3 ,若△ ABC 的面积为
x a
2 2

3 3 2
? y b
2 2

,则 c =



13.如图,F1,F2 是双曲线 C:

? 1 (a>0,b>0)

的左、

右焦点,过 F1 的直线与 C 的左、右两支分别交于 A,B 两点.若 | AB | : | BF2 | : | AF2 | = 3 : 4 : 5 , 则 双 曲 线 的 离 心 率 为 .
(第 13 题图)

(二)选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系 xOy 中, 已知曲 线 C1 : ?
?x ? t ? 2 ? y ? 1 ? 2t

, (为参数)与曲线 C2 : ?

? x ? 3 cos ? ? y ? 3 sin ?

,( ? 为 .

D

参数)相交于两个点 A 、 B ,则线段 AB 的长为

C O P A B (第15题图)

15.(几何证明选讲选做题)如图,PAB、PCD 为⊙O 的两条割线, 若 PA=5,AB=7,CD=11,AC=2,则 BD 等于 .

第 2 页 共 10 页

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 设向量 a= (2, sin ? ) ,b= (1, cos ? ) ,θ 为锐角. 13 (1)若 a· b= ,求 sinθ+cosθ 的值; 6 π (2)若 a∥b,求 sin(2θ+ )的值. 3

17.(本小题满分 12 分) 某中学校本课程共开设了 A,B,C,D 共 4 门选修课,每个学生必须且只能选修 1 门 选修课,现有该校的甲、乙、丙 3 名学生: (1)求这 3 名学生选修课所有选法的总数; (2)求恰有 2 门选修课没有被这 3 名学生选择的概率; (3)求 A 选修课被这 3 名学生选择的人数的数学期望.

18.(本小题满分 14 分) 已知某几何体的直观图和三视图如下图所示, 其正视图为矩形, 侧视图为等腰直角三角 形,俯视图为直角梯形 (1)求证: BC // 平面C1 B1 N ; (2)求证: BN ? 平面C1 B1 N ; (3)设 M 为 AB 中点,在 BC 边上 找 一 点 P , 使 MP // 平 面 CNB1 , 并 求
BP PC

的值.

4 8 主视图 8

侧视图

4 4 8 俯视图

第 3 页 共 10 页

19.(本题满分 14 分) 已知椭圆 C :
x
2 2

?

y b

2 2

a

左、 F 上顶点 A(0, b) , ? 1( a ? b ? 0) , 右两个焦点分别为 F1 、 2 ,

?AF1 F2 为正三角形且周长为 6.

(1)求椭圆 C 的标准方程及离心率; (2)O 为坐标原点, P 是直线 F1 A 上的一个动点,求 | PF2 | ? | PO | 的最小值,并求出 此时点 P 的坐标.

20.(本小题满分 14 分)
ax ? 2 x , g ( x ) ? lnx . 2 (1)如果函数 y ? f ( x) 在 [1, ??) 上是单调减函数,求 a 的取值范围;
2

已知函数 f ( x) ?

1

(2)是否存在实数 a ? 0 ,使得方程

g ( x) x

1 ? f ?( x ) ? (2a ? 1) 在区间 ( , e) 内有且只有 e

两个不相等的实数根?若存在,请求出 a 的取值范围;若不存在,请说明理由.

21.(本题满分 14 分) 已知正项数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? (1)求 a1 的值及数列 ?an ? 的通项公式; (2)求证:
1 a1
3

an ( an ? 2) 4

(n ? N ) .
*

?

1 a2
3

?

1 a3
3

?? ?

1 an
3

?

5 32

(n ? N ) ;
*

(3) 是否存在非零整数 ? , 使不等式 ? (1 ?

1 a1

)(1 ?

1 a2

) ?? ? (1 ?

1 an

) cos

? an ?1
2

?

1 an ? 1

对一切 n ? N* 都成立?若存在,求出 ? 的值;若不存在,说明理由.

第 4 页 共 10 页

珠海市 2012~2013 学年第一学期普通高中学生学业质量监测

高三理科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:CABD 二、填空题: 9、
x cos x ? sin x x
2

AADB

10、2

11、150

12、

7

13、 13

14、 4

15、 6

三、解答题: 16.(本小题满分 12 分) 解:(1) 因为 a· b=2+sinθcosθ= 13 1 ,所以 sinθcosθ= . 6 6 ……………… 3 分

4 所以 (sinθ+cosθ)2=1+2 sinθcosθ= . 3 2 3 又因为 θ 为锐角,所以 sinθ+cosθ= . 3 (2) 解法一 因为 a∥b,所以 tanθ=2. 2 sinθcosθ 2 tanθ 4 所以 sin2θ=2 sinθcosθ= = = , sin2θ+cos2θ tan2θ+1 5 cos2θ=cos2θ-sin2θ= ……………… 6 分 ……………… 8 分

cos2θ-sin2θ 1-tan2θ 3 = =- .……………… 10 分 5 sin2θ+cos2θ tan2θ+1

π 1 3 所以 sin(2θ+ )= sin2θ+ cos2θ 3 2 2 4-3 3 1 4 3 3 = ×+ × (- )= . 2 5 2 5 10 解法二 因为 a∥b,所以 tanθ=2. 2 5 5 所以 sinθ= ,cosθ= . 5 5 4 3 因此 sin2θ=2 sinθcosθ= , cos2θ=cos2θ-sin2θ=- . 5 5 π 1 3 所以 sin(2θ+ )= sin2θ+ cos2θ 3 2 2 4-3 3 1 4 3 3 = ×+ × (- )= . 2 5 2 5 10 ……………… 12 分 ……………… 10 分 ……………… 12 分 ……………… 8 分

17、(本小题满分 12 分) 解析:(Ⅰ)每个学生有四个不同选择,根据乘法法则,选法总数 N= 4 ? 4 ? 4 ? 64 …… 3 分 (Ⅱ) 恰有 2 门选修课这 3 名学生都没选择的概率为
P2 ? C 4 C 3 A2 4
3 2 2 2

?

2 ? 3? 3? 2 4? 4? 4

?

9 16

……………… 7 分

第 5 页 共 10 页

(Ⅲ) 设 A 选修课被这 3 名学生选择的人数为 ? ,则 ? =0,1,2,3
3 4
3 3

P( ? =0)=

?

27 64

P( ? =1)=

C3 ? 3
1

2

4 9 64

3

?

27 64

P( ? =2)=

3 ? C3 4
3

1

?

P( ? =3)=

C3 4
3

3

?

1 64

……………… 9 分

? 的分布列是

?

0
27

1
27 64

2
9 64

3
1 64

P

64

………… 10 分
E? ? 0 ? 27 64 ? 1? 27 64 ? 2? 9 64 ? 3? 1 64 ? 3 4

………… 12 分

18.解:(1)证明:? 该几何体的正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角 梯形, BA, BC , BB1 两两互相垂直。 BA, BC , BB1 分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系, 以 ? 则 N (4,4,0), B1 (0,8,0) , C1 (0,8,4), C (0,0,4) , B (0,0,0) ……………… 2 分

∵ BC ? (0,0,4) , B1C1 ? (0,0,4) , BC ? B1C1 ,∴ BC // B1C1 ∵ B1C1 ? 平面C1 B1 N , BC ? 平面C1 B1 N , ∴ BC // 平面C1 B1 N …… 4 分 (2) BN ? B1 N ? (4,4,0) ? (4,?4,0) ? 16 ? 16 ? 0 , ?
BN ? B1C1 ? ( 4,4,0) ? (0,0,4) ? 0
? BN ? B1 N , BN ? B1C1 ,又 B1 N ? B1C1 ? B1 ? BN ? 平面C1 B1 N

C P B A M N

C1

……………… 8 分

B1

(3)设 P (0,0, a ) 为 BC 上一点, ? M 为 AB 的中
NC ? ( ?4,?4,4) MP ? ( ?2,0, a ) , 点, M (2,0,0) , ?

设平面的一个法向量为 n ? (1, x, y ) ,则有
n ? NC , n ? NB1 ,则有 n ? NC ? 0, n ? NB1 ? 0,

第 6 页 共 10 页

∴ (1, x, y ) ? (?4,?4,4) ? 0, (1, x, y ) ? (?4,4,0) ? 0 ,得 x ? 1, y ? 2 , ∴ n ? (1,1,2) ,…10 分
? MP //平面 CNB1 ,? n ? MP ,于是 MP ? n ? ( ?2,0, a ) ? (1,1,2) ? ?2 ? 2a ? 0

解得: a ? 1

……………………… 12 分

? MP ? 平面 CNB1 ,? MP //平面 CNB1 ,此时 PB ? a ? 1 ,
? BP PC ? 1 3

………………………………… 14 分

(注:此题用几何法参照酌情给分) 19、(本题满分 14 分)
a ? 2c ? ? 解:(Ⅰ)解:由题设得 ?a ? a ? 2c ? 6 ? a2 ? b2 ? c2 ?

……………… 2 分

解得: a ? 2, b ? 故 C 的方程为
x
2

3 , c ? 1 …… 3 分

?

y

2

? 1 . …… 5 分

离心率 e ?

1 2

………………… 6 分

4

3
3 ( x ? 1) ,…… 7 分

(2)直线 F1 A 的方程为 y ?

设点 O 关于直线 F1 A 对称的点为 M ( x 0 , y 0 ) ,则
? y0 ? 3 ? ?1 ? ? x0 ? ? x0 ? y0 ? 3( ? 1) ? 2 2 ?
3 2 3 2

3 ? x ?? ? 0 2 ? (联立方程正确,可得分至 8 分) ? ?y ? 3 ? 0 2 ?

所以点 M 的坐标为

(?

,

)

……………………………… 9 分

∵ PO ? PM , PF2 ? PO ? PF2 ? PM ? MF2 ,…… 10 分
3 2 3 2

| PF2 | ? | PO | 的最小值为 | MF2 |?

(?

? 1) ? (
2

? 0)

2

?

7

…………… 11 分

?0 3 2 ( x ? 1) 即 y ? ? 直线 MF2 的方程为 y ? ( x ? 1) 3 5 ? ?1 2

3

…………… 12 分

第 7 页 共 10 页

? 3 ( x ? 1) ?y ? ? ? 由? 5 ? ? y ? 3 ( x ? 1)

2 ? x?? ? 3 ? ,所以此时点 P 的坐标为 ? ?y ? 3 ? 3 ?

(?

2 3

,

3 3

) …………… 14 分

20.解:(1)当 a ? 0 时, f ( x) ? 2 x 在 [1, ??) 上是单调增函数,不符合题意.…1 分 当 a ? 0 时, y ? f ( x) 的对称轴方程为 x ? ? 数,不符合题意. 当 a ? 0 时,函数 y ? f ( x) 在 [1, ??) 上是单调减函数, 则 ? 综上, a 的取值范围是 a ? ?2 . (2)把方程
g ( x) x ? f ?( x ) ? (2a ? 1) 整理为
2

2 a

,由于 y ? f ( x) 在 [1, ??) 上是单调增函

2 a

? 1 ,解得 a ? ?2 ,

…………………………………4 分
lnx x ? ax ? 2 ? (2a ? 1) ,

即为方程 ax ? (1 ? 2a ) x ? lnx ? 0 .
2

……………………5 分
1 e

设 H ( x) ? ax ? (1 ? 2a ) x ? lnx ( x ? 0) , 原方程在区间( , e )内有且只有两个不相等的实 数根, 即为函数 H ( x) 在区间( , e )内有且只有两个零点.
e H ?( x ) ? 2ax ? (1 ? 2a ) ? 1 x 1

……6 分 …………7 分

?

2ax ? (1 ? 2a ) x ? 1
2

?

(2ax ? 1)( x ? 1) x

x
1 2a

令 H ?( x) ? 0 ,因为 a ? 0 ,解得 x ? 1 或 x ? ?

(舍)

…………………8 分

当 x ? (0,1) 时, H ?( x) ? 0 , H ( x) 是减函数; 当 x ? (1, ??) 时, H ?( x) ? 0 , H ( x) 是增函数.……10 分
1 ? H ( ) ? 0, ? e ? 1 H ( x ) 在( , e )内有且只有两个不相等的零点, 只需 ? H ( x ) min ? 0, …………13 分 e ? H (e) ? 0, ? ?
?a 1 ? 2a (1 ? 2a )e ? a ? e ?1 ? ? 0, ? 2 ? 2 e e e ? ? 即 ? H (1) ? a ? (1 ? 2a ) ? 1 ? a ? 0, ? 2 2 ae ? (1 ? 2a )e ? 1 ? (e ? 2e) a ? (e ? 1) ? 0, ? ? ?
2

? e ?e , ?a ? 2e ? 1 ? ? ∴ ? a ? 1, ? 1? e ?a ? 2 , e ? 2e ? ?
2

解得 1 ? a ?

, 所以 a 的取值范围是( 1, ) . …………………14 分 2e ? 1 2e ? 1 a ( a ? 2) 21.(1)由 S n ? n n . 4

e ?e
2

e ?e
2

第 8 页 共 10 页

当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 当 n ? 2 时, 由 an ? S n ? S n ?1 ?

a1 ( a1 ? 2) 4

,解得 a1 ? 2 或 a1 ? 0 (舍去). ……2 分
an ?1 ( an ?1 ? 2) 4

an ( an ? 2) 4

?

? an ? an ?1 ? 2( an ? an ?1 ) ,
2 2

∵ an ? 0 ,∴ an ? an ?1 ? 0 ,则 an ? an ?1 ? 2 , ∴ ?an ? 是首项为 2,公差为 2 的等差数列,故 an ? 2n . ………………4 分 另法:易得 a1 ? 2, a2 ? 4, a3 ? 6 ,猜想 an ? 2n ,再用数学归纳法证明(略).
1 an
3

(2)证法一:∵

?

1 (2n)
3

?

1 8n ? n
2

?

1 8n( n ? 1)
2

?

1 8( n ? 1) n( n ? 1)

?

1

16 ( n ? 1) n
3

[

1

?

1 n( n ? 1)
?? ?

]( n ? 2) ,……4 分
? 1 2
3

∴当 n ? 2 时,
? ? 1 2 1 8
3

1 a1

?

1 a2
3

?

1 a3
3

1 an
3

?

1 4
3

?

1 6
3

???

1 (2n)
3

?

1 1 1 1 1 1 [( ? )?( ? ) ??? ? ] 16 1? 2 2 ? 3 2 ? 3 3? 4 ( n ? 1) n n( n ? 1)

1

?

1 1 1 1 1 1 5 .… 7 分 [ ? ]? ? ? ? 16 2 n( n ? 1) 8 16 2 32
1 a1
3 2
3

当 n ? 1 时,不等式左边 ?

?

1 8

?

5 32

显然成立.
2

……………… 8 分
3

证法二:∵ n ? 4n(n ? 1) ? n(n ? 4n ? 4) ? n(n ? 2) ? 0 ,∴ n ? 4n(n ? 1) . ∴
1 an
3

?

1 (2n)
3

?
1 a1
3

1 8n
3

?
1 a2

1 32n( n ? 1)
3

?

1

32 n ? 1
1 an
3

(

1

?
?

1 n

) ( n ? 2) .……4 分
? 1 6
3

∴当 n ? 2 时,
? 1 2
3

?

?

1 a3
3

?? ?

?

1 2
3

1 4
3

???

1 (2n)
3

?

1 32

[(1 ?

1 2

)?(

1

1 1 1 1 1 1 1 1 5 ? ) ??? ( ? )] ? ? (1 ? ) ? ? ? 2 3 n ?1 n 8 32 n 8 32 32
1 a1
3

.……7

分 当 n ? 1 时,不等式左边 ? (3)由 an ? 2n ,得 cos 设 bn ?
(1 ?
? 1 8 ? 5 32
n ?1

显然成立. ……8 分 ,

? an ?1
2

? cos( n ? 1)? ? ( ?1)

1 1 a1 )(1 ? 1 a2 ) ?? ? (1 ? 1 an ) an ? 1

,则不等式等价于 (?1) n ?1 ? ? bn .

bn ?1 bn

?

an ? 1 ? 1 ? ?1 ? ? an ?1 ? ? an ?1 ? 1

?

2n ? 1 1 ? ? ?1 ? ? 2n ? 2 ? ? 2n ? 3

?

2n ? 2 (2n ? 1)(2n ? 3)

第 9 页 共 10 页

?

4 n ? 8n ? 4
2

? 1 ,……9 分

4 n ? 8n ? 3
2

∵ bn ? 0 ,∴ bn ?1 ? bn ,数列 ?bn ? 单调递增.

…………………… 10 分

假设存在这样的实数 ? ,使得不等式 (?1) n ?1 ? ? bn 对一切 n ? N* 都成立,则 ① 当 n 为奇数时,得 ? ? (bn ) min ? b1 ?
2 3 3 8 5 15

; ……11 分 ,即 ? ? ?
8 5 15

② 当 n 为偶数时,得 ?? ? (bn ) min ? b2 ? 综上, ? ? (?

. ……12 分

8 5 2 3 , ) ,由 ? 是非零整数,知存在 ? ? ?1 满足条件.…… 14 分 15 3

第 10 页 共 10 页


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