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1-4 电势-1 2015.3.23


电磁学

1-4 一、静电场力的功
点电荷的电场

电势

试验电荷q0从 a 点经任意路径 到达 b 点。在路径上任一点附 ? 近取元位移 d l

b

? ? ? ? dA ? F ? dl ? q0 E ? dl qq0 ? ? ? e ? dl 2 r 4 π

ε r 0 ? ? er ? dl ? dl cos θ ? dr qq0 dA ? dr 2 4πε0 r

rB
r

? l dr d?

C

? E

o

? er

q

rA

a

q0

第一章 静电学的基本规律

1

电磁学

1-4

电势
b

qq0 dA ? dr 2 4πε0 r
qq0 rB dr A? 4πε0 ?rA r 2 qq0 1 1 ? ( ? ) 4 πε0 rA rB
结论:在静止点电荷 q 的电场中, 电场力对试探电荷 q0所作的功 和终点位臵有关。
第一章 静电学的基本规律

rB
r
? er

? l dr d?

? E

q

rA

a

q0

与路径无关。只与路径的起点

2

电磁学

1-4
任意带电体的电场

电势

将带电体系分割为许多电荷元,每一个电荷元可看作一个点 电荷,根据电场的叠加原理 电场力对试验电荷q0做功为
b

? ? ? ? E ? E 1? E2 ? ? ? En

? ? A ? q0 ? E ? d l a ? ? ? b ? b ? b ? ? q0 ? E1 ? d l ? q0 ? E2 ? d l ? ? ? q0 ? En ? d l

? A1 ? A2 ? ? ? An

a

a

a

结论:静电场力做功,与路径无关.
第一章 静电学的基本规律
3

电磁学

1-4

电势

试验电荷在任意给定的静电场中移动时, 电场力对q0做的功仅与试验电荷的电量及路径 的起点和终点位臵有关,而与具体路径无关。 静电场是保守场,静电场力是保守力。

二、 静电场的安培环路定理

安培

试验电荷q0在静电场中沿任意闭合路径L 运动一周时, 电场力对q0做的功A=? 结论:沿闭合路径一周,电场力作功为零.
第一章 静电学的基本规律
4

电磁学

1-4

电势

? ? ? ? q 0 ? E ? d l ? q 0 ? E ? dl
abc adc

? ? ? ? q0 ( ? E ? dl ? ? E ? dl ) ? 0
abc

b

c
d

? E

? q0 ? 0
L

cda

a
静电场的环 路定理

? ? ? E ? dl ? 0

结论:在静电场中,场强沿任意闭合路径的线积分(称 为场强的环流)恒为零。 静电场是无旋场,电场线不能是闭合的.
第一章 静电学的基本规律
5

电磁学

1-4

电势

第一章 静电学的基本规律

6

三、电势能
重力场中建立势能:

电势
E势a ? W重力 ? ?
参考点 a

G ? dl

a + + + + ++ ++ ++ 参考点
a

q0

静电场力是保守力,可以 引入势能。 1.电势能 参考点 电荷(系统)在电场中某点 具有的电势能等于电场力将 此电荷从该点移至参考点电 场力所作的功。 参 ? a ? Wa ?参 ? q0 ? E ? dl
a

注意:当电荷分布在有限区域内时,理论研究 常选取?远为参考点。则:

? a ? Wa ?? ? q0 ? E ? dl
a

?

电势能在量值上等于把电荷从该点经任意路径移到 无穷远处(电势为零点)电场力所做的功. 说明: 1)电场中电荷具有的电势能应是电场与电荷所共有, 是电场与电荷之间的相互作用能。

? a ? Wa ?? ? q0 ? E ? dl
a

?

2)电势能是相对参考点而言的,参考点选择不同, 电势能的值也不同。

2.电势

? 回顾: F ? q0
而今:

? ? F 用其比值定义 E ? q0
? a

某点电势能与q0之比只取决于电场中点的位臵,定义 为该点的电势。

? a ? q0 ? E ? dl ? q0

电磁学

1-4

电势(电位)定义式: U P ?

电势 ?P
q0

??

?

P

? ? E ? dl

对电势这个物理量需注意以下几点: (1)电势描述电场性质的物理量,与试探电荷是否存在无关。 (2)电势是标量,但有正负,在电场中沿电场线的方向是 电势降低的方向;同一电场线上任意两点的电势不相等。 (3)电势是相对量。因此必须在选择了某参考点的电势等于 零以后,才可确定其它位臵的电势值。原则上,可选取任意位 臵作为零电势点。对有限带电体而言,常取无穷远处为零电势 参考点,在实验工作中,常取大地作为电势的零参考点。

第一章 静电学的基本规律

10

3 电势差(电压)
定义:电场中两点电势之差。

U AB ? U A ? U B ? ?A E ? d l ? ?B E ? d l ? ?A E ? d l
说明:(1)物理意义:将单位正电荷由A移动到 B点,电场力做的功。 (2)电荷q由A移动到B点,电场力做功表示为:
W ? q ? E ? d l ? q (U A ? U B )
A B

?

?

B

(3)沿着电场线方向,电势降低,即电势差大于0

q 产生的电场中各点的电势. 例1 求单个点电荷 ? ? dl E a 以无限远为参考点,选择 +1 q r 沿矢径r的路径方向。 + ? ? ? ? q ? U a ? ? E ? dl ? ? cos 0 dr 2 a r 4?? r 0 q ? U r U 4??0 r

q?0

q?0
r

四、 电势的叠加原理
1)点电荷系所产生的电场中的电势 设一点电荷系:q1、q2----qn ? ? ? ? 产生电场 E ? E1 ? E 2 ? ? ? E n +

qn

a

q2

q1 +

+ q3 +

? ? ? ? ? ? ? U a ? ? E ? dl ? ? ( E1 ? E2 ? ? ? En ) ? dl a a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? E1 ? dl ? ? E2 ? dl ? ? ? ? En ? dl a a a q1 q2 qn ? ? ??? 4??0 ra1 4??0 ra 2 4??0 ran n qi ?? i ?1 4??0 r ai
?

各点电荷单独存在时在该点电势的代数和.

(标量叠加)

2)电荷连续分布带电体的电势
连续体分布 dq ? ?dV
1 dq dU ? 4??0 r 1 U ? ? dU ? 4??0

? r
dq

P

dq ?r

根据具体情况: 1.连续面分布 dq ? ?dS

2.连续线分布 dq ? ?dl

3)电势的计算 电荷分布已知,求电势分布,有两种方法: (1)叠加法:运用电势叠加原理,由点电荷电势公式 求和或积分;
dq U ? ? dU ? 4??0 ? r 1

(2)定义法:对电荷分布具有对称性的情况,先用高 斯定理求出场强分布,再用电势公式求 电势分布(必须选定零势点,沿任意路 径积分皆可) ? ? ? ?P
UP ? q0 ? ? E ? dl
P

电磁学

1-4

电势

注意

有限带电体,选无穷远处为电势零点;无限带 电体,不能选无穷远处为电势零点,否则将导致 场中任一点的电势值为无限大,这时只能根据问题
在场中选某点为电势零点。

第一章 静电学的基本规律

16

?电势和电势能的区别:
? 电势是电场的属性,与试验电荷无关; ? 电势能是属于电荷和电场系统所共有。
注意:
1、电势是相对量,电势零点的选择是任意的。 2、两点间的电势差与电势零点选择无关。

例2:求均匀带电圆环 (R) 轴线上任一点 p 的电势 (q )。
解:(1)由电势叠加原理
dl

1 dq 1 ? dl dU ? ? 4??0 r 4?? 0 r
1 ? 2?R dl U ? ? dU ? ? 4??0 r 0

R

r
P

x

x

1 = 4πε0

λ2πR R2 + x 2

1 q ? 4??0 R2 ? x 2

(2)由定义法 以无限远为参考点,选择沿X轴 正方向直线作为积分的路径。
Up ? ?
??
?

dl

R

r
P

x

x

?

P

? ? E ? dl
?

P

E cos?dl ? ?P

qx 4?? 0 ( x 2 ? R )
3 2 2

dx

Ex ?

1 4?? 0
2

qx (x ? R )
3 2 2

=

q 4πε 0 x 2 + R 2

例3 求均匀带电球面内外的电势分布,设球面 电量为 q ,半径为 R . 解:以无限远为参考点。

? + q + E (r) r a R + +
+ + +

+

1)球外:

Ua ? ?

?

a
?

? ? E ? dl
q 4??0 r
? cos 0 dr 2

??

r

?0 ? ( 0 ? r ? R ) q ? ? ? E?? q 4??0 r ? r ? ( R ? r ? ? ) ? 4?? r 2 0 ?

+ ? + q + E (r) a + R +

r
+

+ +

? ? 1)球内: U a ? ? E ? dl a R ? ? ?? ? ? ? E ? dr ? ? E ? dr
?
r R

q ? 4??0 R

? E ( 球内) ? 0
q ? ( R ? r ? ?)

? const
U (r) ?
4??0 r q 4?? 0 R

(0 ? r ? R )

结论:均匀带电球面,球内的电势等于球表面的电势, 球外的电势等效于将电荷集中于球心的点电荷的电势。 q E -2 2 ?r 4??0 R 场强分布曲线 O R

r

电势分布曲线

q 4??0 R

V
? r -1

O

R

r

例题4 求距电偶极子相当远的地方任一点的电势。 已知电偶极子中两电荷±q 之间的距离为l。 解: U ? q , U ? (?q) ?P ?P 4 π? 0 r? 4 π? 0 r?
UP ? U? ?U? ? q 1 1 ( ? ) 4 π? 0 r? r?

近似计算: r ? ? r ? cos ? , r ? ? r ? cos ?
UP ? q 1 1 ( ? ) 1 1 4 π? 0 r ? cos? r ? cos? 2 2 1 1 (r ? cos? ) ? (r ? cos? ) q q l cos? 2 2 ? ? 4 π? 0 (r ? 1 cos? )(r ? 1 cos? ) 4 π? 0 r 2 ? ( 1 cos? ) 2 2 2 2

l 2

l 2

23

UP ?

q
4 π ?0

l cos ? r 2 ? ( cos ? )2
1 2

q l cos? 1 p cos? UP ? ? 2 4 π? 0 r 4 π? 0 r 2 ? ? 1 p?r ? 4 π? 0 r 2

24

电磁学

1-4
例 计算无限长均匀带电直线 电场的电势分布。

电势

?

o
r

P

r

第一章 静电学的基本规律

25

电磁学

1-4

电势

解 令无限长直线如图放臵,其上电荷线密度为 ? 。 计算距直线为 r的任一点P处的电势。 因为无限长带电直线的电荷分布延 伸到无限远的,所以在这种情况下 不能用连续分布电荷的电势公式:

?

o
r

P

r

U ?

? 4??

1

dq
0

r

计算电势,否则必得出无限大的结 果,显然是没有意义的。
第一章 静电学的基本规律
26

电磁学

1-4
同样也不能直接用公式:

电势

E?

?
2πε0 r
P

???

?

r

? ? E ?dl

?

来计算电势,不然也将得出电场任 一点的电势值为无限大的结果。 为了能求得P点的电势,可 先应用电势差和场强的关系式, 求出在轴上P点和B点的电势差。

o

B

rB

r r

第一章 静电学的基本规律

27

电磁学

1-4
无限长均匀带电直线P 点的场强为

电势

?

E?

?

o
rB

B

P

2πε0 r

rB

r r

UP ? UB ?
?

?r

E ?dr

?
2πε0

?

rB

r

dr ? rB ? ln r 2πε0 r

由于ln 1 ? 0,所以本题中若选离直线为rB=1m处作为 电势零点,则很方便地可得P点的电势为
第一章 静电学的基本规律
28

电磁学

1-4

电势

? ?P ? ? ln r 2?? 0
由上式可知,在r>1m处 ,? p 为负值;在r<1m处, ? p 为 正值。这个例题的结果再次表明,在静电场中只有两点的 电势差有绝对的意义,而各点的电势值却只有相对的意义。

第一章 静电学的基本规律

29

电磁学

1-4

电势

五、等势面 电势梯度
1.等势面 在静电场中,电势相等的点所组成的曲面称为等势面。 1.1 典型等势面

点电荷的等势面

第一章 静电学的基本规律

30

电磁学

1-4

电势

电偶极子的等势面

+

第一章 静电学的基本规律

31

电磁学

1-4

电势

电平行板电容器电场的等势面

++ ++ + + + + +

静电场中的等势面的性质:

1) 在等势面上任意两点之间移动电荷,电场力不做功。
2)等势面与电场线处处正交,电场线指向电势降落的方向。

第一章 静电学的基本规律

32

电磁学

1-4
等势面与电场线的关系

电势

1.2

q 0 在等势面上移动,

? ? E 与d l 成 θ 角。

在等势面上移动不作功

? ? d A ? q0 E ? d l ? q0 E ? d l ? cos ? ? 0

q0 ? 0

E?0
? ? E ? dl

dl ? 0
S
q0

E

?


cos? ? 0

θ

dl

结论:电力线与等势面垂直。
第一章 静电学的基本规律

电磁学

1-4

电势

电场线的方向是正电荷受力的方向,当正电荷沿电场线由 b Aab ? q(? a ? ?b )知,此 点移到 a 点时,电场力作正功,由 时 ? a ? ?b,即电场线的方向就是电势降低的方向。 1.3 等势面图示法 等势面画法规定: 相邻两等势面之间的电势间隔相等。

?

? ? ?? ? ? 2??

? ? 3??

等势面密的地方场强大,疏的地方场强弱。
第一章 静电学的基本规律
34

电磁学

1-4
2 电势梯度

电势

? 等势面1上P1点的单位法向矢量为 en
与等势面2正交于P2 点。 在等势面2任取一点P3 ,设想一个 ? 单位正电荷从等势面1沿任意方向 l ? 移到等势面2,位移为?l ,电场力 做的功为:

在电场中任取两相距很近的等势面1和2, 电势分别为? 和? ? ?? ,且 ?? ? 0
1

2

? en
P1 θ P2

? E
?

P3

? l

P1 P2 ? ?n


?n ? ?l ? cos ?

P 1P 3 ? ?l

? ? ??
35

第一章 静电学的基本规律

电磁学

1-4

电势
2
1

? ? ?A ? E.?l ? E?l cos ? ? ? ? (? ? ?? ) ? ? ??


? en
P1 θ

El ?l ? ? ?? ?? ? El ? ? ?l
? l

P2
P3

? E

? l

? ? l电场强度 E在
方向的分量

? ? ? ??

第一章 静电学的基本规律

36

电磁学

1-4

电势

?? El ? ? ?l
等势面密集处的电场强度大,等势面稀疏处的电场强度小。

?? d? El ? ? lim ?? ?l ?0 ?l dl

电场中某一点的电场强度沿任一方向的分量,等于这 一点的电势沿该方向单位长度上电势变化率的负值。 电势沿等势面法线方向的变化率是过P点沿各个不同方向的 电势变化率最大的一个,即

?? En ? ? ?n

第一章 静电学的基本规律

37

电磁学

1-4

电势
2
1

? En 是E在P点法线方向的分量,显然 ?
它就是该点场强 E 的大小。

? en
P1 θ

在极限情况下,则有

? ?? ? E?? en ?n
定义电势梯度

P2
P3

?? ? grad ? ? en ?n ?

? E

? l

? ? ? ??

E ? ? grad ?

? E 方向总是指向电势减少的方向。
第一章 静电学的基本规律
38

电磁学

1-4

电势

? E ? ? grad ?

结论:静电场中任何一点的电场强度的大小在数值上等于 该点电势梯度的大小,方向与电势梯度的方向相反,指向 电势降落的方向。
在直角坐标系中

? ? ? ? E ? Ex i ? E y j ? Ez k

?? ?? ?? Ex ? ? , Ey ? ? , Ez ? ? ?x ?y ?z ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? E ? ?( i ? j? k ) ? ?( i ? j ? k )? ?x ?y ?z ?x ?y ?z ? ? ? ? ? ? 记 ?? i? j ? k (哈密顿算子或矢 ?x ?y ?z 量微分算子) ? ? E ? ? grad ? ? ???
第一章 静电学的基本规律
39

电磁学

1-4

电势

? E ? ? grad? ? ???
电势叠加为标量叠加,故可先算出电势,再应用场强 与电势梯度的关系算出场强。 具体步骤:

1、先求

?
?? ?? ?? Ex ? ? , Ey ? ? , Ez ? ? ?x ?y ?z

2、求各分量

? 3、求 E

? ? ? ? E ? Ex i ? E y j ? Ez k
第一章 静电学的基本规律
40

电磁学

1-4

电势

例11

计算均匀带电圆盘轴线上的电场。

解 由例9

E ? Ex ? ?

? 2 2 ?? ( R ? x ? x) 2? 0 ??

?x ? x ? (1 ? ) 2? 0 R2 ? x2

O
R

P

x

与用场强叠加原理得到的结果一致。 讨论: 当R??时,

? E? 2? 0

即无穷大均匀带电平面的电场。
第一章 静电学的基本规律
41

电磁学

1-4

电势

例12 计算电偶极子较远处的电场。 解 先写出在直角坐标系中电势的表达式, y

1 q 1 ?q q r? ? r? ?? ? ? 4?? 0 r ? 4?? 0 r? 4?? 0 r? r? L L r? ? r ? cos ? r- ? r+ cos ? 2 2 q L cos ? ?? 2 4?? 0 2 ? L ? -q r ? ? cos ? ? ?2 ?

P

r-

r

r+

由于r>> L ,所以P点的电势可写为
第一章 静电学的基本规律

O L/2

?
L/2

+q x

42

电磁学

1-4

电势

L cos? P cos? ? ? 2 4?? 0 r 4?? 0 r 2 q

Px ? 2 2 3/ 2 4?? 0 ( x ? y )

?? P(2 x 2 ? y 2 ) Ex ? ? ?? 2 2 5/ 2 ?x 4?? 0 ( x ? y )

3Pxy ?? ?? Ey ? ? 2 2 5/ 2 4?? 0 ( x ? y ) ?y
第一章 静电学的基本规律
43

电磁学

1-4
讨 论

电势
y P(0,y)

1. 在

x轴上,y ? 0,则
P 2?? 0 x
P 2?? 0 y 3
3

Ex ?

Ey ? 0

? E

2. 在 y 轴上, x

? 0 ,则
Ey ? 0

-q -L/2 O

+q L/2

P(x,0)

Ex ? ?

? E

x

与用场强叠加原理得到的结果一致。

第一章 静电学的基本规律

44

电磁学

1-4

电势

例13 计算均匀带电圆环轴线上的电场。 解

1 dq ??? 4?? 0 r 1 dq ?? 2 2 1/ 2 4?? 0 ( R ? x ) q ? 2 2 1/ 2 4?? 0 ( R ? x )
P点电场

P点电势

R

o

x

P x

qx ?? ? E ? Ex ? ? 2 2 3/ 2 ?x 4?? 0 ( R ? x )
第一章 静电学的基本规律
45

与用场强叠加原理得到的结果一致。


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