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2010-2011学年江苏省盐城中学高一(上)期末数学试卷


2010-2011 学年江苏省盐城中学高一(上)期末数 学试卷
一、填空题(共 14 小题,每小题 5 分,满分 70 分) 1. (5 分)sin(﹣600 )= _________ . 2. (5 分)满足条件{0,1}∪A={0,1}的所有集合 A 的个数是 _________ .
o

3. (5 分)已知角 θ 的终边经过点

/>
,那么 tanθ 的值是 _________ .

4. (5 分)设

,若 f(x)=3,则 x= _________ .

5. (5 分)若向量
3



,若

则实数 m 的值为 _________ .

6. (5 分)函数 f(x)=x +x﹣3 的零点落在区间[n,n+1](n∈Z)内,则 n= _________ . 7. (5 分)函数 的值域是 _________ .

8. (5 分) (2012?闵行区三模)设 _________ .

, =

,且 ∥ ,则锐角 α 的弧度数为

9. (5 分)函数 y=asinx+1 的最大值是 3,则它的最小值 _________ . 10. (5 分)已知 ,则 cosα﹣sinα= _________ .

11. (5 分)已知 O 为原点,点 A、B 的坐标分别为(a,0) , (0,a)其中常数 a>0,点 P 在线段 AB 上,且 (0≤t≤1) ,则 ? 的最大值为 _________ .

=t

12. (5 分)把函数 _________ .

的图象向右平移 θ(θ>0)个单位,所得的函数为偶函数,则 θ 的最小值为

13. (5 分)已知 , 是两个互相垂直的单位向量,且 ? =1, ? =1, 的最小值是 _________ .

,则对任意的正实数 t,| +t

|

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www.jyeoo.com 14. (5 分)设函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0, ①它的图象关于直线 x= ②它的周期为 π; ③它的图象关于点( ④在区间[﹣ ,0)对称; 对称; ) ,给出以下四个论断:

,0]上是增函数.

以其中两个论断作为条件,余下两个论断作为结论,写出你认为正确的两个命题: (1) _________ ; (2) _________ . 二、解答题(共 6 小题,满分 80 分) ) 15. (12 分)已知 ,计算:

(1)



(2)



16. (12 分)已知 (1) (2) 与 与 垂直?



,当 k 为何值时,

平行?平行时它们是同向还是反向?

17. (14 分)某市的一家报刊摊点,从报社买进《晚报》的价格是每份 0.20 元,卖出价是每份 0.30 元,卖不掉的报 纸可以以每份 0.05 元价格退回报社.在一个月(以 30 天计)里,有 20 天每天可卖出 400 份,其余 10 天每天只能 卖出 250 份,但每天从报社买进的份数必须相同,这个摊主每天从报社买进多少份,才能使每月所获的利润最大? 并计算他一个月最多可赚得多少元?

18. (14 分)已知函数

的图象过点(0,1) ,当

时,f(x)的最大值为

2 ﹣1. (1)求 f(x)的解析式; (2)写出由 f(x)经过平移 变换得到的一个奇函数 g(x)的解析式,并说明变化过程. 19. (14 分)如图,已知△ ABC 的面积为 14,D、E 分别为边 AB、BC 上的点,且 AD:DB=BE:EC=2:1,AE 与 CD 交于 P.设存在 λ 和 μ 使 (1)求 λ 及 μ; (2)用 , 表示 ; , , , .

(3)求△ PAC 的面积.

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20. (14 分)已知函数 f(x)=mx+3,g(x)=x +2x+m, (1)求证:函数 f(x)﹣g(x)必有零点; (2)设函数 G(x)=f(x)﹣g(x)﹣1,若|G(x)|在[﹣1,0]上是减函数,求实数 m 的取值范围.

2

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2010-2011 学年江苏省盐城中学高一(上)期末数 学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题(共 14 小题,每小题 5 分,满分 70 分) 1. (5 分)sin(﹣600 )=
o



考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 计算题. 分析: 把所求的式子中的角﹣600°变为﹣720°+120°,利用诱导公式化简后,再利用诱导公式及特殊角的三角函数 值即可求出值. 解答: 解:sin(﹣600o)=sin(﹣720°+120°)=sin120°
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=sin(180°﹣60°)=sin60°= 故答案为:



点评: 此题考查学生灵活运用诱导公式及特殊角的三角函数值化简求值,是一道基础题. 2. (5 分)满足条件{0,1}∪A={0,1}的所有集合 A 的个数是 4 . 考点: 子集与真子集. 专题: 计算题. 分析: 由已知中 A 集合满足条件{0,1}∪A={0,1},我们易判断出集合 A 与集合{0,1}之间的关系,然后根据集 合子集个数的判断法则,得到答案. 解答: 解:若{0,1}∪A={0,1} 则 A 为集合{0,1}的子集 又∵集合{0,1}共有两个元素 2 ∴满足条件的 A 的个数为 2 =4 个 故答案为:4 点评: 本题考查的知识点是子集与真子集,其中 n 元集合有 2n 个子集,有 2n﹣1 个真子集,有 2n﹣2 个非空集真 子集.
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3. (5 分)已知角 θ 的终边经过点

,那么 tanθ 的值是



考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 计算题. 分析:

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根据任意角的三角函数的定义,tanθ= =

,化简可得结果.

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www.jyeoo.com 解答: 解:由任意角的三角函数的定义得 tanθ= = =﹣ ,

故答案为



点评: 本题考查任意角的三角函数的定义,属于容易题.

4. (5 分)设

,若 f(x)=3,则 x=



考点: 函数的值. 分析:

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根据已知中分段函数的解析式

,我们分 x≤﹣1 时、﹣1<x<2 时、x≥2 时三

种情况,分别构造方程,解出满足条件的 x 值,即可得到答案. 解答: 解:当 x≤﹣1 时,即 x+2=3,解得 x=1(舍去) 2 当﹣1<x<2 时,即 x =3,解得 x= ,或 x=﹣ (舍去) 当 x≥2 时,即 2x=3,解得 x= (舍去) 故当 f(x)=3,则 x= 故答案为: 点评: 本题考查的知识点是函数函数的值,分段函数分段处理,分别在若干个 x 的不同取值范围内,构造满足条 件的方程,并结合 x 的不同取值范围进行求解是解决这类问题的通法. 5. (5 分)若向量 , ,若 则实数 m 的值为 .

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题. 分析: 由题意,两个向量的数量积为 0,由公式直接可以得到参数 m 的方程,解出值即可 解答: 解:∵ , ,
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∴1+2m=0 ∴m=﹣ 故答案为:﹣ . 点评: 本题考查平面向量数量积的运算,解题的关键是熟练掌握数量积公式并会用它建立方程求参数.本题是概 念型题. 6. (5 分)函数 f(x)=x +x﹣3 的零点落在区间[n,n+1](n∈Z)内,则 n= 1 . 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题.
3

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www.jyeoo.com 分析: 由于本题是填空题,求的又是正整数,所以可以用特殊值法来解.代入 1 即可. 解答: 解:因为 n 是正整数,所以可以从最小的 1 来判断, 当 n=1 时,f(1)=1+1﹣3<0,而 f(2)=8+2﹣3>0, 所以 n=1 符合要求. 又因为 f(x)=x +x﹣3, 2 所以 f′(x)=3x +1 在定义域内恒大于 0,故原函数递增, 所以当 n>2 时,f(n)>f(2)>0,即从 2 向后无零点. 故答案为 1. 点评: 本题考查了函数零点的判定定理.在解题过程中用了填空题和选择题的特有解法;特殊值法. 的值域是 [0,1] .
3

7. (5 分)函数

考点: 余弦函数的定义域和值域. 专题: 计算题. 分析: 余弦函数的单调性,函数在 解答:

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,上是增,在 ,上是增,在

上减,由此性质即可求出函数的值域. 上减,故其最大值在 x=0 处取到

解:由余弦函数的单调性,函数在 为1 最小值在 x= 处取到为 0,故其值域是[0,1];

故答案为[0,1]. 点评: 本题考查余弦函数的定义域和值域,解题的关键是熟练掌握余弦函数的单调性,根据单调性求出最值.

8. (5 分) (2012?闵行区三模) 设

, =

, 且 ∥ , 则锐角 α 的弧度数为



考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示;三角函数的恒等变换及化简求值. 专题: 计算题. 分析: 利用向量共线则坐标交叉相乘相等,列出三角方程;利用二倍角公式化简三角方程,据角的范围求出角的 值. 解答: 解:∵
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∴ ∴sin2α=1 ∵α 为锐角 ∴ 故答案为 点评: 两个向量共线的坐标形式的充要条件是坐标交叉相乘相等;注意已知三角函数值求角时,一定要注意角的 范围. 9. (5 分)函数 y=asinx+1 的最大值是 3,则它的最小值 ﹣1 . 考点: 三角函数的最值.

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www.jyeoo.com 专题: 计算题. 分析: 由函数 y=asinx+1 的最大值是 3,可得|a|=2,故函数的最小值 1﹣|a|. 解答: 解:∵函数 y=asinx+1 的最大值是 3,|a|+1=3,∴|a|=2, 故函数的最小值 1﹣|a|=﹣1, 故答案为﹣1. 点评: 本题考查正弦函数的最值,得到|a|=2,函数的最小值为 1﹣|a|,是解题的关键.

10. (5 分)已知

,则 cosα﹣sinα= ﹣



考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 计算题. 分析: 根据 α 的范围,确定 cosα﹣sinα 的符号,然后利用平方,整体代入,开方可得结果. 解答: 2 解:因为 ,所以 cosα﹣sinα<0,所以(cosα﹣sinα) =1﹣2
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= ,

所以 cosα﹣sinα=﹣ 故答案为:



点评: 本题是基础题,考查三角函数的化简求值,注意平方关系的应用,角的范围以及三角函数的符号是解题的 关键,考查计算能力,推理能力.

11. (5 分)已知 O 为原点,点 A、B 的坐标分别为(a,0) , (0,a)其中常数 a>0,点 P 在线段 AB 上,且 (0≤t≤1) ,则 ? 的最大值为 a
2

=t



考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题. 分析: 设 P( x,y) ,由 =t (0≤t≤1) ,得到 x=a﹣at,y=at,代入
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?

进行化简,求出其最大值.

解答:

解:设 P( x,y) ,由 ∴x=a﹣at,y=at, ∵0≤t≤1,∴t=0 时, 故答案为 a .
2

=t

(0≤t≤1) ,得 (x﹣a,y)=t(﹣a,a) ,∴x﹣a=﹣ta,y=at,
2

? ?

=(a,0)?(x,y)=ax=a(a﹣at)=a (1﹣t) . =a (1﹣t)有最大值 a .
2 2

点评:

本题考查两个向量数量积公式的应用,两个向量坐标形式的运算,求出 键.

?

=a (1﹣t)是解题的关

2

12. (5 分)把函数 .

的图象向右平移 θ(θ>0)个单位,所得的函数为偶函数,则 θ 的最小值为

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;余弦函数的奇偶性.

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www.jyeoo.com 专题: 计算题. 分析: 函数平移后是偶函数,即化简函数为 cosx 类型,即可求出 θ 的最小值. 解答: 解:把函数 的图象向右平移 θ(θ>0)个单位,所得的函数为 它是偶函数,所以 θ= 故答案为: . +kπ,k∈Z.



点评: 本题是基础题,考查三角函数的基本性质的应用,函数图象的平移,考查计算能力.

13. (5 分)已知 , 是两个互相垂直的单位向量,且 ? =1, ? =1, 的最小值是 .

,则对任意的正实数 t,| +t

|

考点: 两向量的和或差的模的最值. 分析: 用向量垂直的条件数量积为零, 再利用模的平方等于向量的平方得到关于 t 的函数, 函数的特点是乘积为定 值,用基本不等式求最小值. 解答: 解:∵ 是两个互相垂直的单位向量
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∴ ∴ = ≥2+4+2=8 即 t=1 时取等号 的最小值为 =

= 当且仅当 故

点评: 向量求模的方法是根据模的平方等于向量的平方;用基本不等式求最值时要注意:一正、二定、三相等.

14. (5 分)设函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0, ①它的图象关于直线 x= ②它的周期为 π; ③它的图象关于点( ④在区间[﹣ ,0)对称; 对称;

) ,给出以下四个论断:

,0]上是增函数.

以其中两个论断作为条件,余下两个论断作为结论,写出你认为正确的两个命题: (1) ①③?②④ ; (2) ①②?③④ . 考点: 正弦函数的单调性;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的对称性. 专题: 计算题;压轴题. 分析: (1)由①得 ω× +?=kπ+ ; 再由③得 ω +?=kπ,k∈z,以及 ω、?的范围,求得 ω、?的值,从而得
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www.jyeoo.com 函数解析式,从而求出周期和单调增区间,可得②④正确,故得①③?②④. (2)由②可得 ω=2,故 f(x)=sin(2x+?) ,再由①得 2× 故函数 f(x)=sin(2x+ 解答: 解: (1) :①③?②④. 由①得 ω× 又∵ω>0, ∴ 令 故函数 f(x)的增区间为[ ∵ +?=kπ+ ,k∈z. 由③得 ω ,故有 ω=2,?= ,其周期为 π. ,可得 ]. ,∴f(x)在区间[ ]上是增函数, . +?=kπ,k∈z. . ) ,由此推出③④成立. +?=kπ+ ,k∈z,结合?的范围可得 φ= ,

故可得 ①③?②④. (2) :还可①②?③④. 由②它的周期为 π,可得 ω=2,故 f(x)=sin(2x+?) . 由①得 2× +?=kπ+ ,k∈z.再由 可得 φ= ,故函数 f(x)=sin(2x+ ]上是增函数. ) .

显然它的图象关于点(

,0)对称,由(1)可得 f(x)在区间[

故可得 ①②?③④. 故答案为 (1) :①③?②④; (2) :①②?③④. 点评: 本题主要考查三角函数的周期性,单调性,对称性,以及学生构造命题拓展问题的能力,属中档题. 二、解答题(共 6 小题,满分 80 分) ) 15. (12 分)已知 ,计算:

(1)



(2)



考点: 三角函数的化简求值. 专题: 计算题. 分析: 根据题意,先解出 tanα 值, (1) 把所求的式子的分子分母同时除以 cosα,把 tanα 值代入进行运算. 2 (2)把所求的式子的分子分母同时除以 cos α,把 tanα 值代入进行运算. 解答: 解:∵ ,∴ .
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(1)



(2)

=

=



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www.jyeoo.com 点评: 本题考查同角三角函数的基本关系的应用,诱导公式的应用,求出 tanα 值是解题的突破口,将所求的式子 2 的分子分母同时除以 cosα 或 cos α 是解题的关键. 16. (12 分)已知 (1) (2) 与 与 垂直? 平行?平行时它们是同向还是反向? , ,当 k 为何值时,

考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系;平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 计算题. 分析: 先求出 的坐标,

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(1)利用向量垂直的充要条件:数量积为 0,列出方程求出 k. (2)利用向量共线的坐标形式的充要条件:坐标交叉相乘相等,列出方程求出 k,将 k 代入两向量的坐标, 判断出方向相反. 解答: 解:k =(1,2)﹣3(﹣3,2)=(10,﹣4) (1) k=19 (2) 此时 k ,得﹣4(k﹣3)=10(2k+2) ,k=﹣ (10,﹣4) ,所以方向相反. ,得 =10(k﹣3)﹣4(2k+2)=2k﹣38=0,

点评: 本题考查向量的坐标运算、向量垂直的充要条件、向量的坐标形式的数量积公式、向量共线的坐标形式的 充要条件. 17. (14 分)某市的一家报刊摊点,从报社买进《晚报》的价格是每份 0.20 元,卖出价是每份 0.30 元,卖不掉的报 纸可以以每份 0.05 元价格退回报社.在一个月(以 30 天计)里,有 20 天每天可卖出 400 份,其余 10 天每天只能 卖出 250 份,但每天从报社买进的份数必须相同,这个摊主每天从报社买进多少份,才能使每月所获的利润最大? 并计算他一个月最多可赚得多少元? 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 应用题. 分析: 先设摊主每天从报社买进 x 份,分析题意得,显然当 x∈[250,400]时,每月所获利润才能最大,下面列出 每月所获利润的函数式,再结合函数的单调性即可计算他一个月最多可赚得多少元. 解答: 解:设摊主每天从报社买进 x 份, 显然当 x∈[250,400]时,每月所获利润才能最大. (2 分) 于是每月所获利润 y 为 y=20?0.30x+10?0.30?250+10?0.05?(x﹣250)﹣30?0.20x(6 分) =0.5x+625,x∈[250,400]. (8 分) 因函数 y 在[250,400]上为增函数, 故当 x=400 时,y 有最大值 825 元. (14 分) 答:这个摊主每天从报社买进 400 份,才能使每月所获的利润最大,并计算他一个月最多可赚得 825 元.
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www.jyeoo.com 点评: 函数模型为分段函数,求分段函数的最值,应先求出函数在各部分的最值,然后取各部分的最值的最大值 为整个函数的最大值,取各部分的最小者为整个函数的最小值.本小题主要考查函数模型的选择与应用, 属于基础题.

18. (14 分)已知函数

的图象过点(0,1) ,当

时,f(x)的最大值为

2 ﹣1. (1)求 f(x)的解析式; (2)写出由 f(x)经过平移 变换得到的一个奇函数 g(x)的解析式,并说明变化过程. 考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题. 分析: (1) 利用函数 的图象过点 (0, 1) , 求出一个关系式, 通过
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时,

f(x)的最大值为 2

﹣1,讨论 b 的情况,求出 a,b 即可得到函数的解析式. 个单位再向上平移 1 个单位得 g(x) .即可得到所求结果.

(2)由 f(x)沿 x 轴向右平移 解答: 解: (1)由题意 f(0)=a+b① 又 当 b>0 时, 当 b<0 时, 所以 (2)由 是奇函数, 所以由 f(x)沿 x 轴向右平移 ,则

, = ②由①②得 a=﹣1,b=2 ③由①③得,a,b 无解

沿 x 轴向右平移

个单位再向上平移 1 个单位得 g(x) .所以

个单位再向上平移 1 个单位得 g(x) .

点评: 本题是基础题,考查函数解析式的求法,注意函数的最值的应用,考查三角函数的基本性质,考查逻辑推 理能力,计算能力. 19. (14 分)如图,已知△ ABC 的面积为 14,D、E 分别为边 AB、BC 上的点,且 AD:DB=BE:EC=2:1,AE 与 CD 交于 P.设存在 λ 和 μ 使 (1)求 λ 及 μ; (2)用 , 表示 ; , , , .

(3)求△ PAC 的面积.

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考点: 向量数乘的运算及其几何意义;向量在几何中的应用. 专题: 数形结合. 分析: (1)根据 ,用基底 、 表示出
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.再根据



用基底 、 (2)把 用

表示出

.这两种表示方式是相同的,由此求出 λ 及 μ. 来表示,把(1)中的结果代入可得用基底 、 表 示的 .

(3) 根据面积之比等于对应的向量的长度比求出△ PAB 和△ PBC 的面积,用△ ABC 的面积减去△ PAB 和△ PBC 的面积 即得△ PAC 的面积. 解答: 解: (1)由于 , ,则 , ,∴ 由①②得 (2) , . , , ①, ②, , ,

(3)设△ ABC,△ PAB,△ PBC 的高分别为 h,h1,h2, , , , ,S△ PAC=4.

点评: 本题考查向量数乘的运算和几何意义,把三角形的面积之比转化为向量的长度比,是解题的难点.

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www.jyeoo.com 2 20. (14 分)已知函数 f(x)=mx+3,g(x)=x +2x+m, (1)求证:函数 f(x)﹣g(x)必有零点; (2)设函数 G(x)=f(x)﹣g(x)﹣1,若|G(x)|在[﹣1,0]上是减函数,求实数 m 的取值范围. 考点: 函数单调性的性质;二次函数的性质;函数零点的判定定理. 专题: 计算题. 分析: (1)函数 f(x)﹣g(x)的零点即为,方程 f(x)﹣g(x)=0 的根,根据已知中函数 f(x)=mx+3,g(x)
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=x +2x+m,构造方程 f(x)﹣g(x)=0,判断其△ 的与 0 的关系,即可得到结论. (2)由已知中函数 G(x)=f(x)﹣g(x)﹣1,我们可得到函数 G(x)的解析式,分析二次函数 G(x) 的值域,进而根据对折变换确定函数 y=|G(x)|的图象及性质,进而得到满足条件的实数 m 的取值范围.
2 解答: 解: (1)证明∵f(x)﹣g(x)=﹣x +(m﹣2)x+3﹣m 2 又∵f(x)﹣g(x)=﹣x +(m﹣2)x+3﹣m=0 时, 2 2 则△ =(m﹣2) ﹣4(m﹣3)=(m﹣4) ≥0 恒成立, 2 所以方程 f(x)﹣g(x)=﹣x +(m﹣2)x+3﹣m=0 有解 函数 f(x)﹣g(x)必有零点 2 解: (2)G(x)=f(x)﹣g(x)﹣1=﹣x +(m﹣2)x+2﹣m 2 ①令 G(x)=0 则△ =(m﹣2) ﹣4(m﹣2)=(m﹣2) (m﹣6) 2 当△ ≤0,2≤m≤6 时 G(x)=﹣x +(m﹣2)x+2﹣m≤0 恒成立 2 所以,|G(x)|=x +(2﹣m)x+m﹣2,在[﹣1,0]上是减函数,则 2≤m≤6 2 ②△>0,m<2,m>6 时|G(x)|=|x +(2﹣m)x+m﹣2| 因为|G(x)|在[﹣1,0]上是减函数 2 所以方程 x +(2﹣m)x+m﹣2=0 的两根均大于 0 得到 m>6

2

或者一根大于 0 而另一根小于 0 且

,得到 m≤0

综合①②得到 m 的取值范围是(﹣∞,0]∪[2,+∞) . 点评: 本题考查的知识点是函数单调性的性质,二次函数的性质,函数零点的判定定理,其中熟练掌握二次函数、 一元二次方程、一元二次不等式的辩证关系是解答本题的关键.

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