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高中数学必修5自主学习导学案:3.2一元二次不等式及其解法


3.2 一元二次不等式及其解法(教师版)
1. 利用“三个二次”之间的关系解一元二次不等式 设 ax2 ? bx ? c ? 0或ax2 ? bx ? c ? 0?a ? 0? 相应的一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0?a ? 0? 的两根为

x1、x2 且 x1 ? x2 , ? ? b 2 ? 4ac ,则不等式的解的各种情况如下表


??0
二次函数 y ? ax2 ? bx ? c ( a ? 0 )的图象 有两相异实根
ax 2 ? bx ? c ? 0 ? a ? 0 ?的根

??0

??0

有两相等实根

x1 , x2 ( x1 ? x2 )

x1 ? x2 ? ?

b 2a

无实根

ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?
?

R

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集
以二次函数 y ? x 2 ? x ? 6 为例: (1) 作出图象 y ? x 2 ? x ? 6 ;

?x x

1

? x ?x 2 ?

?

(2) 根据图象容易看到,图象与 x 轴的交点是 (?3, 0), (2, 0) ,即当 x ? ?3或2 时, y ? 0 .就是说对 应的一元二次方程 x ? x ? 6 ? 0 的两实根是 x ? ?3或2 .
2

(3) 当 x ? ?3或x ? 2 时, y ? 0 ,对应图像位于 x 轴的上方. 就是说 x ? x ? 6 ? 0 的解集是 {x | x ? ?3或x ? 2} .
2

当 ?3 ? x ? 2 时, y ? 0 ,对应图像位于 x 轴的下方. 就是说 x ? x ? 6 ? 0 的解集是 {x | ?3 ? x ? 2} .
2

一般地,一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解,步骤如下: (1) 化二次项系数为正; (2) 若 二 次 三 项 式 能 分 解 成 两 个 一 次 因 式 的 积 , 则 求 出 两 根 x1 , x2 . 那 么 “ ? 0 ” 型 的 解 为

x ? x1或x ? x2 (俗称两根之外);“ ? 0 ”型的解为 x1 ? x ? x2 (俗称两根之间);
1

b 2 4ac ? b 2 (3) 否则,对二次三项式进行配方,变成 ax ? bx ? c ? a( x ? ,结合完全平方式为 ) ? 2a 4a
2

非负数的性质求解.

※ 典型例题 考点 1.一元二次不等式的解法 【例 1】解下列不等式:
81 1 (1)2x2+7x+3>0;(2)x2-4x-5≤0;(3)-4x2+18x- ≥0;(4)- x2+3x-5>0;(5)-2x2+3x-2<0. 4 2 分析:可先对不等式作等价变形,将二次项系数化为正,并使不等号一边为 0,再求对应方程的根, 并根据根的情况画出草图,观察图象写出解集. 1 解析:(1)因为 Δ=72-4×2×3=25>0,所以方程 2x2+7x+3=0 有两个不等实根 x1=-3,x2=- . 2 ? ? 1 x>- ,或x<-3 ?. 又二次函数 y=2x2+7x+3 的图象开口向上,所以原不等式的解集为?x? 2 ? ? ? (2)原不等式可化为(x-5)(x+1)≤0,所以原不等式的解集为{x|-1≤x≤5}. ? ? 9?2 9 ? ? ? (3)原不等式可化为? ?2x-2? ≤0,所以原不等式的解集为?x?x=4 ?. (4)原不等式可化为 x2-6x+10<0,Δ=(-6)2-40=-4<0,所以方程 x2-6x+10=0 无实根,又二次 函数 y=x2-6x+10 的图象开口向上,所以原不等式的解集为?. (5)原不等式可化为 2x2-3x+2>0,因为 Δ=9-4×2×2=-7<0,所以方程 2x2-3x+2=0 无实根,又 二次函数 y=2x2-3x+2 的图象开口向上,所以原不等式的解集为 R. 归纳小结:若 x1 , x2 是一元二次方程的两个根,且 x1 ? x2 ,则有: (1) ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0 ? x1 ? x ? x2 变式 1.求下列一元二次不等式的解集. 2 81 (1)x2-5x>6;(2)4x2-4x+1≤0;(3)-x2+7x>6;(4)-x2+2x- >0;(5)4x2-18x+ ≥0. 3 4 解:(1)由 x2-5x>6,得 x2-5x-6>0.∴x2-5x-6=0 的两根是 x=-1 或 6,∴原不等式的解集为{x|x< -1 或 x>6}. (2)4x2-4x+1≤0,即(2x-1)2≤0, 1 1 ∴x= .∴4x2-4x+1≤0 的解集为{x|x= }. 2 2 2 2 2 (3)由-x +7x>6,得 x -7x+6<0,而 x -7x+6=0 的两个根是 x=1 或 6.∴不等式 x2-7x+6<0 的解 集为{x|1<x<6}. (4)两边都乘以-3,得 3x2-6x+2<0, 3 3 ∵3>0,Δ=36-24=12>0,且方程 3x2-6x+2=0 的解是 x1=1- ,x2=1+ ,∴原不等式的解集 3 3 3 3 是{x|1- <x<1+ }. 3 3 (5)不等式可化为 16x2-72x+81≥0,即(4x-9)2≥0,∴x∈R. ∴原不等式的解集为 R. (2) ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0 ? x ? x1 或 x ? x2

变式 2.解下列不等式: (1) x ? 2 x ? 8 ? 0
2

(2) x ? 4 x ? 4 ? 0 (3) x ? x ? 2 ? 0 (4) x ? x ? 6 ? 0
2 2 2

解:(1) 不等式可化为 ( x ? 2)( x ? 4) ? 0

∴ 不等式的解集是 {x | ?2 ? x ? 4} .
2

(2) 不等式可化为 ( x ? 2)2 ? 0 (3) 不等式可化为 ( x ? ) ?
2

∴ 不等式的解集是 {2} .

1 2

7 ? 0 ,所以无解. 4
∴ 不等式的解集是 {x | x ? ?2 或 x ? 3} .

(4)不等式可化为 ( x ? 2)( x ? 3) ? 0

考点 2.一元二次不等式与一元二次方程的关系 【例 2】已知不等式 ax ? bx ? 1 ? 0 的解为 ?
2

1 1 ? x ? ,求 a 和 b 的值,并解不等式 bx 2 ? 5x ? a ? 0 . 2 3

1 1 2 和 是方程 ax ? bx ? 1 ? 0 的两根, 2 3 1 1 b 1 1 1 方法 1:由韦达定理,∴ ? ? ? ? , ? ? ? ,解得 a ? ?6 , b= ? 1 . 2 3 a 2 3 a
解:依题意, ?

1 1 ? a ? (? ) 2 ? b ? (? ) ? 1 ? 0 ? ? 2 2 方法 2:直接代入方程得, ? ,解得 a ? ?6 , b= ? 1 ?a ? ( 1 )2 ? b ? ( 1 ) ? 1 ? 0 ? 3 3 ?
∴ 不等式 bx ? 5 x ? a ? 0 为 x ? 5 x ? 6 ? 0 ,解得 x ? 1 或 x ? ?6 .
2 2

∴ 不等式 bx ? 5 x ? a ? 0 的解集为 {x | x ? 1或x ? ?6} .
2 2 变式 1.设一元二次不等式 ax ? bx ? 1 ? 0 的解为 ?1 ? x ?

1 ,则 ab 的值是( 3
D. 5



A. ? 6 解:C

B. ? 5

C. 6

考点 3.可化为一元二次不等式的分式不等式的解法 2x-1 2-x 【例 3】解下列不等式:(1) ≥0;(2) >1. 3x+1 x+3 分析:将分式不等式等价转化为一元二次不等式或一元二次不等式组. 1 1 x≤- 或x≥ ? 3 2 ? 2 x - 1 ?? 3 x + 1 ? ≥ 0 ? 1 1 解析:(1)原不等式可化为? ,解得 ,∴x<- 或 x≥ , 3 2 1 ?3x+1≠0 ? x≠- 3

? ? ?

? 1 1 ? ? ∴原不等式的解集为?x? ?x<-3或x≥2 . ? ?

? ?x+3>0 ?x+3<0 ? ? ? (2)法一:原不等式可化为? 或? 解得? 1 ? ? ?2-x>x+3 ?2-x<x+3 ?x<-
x>-3

?

x<-3 ? ? 或? 1 , x>- ? 2 2 ?

? 1 ? 1 -3<x<- ?. ∴-3<x<- ,∴原不等式的解集为?x? 2 ? 2 ? ? ?2-x?-?x+3? -2x-1 2x+1 法二:原不等式可化为 >0,化简得 >0,即 <0,∴(2x+1)(x+3)<0,解得- x+3 x+3 x+3 ? 1 ? 1 -3<x<- ?. 3<x<- . ∴原不等式的解集为?x? 2 ? 2 ? ? 3

小结: (1)

ax ? b ax ? b ? 0 ? (ax ? b)(cx ? d ) ? 0 ; ? 0 ? (ax ? b)(cx ? d ) ? 0 cx ? d cx ? d

(2)

?(ax ? b)(cx ? d ) ? 0 ax ? b ?(ax ? b)(cx ? d ) ? 0 ax ? b ; ?0?? ?0?? cx ? d cx ? d ?cx ? d ? 0 ?cx ? d ? 0
2x ? 3 ?0 x ?1
x+3 (2) ≥0. 3-2x

变式 1.解下列不等式:(1)

解:(1)原不等式可化为: (2 x ? 3)( x ? 1) ? 0 ? ?1 ? x ? 解集为 {x | x ? ?3}.

3 3 ,所以原不等式的解集为 {x | ?1 ? x ? } . 2 2

3 3 (2)原不等式可化为(x+3)(3-2x)≥0,且 3-2x≠0,∴(x+3)(2x-3)≤0,且 x≠ .∴-3≤x< . 2 2 ? ? ? 3 ∴原不等式的解集为?x?-3≤x<2 ?. ? ? 变式 2.解下列不等式

5 2x ?1 1 ?1 ?3 ?3 (2) (3) x x?2 x?2 5? x ? 0 ? x( x ? 5) ? 0 ? 0 ? x ? 5 ,所以原不等式的解集为 {x | 0 ? x ? 5} . 解:(1) x 2x ?1 x?7 ?3? 0 ? ? 0 ? ?7 ? x ? ?2 ,所以原不等式的解集为 {x | ?7 ? x ? ?2}. (2) x?2 x?2
(1) (3)

?(3x ? 5)( x ? 2) ? 0 1 ?3x ? 5 3x ? 5 5 ?3? 0 ? ?0? ?0?? ? x ? ?2或x ? ? ,所以原 x?2 x?2 x?2 3 ?x ? 2 ? 0
5 3

不等式的解集为 {x | x ? ?2或x ? ? } .

考点 4.含参数的一元二次不等式的解法 【例 4】解关于 x 的不等式: x2 ? 2 x ? a ? 0(a为实数) . 解:原不等式对应的一元二次方程为: x ? 2 x ? a ? 0 , ? ? 4 ? 4a ,
2

当 a ? 1 时, ? ? 4 ? 4a ? 0 ,原不等式无解; 当 a ? 1 时,对应一元二次方程的两个解为: x ? ?1 ? 1 ? a , 所以 x ? 2 x ? a ? 0 的解为: ?1 ? 1 ? a ? x ? ?1 ? 1 ? a
2

综上所述, a ? 1 时,原不等式无解; 当 a ? 1 时,原不等式的解为: {x | ?1 ? 1 ? a ? x ? ?1 ? 1 ? a} . 变式 1.不等式 x ? ax ?12a ? 0 ? a ? 0? 的解是_____________.
2 2

解: {x | 4a ? x ? ?3a} 变式 2.解关于 x 的不等式:x2-ax-2a2<0(a∈R).
4

解析:将原不等式转化为(x-2a)(x+a)<0. 对应的一元二次方程的两实根为 x1=2a,x2=-a. (1)当 a>0 时,x1>x2,不等式的解集为{x|-a<x<2a}; (2)当 a=0 时,原不等式化为 x2<0,无解; (3)当 a<0 时,x1<x2,不等式的解集为{x|2a<x<-a}. 综上所述,原不等式的解集为: a>0 时,{x|-a<x<2a}; a=0 时,x∈?; a<0 时,{x|2a<x<-a}. 变式 3. (难)解关于 x 的不等式 a(x2+1)≥2x. 解析:原不等式可化为 ax2-2x+a≥0. 对 a 分类讨论: (1)当 a=0 时,不等式化为-2x≥0,解得 x≤0. (2)当 a>0 时,Δ=4-4a2=4(1-a2). 1- 1-a2 1+ 1-a2 ①当 0<a<1 时,Δ>0,此时方程 ax2-2x+a=0 有两根,x1= ,x2= . a a 1+ 1-a2 1- 1-a2 ∴x≥ 或 x≤ . a a ②当 a=1 时,不等式化为 x2-2x+1≥0,此时 x∈R. ③当 a>1 时,Δ<0,也有 x∈R. (3)当 a<0 时,Δ=4-4a2=4(1-a2). 1- 1-a2 1+ 1-a2 ①当-1<a<0 时,Δ>0,此时方程 ax2-2x+a=0 有两根,x1= ,x2= . a a 1+ 1-a2 1- 1-a2 ∴ ≤x≤ . a a ②当 a=-1 时,不等式化为-x2-2x-1≥0,解得 x=-1. ③当 a<-1 时,Δ<0,x∈?. 综上可知: 当 a<-1 时,不等式的解集为?. 当 a=-1 时,不等式的解集为{x|x=-1}. 当-1<a<0 时,不等式的解集为?x?
? ?

1- 1-a2? ?1+ 1-a2 ? . ≤x≤ a a ? ?

当 a=0 时,不等式的解集为{x|x≤0}.
? ? 1+ 1-a2 1- 1-a2? ? . 当 0<a<1 时,不等式的解集为?x?x≥ 或x≤ a a ? ? ? 当 a≥1 时,不等式的解集为 R.

考点 5. 不等式恒成立问题 【例 5】已知函数 f(x)=x2+ax+3. (1)当 x∈R 时,f(x)≥a 恒成立,求 a 的范围; (2)当 x∈[-2,2]时,f(x)≥a 恒成立,求 a 的范围. 分析:本例考查恒成立问题.(1)利用判别式 Δ 求解;(2)转化为求 f(x)在[-2,2]上的最小值即可. 解析:(1)f(x)≥a 恒成立,即 x2+ax+3-a≥0 恒成立,必须且只需 Δ=a2-4(3-a)≤0,即 a2+4a- 12≤0,∴-6≤a≤2.∴a∈[-6,2]. a a2 x+ ?2+3- . (2)f(x)=x2+ax+3=? ? 2? 4 a 7 ①当- <-2,即 a>4 时,f(x)min=f(-2)=-2a+7,由-2a+7≥a,得 a≤ ,∴a∈?. 2 3 a a2 a2 ②当-2≤- ≤2,即-4≤a≤4 时,f(x)min=3- ,由 3- ≥a,得-6≤a≤2.∴-4≤a≤2. 2 4 4 a ③当- >2,即 a<-4 时,f(x)min=f(2)=2a+7. 2
5

由 2a+7≥a,得 a≥-7,∴-7≤a<-4. 综上,可得 a∈[-7,2]. 点评:对于函数 f(x),f(x)≤a 恒成立?f(x)max≤a;f(x)≥a 恒成立?f(x)min≥a. 变式 1.已知不等式 x2+mx>4x+m-4. (1)若对一切实数 x 不等式恒成立,求实数 m 的取值范围; (2)若对于 0≤m≤4 的所有实数 m,不等式恒成立,求实数 x 的取值范围. 解析:(1)不等式变形为 x2+(m-4)x+4-m>0,设 f(x)=x2+(m-4)x+4-m, 对一切实数 x 不等式恒成立,等价于函数 f(x)的函数值恒为正值,或者说函数 f(x)的图象在 x 轴的上 方.∴Δ=(m-4)2-4(4-m)=m2-4m<0,解得 0<m<4. (2)将 x 看成参数,m 看成自变量,不等式转化为 m(x-1)+x2-4x+4>0,令 g(m)=m(x-1)+x2-4x 2 ? ? ?g?0?>0, ?x -4x+4>0, +4,则 g(m)>0 对 0≤m≤4 的所有实数 m 恒成立,可得? 即? 2 解得 x≠0 且 x≠2. ?g?4?>0, ?x >0, ? ? 变式 2.已知对于任意实数 x , kx ? 2 x ? k 恒为正数,求实数 k 的取值范围.
2

解:显然 k ? 0 时,不合题意,于是:

?k ? 0 ?k ? 0 ?k ? 0 ?? 2 ?? ? k ?1. ? 2 2 k ? ? 1 或 k ? 1 ( ? 2) ? 4 k ? 0 k ? 1 ? 0 ? ? ?
练习 3.已知对于任意实数 x , kx ? 2 x ? 6 恒为正数,求实数 k 的取值范围.
2 2 解:显然 k ? 0 时, kx ? 2 x ? 6 ? ?2 x ? 6 不恒为正数,不合题意,于是:

?k ? 0 1 ?k ? . ? 2 6 ?(?2) ? 4k ? 6 ? 0

1.不等式-x2-x+2≥0 的解集为( ) A.{x|x≤2 或 x≥1} B.{x|-2<x<1} C.{x|-2≤x≤1} D.? 2 2 解析:由-x -x+2≥0 得 x +x-2≤0,即(x+2)(x-1)≤0,∴-2≤x≤1,∴原不等式解集为{x|- 2≤x≤1}.答案:C x-1 2.不等式 <0 的解集为( ) x+2 A.(1,+∞) B.(-∞,-2) C.(-2,1) D.(-∞,-2)∪(1,+∞) x-1 解析:不等式 <0 等价于(x-1)(x+2)<0,所以不等式的解集为{x|-2<x<1}.答案:C x+2 3.二次方程 ax2+bx+c=0 的两根为-2,3,a<0,那么 ax2+bx+c>0 的解集为( ) A.{x|x>3 或 x<-2} B.{x|x>2 或 x<-3} C.{x|-2<x<3} D.{x|-3<x<2} 解析:二次函数的图象开口向下,故不等式 ax2+bx+c>0 的解集为{x|-2<x<3}.答案:C ax-1 4.关于 x 的不等式 <0(其中 a<-1)的解集为( ) x+1 1 1? 1? 1 ? ? A.? B.? C.? D.(-∞,-1)∪? ?a,-1? ?-1,a? ?-∞,a?∪(-1,+∞) ?a,+∞? 1 1 x- ?(x+1)>0,解得:x<-1 或 x> , 解析:原不等式变形得:(ax-1)(x+1)<0,又 a<-1,∴? ? a? a 1 ? 则原不等式的解集为(-∞,-1)∪? ?a,+∞?. 答案:D 5.关于 x 的不等式 63x2-2mx-m2<0 的解集为( )
6

m m? A.? ?- 9 , 7 ?

m m? B.? ? 7 ,- 9 ?

m? ?m ? C.? ?-∞,- 9 ?∪? 7 ,+∞?

D.以上答案都不对

m? ? m? 解析:原不等式可化为? ?x+ 9 ?· ?x- 7 ?<0,需对 m 分三种情况讨论,即不等式的解集与 m 有关.答案:D 6.若不等式|2x-3|>4 与关于 x 的不等式 x2+px+q>0 的解集相同,则 x2-px+q<0 的解集是( ? ? ? 1 ? ? ? ? 7 7 1 ? 7 ? 7 1 ? 1 ? ?x - <x< ? ?x x<- 或x> ? ?x - <x< ? x> 或x<- ? A.?x? B. C. D. 2 2 2 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? )

?-p=2-2, 7 1 解析:由|2x-3|>4 得 2x-3>4 或 2x-3<-4,则 x> 或 x<- .由题意可得? 2 2 1? 7 ?q=2×? ?-2?, ?p=2-2, 则? 7 1 - ?, ?q=2×? ? 2?
1 7 1 7 x2-px+q<0 对应方程 x2-px+q=0 的两根分别为 ,- ,则 x2-px+q<0 的解 2 2

7

1

? 7 1 ? - <x< ?,故选 D. 集是?x? 2 ? ? ? 2 2 7.若 x -2ax+2≥0 在 R 上恒成立,则实数 a 的取值范围是( ) A.(- 2, 2] B.(- 2, 2) C.[- 2, 2) D.[- 2, 2] 解析:Δ=(-2a)2-4×1×2≤0,∴- 2≤a≤ 2. 答案:D 8.若 f(x)=(x-a)(x-b)+2(a<b),且 α,β(α<β)是方程 f(x)=0 的两根,则 α,β,a,b 的大小关系是( ) A.a<α<β<b B.a<α<b<β C.α<a<b<β D.α<a<β<b

解析: ∵α,β 为 f(x)=0 的两根,∴α,β 为 f(x)=(x-a)(x-b)+2 与 x 轴交点的横坐标. ∵a,b 为(x-a)(x-b)=0 的根,令 g(x)=(x-a)(x-b),∴a,b 为 g(x)与 x 轴交点的横坐标. 可知 f(x)图象可由 g(x)图象向上移 2 个单位得到,由图知选 A. 答案:A m 9.不等式 x2+mx+ >0 恒成立的条件是________. 2 m m 2 解析:x +mx+ >0 恒成立,等价于 Δ<0,即 m2-4× <0?0<m<2. 2 2 答案:0<m<2 1? 2 2 10.函数 f(x)=log2? ?x -x+4?+ 1-x 的定义域为________. 1 1 ? ? ?x2-x+4>0, ?x≠2, ? 1 ? -1≤x≤1且x≠ ?. 解析:要使函数有意义,则需? 即? ∴其定义域为?x? 2 ? ? ? ?1-x2≥0, ?-1≤x≤1, ? ? 11.若 0 ? a ? 1 ,则不等式 ? a ? x ? ? x ?

? ?

1 1? ? ? 0 的解是_____________. 解: {x | a ? x ? a } a?
? ?

? 1 ? ? 12.若关于 x 的不等式 ax2+3x-1>0 的解集是?x? ?2<x<1 ,

(1)求 a 的值;(2)求不等式 ax2-3x+a2+1>0 的解集. 1 1 3 1 1 解:(1)依题意,可知方程 ax2+3x-1=0 的两个实数根为 和 1, +1=- , ×1=- ,解得 a=-2. 2 2 a 2 a 5 (2)-2x2-3x+5>0,2x2+3x-5<0. 因为 2x2+3x-5=0 有两根为 x1=1,x2=- , 2
7

? ? 5 - <x<1 ?. 所以不等式的解集为?x? 2 ? ? ?

13.解下列不等式:(1) 4 x ? 4 x ? 1 ? 0 ;
2

(2) x ? 5 x ? 3 ? 0 .
2

解:(1) 不等式可化为 (2 x ? 1)2 ? 0 ,∴ 不等式的解集是 { x | x ? (2) x ? 5 x ? 3 ? 0 的根为 x ?
2

1 }; 2

5 ? 13 5 ? 13 5 ? 13 ,∴ 不等式的解集是 {x | ?x? }; 2 2 2
(2) x ? (a ? ) ? 1 ? 0(a ? 0, a为实数)
2

14.解不等式: (1) 9 x ? 6 x ? 1 ? 0
2

1 a

解. (1) ? x x ? ? ?

? ?

1? 3?
1 a

(2)原不等式可变为: ( x ? a )( x ? ) ? 0 , (1)当 a ? 1 或 ? 1 ? a ? 0 时, ? x

? 1 ? ? x ? a? ; ? a ?

(2)当 a ? ?1 时,无解; (3)当 0 ? a ? 1 或 a ? ?1 时, ? x a ? x ?

? ?

1? ?. a?

15.解关于 x 的不等式:ax +(1-a)x-1>0. 解析:原不等式可化为(x-1)(ax+1)>0. (1)当 a=0 时,原不等式为 x-1>0,∴解集为{x|x>1}. ? 1 ? 1 x>1或x<- ?. (2)当 a>0 时,- <1.∴原不等式的解集为?x? a ? a ? ? ? 1 ? 1 1<x<- ?. (3)当 a<0 时,①当-1<a<0 时,- >1,∴原不等式的解集为?x? a ? a ? ? 2 ②当 a=-1 时,原不等式变为-(x-1) >0,∴解集为?. ? ? 1 1 - <x<1 ?. ③当 a<-1 时,- <1,∴原不等式的解集为?x? a ? a ? ?

2

8

3.2 一元二次不等式及其解法(学生版)
1. 利用“三个二次”之间的关系解一元二次不等式 设 ax2 ? bx ? c ? 0或ax2 ? bx ? c ? 0?a ? 0? 相应的一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0?a ? 0? 的两根为

x1、x2 且 x1 ? x2 , ? ? b 2 ? 4ac ,则不等式的解的各种情况如下表:
??0
二次函数 y ? ax2 ? bx ? c ( a ? 0 )的图象 有两相异实根
ax ? bx ? c ? 0 ? a ? 0 ?的根
2

??0

??0

有两相等实根

x1 , x2 ( x1 ? x2 )

x1 ? x2 ? ?

b 2a

无实根

ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?
?

R

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集
以二次函数 y ? x 2 ? x ? 6 为例: (1) 作出图象 y ? x 2 ? x ? 6 ;

?x x

1

? x ?x 2 ?

?

(2) 根据图象容易看到,图象与 x 轴的交点是 (?3, 0), (2, 0) ,即当 x ? ?3或2 时, y ? 0 .就是说对 应的一元二次方程 x ? x ? 6 ? 0 的两实根是 x ? ?3或2 .
2

(3) 当 x ? ?3或x ? 2 时, y ? 0 ,对应图像位于 x 轴的上方. 就是说 x ? x ? 6 ? 0 的解集是 {x | x ? ?3或x ? 2} .
2

当 ?3 ? x ? 2 时, y ? 0 ,对应图像位于 x 轴的下方. 就是说 x ? x ? 6 ? 0 的解集是 {x | ?3 ? x ? 2} .
2

一般地,一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解,步骤如下: (1) 化二次项系数为正; (2) 若 二 次 三 项 式 能 分 解 成 两 个 一 次 因 式 的 积 , 则 求 出 两 根 x1 , x2 . 那 么 “ ? 0 ” 型 的 解 为
9

x ? x1或x ? x2 (俗称两根之外);“ ? 0 ”型的解为 x1 ? x ? x2 (俗称两根之间);
(3) 否则,对二次三项式进行配方,变成 ax ? bx ? c ? a( x ?
2

b 2 4ac ? b 2 ) ? ,结合完全平方式为 2a 4a

非负数的性质求解.

※ 典型例题 考点 1.一元二次不等式的解法 【例 1】解下列不等式:
81 1 (1)2x2+7x+3>0;(2)x2-4x-5≤0;(3)-4x2+18x- ≥0;(4)- x2+3x-5>0;(5)-2x2+3x-2<0. 4 2 分析:可先对不等式作等价变形,将二次项系数化为正,并使不等号一边为 0,再求对应方程的根, 并根据根的情况画出草图,观察图象写出解集.

归纳小结:若 x1 , x2 是一元二次方程的两个根,且 x1 ? x2 ,则有: (1) ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0 ? x1 ? x ? x2 变式 1.求下列一元二次不等式的解集. 2 81 (1)x2-5x>6;(2)4x2-4x+1≤0;(3)-x2+7x>6;(4)-x2+2x- >0;(5)4x2-18x+ ≥0. 3 4 (2) ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0 ? x ? x1 或 x ? x2

变式 2.解下列不等式: (1) x ? 2 x ? 8 ? 0
2

(2) x ? 4 x ? 4 ? 0 (3) x ? x ? 2 ? 0 (4) x ? x ? 6 ? 0
2 2 2

10

考点 2.一元二次不等式与一元二次方程的关系 【例 2】已知不等式 ax ? bx ? 1 ? 0 的解为 ?
2

1 1 ? x ? ,求 a 和 b 的值,并解不等式 bx 2 ? 5x ? a ? 0 . 2 3

2 变式 1.设一元二次不等式 ax ? bx ? 1 ? 0 的解为 ?1 ? x ?

1 ,则 ab 的值是( 3
D. 5



A. ? 6

B. ? 5

C. 6

考点 3.可化为一元二次不等式的分式不等式的解法 2x-1 2-x 【例 3】解下列不等式:(1) ≥0;(2) >1. 3x+1 x+3 分析:将分式不等式等价转化为一元二次不等式或一元二次不等式组.

小结: (1)

ax ? b ax ? b ? 0 ? (ax ? b)(cx ? d ) ? 0 ; ? 0 ? (ax ? b)(cx ? d ) ? 0 cx ? d cx ? d

(2)

?(ax ? b)(cx ? d ) ? 0 ax ? b ?(ax ? b)(cx ? d ) ? 0 ax ? b ; ?0?? ?0?? cx ? d cx ? d ?cx ? d ? 0 ?cx ? d ? 0
2x ? 3 ?0 x ?1
x+3 (2) ≥0. 3-2x

变式 1.解下列不等式:(1)

变式 2.解下列不等式 (1)

5 ?1 x

(2)

2x ?1 ?3 x?2

(3)

1 ?3 x?2

11

考点 4.含参数的一元二次不等式的解法 【例 4】解关于 x 的不等式: x2 ? 2x ? a ? 0(a为实数) .

变式 1.不等式 x2 ? ax ?12a2 ? 0 ? a ? 0? 的解是_____________. 变式 2.解关于 x 的不等式:x2-ax-2a2<0(a∈R).

变式 3. (难)解关于 x 的不等式 a(x2+1)≥2x.

1.不等式-x2-x+2≥0 的解集为( ) A.{x|x≤2 或 x≥1} B.{x|-2<x<1} C.{x|-2≤x≤1} D.? x-1 2.不等式 <0 的解集为( ) x+2 A.(1,+∞) B.(-∞,-2) C.(-2,1) D.(-∞,-2)∪(1,+∞) 2 2 3.二次方程 ax +bx+c=0 的两根为-2,3,a<0,那么 ax +bx+c>0 的解集为( ) A.{x|x>3 或 x<-2} B.{x|x>2 或 x<-3} C.{x|-2<x<3} D.{x|-3<x<2} ax-1 4.关于 x 的不等式 <0(其中 a<-1)的解集为( ) x+1 1 ?-1,1? ?-∞,1?∪(-1,+∞) ?1,+∞? ,-1? A.? B. C. D . ( -∞,- 1) ∪ a? a? ?a ? ? ? ?a ? 5.关于 x 的不等式 63x2-2mx-m2<0 的解集为( )
12

m m? A.? ?- 9 , 7 ?

m m? B.? ? 7 ,- 9 ?

m? ?m ? C.? ?-∞,- 9 ?∪? 7 ,+∞?
2 2

D.以上答案都不对

6.若不等式|2x-3|>4 与关于 x 的不等式 x +px+q>0 的解集相同,则 x -px+q<0 的解集是( ) ? ? 7 ? ? 1 ? ? ? ? 7 1 ? 7 ? 7 1 ? 1 ? A.?x?x>2或x<-2 ? B.?x?-2<x<2 ? C.?x?x<-2或x>2 ? D.?x?-2<x<2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 7.若 x2-2ax+2≥0 在 R 上恒成立,则实数 a 的取值范围是( ) A.(- 2, 2] B.(- 2, 2) C.[- 2, 2) D.[- 2, 2] 8.若 f(x)=(x-a)(x-b)+2(a<b),且 α,β(α<β)是方程 f(x)=0 的两根,则 α,β,a,b 的大小关系是( ) A.a<α<β<b B.a<α<b<β C.α<a<b<β D.α<a<β<b m 9.不等式 x2+mx+ >0 恒成立的条件是________. 2 1? 2 2 10.函数 f(x)=log2? ?x -x+4?+ 1-x 的定义域为________. 11.若 0 ? a ? 1 ,则不等式 ? a ? x ? ? x ?

? ?

1? ? ? 0 的解是_____________. a?
? ?

? 1 ? ? 12.若关于 x 的不等式 ax2+3x-1>0 的解集是?x? ?2<x<1 ,

(1)求 a 的值;(2)求不等式 ax2-3x+a2+1>0 的解集.

13.解下列不等式:(1) 4 x ? 4 x ? 1 ? 0 ;
2

(2) x ? 5 x ? 3 ? 0 .
2



14.解不等式: (1) 9 x ? 6 x ? 1 ? 0
2

(2) x ? (a ? ) ? 1 ? 0(a ? 0, a为实数)
2

1 a

15.解关于 x 的不等式:ax2+(1-a)x-1>0.

13


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