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数列求和


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远航教育教学教案
学生姓名 老师姓名 阶段 课题名称 石子凝 刘老师 第()周 数列求和 学 科 教材版本 观察期□ 数学 人教版 年 级 填写时间 课时计划 上课时间 高三 1-21
第( 共( )课 )课

维护期□

1-21

同步教

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以下是课后填写:
本节课教学计划完成情况: 学习的接受程度: 学习上次的作业完成情况: 学生的课堂表现: 数量 非常积极□ 照常完成□ 完全接受□ % 提前完成□ 部分接受□ 分 延迟完成□ 不能接受□ 存在问题: 不积极□

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一般积极□

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常见的数列求和及应用
一、自主探究 1、等差数列的前 n 项和公式:

Sn ?
①当 q ? 1 时, Sn ? ②当 q ? 1 时, Sn ?

=



2、等比数列的前 n 项和公式:



; = 。



3、常见求和公式有: ①1+2+3+4+?+n= ②1+3+5+?+(2n-1)= ※③ 12 ? 22 ? 32 ? ※④ 13 ? 23 ? 33 ? 二、典例剖析 (一)、分组求和法:某些数列,通过适当分组,可得出两个或几个等差数列或等比 数列,进而利用公式分别求和,从而得出原数列的和。
1 ? n2 = n ? n ? 1?? 2n ? 1? 6 ? n3 ? 1 2 2 n ? n ? 1? 4





例1

已知 an ? n ? 2n ,求数列{ an }的前 n 项和。

变式练习: 已知 an ? n2 ? n ,求数列{ an }的前 n 项和。

(二)、裂项求和法:如果数列的通项公式可转化为 f ? n ? 1? ? f ? n ? 形式,常采用裂

? 1 ? 项求和的方法。特别地,当数列形如 ? ? ,其中 ?an ? 是等差数列,可采用此法 a a n n ? 1 ? ?
例2 求和:
1 1 ? 2 ? 2 ?1 3 ?1
2

?

1 (n ? 2) n ?1
2

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变式练习:已知数列的通项公式 an ?

1 ,求数列{ an }的前 n 项和。 n ? n ? 1?

(三)、奇偶并项法:当数列通项中出现 ? ?1? 或 ? ?1?
n

n ?1

时,常常需要对 n 取值的奇偶

性进行分类讨论。 例3 求和: S n ? ?1 ? 3 ? 5 ? 7 ?
? ? ?1? ? 2n ? 1?
n

(四)、倒序相加法:此法主要适用数列前后具有“对称性”,即“首末两项之和相 等”的形式。 例4 求在区间 ? a, b? 内分母是 3 的所有不可约分数之和。

变式练习:已知 lg x ? lg y ? a 且 Sn ? lg x n ? lg ? x n ?1 y ? ? lg ? x n ? 2 y 2 ? ?

? lg y n .求 S n

(五) 错位相减法: 一般地, 如果数列 ?an ? 时等差数列, 求数列 ?anbn ? ?bn ? 是等比数列,

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的前 n 项和时,可采用此法,在等式的两边乘以 q 或 例5 求和: Sn ? 1 ? 2x ? 3x2 ?

1 ,再错一位相减。 q

? nxn?1 ? x ? 1且x ? 0?

变式练习:求和: Sn ?

1 3 5 ? ? ? 2 4 8

?

2n ? 1 2n

例求数列

6 6 6 6 , , ,??, ,?? 前 n 项和 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n(n ? 1)

例求数列

1 1 , , 1? 2 ? 3 2 ? 3 ? 4

,

1 , n(n ? 1)(n ? 2)

前 n 项和

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例求数列 {n ?

1 } 前 n 项和 2n

裂项求和的几种常见类型

(1)



(2)



(3)



(4) (5)若 是公差为 d 的等差数列,则





(6)



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课 堂 练



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