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江苏省2012届高考数学二轮复习:第10讲 等差数列与等比数列


专题三 数



第10讲 等差数列与等比数列

1. 理解等差、等比数列的概念,掌握等差、等比数列的通项公式及前 n 项和公式. 2. 数列是高中的重要内容,考试说明中,等差、等比数列都是 C 级要求,因而考试题 多为中等及以上难度,试题综合考查了函数与方程,分类讨论等数学思想.填空题常常考查 等差、等比数列的通项公式、前 n 项和公式及等差、等比数列的性质,考查运算求解能力; 解答题综合性很强,不仅考查数列本身的知识而且还涉及到函数、不等式、解析几何等方面 的知识,基本上都是压轴题.

5 1. 在数列{an}中,an=4n- ,a1+a2+?+an=an2+bn,n∈N*,其中 a,b 为常数,则 2 ab=________. 2.已知等差数列{an}中, 2=6, 5=15.若 bn=a2n, a a 则数列{bn}的前 5 项和等于________.

3. 设{an}是公比为正数的等比数列,若 a1=1,a5=16,则数列{an}前 7 项和为________. 4.已知等比数列{an}满足 a1>0,a1 ________.
006 =2,则

log2a1+log2a2+log2a3+?+log2a2

011 =

【例 1】 等差数列{an}的各项均为正数,且 a1=1,前 n 项和为 Sn,{bn}为等比数列, b1=1 ,前 n 项和为 Tn,且 b2S2=12,b3S3=81. (1) 求 an 与 bn; (2) 求 Sn 与 Tn; (3) 设 cn=anbn,{cn}的前 n 项和为 Mn,求 Mn.

【例 2】 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1+ 2,S3=9+3 2. (1) 求数列{an}的通项 an 与前 n 项和 Sn; Sn (2) 设 bn= (n∈N*),求证:数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列. n

【例 3】 设{an}是公差不为零的等差数列,Sn 为其前 n 项和,满足 a2+a2=a2+a2,S7 2 3 4 5 =7. (1) 求数列{an}的通项公式及前 n 项和 Sn;

amam+1 (2) 试求所有的正整数 m,使得 为数列{an}中的项. am+2

【例 4】 已知数列{an}中,a1=1,an+an+1=2n(n∈N*),bn=3an. 1 n? ? (1) 试证数列?an-3×2 ?是等比数列,并求数列{bn}的通项公式.
? ?

(2) 在数列{bn}中,是否存在连续三项成等差数列?若存在,求出所有符合条件的项; 若不存在,说明理由. (3) 试证在数列{bn}中,一定存在满足条件 1<r<s 的正整数 r,s,使得 b1,br,bs 成等 差数列;并求出正整数 r,s 之间的关系.

1. (2011· 广东)等差数列{an}前 9 项的和等于前 4 项的和.若 a1=1,ak+a4=0,则 k= ________.

2.(2011· 辽宁)若等比数列{an}满足 anan+1=16n,则公比为________.

3.(2011· 湖北)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自上而下各节的容 积成等差数列, 上面 4 节的容积共 3 升, 下面 3 节的容积共 4 升, 则第 5 节的容积为________ 升.

17Sn-S2n 4.(2010· 天津)设{an}是等比数列,公比 q= 2,Sn 为{an}的前 n 项和.记 Tn= , an+1 n∈N+,设 Tn0 为数列{Tn}的最大项,则 n0=________.

5.(2011· 湖北)成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个数分别加上 2、5、13 后 成为等比数列{bn}中的 b3、b4、b5. (1) 求数列{bn}的通项公式; 5? ? (2) 数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求证:数列?Sn+4?是等比数列.
? ?

1 6.(2009· 广东)已知点?1,3?是函数 f(x)=ax(a>0,a≠1)的图象上一点,等比数列{an}的前 ? ? n 项和为 f(n)-c,数列{bn}(bn>0)的首项为 c,且前 n 项和 Sn 满足 Sn-Sn-1= Sn+ Sn+1 (n≥2). (1) 求数列{an}和{bn}的通项公式;

? 1 ? 1 000 (2) 若数列?b b ?前 n 项和为 Tn,问 Tn> 的最小正整数 n 是多少? 2 009 ? n n+1?

(2011· 辽宁)(本小题满分 12 分)已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8=-10. (1) 求数列{an}的通项公式;
? an ? (2) 求数列?2n-1?的前 n 项和. ? ? ? ?a1+d=0, 解:(1) 设等差数列{an}的公差为 d,由已知条件可得? (2 分) ?2a1+12d=-10, ? ? ?a1=1, 解得? (4 分) ? ?d=-1.

故数列{an}的通项公式为 an=2-n(n∈N*).(5 分) ? an ? a2 an (2) 设数列?2n-1?的前 n 项和为 Sn,即 Sn=a1+ +?+ n-1, ① 2 2 ? ? 故 S1=1. (7 分) Sn a1 a2 an = + +?+ n.② 2 2 4 2 a2-a1 an-an-1 an Sn 所以,当 n>1 时,①-②得 =a1+ +?+ n-1 - n 2 2 2 2 1 1 1 1 2-n 2-n =1-?2+4+?+2n-1?- n =1-?1-2n-1?- n ,(9 分) ? ? 2 ? ? 2
? an ? n n 所以 Sn= n-1,n=1 适合,综上数列?2n-1?的前 n 项和 Sn= n-1. (12 分) 2 2 ? ?

专题三 数 列 第 10 讲 等差数列与等比数列

1. 若数列{an},{bn}的通项公式分别是 an=(-1)n

+2007

?-1?n · n=2+ a,b n

+2008

,且 an<bn

对任意 n∈N*恒成立,则常数 a 的取值范围是____________. 【答案】 [-2,1] 解析: a>0 时,an 的最大值为 a(n 取奇数),bn 的最小值为 1,a =0,bn>0,an<bn 恒成立,a<0 时,an 的最大值为-a(n 取偶数),bn>2,-a≤2,综上, a∈[-2,1). 2. 已知无穷数列{an}中,a1,a2,?,am 是首项为 10,公差为-2 的等差数列;am+1, 1 1 am+2,?,a2m 是首项为 ,公比为 的等比数列(其中 m≥3,m∈N*),并对任意的 n∈N*, 2 2 均有 an+2m=an 成立.

(1) 当 m=12 时,求 a2 010; 1 (2) 若 a52= ,试求 m 的值; 128 (3) 判断是否存在 m(m≥3,m∈N*),使得 S128m+3≥2 010 成立?若存在,试求出 m 的 值;若不存在,请说明理由. 解: (1) m=12 时,数列的周期为 24. ∵ 2 010=24×83+18,而 a18 是等比数列中的项, 1 1 ∴ a2 010=a18=a12+6=?2?6= . ? ? 64 1 (2) 设 am+k 是第一个周期中等比数列中的第 k 项,则 am+k=?2?k. ? ? ∵ 1 ?1?7 = , 128 ?2?

∴ 等比数列中至少有 7 项,即 m≥7,则一个周期中至少有 14 项. ∴ a52 最多是第三个周期中的项. 若 a52 是第一个周期中的项,则 a52=am+7= 1 . ∴ m=52-7=45; 128 1 .∴ 3m=45,m=15; 128 1 .∴ 5m=45,m=9; 128

若 a52 是第二个周期中的项,则 a52=a3m+7= 若 a52 是第三个周期中的项,则 a52=a5m+7=

综上,m=45,或 15,或 9. (3) 2m 是此数列的周期,∴ S128m+3 表示 64 个周期及等差数列的前 3 项之和. ∴ S2m 最大时,S128m+3 最大. 1 1? 1-?2?m? ? ? ? 2? m?m-1? 11 1 125 ∵ S2m=10m+ ×(-2)+ =-m2+11m+1- m=-?m- 2 ?2+ ? ? 2 1 2 4 1- 2 - 1 , 2m 1 63 当 m=6 时,S2m=31- =30 ; 64 64 当 m≤5 时,S2m<30 63 ; 64

11 125 63 当 m≥7 时,S2m<-(7- )2+ =29<30 . 2 4 64 63 ∴ 当 m=6 时,S2m 取得最大值,则 S128m+3 取得最大值为 64×30 +24=2 007. 64 由此可知,不存在 m(m≥3,m∈N*),使得 S128m+3≥2 010 成立. 基础训练 1 1 1. -1 解析:{an}为等差数列,则 Sn=2n2- n,∴ a=2,b=- . 2 2 2. 90 解析:an=3n,bn=6n. 3. 127

4. 2 011 解析:log2a1+log2a2+log2a3+?+log2a2 011=log2(a1a2a3?a2 2 1 005 ×2]=log222 011=2 011. 011)(a2a2 010)?(a1 005a1 007)a1 006]=log2[(2 ) 例题选讲 例 1 解:(1) 设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,则 d 为正数, - an=1+(n-1)d,bn=qn 1.
?S3b3=?3+3d?q2=81, ? 依题意有? ? ?S2b2=?2+d?q=12,

011)=log2[(a1a2

?d=- , ?d=2, ? ? 3 解得? 或? ? ?q=3 ?
2

?q=9.

(舍去)

故 an=1+2(n-1),an=2n-1,bn=3n 1. 1-3n 3n-1 (2) Sn=1+3+5+?+(2n-1)=n2,Tn= = . 2 1-3 (3) cn=(2n-1)×3n 1,Mn=1+3×3+5×32+?+(2n-1)×3n 1,① 3Mn=1×3+3×32+5×33+?+(2n-1)×3n,② - ①-②得-2Mn=1+2×3+2×32+?+2×3n 1-(2n-1)×3n, Mn=(n-1)×3n+1. 变式训练 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,S3,S2 成等差数列. (1) 求{an}的公比 q; (2) 若 a1-a3=3,求 Sn. 解: (1) 依题意有 a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2), 由于 a1≠0,故 2q2+q=0, 1 又 q≠0,从而 q=- . 2 1 (2) 由已知可得 a1-a1?-2?2=3,故 a1=4. ? ? 1 4?1-?-2?n? ? ? ? ? 8? ? 1?n? 从而 Sn= = ?1-?-2? ?. 1 3 1-?-2? ? ?
- -



?a1= 2+1, 例 2 解:(1) 由已知得? ∴ d=2,故 an=2n-1+ 2,Sn=n(n+ ?3a1+3d=9+3 2,
2). Sn (2) 由(1)得 bn= =n+ 2.假设数列{bn}中存在三项 bp,bq,br(p,q,r 互不相等)成等 n 比数列,则 b2=bpbr,即(q+ 2)2=(p+ 2)(r+ 2). q
?q2-pr=0, ? ∴ (q -pr)+(2q-p-r) 2=0, ∵ p,q,r∈N ,∴ ? ? ?2q-p-r=0,
2 *

p+r?2 2 ∴ ? ? 2 ? =pr, (p-r) =0, ∴ p=r.这与 p≠r 矛盾. 故数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列. 变式训练 设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,Sn=kn2+n,n∈N*,其中 k 是常数. (1) 求 a1 及 an;

(2) 若对于任意的 m∈N*,am,a2m,a4m 成等比数列,求 k 的值. 解: (1) 当 n=1,a1=S1=k+1, n≥2,an=Sn-Sn-1=kn2+n-[k(n-1)2+(n-1)]=2kn-k+1,(*) 经检验,n=1,(*)式成立,∴ an=2kn-k+1(n∈N*). (2) ∵ am,a2m,a4m 成等比数列, ∴ a2 =am·4m, a 2m 2 即(4km-k+1) =(2km-k+1)(8km-k+1),整理得:mk(k-1)=0, 对任意的 m∈N*成立,∴ k=0 或 k=1. 例 3 解:(1) 设公差为 d,则 a2-a2=a2-a2,由性质得-3d(a4+a3)=d(a4+a3),因为 2 5 4 3 7×6 d≠0,所以 a4+a3=0,即 2a1+5d=0,又由 S7=7 得 7a1+ d=7, 2 解得 a1=-5,d=2,所以{an}的通项公式为 an=2n-7,前 n 项和 Sn=n2-6n. amam+1 ?2m-7??2m-5? (2) (解法 1) = ,设 2m-3=t, am+2 2m-3 则 amam+1 ?t-4??t-2? 8 = =t+ -6, t t am+2 所以 t 为 8 的约数.

因为 t 是奇数,所以 t 可取的值为± 1, 8 当 t=1,m=2 时,t+ -6=3,2×5-7=3,是数列{an}中的项; t 8 当 t=-1,m=1 时,t+ -6=-15,数列{an}中的最小项是-5,不符合. t 所以满足条件的正整数 m=2. amam+1 ?am+2-4??am+2-2? 8 8 (解法 2) 因为 = =am+2-6+ 为数列{an}中的项,故 为 am+2 am+2 am+2 am+2 整数,又由(1)知:am+2 为奇数,所以 am+2=2m-3=± 1,即 m=1,2,经检验,符合题意的 正整数只有 m=2. 例 4 解: (1) 证明:由 an+an+1=2n,得 an+1=2n-an, 1 1 1 + + an+1- ×2n 1 2n-an- ×2n 1 -?an- ×2n? 3 3 3 所以 = = =-1. 1 1 1 n an- ×2n an- ×2n an- ×2 3 3 3 2 1 1 1 又因为 a1- = ,所以数列{an- ×2n}是首项为 ,公比为-1 的等比数列. 3 3 3 3 1 1 1 - 所以 an- ×2n= ×(-1)n 1,即 an= [2n-(-1)n],所以 bn=2n-(-1)n. 3 3 3 (2) 假设在数列{bn}中,存在连续三项 bk-1,bk,bk+1(k∈N*, k≥2)成等差数列,则 bk-1 - - + + - - +bk+1=2bk,即[2k 1-(-1)k 1]+[2k 1-(-1)k 1]=2[2k-(-1)k],即 2k 1=4(-1)k 1. -1 -1 ① 若 k 为偶数,则 2k >0,4(-1)k =-4<0,所以,不存在偶数 k,使得 bk-1,bk, bk+1 成等差数列. - - ② 若 k 为奇数,则当 k≥3 时,2k 1≥4,而 4(-1)k 1=4,所以,当且仅当 k=3 时, bk-1,bk,bk+1 成等差数列. 综上所述,在数列{bn}中,有且仅有连续三项 b2,b3,b4 成等差数列. (3) 要使 b1,br,bs 成等差数列,只需 b1+bs=2br, + 即 3+2s-(-1)s=2[2r-(-1)r],即 2s-2r 1=(-1)s-2(-1)r-3,(﹡) + ① 若 s=r+1,在(﹡)式中,左端 2s-2r 1=0,

右端(-1)s-2(-1)r-3=(-1)s+2(-1)s-3=3(-1)s-3, 要使(﹡)式成立,当且仅当 s 为偶数时.又 s>r>1,且 s,r 为正整数, 所以当 s 为不小于 4 的正偶数,且 s=r+1 时,b1,br,bs 成等差数列. + + + + ② 若 s≥r+2 时,在(﹡)式中,左端 2s-2r 1≥2r 2-2r 1=2r 1, + 由(2)可知,r≥3,所以 r+1≥4,所以左端 2s-2r 1≥16(当且仅当 s 为偶数、r 为奇数时 取“=”);右端(-1)s-2(-1)s-3≤0.所以当 s≥r+2 时,b1,br,bs 不成等差数列. 综上所述,存在不小于 4 的正偶数 s,且 s=r+1,使得 b1,br,bs 成等差数列. 高考回顾 1. 10 2. 4 3. 67 66 解析:设该数列为{an},首项为 a1,公差为 d,依题意

? ? ?a1+a2+a3+a4=3, ?4a1+6d=3, ? 即? 解得 ?a7+a8+a9=4, ?3a1+21d=4, ? ?

?a +7d=3, ? 7 ?d=66.
4
1

4 21 67 则 a5=a1+4d=a1+7d-3d= - = . 3 66 66 4. 4 解析:不妨设 a1=1,则 an=( 2)n 1,an+1=( 2)n,Sn= ? 2?2n-1 a2+1-1 n = = , 2-1 2-1
2 an+1-1 an+1-1 17· - 2-1 2-1 16 17Sn-S2n 1 ? an+1+ -17?, Tn= = =- an+1 ? an+1 an+1 2-1?


? 2?n-1 an+1-1 = ,S2n 2-1 2-1

16 因为函数 g(x)=x+ (x>0)在 x=4 时,取得最小值, x 所以 Tn=- 16 1 ? a++ -17?在 an+1=4 时取得最大值. ? n 1 an+1 ? 2-1

此时 an+1=( 2)n=4,解得 n=4.即 T4 为数列{Tn}的最大项,则 n0=4. 5. 解:(1) 设成等差数列的三个正数分别为 a-d,a,a+d;则 a-d+a+a+d=15? a =5; 数列{bn}中的 b3、b4、b5 依次为 7-d,10,18+d,则(7-d)(18+d)=100; - 得 d=2 或 d=-13(舍),于是 b3=5,b4=10? b =5·n 3. 2 n 5 Sn+1+ 4 5·n-1 2 5 5 - - (2) 证明:数列{bn}的前 n 项和 Sn=5·n 2- ,即 Sn+ =5·n 2? 2 2 = =2, 4 4 5 5·n-2 2 Sn+ 4 5? ? 因此数列?Sn+4?是公比为 2 的等比数列.
? ?

1 1 6. 解:(1) ∵ f(1)=a= , ∴ f(x)=?3?x, ? ? 3 1 2 a1=f(1)-c= -c,a2=[f(2)-c]-[f(1)-c]=- , 3 9

2 a3=[f(3)-c]-[f(2)-c]=- . 27 4 81 a2 2 1 2 又数列{an}成等比数列,a1= = =- = -c,所以 c=1; a3 2 3 3 - 27 1 a2 1 2 1 - 又公比 q= = ,所以 an=- ?3?n 1=-2?3?n(n∈N*); ? ? a1 3 3? ? 又 Sn-Sn-1=( Sn- Sn-1)( Sn+ Sn-1)= Sn+ Sn-1(n≥2), 又 bn>0, Sn>0,∴ Sn- Sn-1=1; 数列{ Sn}构成一个首项为 1,公差为 1 的等差数列, Sn=1+(n-1)×1=n,Sn=n2. 当 n≥2,bn=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1;又 b1=1, ∴ bn=2n-1(n∈N*). (2) Tn= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + +?+ = + + +?+ = b1b2 b2b3 b3b4 bnbn+1 1×3 3×5 5×7 ?2n-1?×?2n+1? 2

?1-1?+1?1-1?+1?1-1?+?+1? 1 - 1 ?=1?1- 1 ?= n , ? 3? 2?3 5? 2?5 7? 2?2n-1 2n+1? 2? 2n+1? 2n+1
由 Tn= n 1 000 1 000 1 000 > ,得 n> ,满足 Tn> 的最小正整数为 112. 9 2 009 2n+1 2 009


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