当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

2001年全国高中数学联赛试题及解答


二○○一年全国高中数学联合竞赛 试题参考答案及评分标准 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 本题共有 6 小题,每题均给出(A)(B)(C)(D)四个结论,其中有且仅有一个是正确的.请 、 、 、 将正确答案的代表字母填在题后的括号内.每小题选对得 6 分;不选、选错或选出的代表字母超过一 个(不论是否写在括号内) ,一律得 0 分. 1.已知 a 为给定的实数,那

么集合 M={x| x2-3x-a2+2=0,x∈R}的子集的个数为 (A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 不确定 【答】 ( 【解】 C )

方程 x2-3x-a2+2=0 的根的判别式Δ=1+4a2>0,方程有两个不相等的实数根.由 M 有 2

个元素,得集合 M 有 22=4 个子集. 2. 命题 1 长方体中,必存在到各顶点距离相等的点; 命题 2 长方体中,必存在到各棱距离相等的点; 命题 3 长方体中,必存在到各面距离相等的点. 以上三个命题中正确的有 (A) 0 个 (B) 1 个 (C) 2 个 (D) 3 个 【答】 ( 【解】 只有命题 1 对. B )

3.在四个函数 y=sin|x|,y=cos|x|,y=|ctgx|,y=lg|sinx|中以 ? 为周期、在(0,

? 2

)上单调递增的偶函数是

(A)y=sin|x|

(B)y=cos|x|

(C)y=|ctgx|

(D)y=lg|sinx| 【答】 ( D )

【解】

y=sin|x|不是周期函数. y=cos|x|=cosx 以 2 ? 为周期. y=|ctgx|在 (0,

? ) 上单调递减. 只 2

有 y=lg|sinx|满足全部条件. 4.如果满足∠ABC=60° ,AC=12, BC=k 的△ABC 恰有一个,那么 k 的取值范围是 (A) k= 8

3

(B)0<k≤12

(C) k≥12

(D) 0<k≤12 或 k= 8

3
D )

【答】 ( 【解】 有两类如图. 根据题设, △ABC 共
C
C

k

k

12
60°

联赛答案第 1 页(共 8 页)
60° B A
B

12

A

、 、 . 3 或 0<k≤12.本题也可用特殊值法,排除(A)(B)(C) 2 2000 5.若 (1 ? x ? x ) 的展开式为 a0 ? a1 x ? a2 x ? ?? a2000 x ,
2 1000

易得 k= 8

则 a0 ? a3

? a6 ? a9 ? ? ? a1998 的值为
333

(A) 3

(B)

3 666
1000

(C)

3 999

(D)

32001
【答】 ( C )

【解】

令 x=1 可得 3

= a0 ? a1
2

? a2 ? a3 ? ?? a2000 ;
3

令 x= ? 可得 0= a0 ? a1? ? a2? (其中 ? ? ?
2

? a3? ? ?? a2000? 2000 ;

1 3 ,则 ? 3 =1 且 ? 2 + +1=0) ? ? i 2 2
2

令 x= ? 可得 0= a0 ? a1? 以上三式相加可得 3 所以 a0 ? a3
1000

? a2? 4 ? a3? 6 ? ?? a2000? 4000 .
. ? a6 ? a9 ? ? ? a1998 )

=3( a0 ? a3

? a6 ? a9 ? ? ? a1998 = 3 999 .

6. 已知 6 枝玫瑰与 3 枝康乃馨的价格之和大于 24 元, 4 枝玫瑰与 5 枝康乃馨的价格之和小于 22 元, 而 则 2 枝玫瑰的价格和 3 枝康乃馨的价格比较结果是() . (A)2 枝玫瑰价格高 (B)3 枝康乃馨价格高 (C)价格相同 (D)不确定 【答】 ( 【解】 设玫瑰与康乃馨的单价分别为 x、y 元/枝. A )

则 6x+3y>24,4x+5y<22.令 6x+3y=a>24,4x+5y=b<22,解出 x=

1 1 (5a ? 3b) ,y= (3b ? 2a) . 9 18

所以 2x-3y=

1 1 (11a ? 12b) ? (11 ? 24 ? 12 ? 22) =0,即 2x>3y. 9 9

也可以根据二元一次不等式所表示的区域来研究.

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 本题共有 6 小题,要求直接将答案写在横线上. 7.椭圆 ? ?

2 3 1 的短轴长等于 . 2 ? cos ? 3
联赛答案第 2 页(共 8 页)

【解】 ? (0) ? a ? c ? 1,

2 3 2 1 3 .从而 1 . 2b ? ? (? ) ? a ? c ? . 故 a ? , c ? ? b ? 3 3 3 3 3

8.若复数 z1,z2 满足| z1|=2,| z2|=3,3z1-2z2=

3 30 72 ? i ,则 z1·z2= ? ? i . 2 13 13

【解】 由 3z1-2z2=

1 1 1 z 2 ? z 2 ? z1 ? z1 ? z1 ? z 2 = z1 z 2 (2 z 2 ? 3z1 ) 3 2 6

3 ?i 6(3z1 ? 2 z 2 ) 6(3z1 ? 2 z 2 ) 30 72 可得 z z ? ? ? ?6 ? 2 ? ? ? i .本题也可设三角形式进行 1 2 3 13 13 2 z 2 ? 3z1 2 z 2 ? 3z1 ?i 2
运算. 9.正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1,则直线 A1C1 与 BD1 的距离是 【解】 作正方体的截面 BB1D1D,则 A1C1⊥面 BB1D1D.设 A1C1 与 B1D1 交于点 O, 在面 BB1D1D 内作 OH⊥BD1, 为垂足, OH 为 A1C1 H 则 与 BD1 的公垂线.显然 OH 等于直角三角形 BB1D1 斜边上高的一半,即 OH=
A1 B1 O H D
1

6 6



C1

6 6


A D B C

10. 不等式

2 1 3 ? 2 ? 的解集为 (0,1) ? (1,2 7 ) ? (4,??) . log1 x 2

2

【解】

1 3 1 3 1 3 ?2? 或 ?2?? . ? 2 ? 等价于 log 1 x 2 log 1 x 2 lo g x 2 1
2

2

2



1 7 1 1 ?? . ?? 或 2 log 1 x 2 log 1 x
2

2

此时 log 1
2

x ? ?2 或 log 1 x ? 0 或 ?
2

2 ? log 1 x ? 0 . 2 7

2

∴解为 x >4 或 0<x<1 或 1<x<
2

27 .

即解集为 (0,1) ? (1,2 7 ) ? (4,??) .

联赛答案第 3 页(共 8 页)

11.函数 y

3 ? x ? x 2 ? 3x ? 2 的值域为 [1, ) ? [ 2,?? ) . 2

【解】

y ? x ? x 2 ? 3x ? 2 ? x 2 ? 3x ? 2 ? y ? x ? 0 .
y
2

两边平方得 (2 y ? 3) x ?

? 2 ,从而 y

y2 ? 2 3 且x ? . ? 2 2y ? 3

由y?x

? y?

y2 ? 2 y 2 ? 3y ? 2 3 ?0 ? ? 0 ?1? y ? 或 y ? 2 . 2y ? 3 2y ? 3 2
y2 ? 2 2 ,易知 x ? 2 ,于是 x ? 3x ? 2 ? 0 且 y ? x ? x 2 ? 3x ? 2 . 2y ? 3

任取

y ? 2 ,令 x ?
y?

任取 1 ?

3 y2 ? 2 ,同样令 x ? ,易知 x ? 1 , 2 2y ? 3

于是 x

2

? 3x ? 2 ? 0 且 y ? x ? x 2 ? 3x ? 2 .
3 2

因此,所求函数的值域为 [1, ) ? [ 2,?? ) .

A F E D B C

12. 在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如图) ,要求同一块 中种同一种植物,相邻的两块种不同的植物.现有 4 种不同的植物可供选 择,则有 732 种栽种方案.

【解】 考虑 A、C、E 种同一种植物,此时共有 4× 3× 3× 3=108 种方法. 考虑 A、C、E 种二种植物,此时共有 3× 3× 2× 4× 3× 2=432 种方法. 考虑 A、C、E 种三种植物,此时共有 P43× 2× 2× 2=192 种方法. 故总计有 108+432+192=732 种方法.

三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13 . 设 {an} 为 等 差 数 列 , {bn} 为 等 比 数 列 , 且 b1=a12 , b2=a22 , b3=a32 ( a1<a2 ) , 又

n???

lim (b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? 2 ? 1 .试求{an}的首项与公差.
【解】 设所求公差为 d,∵a1<a2,∴d>0.由此得

联赛答案第 4 页(共 8 页)

a12(a1+2d)2=(a1+d)4 化简得 2a12+4a1d+d2=0 解得 d=( ? 2 ? 而?2?

2 ) a1.………………………………………………………………5 分

2 <0,故 a1<0.
2 a2 ? 2 ? ( 2 ? 1) 2 ; a1
2

若 d=( ? 2 ? 2 ) a1,则 q

若 d=( ? 2 ?

2 )a1,则 q ? a2 ? ( 2 ? 1) 2 ;…………………………………………10 分 2
a1



n ???

lim (b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? 2 ? 1 存在,故|q|<1.于是 q ? ( 2 ? 1) 2 不可能.

从而

a12 1 ? ( 2 ? 1)
2

? 2 ? 1 ? a12 ? (2 2 ? 2)( 2 ? 1) ? 2 .

所以 a1= ?

2 ,d=( ? 2 ? 2 ) a1=( ? 2 ? 2 )( ? 2 )= 2 2 ? 2 .……………………20 分

14.设曲线 C1:

x2 ? y 2 ? 1 (a 为正常数)与 C2:y2=2(x+m) a2
1 2

在 x 轴上方仅有一个公共点 P.

⑴ 求实数 m 的取值范围(用 a 表示) ; ⑵ O 为原点,若 C1 与 x 轴的负半轴交于点 A,当 0<a< 示) . 时,试求ΔOAP 的面积的最大值(用 a 表



【解】

? x2 ? ? y 2 ? 1, 由 ? a2 消去 y 得,x2+2a2x+2a2m-a2=0. ? y 2 ? 2( x ? m) ?



设 f(x)= x2+2a2x+2a2m-a2,问题⑴转化为方程①在 x∈(-a,a)上有唯一解或等根. 只须讨论以下三种情况: 1? Δ=0 得 m=

a 2 ? 1 .此时 x = -a2,当且仅当-a<-a2<a,即 0<a<1 时适合; p 2

2? f(a)· f(-a)<0 当且仅当–a<m<a; 3? f(-a)=0 得 m=a.此时 xp=a-2a2,当且仅当-a< a-2a2<a,即 0<a<1 时适合.f(a)=0 得 m=-a, 联赛答案第 5 页(共 8 页)

此时 xp=-a-2a2,由于-a-2a2<-a,从而 m≠-a.

综上可知,当 0<a<1 时,m=

a2 ?1 或-a<m≤a; 2

当 a≥1 时,-a<m<a.……………………………………………………10 分 ⑵ 【解】 ΔOAP 的面积 S=

1 2

ayp.

∵ 0<a<

1 2

, 故 -a<m ≤ a

时 ,

0 ? ?a 2 ? a a 2 ? 1 ? 2m ? a , 由 唯 一 性 得
x2 p a2
取值最大,

xp= ? a 2

? a a 2 ? 1 ? 2m .显然当 m=a 时,xp 取值最小.由于 xp>0,从而 y p ? 1 ?

此时 yp=2

a ? a2

,∴S=a

a ? a2



当 m=

a2 ?1 2 时,xp=-a2,yp= 1 ? a 2

,此时 S=

1 2

a

1? a2



下面比较 a

a ? a2
=



1 2

a

1? a2
,得 a=

的大小:

令a

a ? a2

1 2
,

a

1? a2

1 . 3

故当 0<a≤

1 时 3

a a (1 ? a ) ?

1 1 a 1 ? a 2 .此时 Smax= a 1 ? a 2 . 2 2



1 1 <a< 2 3

时, a

a (1 ? a ) ?

1 a 1? a2 2

.此时 Smax= a

a ? a2

.……………20 分

15.用电阻值分别为 a1、a2、a3、 a4、a5 、a6 (a1>a2>a3>a4>a5>a6) 的电阻 组装成一个如图的组件,在组装中应如 何选取电阻,才能使该组件总电阻值最小?证明你的结论. 【解】 设 6 个电阻的组件(如图 3)的总电阻为 RFG.当 Ri=ai ,i=3,4,5,6,R1,R2 是 a1, 联赛答案第 6 页(共 8 页)

a2 的任意排列时,RFG 最小.…………………………………………5 分 证明如下 1°设当两个电阻 R1,R2 并联时,所得组件阻值为 R:则 1 ? 1 ? 1 .故交换二电阻的位置,

R

R1

R2

不改变 R 值,且当 R1 或 R2 变小时,R 也减小,因此不妨取 R1>R2. 2°设 3 个电阻的组件(如图 1)的总电阻为 RAB:

R AB ?

R R ? R1 R3 ? R2 R3 A R1R2 . ? R3 ? 1 2 R1 ? R2 R1 ? R2

R1 R2
图1

R3
B

显然 R1+R2 越大,RAB 越小,所以为使 RAB 最小 必须取 R3 为所取三个电阻中阻值最小的一个. 3°设 4 个电阻的组件(如图 2)的总电阻为 RCD:

R1 R3 R2
C

R4
图2

D

1 1 1 R1 R2 ? R1 R3 ? R1 R4 ? R2 R3 ? R2 R4 ? ? ? RCD R AB R4 R1 R2 R4 ? R1 R3 R4 ? R2 R3 R4
. 若记 S1

?

1?i ? j ?4

?R R
i

j

, S2

?

i 1?i ? j ?k ?4

?R R R
j

k

.则 S1、S2 为定值.

于是 RCD

?

S 2 ? R1 R2 R3 S1 ? R3 R4



只有当 R3R4 最小,R1R2R3 最大时,RCD 最小,故应取 R4<R3,R3<R2,R3<R1,即得总电阻的阻值 最小.……………………………………………………………………15 分 4°对于图 3,把由 R1、R2、R3 组成的组件用等效电阻 RAB 代替.要使 RFG 最小,由 3°必需使 R6<R5;且由 1°,应使 RCE 最小.由 2°知要使 RCE 最小,必需使 R5< R4,且应使 RCD 最小. 而由 3°,要使 RCD 最小,应使 R4< R3 < R2 且 R4< R3 < R1. 这就说明,要证结论成立………………………………………………………20 分

R1 A联赛答案第 7 页(共 8 R3 B 页) R2 D R5 C R4 F R6

E G

联赛答案第 8 页(共 8 页)

二○○一年全国高中数学联合竞赛 加试参考答案及评分标准 说明: 1.评阅试卷时,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分. 2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准 适当划分档次评分,可以 10 分为一个档次,不要再增加其它中间档次.

一.如图,△ABC 中,O 为外心,三条高 AD、BE、CF 交于点 H,直线 ED 和 AB 交于点 M, FD 和 AC 交于点 N. 求证: (1)OB⊥DF,OC⊥DE. (2)OH⊥MN. 【证明】 (1)∵A,C,D,F 四点共圆, ∴∠BDF=∠BAC.

A

1 又∵∠OBC= 2
∴OB⊥DF.

O
(180° -∠BOC)=90° -∠BAC,

F

H D

E C N

同理 OC⊥DE.………………………10 分 (2) ∵CF⊥MA, ∴MC 2-MH 2=AC 2-AH 2.……① ∵BE⊥NA, ∴NB 2-NH 2=AB 2-AH 2.……② ∵DA⊥BC, ∴BD 2-CD 2=BA 2-AC 2.……③ ∵OB⊥DF, ∴BN 2-BD 2=ON 2-OD 2.……④ ∵OC⊥DE,

B

M

∴CM 2-CD 2=OM 2-OD 2.……⑤………………………………………………30 分 ①-②+③+④-⑤,得 NH 2-MH 2=ON 2-OM 2. MO 2-MH 2=NO 2-NH 2. 所以 OH⊥MN.…………………………………………………………………………50 分

联赛答案第 9 页(共 8 页)

二.设 xi 小值.

,且 ? 0 (i=1,2,…,n) ? xi2 ? 2
i ?1

n

1?k ? j ?n

?

n k xk x j ? 1,求 ? xi j i ?1

的最大值与最

【解】先求最小值,因为 (

? xi ) 2 ? ? xi2 ? 2
i ?1 i ?1

n

n

1? k ? j ? n

? xk x j ? 1 ? ? x i
i ?1

n

≥1,

等号成立当且仅当存在 i 使得 xi =1,xj =0,j≠i. ∴

?x
i ?1

n

i

的最小值为 1.………………………………………………………………10 分

再求最大值,令 xk

? k yk ,
y j ? 1 .…………①




? ky
k ?1

n

2 k

?2

1?k ? j ?n
n

? ky

k

设M=

? xk = ? k yk
k ?1 k ?1

n

? y1 ? y 2 ? ? ? y n ? a1 , ? y2 ? ? ? yn ? a2 , ? 令? ? ? ? yn ? an . ?
则① ?
2 2 a12 ? a2 ? ?? an ? 1 .………………………………………………………30 分

令 an+1=0,则 M=

?
k ?1

n

k (ak ? ak ?1 )
n n n

=

?
k ?1

n

k ak ? ? k ak ?1 ? ? k ak ? ? k ? 1ak ? ? ( k ? k ? 1)ak
k ?1 k ?1 k ?1 k ?1

n



由柯西不等式得
n 2 2 ?n ?n 2? 2 2? M ? ?? ( k ? k ? 1) ? (? ak ) 2 ? ?? ( k ? k ? 1) ? . ? k ?1 ? k ?1 ? k ?1 ? 1 1 1

等号成立 ?

2 2 ak an a12 ??? ??? 1 ( k ? k ? 1) 2 ( n ? n ? 1) 2 2 a12 ? a22 ? ? ? an

?

1 ? ( 2 ? 1) 2 ? ? ? ( n ? n ? 1) 2

?

2 ak

( k ? k ? 1) 2

联赛答案第 10 页(共 8 页)

? ak ?

k ? k ?1 ? 2? ? ? ( k ? k ? 1) ? ? k ?1 ?
n
1 2

. (k=1,2,…,n)

由于 a1 ? a2

? ? ? an ,从而
2 k ? ( k ? 1 ? k ? 1) ? 2? ? ? ( k ? k ? 1) ? ? k ?1 ?
n
1 2

yk ? ak ? ak ?1 ?

? 0 ,即 xk ? 0 .

2 ?n 2? 所求最大值为 ?? ( k ? k ? 1) ? .……………………………………………50 分 ? k ?1 ?

1

三.将边长为正整数 m,n 的矩形划分成若干边长均为正整数 的正方形.每个正方形的边均平行于矩形的相应边.试求这些正 方形边长之和的最小值.

D

C n m

A
【解】 记所求最小值为 (m, , f n) 可以证明 (m, =m+n-(m, f n) n). (*)

B

其中(m,n)表示 m 和 n 的最大公约数.………………………………………………10 分 事实上,不妨设 m≥n. (1)关于 m 归纳,可以证明存在一种合乎题意的分法,使所得正方形边长之和恰为 m+n-(m,n). 当 m=1 时,命题显然成立. 假设当 m≤k 时,结论成立(k≥1) .当 m=k+1 时,若 n= k+1,则命题显然成立.若 n< k+1,从 矩形 ABCD 中切去正方形 AA1D1D(如图) ,由归纳假设矩形 A1BCD1 有一种分法使得所得正方形边长 之和恰为 m-n+n-(m-n,n)= m-(m,n).

D

D1

C n

A

m A1

B

于是原矩形 ABCD 有一种分法使得所得正方形边长之和为 m+n- (m,n).…………20 分 联赛答案第 11 页(共 8 页)

(2)关于 m 归纳可以证明(*)成立. 当 m=1 时,由于 n=1,显然 f (m,n)=1= m+n- (m,n). 假设当 m≤k 时,对任意 1≤n≤m 有 f (m,n)= m+n- (m,n). 若 m=k+1,当 n= k+1 时显然 f(m,n)= k+1= m+n- (m,n). 当 1≤n≤k 时,设矩形 ABCD 按要求分成了 p 个正方形,其边长分别为 a1,a2,…,ap,不妨设 a1≥ a2≥…≥ap. 显然 a1=n 或 a1<n. 若 a1<n,则在 AD 与 BC 之间的与 AD 平行的任一直线至少穿过二个分成的正方形(或其边界) , 于是 a1+a2+…+ap 不小于 AB 与 CD 之和. 所以 a1+a2+…+ap≥2m> m+n- (m,n). 若 a1=n,则一个边长分别为 m-n 和 n 的矩形可按题目要求分成边长分别为 a2,…,ap 的正方形, 由归纳假设 a2+…+ap≥m-n+n-(m-n,n)= m- (m,n). 从而 a1+a2+…+ap≥m+n-(m,n). 于是当 m=k+1 时,f(m,n)≥m+n- (m,n). 再由(1)可知 f (m,n)=m+n- (m,n).…………………………………………………50 分

联赛答案第 12 页(共 8 页)


相关文章:
2001年全国高中数学联赛试题及解答
2001年全国高中数学联赛试题及解答_学科竞赛_高中教育_教育专区。二○○一年全国高中数学联合竞赛 试题参考答案及评分标准 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 ...
2001年全国高中数学联赛试卷及答案
2001年全国高中数学联赛试卷及答案_环境科学/食品科学_工程科技_专业资料 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 2001年全国高中数学联赛试卷及答案_环境科学/食品科学...
2001年全国高中数学联赛试卷及答案[1]
第 3 页共 13 页 2001 年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准一.选择题:CBDDCA 1.已知 a 为给定的实数, 那么集合M={x|x-3x-a+2=0, x∈R} ...
2001年全国高中数学联赛试题及解答
8 2001 年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 一.选择题:CBDDCA 1.已知 a 为给定的实数,那么集合M={x|x2-3x-a2+ 2=0,x∈R}的子集的个数为(...
2001年全国高中数学联赛试题及解答
第2页 共8页 2001 年全国高中数学联合竞赛 试题参考答案及评分标准一.选择题:CBDDCA 二.填空题 7. 2 3 3 8. 2 ? 30 72 ? i 13 13 3 ) ? [ 2 ...
2000年全国高中数学联赛试题及解答
年全国高中数学联赛 冯惠愚 2000 年全国高中数学联合竞赛试题解答 第一试 一....1999年全国高中数学联赛... 2001年全国高中数学联赛... 2002年全国高中数学联赛...
2001年全国高中数学联赛试卷及答案[1]
2001年全国高中数学联赛试卷及答案[1]_学科竞赛_高中教育_教育专区。详细解析 2001 年全国高中数学联合竞赛试题 1.已知 a 为给定的实数,那么集合M={x|x-3x-a...
2001年全国高中数学联赛试题及答案
2001 年全国高中数学联赛试题讲解 与前三届相同,今年的全国高中数学竞赛仍分联赛和加试赛两部分,但是今年的试题明显比去年难, 陕西赛区的平均成绩下降了近 60 分....
2003年全国高中数学联赛试题及解答
2003年全国高中数学联赛试题及解答_学科竞赛_高中教育_教育专区。2003 年全国高中...1997年全国高中数学联赛... 2001年全国高中数学联赛... 2004年全国高中数学联赛...
2005年全国高中数学联赛试题及解答
2005年全国高中数学联赛试题及解答_学科竞赛_高中教育_教育专区。二〇〇五年高中...文档贡献者 nxldwxh 贡献于2015-01-05 相关文档推荐 暂无相关推荐文档 ...
更多相关标签:
2001全国高中数学联赛 | 2001高中数学联赛 | 全国高中数学联赛试题 | 2016高中数学联赛试题 | 2015高中数学联赛试题 | 高中数学联赛试题 | 2014高中数学联赛试题 | 高中数学联赛复赛试题 |