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2016年唐山市第一次模拟考试 理科数学


唐山市 2015-2016 学年度高三年级第一次模拟考试 理科数学 第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 有且只有一项符合题目要求. (1)设 A,B 是全集 I={1,2,3,4}的子集,A={l,2},则满足 A ? B 的 B 的个数是 (A)5 (B)4 (C)3 (D)2 【答案】B 【考查方向】本

题主要考查了集合关系及集合的子集个数问题。 【易错点】子集个数问题,此题比较简单,也可一一列举,但注意列举时要有规律。 【解题思路】因为 A 是 B 的子集,所以 B 中必有元素 1,2.因此集合 B 的个数实际上就转换 为集合{3,4}的子集个数。 【解析】因为 A 是 B 的子集,所以 B 中必有元素 1,2.而集合{3,4}的子集个数为 2 ? 4 ,
2

2016.3.3

故选 B。 (2)复数

1-i 的虚部为 1 ? 2i
(B)

(A)

1 5

3 5

(C)一

1 5

(D)一

3 5

【答案】A 【考查方向】本题主要考查了复数运算。 【易错点】 (1)复数的除法运算掌握不熟练,不能正确的转换为其代数形式, (2)分不清实部与虚部。 【解题思路】根据复数除法的运算法则,将其转化为 a ? bi 形式(a,b 为实数) 。 【解析】

1 1? i (1 ? i )(1 ? 2i ) 3 ? i 3 1 ? ? ? ? i ,所以虚部为 ,故选 A。 5 1 ? 2i (1 ? 2i)(1 ? 2i) 5 5 5

(3)已知向量 a,b 满足 a·(a-b)=2,且|a|=1,|b|=2,则 a 与 b 的夹角为 (A)

? 6

(B)

?
3

(C)

5? 6

(D)

2? 3

【答案】D 【考查方向】本题主要考查了向量运算,向量夹角。 【易错点】向量的夹角的余弦公式不清楚。 【解题思路】由已知先求 a b ,再结合 cos ? a, b ??

ab ,从而就可求得向量夹角。 a b ab 1 ? ? ,可得 a b 2

【解析】由 a (a ? b) ? a ? a b ? 2, 所以 a b ? ?1,再由 cos ? a, b ??
2

向量夹角为

2? 故选 D。 3 ,
(C) 60 (D) -60

(4) (x-2y)6 的展开式中,x4y2 的系数为 (A) 15 (B) -15

【答案】C 【考查方向】本题主要考察二项展开式的通项公式。 【易错点】公式掌握不好,或运算失误;混淆系数与二项式系数。 【解题思路】利用二项展开式的通项公式 Tr ?1 ? Cn a
r n?r

br ,再赋值即可求得 r,进而求出所求

项的系数。 【 解 析 】 由 Tr ?1 ? C6 x
r 6? r r 6? r r (?2 y)r ? (?2)r C6 x y , 所 以 r=2, 因 此 x4y2 的 系 数 为

4 (?2)2 C6 ? 60 ,故选 C。

(5) A( 2 ,1)为抛物线 x2=2py(p>0)上一点,则 A 到其焦点 F 的距离为

(A)

3 2

(B)

2+

1 2

(C) 2

(D)

2 +1

【答案】A 【考查方向】本题主要考查了抛物线方程及点到焦点的距离。 【易错点】由抛物线的标准方程没搞清焦点位置,以至于点到焦点的距离公式用错。 【解题思路】线将 A 点坐标代入抛物线 x2=2py(p>0),求得 p 值,再结合点到焦点的距离公 式求得。 【解析】将 A( 2 ,1)代入抛物线 x2=2py(p>0),求得 p=1,因为抛物线焦点在 y 轴上,所 以 A 到其焦点 F 的距离为 y0 ?

p 1 3 ? 1 ? ? ,故选 A。 2 2 2

(6)执行右侧的程序框图,输出 S 的值为 (A) ln4 (B) ln5 (C) ln 5-ln4 (D) ln 4-ln 3 【答案】A 【考查方向】本题主要考查了借助程序框图求和。 【易错点】1、对程序中的求和没理解到位;2、能错结束程序的 i 值。 【解题思路】先明确 S=S+(ln(i+1)-lni),进而确定这是裂项相消求和。 【解析】因为 i<4,所以 S=(ln2-ln1)+(ln3-ln2)+(ln4-ln3)=ln4,故选 A。

?y ? 2 ? 0 ? y (7)若 x,y 满足不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0 , 则 的最大值是 x ?x ? y ? 5 ? 0 ?
(A)

3 2

(B) 1

(C)2

(D)3

【答案】C 【考查方向】 本题考查了线性规划问题, 目标函数可看作线性区域内的点与原点连线的斜率。 【易错点】目标函数没能转化为斜率。 【解题思路】先画出线性区域,然后再求区域内的点与原点连线的斜率的最大值。 【解析】画出线性区域,区域是三角形 ABC 内部包括边界,其中 A(1,2) ,B(3,2)C(2, 3) ,设原点为 O,所以 OA 的斜率最大为 2,故选 A。 (8)Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,满足 al=l, Sn? 2 ? 4Sn ? 3 ,则{an}的公比为 (A) -3 (B)2 (C)2 或-3 【答案】B 【考查方向】本题主要考查了等比数列性质。 【易错点】不能正确排除干扰选项-3 和-2。 (D)2 或-2

【 解 题 思 路 】 因 为 Sn? 2 ? 4Sn ? 3 , 所 以 当 n ? 2, Sn?1 ? 4Sn?1 ? 3 , 两 式 相 减 得 :

an?2 ? 4an ,(n ? 2) ,即 an q 2 ? 4an,( n ?2) ,解得 q=2 或-2,所以还要考虑当 n ? 1 的情况。
【 解 析 】 因 为 Sn? 2 ? 4Sn ? 3 , 所 以 当 n ? 2, Sn?1 ? 4Sn?1 ? 3 , 两 式 相 减 得 :

an?2 ? 4an ,(n ? 2) ,即 an q 2 ? 4an , (n ? 2),解得 q=2 或 -2 ;当 n ? 1, S3 ? 4S1 ? 3 ,即

a1 (1 ? q ? q 2 ) ? 4a1 ? 3,? q 2 ? q ? 6 ? 0 ,解得 q=2 或-3 因此 q=2,故选 B。
(9)己知 A(x1,0),B(x2,1)在函数 f(x)=2sin( ? x+ ? ) ( ? >0)的图象上,|x1-x2|的最 小值

?
4

,则 ? =

(A)

3 2

(B)

4 3

(C)l

(D)

2 3

【答案】D 【考查方向】本题主要考查了三角函数的图像及性质。 【易错点】不能正确理解题意。 【解题思路】 把点 A,B 代入函数表达式, 然后求出|x1-x2|的关系式, 然后研究其最小值即可。 【解析】将点 A,B 代入 f(x) 表达式,得 2sin(? x1 ? ? ) ? 0, 2sin(? x2 ? ? ) ? 1 ,解得:

? x1 ? ? ? k1? , ? x2 ? ? ? 2k2? ?
? ( x1 ? x2 ) ? k1? ? 2k2? ?
小值

?
6

( 或

? x2 ? ? ? 2k2? ?

?
6

(或 ? ( x1 ? x2 ) ? k1? ? 2k2? ?

5? ) ,因此当|x1-x2|的最 6

5? ), 两 式 相 减 得 6

?
4

时, (? | x1 ? x2 |)min ?

?
6

,所以 ? =

2 ,故选 D。 3

(10)某几何体的三视图如右图所示,则其体积为 (A)

17 ? 2

(B) 8 ?

(C)

15 ? 2

(D) 9 ?

【答案】B 【考查方向】本题主要考查了几何体的三视图及组合何体的体积。 【易错点】不能正确还原几何体,看不出该组合体是两个圆柱的组合体。 【解题思路】由三视图可知该组合体是一个长为 8 的圆柱从中间按 45 度斜切成两部分,然 后再由这两部分组合成的几何体。 【解析】由三视图可知该组合体是底面半径为 1,高为 8 的圆柱从中间按 45 度斜切成两部 分,然后其中一部分旋转 90 度,组成的几何体,因此组合体的体积与原圆柱的体积相等, 为 ? 1 8 ? 8? ,故选 B。
2

(11)F 为双曲线 ?

x2 y 2 ? =1(a>0,b>0)的右焦点,若? 上存在一点 P 使得△OPF 为等边三 a 2 b2

角形(O 为坐标原点) ,则 ? 的离心率 e 的值为 (A)2 (B)

3

(C) .

3 ?1 2

(D)

3 +1

【答案】D 【考查方向】本题主要考查了双曲线的定义、离心率等问题。 【易错点】若设双曲线的左焦点为 F’,不能想到连接 P F’,利用双曲线的定义解题。 【解题思路】若设双曲线的左焦点为 F’, 连接 P F’,由几何关系可知三角形 P F’F 是 直角三角形,然后利用双曲线的定义即的 a 与 c 的关系,从而求得离心率。 【解析】若设双曲线的左焦点为 F’, 连接 P F’,由几何关系可知三角形 P F’F 是直角 三角形,PF’= 3 c, PF=c 所以 PF’-PF= 3 c –c=2a,所以 e= 3 ,故选 D。 (12)数列{an}的通项公式为 an = (1 ? ) ①{an}为先减后增数列; ③ ?n ? N *, an ? e

1 n

n ?1

,关于{an}有如下命题:

②{an}为递减数列: ④ ?n ? N *, an ? e (D)②④

其中正确命题的序号为 (A)①③ (B)①④ (C)②③ 【答案】C 【考查方向】本题主要考查了数列的单调性与有界性, 。 【易错点】对于数列单调性无从下手。

【解题思路】首先取对数得 ln an ? (1 ? n) ln(1 ? ) ,由此可知 an 的单调性与 ln an 的相同, 故此先研究 ln an 的单调性。构造函数 f ( x) ? (1 ? x) ln(1 ? ) ,通过二次求导便可研究它的 单调性,进而得到数列的有界性。 【解析】先取对数得 ln an ? (1 ? n) ln(1 ? ) ,由此可知 an 的单调性与 ln an 的相同,故此先

1 n

1 x

1 n

研究 ln an 的单调性。构造函数 f ( x) ? (1 ? x ) ln(1? 以 f ''( x) ?

1 1 1 , f '( x) ? ln(1 ? ) ? ,所 ) (x>0) x x x

1 ,由此可知 f ''( x) ? 0 , f '( x) 单调递增,又因 lim f '( x) ? 0 ,所以 x ??? x (1 ? x)
2

f '( x) ? 0 ,因此函数 f ( x) 单调递减,故{an}为递减数列,且 ?n ? N *, an ? e ,故选 C。

第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考 生都必须做答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在题中横线上. (13)在等差数列{an}中,a4=-2,且 al+a2+...+a10=65,则公差 d 的值是 。 【答案】3 【考查方向】本题主要考查了等差数列的性质与数列求和。 【易错点】若用基本量表示前 10 项的和与 a4,则运算要细心,否则就结合性质解题。 【解题思路】一是用基本量解题,列方程组;二是结合性质解题。 【解析】先用性质解题:al+a2+...+a10=5(a4+ a7)=65,所以(a4+ a7)= 13,因此 a7=11,

d?

a7 ? a4 9 ? ? 3。 7?4 3

(14) 1000 名考生的某次成绩近似服从正态分布 N(530, 502),则成绩在 630 分以上的考 生人数约为____. (注:正态总体 在区间 内取值的概率分别为 0.683,0.954,0.997) 【答案】23 【考查方向】本题主要考察了正态分布及频数。 【易错点】可能会出现用错公式的现象。 【解题思路】利用注解中的公式可求得成绩在 630 分以上的概率,然后再求人数。

1 ? P(430 ? ? ? 630) 1 ? 0.954 ? ? 0.023 ,所以成绩在 630 分以上 2 2 的考生人数约为 1000 ? 0.023 ? 23 。
【解析】 P(? ? 630) ? (15)已知 f(x)为奇函数,函数 g(x)与 f(x)的图象关于直线 y=x+l 对称,若 g(1)=4, 则 f(一 3)=____. 【答案】-2 【考查方向】本题主要考察了图像的对称及奇函数的性质。 【易错点】不能求出(1,4)关于直线 y=x+l 的对称点。 【解题思路】先求出点(1,4)关于直线 y=x+l 的对称点(3,2) ,所以有 f(3)=2,再利用奇函 数的性质可求得 f(-3)。 【解析】因为 g(1)=4,所以点(1,4)在函数 g(x)的图像上,设(1,4)关于直线 y=x+l 的 对称点为(m,n) ,所以有

4 ? n 1? m n?4 ? ? 1, ? ?1 ,解得 m=3,n=2,所以点(3,2)在 2 2 m ?1

函数 f(x)的图像上,即 f(3)=2,又因为 f(x)为奇函数,所以 f(-3)= -f(3)= -2。 (16)一个几何体由八个面围成,每个面都是正三角形,有四个顶点在同一平面内且为正 方形,从该几何体的 12 条棱所在直线中任取 2 条,所成角为 60°的直线共有 对. 【答案】48

【考查方向】本题主要考察了立体几何中两直线所成的角。 【易错点】一是几何体的结构想象不出来,还有就是所成角为 60°的直线有相交直线,也 有异面直线,异面直线可能会出现重复或遗漏。 【解题思路】分两种类,一类是求所成角为 60°的相交直线的对数,另一类是求所成角为 60°的异面直线的对数。 【解析】该几何体是两个全等的正四棱锥底面重合,对接成的组合体,其中侧面均为正三角 形。先从相交直线入手,成 60°的直线有 24 对,在考虑异面直线,成 60°的直线有 24 对 也有 24 对,所以共计 48 对 三、解答题:本大题共 70 分,其中(17) - (21)题为必考题,(22),(23),(24)题为 选考题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 12 分) 在右图所示的四边形 ABCD 中,∠BAD=90°, ∠BCD=120°,∠BAC=60°,AC=2, 记∠ABC=θ。 (I)求用含θ的代数式表示 DC; (II)求△BCD 面积 S 的最小值. 1 【答案】(I)DC= ;(II) θ=75°时,S 取得最小值 6 sin (150°-θ) -3 3. 【解析】可去掉 【考查方向】本题考查的是:1,利用正弦定理接三角形; 2,结合三角函数求最值,求三角形面积的最值. 【易错点】1、不知在哪个三角形中求 DC; 2、不会借助三角函数求三角形的面积的最值。 【解题思路】解题步骤如下: 1、先求∠ADC,再在三角形 ACD 中借助正弦定理求 DC, 2、利用(I)的结论,然后在三角形 ABC 中有正弦定理求 BC,利用三角形面积公式求面积, 最后结合三角函数求最值的方法求面积的最值。 【解析】 试题分析: 本题属于解三角形, 题难道不大, 关键是找对在哪个三角形中解决问题, 另外此题巧妙的与三角形求最值结合了起来。 (Ⅰ)在△ADC 中,∠ADC=360°-90°-120°-θ=150°-θ, DC AC DC 2 由正弦定理可得sin∠ DAC= ,即sin30°= , sin∠ADC sin(150°-θ) 1 于是:DC= . sin (150°-θ) AC BC 3 (Ⅱ)在△ABC 中,由正弦定理得sin θ =sin 60° ,即 BC=sin θ , 1 由(Ⅰ)知:DC= , sin (150°-θ) 3 3 3 那么 S= = = , 2 4sin θ·sin (150°-θ) 2sinθcosθ+2 3sin θ 3+2sin(2θ-60°) 故 θ=75°时,S 取得最小值 6-3 3. …12 分

…5 分

(18)(本小题满分 12 分) 如图,直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的棱长均为 2,

∠BAD=号,M 为 BB1 的中点,Ol 为上底面对角线的交 点. (I)求证:O1M⊥平面 ACM; ( II)求 AD1 与平面 ADM 所成角的正弦值. 6 【答案】(I)证明略;( II)AD1 与平面 ADM 所成角的正弦值为 4 . 【考查方向】本题主要考察了 1、线面垂直,2、利用空间向量求直线与平面所成角. 【易错点】1、第一问中 O1M⊥AM 可能想不到利用直角三角形的勾股定理去证明。 2、第二问用空间向量解题可能会出现运算错误。 【解题思路】本题考查立体几何,解题步骤如下: 1、在证明 O1M⊥平面 ACM 时,利用线面垂直的判定定理,先证 AC⊥平面 DBB1D1,从而得 AC⊥O1M,然后再在三角形 AM O1 中利用勾股定理去证明 O1M⊥AM ,从而得证。 2、先建空间坐标系,然后再去求向量 AD1 与平面 ADM 的法向量,当求得这两个向量夹角的 余弦值时,就可 AD1 与平面 ADM 所成角的正弦值 【解析】试题分析:本题属于立体几何中的常见题型.利用线面垂直的判定定理,证垂直; 利用空间向量求角。 (Ⅰ)连接 AO1,BD 在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,BB1⊥平面 ABCD,AC? 平面 ABCD,所以 BB1⊥AC, ∵ 四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形, ∴ AC⊥BD, 又∵ BD∩BB1=B, ∴ AC⊥平面 DBB1D1, 又∵ O1M?平面 DBB1D1,
D1 A1

O1 B1 M

C1

D

C

∴ AC⊥O1M. A B ∵ 直四棱柱所有棱长均为 2, ? ∠BAD= 3 ,M 为 BB1 的中点, ∴ BD=2,AC=2 3,B1M=BM=1, ∴ O1M2=O1B12+B1M2=2,AM2=AB2+BM 2=5,O1A2=O1A12+A1A2=7, ∴ O1M2+AM2=O1A2,∴ O1M⊥AM. 又∵ AC∩AM=A,∴ O1M⊥平面 ACM. . …6 分 (Ⅱ)设 BD 交 AC 于点 O,连接 OO1, 以 O 为坐标原点,OA,OB,OO1 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系 O-xyz,则 A( 3,0,0),D(0,-1,0),D1(0,-1,2),M(0,1,1),

→ AD1=(- 3,-1,2),→ AD =(- 3,-1,0),→ DM =(0,2,1),
设平面 ADM 的一个法向量 n=(x,y,z),

→ ?n· ? AD =0, ?- 3x-y=0, 则? 即? → ?n· DM =0, ?2y+z=0, ?
令 x=1,得 n=(1,- 3,2 3). 设 AD1 与平面 ADM 所成角为?,

D1 A1

z O1 B1 M C1

D O x A B y

C

|→ AD1· n| 4 3 6 则 sin ?=|cos?→ AD1,n?|= = =4, → 2 2×4 |AD1||n| 6 即 AD1 与平面 ADM 所成角的正弦值为 4 . (19)(本小题满分 12 分) 某商场举行优惠促销活动,顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种, 方案一:每满 200 元减 50 元: 方案二:每满 200 元可抽奖一次.具体规则是依次从装有 3 个红球、1 个白球的甲 箱,装有 2 个红球、2 个白球的乙箱,以及装有 1 个红球、3 个白球的丙箱中各随机摸出 1 个球,所得结果和享受的优惠如下表: (注:所有小球仅颜色有区别)

(I)若两个顾客都选择方案二,各抽奖一次,求至少一个人获得半价优惠的概率; (II)若某顾客购物金额为 320 元,用所学概率知识比较哪一种方案更划算? 183 【答案】(I) 1024;(II) 第二种方案比较划算. 【解析】可去掉 【考查方向】本题考查的是概率和方差。 【易错点】1、第一问若用分类讨论的话,可能会讨论不清,不会用对立事件来解题。2、第 二问会在计算 X=224、X=256 的概率时出错,因为取到两个红球和一个红球分别会出现三种 情况。 【解题思路】 本题第一问先求顾客获得半价优惠的概率, 然后再利用对立事件去求两个顾客 至少一个人获得半价优惠的概率;第二问先求方案二中付款金额的分布列,然后再求方差, 这样再与方案一的付款金额做比较,就可得出结论。 【解析】 试题分析: 本题属于高考中涉及到概率的常见题型, 只是分类时要清楚, 以免出错。 3×2×1 3 (Ⅰ)记顾客获得半价优惠为事件 A,则 P(A)=4×4×4=32, 两个顾客至少一个人获得半价优惠的概率 3 183 P=1-P(- A )P(- A )=1- 1-32 2=1024.

(

)

…5 分 (Ⅱ)若选择方案一,则付款金额为 320-50=270 元. 若选择方案二,记付款金额为 X 元,则 X 可取 160,224,256,320. 3 P(X=160)=32, 3×2×3+3×2×1+1×2×1 13 P(X=224)= =32, 4×4×4 3×2×3+1×2×3+1×2×1 13 P(X=256)= =32, 4×4×4 1×2×3 3 P(X=320)=4×4×4=32,

3 13 13 3 则 E(X)=160×32+224×32+256×32+320×32=240. ∵ 270>240, ∴第二种方案比较划算. …12 分

(20)(本小题满分 1 2 分) 在△ABC 中,A(-l,0),B(1,0),若△ABC 的重心 G 和垂心 H 满足 GH 平行于 x 轴( G,H 不重合) . (I)求动点 C 的轨迹 ? 的方程; (II)己知 O 为坐标原点,若直线 AC 与以 O 为圆心,以|OH|为半径的圆相切,求 此时直线 AC 的方程. y2 【答案】(I) x2+ 3 =1(x·y≠0) .(II) y=x+1 或 y=-x-1. 【考查方向】本题考查了解析几何中的求轨迹问题、直线与圆的位置关系。 【易错点】1、第一问不能利用 G、H 两点的关系表达两点的坐标,再就是没把不符合条件的 点去掉; 2、第二问不会利用直线与曲线 ? 的交点去求点 H 的坐标,还有就是不能建立有 关 k 的等量关系。 【解题思路】解题步骤如下: 1、设点 C (x,y),利用 C、G、H 的关系确定其坐标, 2、通过 BH 与 AC 垂直,构造向量垂直,利用数量积为 0,得到所求轨迹方程,要去掉不合 题意的点。 3、 通过直线 AC 与轨迹 ? 的方程联立,求得点 C 的坐标,从而得到点 H 的坐标,利用|OH| 等于原点 O 到直线 AC 的距离,就可求得所求直线的斜率,进而得直线方程。 【解析】试题分析:本题属于解析几何中的基本问题,题目的难度不大,但是题目设计的是 环环相扣,点与点的关系处理不当,就会事倍功半。 x y y (Ⅰ)由题意可设 C (x,y),则 G 3 , 3 ,H x, 3 .

(

) (

)

y → BH =(x-1, ),→ AC =(x+1,y), 3 y2 y2 因为 H 为垂心,所以→ BH ?→ AC =x2-1+ 3 =0,整理可得 x2+ 3 =1, y2 即动点 C 的轨迹 Г 的方程为 x2+ 3 =1(x·y≠0) . (Ⅱ)显然直线 AC 的斜率存在,设 AC 方程为 y=k(x+1),C(x0,y0). y2 将 y=k(x+1)代入 x2+ 3 =1 得(3+k2)x2+2k2x+k2-3=0, 3-k2 3-k2 6k 2k 解得 x0= ,y0= ,则 H , . 2 2 3+k 3+k 3+k2 3+k2 |k| 原点 O 到直线 AC 的距离 d= , 1+k2 9-2k2+k4 k2 依题意可得 = , 1+k2 9+6k2+k4 …5 分

(

)

即 7k4+2k2-9=0,解得 k2=1,即 k=1 或-1, 故所求直线 AC 的方程为 y=x+1 或 y=-x-1. …12 分

(21)(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=2x- e +1. (I)求 f(x)的最大值; ( II)己知 x∈(0,1),af(x)<tanx,求 a 的取值范围. 【答案】(I) f (x)取得最大值 2ln 2-1 ;( II) a 的取值范围是 a≤1. 【考查方向】本题考查了利用导数求函数的最大值;含参数不等式恒成立,此题含参数的讨 论是难点。 【易错点】参数的讨论是易错点 【解题思路】本题考查导数的性质,解题步骤如下: 1、求导,然后解导数不等式,从而的函数的单调区间,进而求得函数的最大值。 2、对参数分类讨论研究不等式恒成立,因为 f(x)在(0,1)上大于 0,故先从 a≤0 与 a >0 两个角度去讨论,而当 a>0 时,因所构造的函数在已知区间上的单调性不同,故又分 0 <a≤1 和 a>1 两种情况。 【解析】试题分析:本题属于导数应用中的常规问题,题目的难度是逐渐由易到难,所以应 重点分析 a 的不同情况。 (Ⅰ)f ?(x)=2-ex, x<ln 2 时,f ?(x)>0;x>ln 2 时,f ?(x)<0, 所以 f (x)在(-∞,ln 2 )上单调递增,在(ln 2 ,+∞)上单调递减, 则当 x=ln 2 时,f (x)取得最大值 2ln 2-1. (Ⅱ)x∈(0,1)时,f (x)在(0,ln 2 )上单调递增,在(ln 2 ,1)上单调递减, 且 f (0)=0,f (1)=3-e>0,所以此时 f (x)>0, 因为 tan x>0,所以当 a≤0 时,af (x)≤0<tan x. …6 分 1 1 当 a>0 时,令 g (x)=tan x-af (x),则 g ?(x)=cos2x-a(2-ex)=cos2x+a(ex-2), 故 g ?(x)在(0,1)上单调递增且 g ?(0)=1-a. (ⅰ)当 0<a≤1 时,g ?(0)≥0,g ?(x)≥0,所以 g (x)在(0,1)上单调递增, 又 g (0)=0,所以此时 g (x)>0,即 af (x)<tan x 成立; (ⅱ)当 a>1 时,g ?(0)<0,g ?(1)>0,所以存在 x0∈(0,1)使得 g ?(x0)=0, 即 x∈(0,x0)时,g ?(x)<0,g (x)单调递减,又 g (0)=0,所以此时 g (x)<0, 与 af (x)<tan x 矛盾; 综上,a 的取值范围是 a≤1. …12 分 …4 分
x

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如 果多做,则按所做的第一个题目计分.做答时用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方 框涂黑. (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 与圆 O 相切于点 B,CD 为圆 O 上两点,延 长 AD 交圆 O 于点 E,BF∥CD 且交 ED 于点 F

(I)证明:△BCE∽△FDB; ( II)若 BE 为圆 O 的直径,∠EBF=∠CBD,BF=2, 求 AD·ED. 【答案】(I)证明略;( II) AD·ED=2 【考查方向】本题的重点考察了三角形相似,有关圆的一些性质及直角三角形的射影定理。 【易错点】第二问不能从三角形相似的角度去研究所求问题。 【解题思路】1、证△BCE∽△FDB; 2、通过求 BD,借助三角形 ABE 为直角三角形,利用射影定理即可求得。 【解析】试题分析: 本题是几何证明中的基本题型,整个题目的难度不大。属简单题目。 (Ⅰ)因为 BF∥CD,所以∠EDC=∠BFD, 又∠EBC=∠EDC,所以∠EBC=∠BFD, 又∠BCE=∠BDF,所以△BCE∽△FDB. …4 分 (Ⅱ)因为∠EBF=∠CBD,所以∠EBC=∠FBD, 由(Ⅰ)得∠EBC=∠BFD,所以∠FBD=∠BFD, 又因为 BE 为圆 O 的直径, 2 所以△FDB 为等腰直角三角形,BD= 2 BF= 2, 因为 AB 与圆 O 相切于点 B,所以 EB⊥AB,即 AD·ED=BD2=2. …10 分 (23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.半 圆 C(圆心为点 C)的极坐标方程为ρ=2sinθ,θ∈(

? 3? , ). 4 4

(I)求半圆 C 的参数方程: (II)直线 l,与两坐标轴的交点分别为 A,B,其中 A(O,-2),点 D 在半圆 C 上, 且直线 CD 的倾斜角是直线 l,倾斜角的 2 倍,若△ABD 的面积为 4,求点 D 的直角坐标.
?x=cos φ, 【答案】(I) ? φ 是参数且 φ∈(0,π); (II) 点 D 为 (0,2). ?y=1+sin φ,

【考查方向】本题考查了极坐标方程向普通方程的转化,再转化为参数方程; 【易错点】1、半圆的参数方程中对参数没有范围限制; 2、注意不到 α 的范围,从而去绝对值符号就成了难题。 【解题思路】本题考查极坐标与参数方程,解题步骤如下: 1、半圆的极坐标方程转化为普通方程,再将其转化为参数方程,注意参数的范围。 2、通过设直线 l 的方程,得点 B 的坐标,进而求得|AB|,再利用点到直线的距离公式求得 点 D 到直线 l 的距离,通过面积建立等量关系,即可求得点 D 的坐标。 【解析】试题分析:本题属于极坐标与参数方程中的基本题,解题过程中要注意参数范围。 (Ⅰ)半圆 C 的直角坐标方程为 x2+(y-1)2=1(y>1) , ?x=cos φ, 它的参数方程是? φ 是参数且 φ∈(0,π). …4 分 ?y=1+sin φ, (Ⅱ)设直线 l 的倾斜角为 α, 则直线 l 的方程为 y=xtan α-2, D (cos2α,1+sin2α),2α∈(0,π). 2 |AB|=sin α,点 D 到直线 l 的距离为

|sin αcos2α-cos αsin2α-3cos α| =|3cos α-sin αcos2α+cos αsin2α|=3cos α+sin α, π 由△ABD 的面积为 4 得 tan α=1,即 α= 4 ,故点 D 为 (0,2). (24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=lx+1|-a|x-l|. (I)当 a=-2 时,解不等式 f(x)>5; (II)若(x)≤a|x+3|,求 a 的最小值. 【答案】(I) 1 {x|x<- 4 3 ,或 x>2};(II) a 的最小值为 2 。

…10 分

【考查方向】本题考查了解含绝对值的不等式、不等式恒成立(独立参数法) 。 【易错点】处理不等式恒成立时,因参数的系数为正,故采用了独立参数的方法,而求 |x+1| 的最大值时用到了绝对值不等式的性质,可能考虑不到。 |x-1|+|x+3| 【解题思路】1、先通过讨论去绝对值的方法解不等式;2、因参数的系数为正,故采用了独 立参数的方法处理不等式恒成立, 进而转化为求相应函数的最值, 利用绝对值的性质求得其 最值。 【解析】试题分析:本题属于不等式中常见题型,只是独立参数处理不等式恒成立时,求相 应函数的最值要用到不等式的性质. ?1-3x, x<-1, ? (Ⅰ)当 a=-2 时,f (x)=?3-x, -1≤x≤1, ? ?3x-1, x>1. 4 由 f (x)的单调性及 f (- 3 )=f (2)=5, 4 得 f (x)>5 的解集为{x|x<- 3 ,或 x>2}. …5 分 |x+1| (Ⅱ)由 f (x)≤a|x+3|得 a≥ , |x-1|+|x+3| |x+1| 1 1 由|x-1|+|x+3|≥2|x+1|得 ≤ ,得 a≥ 2 . |x-1|+|x+3| 2 (当且仅当 x≥1 或 x≤-3 时等号成立) 1 故 a 的最小值为 2 . …10 分

唐山市 2015—2016 学年度高三年级第一次模拟考试

理科数学参考答案
一、选择题: A 卷:CADCB ACBDA DC DC (15)-2 (16)48 B 卷:BADCA ACBDB 二、填空题: (13)3 (14)23 三、解答题:

(17)解: (Ⅰ)在△ADC 中,∠ADC=360°-90°-120°-θ=150°-θ,

DC AC DC 2 由正弦定理可得sin∠ DAC= ,即sin30°= , sin∠ADC sin(150°-θ) 1 于是:DC= . sin (150°-θ) AC BC 3 (Ⅱ)在△ABC 中,由正弦定理得sin θ =sin 60° ,即 BC=sin θ , 1 由(Ⅰ)知:DC= , sin (150°-θ)

…5 分

3 3 3 那么 S= = = , 4sin θ·sin (150°-θ) 2sinθcosθ+2 3sin2θ 3+2sin(2θ-60°) 故 θ=75°时,S 取得最小值 6-3 3. (18)解: (Ⅰ)连接 AO1,BD 在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,BB1⊥平面 ABCD,AC? 平面 ABCD,所以 BB1⊥AC, ∵ 四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形, ∴ AC⊥BD, 又∵ BD∩BB1=B, ∴ AC⊥平面 DBB1D1,
D1 A1

…12 分

O1 B1 M

C1

又∵ O1M?平面 DBB1D1, ∴ AC⊥O1M. A B ∵ 直四棱柱所有棱长均为 2, ? ∠BAD= 3 ,M 为 BB1 的中点, ∴ BD=2,AC=2 3,B1M=BM=1, ∴ O1M2=O1B12+B1M2=2,AM2=AB2+BM 2=5,O1A2=O1A12+A1A2=7, ∴ O1M2+AM2=O1A2,∴ O1M⊥AM. 又∵ AC∩AM=A,∴ O1M⊥平面 ACM. . …6 分
D

C

(Ⅱ)设 BD 交 AC 于点 O,连接 OO1, 以 O 为坐标原点,OA,OB,OO1 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系 O-xyz,则 A( 3,0,0),D(0,-1,0),D1(0,-1,2),M(0,1,1),

→ AD1=(- 3,-1,2),→ AD =(- 3,-1,0),→ DM =(0,2,1),
设平面 ADM 的一个法向量 n=(x,y,z),

→ ? ?n· AD =0, ?- 3x-y=0, 则? 即? → ?n· DM =0, ?2y+z=0, ?
令 x=1,得 n=(1,- 3,2 3). 设 AD1 与平面 ADM 所成角为?, |→ AD1· n| 4 3 6 则 sin ?=|cos?→ AD1,n?|= = =4, |→ AD1||n| 2 2×4 6 即 AD1 与平面 ADM 所成角的正弦值为 4 . (19)解:

D1 A1

z O1 B1 M C1

D O x A B y

C

…12 分

3×2×1 3 (Ⅰ)记顾客获得半价优惠为事件 A,则 P(A)=4×4×4=32, 两个顾客至少一个人获得半价优惠的概率 3 183 P=1-P(- A )P(- A )=1- 1-32 2=1024.

(

)

…5 分 (Ⅱ)若选择方案一,则付款金额为 320-50=270 元. 若选择方案二,记付款金额为 X 元,则 X 可取 160,224,256,320. 3 P(X=160)=32, 3×2×3+3×2×1+1×2×1 13 P(X=224)= =32, 4×4×4 3×2×3+1×2×3+1×2×1 13 P(X=256)= =32, 4×4×4 1×2×3 3 P(X=320)=4×4×4=32, 3 13 13 3 则 E(X)=160×32+224×32+256×32+320×32=240. ∵ 270>240, ∴第二种方案比较划算. …12 分

(20)解: x y y (Ⅰ)由题意可设 C (x,y),则 G 3 , 3 ,H x, 3 .

(

) (

)

y → BH =(x-1, ),→ AC =(x+1,y), 3 y2 y2 因为 H 为垂心,所以→ BH ?→ AC =x2-1+ 3 =0,整理可得 x2+ 3 =1, y2 即动点 C 的轨迹 Г 的方程为 x2+ 3 =1(x·y≠0) . (Ⅱ)显然直线 AC 的斜率存在,设 AC 方程为 y=k(x+1),C(x0,y0). y2 将 y=k(x+1)代入 x2+ 3 =1 得(3+k2)x2+2k2x+k2-3=0, 3-k2 3-k2 6k 2k 解得 x0= ,y0= ,则 H , . 2 2 3+k 3+k 3+k2 3+k2 |k| 原点 O 到直线 AC 的距离 d= , 1+k2 9-2k2+k4 k2 依题意可得 = , 1+k2 9+6k2+k4 …5 分

(

)

即 7k4+2k2-9=0,解得 k2=1,即 k=1 或-1, 故所求直线 AC 的方程为 y=x+1 或 y=-x-1. (21)解: (Ⅰ)f ?(x)=2-ex, x<ln 2 时,f ?(x)>0;x>ln 2 时,f ?(x)<0, …12 分

所以 f (x)在(-∞,ln 2 )上单调递增,在(ln 2 ,+∞)上单调递减, 则当 x=ln 2 时,f (x)取得最大值 2ln 2-1. (Ⅱ)x∈(0,1)时,f (x)在(0,ln 2 )上单调递增,在(ln 2 ,1)上单调递减, 且 f (0)=0,f (1)=3-e>0,所以此时 f (x)>0, 因为 tan x>0,所以当 a≤0 时,af (x)≤0<tan x. …6 分 1 1 当 a>0 时,令 g (x)=tan x-af (x),则 g ?(x)=cos2x-a(2-ex)=cos2x+a(ex-2), 故 g ?(x)在(0,1)上单调递增且 g ?(0)=1-a. (ⅰ)当 0<a≤1 时,g ?(0)≥0,g ?(x)≥0,所以 g (x)在(0,1)上单调递增, 又 g (0)=0,所以此时 g (x)>0,即 af (x)<tan x 成立; (ⅱ)当 a>1 时,g ?(0)<0,g ?(1)>0,所以存在 x0∈(0,1)使得 g ?(x0)=0, 即 x∈(0,x0)时,g ?(x)<0,g (x)单调递减,又 g (0)=0,所以此时 g (x)<0, 与 af (x)<tan x 矛盾; 综上,a 的取值范围是 a≤1. (22)解: (Ⅰ)因为 BF∥CD,所以∠EDC=∠BFD, 又∠EBC=∠EDC,所以∠EBC=∠BFD, 又∠BCE=∠BDF,所以△BCE∽△FDB. …4 分 (Ⅱ)因为∠EBF=∠CBD,所以∠EBC=∠FBD, 由(Ⅰ)得∠EBC=∠BFD,所以∠FBD=∠BFD, 又因为 BE 为圆 O 的直径, 2 所以△FDB 为等腰直角三角形,BD= 2 BF= 2, 因为 AB 与圆 O 相切于点 B,所以 EB⊥AB,即 AD·ED=BD2=2. …10 分 (23)解: (Ⅰ)半圆 C 的直角坐标方程为 x2+(y-1)2=1(y>1) , ?x=cos φ, 它的参数方程是? φ 是参数且 φ∈(0,π). …4 分 ?y=1+sin φ, (Ⅱ)设直线 l 的倾斜角为 α, 则直线 l 的方程为 y=xtan α-2, D (cos2α,1+sin2α),2α∈(0,π). 2 |AB|=sin α,点 D 到直线 l 的距离为 |sin αcos2α-cos αsin2α-3cos α| =|3cos α-sin αcos2α+cos αsin2α|=3cos α+sin α, π 由△ABD 的面积为 4 得 tan α=1,即 α= 4 ,故点 D 为 (0,2). …10 分 (24)解: ? ?1-3x, x<-1, (Ⅰ)当 a=-2 时,f (x)=?3-x, -1≤x≤1, ?3x-1, x>1. ? 4 由 f (x)的单调性及 f (- 3 )=f (2)=5, 4 得 f (x)>5 的解集为{x|x<- 3 ,或 x>2}. …5 分 |x+1| (Ⅱ)由 f (x)≤a|x+3|得 a≥ , |x-1|+|x+3| …12 分 …4 分

|x+1| 1 1 由|x-1|+|x+3|≥2|x+1|得 ≤ 2 ,得 a≥ 2 . |x-1|+|x+3| (当且仅当 x≥1 或 x≤-3 时等号成立) 1 故 a 的最小值为 2 .

…10 分


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