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3.4 基本不等式(一) 学案(人教A版必修5)


3.4

基本不等式: ab≤
自主学习

a+ b (一) 2

知识梳理 1.如果 a,b∈R,那么 a2+b2________2ab(当且仅当________时取“=”号). a+b 2.若 a,b 都为________数,那么 ________ ab(当且仅当 a________b 时,等号成 2 立)

,称上述不等式为________不等式,其中________称为 a,b 的算术平均数,________ 称为 a,b 的几何平均数. 3.基本不等式的常用推论 a+b?2 a2+b2 (1)ab≤? ? 2 ? ≤ 2 (a,b∈R); 1 (2)当 x>0 时,x+ ≥________; x 1 当 x<0 时,x+ ≤________. x b a (3)当 ab>0 时, + ≥________; a b b a 当 ab<0 时, + ≤________. a b (4)a2+b2+c2________ab+bc+ca,(a,b,c∈R). 自主探究 1.

a+b 的一种几何解释,请你补充完整. 2 如图所示,AB 为⊙O 的直径,AC=a,CB=b,过点 C 作 CD⊥AB 交⊙O 上半圆于 D, 连 结 AD , BD. 由 射 影 定 理 可 知 , CD = ____________ , 而 OD = ____________ , 因 为 a+b OD________CD,所以 ________ ab,当且仅当 C 与 O________,即________时,等号 2 成立. a+b a2+b2 2 2.当 a>0,b>0 时, ≤ ab≤ ≤ 这是一条重要的基本不等式链,请 1 1 2 2 + a b 你给出证明. 下面是基本不等式 ab≤

对点讲练 知识点一 利用基本不等式比较大小 例 1 已知正数 0<a<1,0<b<1,且 a≠b,则 a+b,2 ab,2ab,a2+b2,其中最大的一 个是( ) A.a2+b2 B.2 ab C.2ab D.a+b 总结 (1)大小比较除了用比较法,也可利用已知的不等式.(2)本题是选择题,因此也 可以采用赋值法,取特殊值解决. 变式训练 1 设 0<a<b,且 a+b=1,在下列四个数中最大的是( ) 1 2 A. B.b C.2ab D.a +b2 2 知识点二 利用基本不等式证明不等式 例2 bc ca ab 设 a、b、c 都是正数,求证: + + ≥a+b+c. a b c

总结 在利用基本不等式证明的过程中, 常需要把数、 式合理地拆成两项或多项或恒等 地变形配凑成适当的数、式,以便于利用基本不等式. 变式训练 2 已知 a,b,c 为不等正实数,且 abc=1. 1 1 1 求证: a+ b+ c< + + . a b c

知识点三 利用基本不等式解含参数问题 例3 1 1 n a>b>c,n∈M 且 + ≥ ,求 n 的最大值. a-b b-c a-c

总结 解决恒成立问题时,常用分离参数的方法求出参数的取值范围. 1 a? 变式训练 3 已知不等式(x+y)? ?x+y?≥9 对任意正实数 x,y 恒成立,则正实数 a 的最 小值为( ) A.8 B.6 C.4 D.2 1.设 a,b 是两个正实数,用 min(a,b)表示 a,b 中的较小的数,用 max(a,b)表示 a, a+b a2+b2 2 b 中的较大的数,则有 min(a,b)≤ ≤ ab≤ ≤ ≤max(a,b).当且仅 1 1 2 2 + a b 当 a=b 时,取到等号. a+b 2. 两个不等式 a2+b2≥2ab 与 ≥ ab都是带有等号的不等式, 对于“当且仅当?时, 2 取‘=’号”这句话的含义要有正确的理解. a+b a+b 一方面:当 a=b 时, = ab;另一方面:当 = ab时,也有 a= 2 2 b. 课时作业 一、选择题 a+b 1.已知 a>0,b>0,则 , ab, 2 a+b A. 2 B. ab C. a2+b2 2ab , 中最小的是( 2 a+b a2+b2 2 2ab D. a+b (x<0),则 m、n 之间的大小关系是( D.m≤n ) )

骣 1 1 2.已知 m=a+ (a>2),n= 琪 a-2 琪 2 桫

x

2

-2

A.m>n B.m<n C.m=n 3.设 a,b∈R,且 a≠b,a+b=2,则必有( ) a2+b2 a2+b2 A.1≤ab≤ B.ab<1< 2 2

a2+b2 C.ab< <1 2

a2+b2 D. <ab<1 2 1 0, ?恒成立,则 a 的最小值为( 4.若不等式 x2+ax+1≥0 对一切 x∈? ? 2? 5 A.0 B.-2 C.- D.-3 2 5.如果正数 a,b,c,d 满足 a+b=cd=4,那么( ) A.ab≤c+d,且等号成立时 a,b,c,d 的取值唯一 B.ab≥c+d,且等号成立时 a,b,c,d 的取值唯一 C.ab≤c+d,且等号成立时 a,b,c,d 的取值不唯一 D.ab≥c+d,且等号成立时 a,b,c,d 的取值不唯一 1 2 3 4 题 号 答 案 二、填空题 2 5 6.若 lg x+lg y=1,则 + 的最小值为________. x y 1 7.若 a<1,则 a+ 有最______值,为________. a-1 8.设正数 x,y 满足 x+ y≤a· x+y恒成立,则 a 的最小值是______. 三、解答题 ?a+b+c?2 9.已知 a、b、c 都是实数,求证:a2+b2+c2≥ . 3

)

5

x2+y2 10.已知 x>y>0,xy=1,求证: ≥2 2. x-y

§ 3.4
知识梳理

基本不等式: ab≤

a+ b (一) 2

1.≥ a=b a+b ab 2 3.(2)2 -2 (3)2 -2 (4)≥ 自主探究 a+b 1. ab ≥ ≥ 重合 a=b 2 a+b 2.证明 由于 ab≤ 成立, 2 a2+b2 a+b 2 只须证明 ab≥ 和 ≥ 成立即可. 1 1 2 2 + a b 2 2ab ?a+b? ab-2ab ∵ ab- = ab- = 1 1 a+b a+b + a b 2.正 ≥ = 基本 ab?a+b-2 ab? ab? a- b?2 = ≥0 a+b a+b 2 2 ∴ ab ≥ ,即 ≤ ab. 1 1 1 1 + + a b a b 2 2 2 2 2 ? a +b ?2-?a+b?2=a +b -?a+b? ∵? ? 2 4 2 ? ? 2 ? ? 2 2 2 2 2 2?a +b ?-?a+b? a +b -2ab = = 4 4 2 ?a-b? = ≥0. 4 2 a +b2 a+b a+b a2+b2 ∴ ≥ ,即 ≤ . 2 2 2 2 a+b a2+b2 2 所以 ≤ ab≤ ≤ . 1 1 2 2 + a b 对点讲练 例 1 D [因为 a、b∈(0,1),a≠b,所以 a+b>2 ab,a2+b2>2ab,所以,最大的只能 是 a2+b2 与 a+b 之一. 而 a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1), 又 0<a<1,0<b<1, 所以 a-1<0, 2 2 b-1<0,因此 a +b <a+b,所以 a+b 最大.] a+b?2 1 1 变式训练 1 B [∵ab<? ? 2 ? ,∴ab<4,∴2ab<2. a2+b2 a+b ∵ > >0, 2 2 a2+b2 1 ∴ > , 2 2 1 ∴a2+b2> . 2 ∵b-(a2+b2)=(b-b2)-a2=b(1-b)-a2=ab-a2=a(b-a)>0,∴b>a2+b2,∴b 最大.] bc ca ab 例 2 证明 ∵a、b、c 都是正数,∴ 、 、 也都是正数. a b c bc ca ca ab bc ab ∴ + ≥2c, + ≥2a, + ≥2b, a b b c a c bc ca ab? 三式相加得 2? ? a + b + c ?≥2(a+b+c), =

bc ca ab 即 + + ≥a+b+c. a b c 1 1 1 1 1 1 1 1 1 变式训练 2 证明 ∵ + ≥2 =2 c, + ≥2 =2 a, + ≥2 =2 b a b ab b c bc c a ac 1 1 1? ∴2? ?a+b+c?≥2( a+ b+ c), 1 1 1 即 + + ≥ a+ b+ c. a b c 1 1 1 ∵a,b,c 不全相等,∴ a+ b+ c< + + . a b c 1 1 n 例 3 解 方法一 ∵ + ≥ ,且 a>b>c. a-b b-c a-c 2 a-c a-c ?a-c? ∴n≤ + = a-b b-c ?a-b??b-c? 2 ? ?a-c? ? ∵对 a、b、c 上式都成立,∴n≤? ? ??a-b??b-c??min 2 2 ?a-c? ?a-c? ≥ =4. ?a-b??b-c? ??a-b?+?b-c??2 2 ? ? ∴n≤4,∴n 的最大值为 4. 方法二 ∵a>b>c, a-c a-c ?a-b?+?b-c? ?a-b?+?b-c? ∴ + = + a-b b-c a-b b-c b-c a-b =2+ + ≥2+2=4. a-b b-c ∴n≤4,∴n 的最大值为 4. 1 a? 变式训练 3 C [只需求(x+y)? ?x+y?的最小值大于等于 9 即可, 1 a? x y xy x y 又(x+y)? + +a≥a+1+2 a· · =a+2 a+1, 等号成立仅当 a· = ?x+y?=1+a· y x yx y x 2 即可,所以( a) +2 a+1≥9, 即( a)2+2 a-8≥0 求得 a≥2 或 a≤-4(舍去),所以 a≥4,即 a 的最小值为 4.] 课时作业 1.D [方法一 特殊值法. a+b 令 a=4,b=2,则 =3, ab= 8, 2 a2+b2 2ab 8 2ab = 10, = .∴ 最小. 2 a+b 3 a+b a+b a2+b2 2ab 2 2 2ab 方法二 = ,由 ≤ ab≤ ≤ .可知 最小.] 1 1 1 1 2 2 a+b a+b + + a b a b 1 1 2.A [∵m=(a-2)+ +2≥2 ?a-2?× +2=4,n=22-x2<22=4.∴m>n.] a-2 a-2 a+b?2 3.B [∵ab≤? ? 2 ? ,a≠b,∴ab<1, a2+b2 a+b 又∵ > =1, 2 2 a2+b2 a2+b2 ∴ >1,∴ab<1< .] 2 2 1? 4.B [x2+ax+1≥0 在 x∈? ?0,2?上恒成立

? 1?? ?ax≥-x2-1?a≥? ?-?x+x??max
1? 1 ∵x+ ≥2,∴-? ?x+x?≤-2,∴a≥-2.] x a+b?2 5.A [∵a+b≥2 ab,∴ab≤? ? 2 ? =4,当且仅当 a=b=2 时取等号. c+d≥2 cd,∴c+d≥2 cd=4,当且仅当 c=d=2 时取等号. 故 c+d≥ab,当且仅当 a=b=c=d=2 时取等号.] 6.2 解析 ∵lg x+lg y=1,∴xy=10, 2 5 2 x ∴ + = + ≥2. x y x 2 7.大 -1 解析 ∵a<1,∴a-1<0, 1 1 ∴-?a-1+a-1?=(1-a)+ ≥2, ? ? 1-a 1 1 ∴a-1+ ≤-2,∴a+ ≤-1. a-1 a-1 8. 2 ? x+ y? 解析 由已知 a≥? ?max, ? x+y ? ∵ x+ y ≤ 2 ? x+ y? x+y 成立,∴ x+ y≤ 2· x+y 2

∴?

9.证明 ∵a2+b2≥2ab① b2+c2≥2bc② c2+a2≥2ac③ a2+b2+c2=a2+b2+c2④ 由①+②+③+④得: 3(a2+b2+c2)≥a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac 3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2 ?a+b+c?2 即 a2+b2+c2≥ . 3 10.证明 ∵xy=1 x2+y2 ?x-y?2+2xy ?x-y?2+2 ∴ = = x-y x-y x-y 2 2 =(x-y)+ ≥2 ?x-y?· =2 2. x-y x-y 2 ? ? ?x= 2 ?x-y=x-y 当且仅当? ,即? 6- 2 ? ?xy=1 ? ?y= 2 6+ 2 时取等号.

?max= 2,∴a≥ 2. ? x+y ?


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