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2012年第一学期徐汇区高三年级数学学科(文科)附答题纸附答案(一模)


2012 年第一学期徐汇区高三年级数学学科 学习能力诊断卷(文科试卷)
(考试时间:120 分钟,满分 150 分) 2012.1 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号 的空格内直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分。
1、已知角 ? 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,若角 ? 的终边经过点 P(

3, ?4) , 则 cos? = 2、 函数 y ? log 2 ( x ? m) ? 1 的反函数的图象经过点 (1,3) ,则实数 m = 3、 若全集 U ? x | x ? 1 ? 3, x ? Z , A ? ?1, 2,3? , CU B ? ??1,3? ,则 A ? B ? 4、从一堆苹果中任取 5 只,称得它们的质量分别为(单位:克)125 、124 、122 、123 、

?

?

126 ,则该样本方差 s 2 ?
5、一平面截一球得到直径为 6cm 的圆面,球心到这个平面的距离是 4cm ,则该球的体积 是

cm3
6、已知 tan( x ?

?
4

) ? 2 ,则

tan x 的值为 tan 2 x

7、根据右图所示的程序框图,输出结果 i ? 8、从 ?1, 2,3, 4,5? 中随机选取一个数为 a ,从 ?1, 2,3? 中随机选取一个数为 b , 则 b ? a 的概率是(结果用数值表示) 9、 ( x ? 若 系数为 10、已知函数 f ( x) ? x ? 1 的定义域为 D ,值域为 ??1, 0,1,? ,试确定这样的
2

1 n 则展开式中 x 4 项的 ) 的展开式中前三项的系数依次成等差数列, 2x

集合 D 最多有个 11、 ?ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, AB ? AC ? 6 , 在 角 向量 m ? (cos A,sin A) 与 向量 n ? (4, ?3) 相互垂直。若 b ? c ? 7 ,则 a 的值为 12、已知函数 f ( x) ? log a x ? x ? b(a ? 0, a ? 1) ,当 2 ? a ? 3 ? b ? 4 时,函数 f ( x) 的零 点 x0 ? (n, n ? 1) (n ? N * ) ,则 n ? 13 、 已 知 各 项 为 正 数 的 等 比 数 列 {an }满足 : a7 ? a6 ? 2a5 , 若 存 在 两 项 am 、 an 使 得

??? ???? ?

??

?

am ? an ? 2 2a1 ,则 1 ? 4 的最小值为
m n

B
14、如图所示:在 ?AOB 中, ?AOB ?

则 x ? y 的值等于

, OA ? 3, OB ? 2, BH ? OA 于 3 ???? ???? ? ???? ? ??? ? ??? ? 5 H , M 为线段 BH 上的点,且 MO ? MA ? ? , 若BM ? xBO ? yBA , 4

?

M

O

H

A

二. 选择题 (本大题满分 20 分) 本大题共有 4 题, 每题有且只有一个正确答案, 考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则 一律得零分。
15、 m 、 为两条不同的直线, 、 为两个不同的平面, 若 则以下命题正确的是…………() n ? ? (A)若 m// ? , n ? ? ,则 m// n ; (B)若 m // n , m ? ? ,则 n ? ? ; (C)若 m// ? , n// ? ,则 m// n ; (D)若 ? ? ? ? m , m ? n ,则 n ? ? .

16、设 a, b 为实数,则“ 0 ? ab ? 1 ”是“ b ?

1 ”的…………………() a

(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件 (C)充分必要条件(D)既不充分又不必要条件 17、 已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? m 的最大值为 4, 最小值为 0, 最小正周期为

? ? , 直线 x ? 2 3

是其图象的一条对称轴,则符合条件的函数解析式可以是…………………() (A) y ? 4sin(4 x ? (C) y ? 2sin(2 x ?

?

) (B) y ? 2sin(4 x ? ) ? 2 6 6

?

?

) ? 2 (D) y ? 2sin(4 x ? ) ? 2 3 3
a13 ? ? 每行中的三个数成等差数列, a11 ? a12 ? a13 、 且 a 23 ? 中, ? a33 ?

?

? a11 a12 ? 18、 由9个互不相等的正数组成的矩阵? a 21 a 22 ?a ? 31 a32

a21 ? a22 ? a23 、 a31 ? a32 ? a33 成等比数列,下列三个判断正确的有……………………() ①第 2 列 a12 , a22 , a32 必成等比数列
②第 1 列 a11, a21 , a31 不一定成等比数列 ③ a12 ? a32 ? a21 ? a23 (A)3 个(B)2 个(C)1 个(D)0 个

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸 相应编号的规定区域内写出必要的步骤。 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 3 已知复数 z1 ? 。 ? ? a 2 ? 3? i , z2 ? 2 ? (3a ? 1)i ( a ? R , i 是虚数单位) a?2
(1)若复数 z1 ? z2 在复平面上对应点落在第一象限,求实数 a 的取值范围; (2)若虚数 z1 是实系数一元二次方程 x 2 ? 6 x ? m ? 0 的根,求实数 m 的值.

20.(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分.
如图,已知 PA ? 平面 ABC , AC ? AB , AP ? BC ? 2 , P

?CBA ? 30? , D 是 AB 的中点.
(1)求 PD 与平面 PAC 所成的角的大小; (2)求 ?PDB 绕直线 PA 旋转一周所构成的旋转体的体积. C A D B

21、 (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满

分 6 分.
为保护环境,某单位采用新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品。已知该单 位每月的处理量最多不超过 300 吨,月处理成本 y (元)与月处理量 x (吨)之间的函 数关系式可近似的表示为: y ? x ? 200 x ? 40000 ,且每处理一吨二氧化碳得到可利用
2

的化工产品价值为 300 元。 (1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低? (2)要保证该单位每月不亏损,则每月处理量应控制在什么范围?

22、 (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 8 分, 第 3 小题满分 6 分.
2
设 a ? R, 把三阶行列式

3

5 0 中第一行第二列元素的余子式记为 f ( x) ,且关 x

1 x?a 4 4 2 1

于 x 的不等式 f ( x) ? 0 的解集为 (?2,0) 。各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,点 列 (an , S n ) n ? N * ) 在函数 y ? f ( x) 的图象上。 ( (1)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (2)若 bn ? 2an ,求 lim

2bn ? 1 的值; n ?? b ? 2 n

(3)令 cn ? ?

?an , n为奇数 ? ,求数列 ?cn ? 的前 20 项之和. cn , n为偶数 ? ? 2

23、 (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分, 第 3 小题满分 8 分.
设 函 数 y ? f ( x) 与 函 数 y ? f ( f ( x)) 的 定 义 域 交 集 为 D 。 若 对 任 意 的 x ? D , 都 有

f ( f ( x)) ? x ,则称函数 f ( x) 是集合 M 的元素。
(1)判断函数 f ( x) ? ? x ? 1 和 g ( x) ? 2 x ? 1 是否是集合 M 的元素,并说明理由; (2)设函数 f ( x) ? log 2 (1 ? 2 x ) ,试求函数 f ( x) 的反函数 f (3)若 f ( x) ?
?1

( x) ,并证明 f ?1 ( x) ? M ;

ax ? M (a, b为常数且a ? 0) ,求使 f ( x) ? 1 成立的 x 的取值范围. x?b

2012 年第一学期徐汇区高三年级数学学科
流水号

学习能力诊断(文科)答题卷

2012.1

题号 满分 得分

一 56

二 20

19 12

20 12

21 14

22 18

23 18

总分 150

请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 一、填空题(本大题共 14 题,每题 4 分,满分 56 分) 1. 4. 7. 10. 13. 11. 14. 12. 2. 3. __ 5._ __ 8._ 6. 9.

二、选择题(本大题共 4 题,每题 5 分,满分 20 分)本大题必须使用 2B 铅笔填涂? 15.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 16.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 17.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 18.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 三、解答题(本大题共 5 题,满分 74 分)

19.[解] (1)

(2)

20.[解] (1)

P

A
(2)

D

B

C

21.[解] (1)

(2)

22.[解] (1)

(2)

(3)

23.[解] (1)

(2)

(3)

2012 年第一学期徐汇区高三年级数学学科 学 习 能 力 诊 断 卷 文科试卷参考答案及评分标准(2012.1)
一、 填空题: 3 5 500? 4 1、 2、23、 ?1, 2? 4、 5、 6、 7、 8 5 3 2 9 1 11 1 8、 9、710、9 11、 17 12、2 13、 14、 5 6 2 二、选择题:
15、B 16、D 17、B 18、A

三、解答题:
? 3 ? 19、解: (1)由条件得, z1 ? z2 ? ? ? 2 ? ? ? a 2 ? 3a ? 4 ? i ????????2 分 ?a?2 ?

? 3 ? 2 ? 0, ? 因为 z1 ? z2 在复平面上对应点落在第一象限,故有 ? a ? 2 ?????????? 2 ?a ? 3a ? 4 ? 0 ?
4分

1 ? 2a ? 1 ? ? 0, ? ? ?2 ? a ? ? , ?? ?? a?2 2 ? ?2 ? a ? ?1 ??????????6 分 ?(a ? 4)(a ? 1) ? 0, ?a ? ?1或a ? 4 ? ?
(2)因为虚数 z1 是实系数一元二次方程 x 2 ? 6 x ? m ? 0 的根 所以 z1 ? z1 ?

6 ? 6 ,即 a ? ?1 ,??????????8 分 a?2

把 a ? ?1 代入,则 z1 ? 3 ? 2i, z1 ? 3 ? 2i ,??????????10 分 所以 m ? z1 ? z1 ? 13 ??????????12 分

20、解: (1)? PA ? 平面 ABC , PA ? AB ,又? AC ? AB ,
?AB ? 平面 PAC ,所以 ?DPA 就是 PD 与平面 PAC 所成的角.????????????????????????2 分 3 在 Rt?PAD 中, PA ? 2 , AD ? ,???????????????4 分 2 3 所以 ?DPA ? arctan ,???????????????????5 分 4

3 .?????????6 分 4 (2) ?PDB 绕直线 PA 旋转一周所构成的旋转体,是以 AB 为底面半径、 AP 为高 的圆锥中挖去一个以 AD 为底面半径、 AP 为高的小圆锥,体积. 1 1 3 3 V ? ? ? ( 3 ) 2 ? 2 ? ? ? ( ) 2 ? 2 ? ? .?????????????12 分. 3 3 2 2
即 PD 与平面 PAC 所成的角的大小为 arctan

21、 (1) 解: 由题意可知, 二氧化碳的每吨平均处理成本为

y 40000 ? x? ? 200, x ? ? 0,300? x x
????????4 分

因为 x ?

40000 40000 ? 200 ? 2 x ? ? 200 ? 200 ,??????????6 分 x x
40000 ,即 x ? 200 时,才能使每吨的平均处理成本最低。???8 分 x

当且仅当 x ?

(2)设该单位每月获利为 S(元) ,则

S ? 300 x ? y ? 300 x ? ( x 2 ? 200 x ? 40000) ? ? x 2 ? 500 x ? 40000 ? 0 ???10 分
即 100 ? x ? 400 ?????12 分 由题意可知 0 ? x ? 300 ,所以当 100 ? x ? 300 时,该单位每月不亏损?????14 分

1 2 x ? ax ?????2 分 4 1 因为关于 x 的不等式 f ( x) ? 0 的解集为 (?2,0) ,所以 a ? ?????3 分 2 1 2 1 即函数 y ? f ( x) 的解析式为 f ( x) ? x ? x ?????4 分 4 2 1 1 (2)因为点列 (an , S n ) n ? N * ) 在函数 y ? f ( x) 的图象上,所以 Sn ? an 2 ? an ( 4 2 1 1 1 1 即 所以 ????? n ? 1 代入,a1 ? S1 ? a12 ? a1 , a12 ? a1 ? 0, 因为 a1 ? 0 , a1 ? 2 ; 4 2 4 2

22、解: (1)由条件可知, f ( x) ?

6分 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ?

1 2 1 1 1 an ? an ? an ?12 ? an ?1 , 4 2 4 2

化简得: (an ? an ?1 )(an ? an ?1 ? 2) ? 0 ?????8 分 因为 an ? 0, 所以 an ? an ?1 ? 2 ,即数列 ?an ? 为等差数列,且 an ? 2n (n ? N * ) ????? 10 分 则 bn ? 22 n ? 4n ,所以 lim

2bn ? 1 2 ? 4n ? 1 ? lim n ? 2 ?????12 分 n ?? b ? 2 n ?? 4 ? 2 n
(a1 ? a19 )10 ? 200 ?????14 2

(3) n 为奇数时, c1 ? c3 ? ? ? c19 ? a1 ? a3 ? ? ? a19 ?



n 为偶数时, c2 ? c4 ? c6 ? c8 ? ? ? c20 ? c1 ? c2 ? c3 ? c4 ? ? ? c10
? 4c1 ? 2c3 ? 2c5 ? c7 ? c9 ? 72 ?????16 分
所以,数列 ?cn ? 的前 20 项之和为 200+72=272?????18 分

23、解: (1)因为 f ( f ( x)) ? ?(? x ? 1) ? 1 ? x ,所以 f ( x) ? M ?????2 分
同理 g ( g ( x)) ? 2(2 x ? 1) ? 1 ? 4 x ? 3 ,所以 g ( x) ? M ?????4 分 (2)因为 f ( x) ? log 2 (1 ? 2 x ) ,所以 x ? ? ??, 0 ? , f ( x) ? ? ??, 0 ? ?????5 分 函数 f ( x) 的反函数 f ?1 ( x) ? log 2 (1 ? 2 x ) ( x ? 0) ?????6 分 又 因
?1


x

f ?1 ( f ?1 ( x)) ? log 2 (1 ? 2 f
?????9 分 所以 f
?1

( x)

) ? log 2 (1 ? 2log2 (1?2 ) ) ? log 2 (1 ? (1 ? 2 x )) ? log 2 2 x ? x

( x) ? M ?????10 分
ax ? M ,所以 f ( f ( x)) ? x 对定义域内一切 x 恒成立, x?b

(3)因为 f ( x) ?

ax x ? b ? x ? a 2 x ? ax 2 ? bx 2 ? bx ? (a 2 ? b 2 ) x ? (a ? b) x 2 恒成立 即 ax ?b x?b 所以 a ? b ? 0 ?????12 分 ax (a ? 1) x ? a 由 f ( x) ? 1,得 ?1 ? 0 ? ? 0 ?????13 分 x?a x?a 1 若 a ? 1, 则 ? 0 ,所以 x ? (??,1) ?????14 分 x ?1 a x? 1 ? a ? 0, 且 a ? a ,所以 x ? (??, a) ? ( a , ??) ?????16 若 0 ? a ? 1 ,则 1? a 1? a x?a a?


a 1 ? a ? 0, 且 a ? a ,所以 x ? ( a , a) ?????18 分 若 a ? 1 ,则 1? a 1? a x?a x?


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