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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年高中数学苏教版选修 离散型随机变量的方差与标准差


2.5.2

2.5.2
【学习要求】

离散型随机变量的方差与标准差

1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.
本 课 时 栏 目 开 关

2.能计算简单离散型随机变量的方差,并能解决一些实际问题. 3.掌握方差的性质,以及两点分布、二项分布、超几何分布的 方

差的求法,会利用公式求它们的方差. 【学法指导】 1.通过实例理解离散型随机变量的方差的意义,通过例题体会 方差在解决实际问题中的应用. 2.要善于将实际问题转化为数学问题来解决,通过模仿建立起 数学建模的思维常识.

填一填·知识要点、记下疑难点

2.5.2

1.离散型随机变量的方差、标准差
本 课 时 栏 目 开 关

设离散型随机变量 X 的概率分布为 X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn

则(xi-E(X))2 描述了 xi(i=1,2,…,n)相对于均值 E(X)的 n ∑ (xi-E(X))2pi 偏离程度,而 V(X)= i=1 为这些偏离程度的 加权平均, 刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的平均偏离程 度. 我们称 V(X)为离散型随机变量 X 的 方差 , 并称其算 术平方根 V?X?为离散型随机变量 X 的 标准差 .

填一填·知识要点、记下疑难点

2.5.2

2.离散型随机变量方差的性质
2 (1)设 a,b 为常数,则 V(aX+b)= a V(X) ;

本 课 3.服从两点分布与二项分布及超几何分布的随机变量的方差 时 栏 (1)若 X 服从两点分布, V(X)= p(1-p) (其中 p 为成功 则 目 开 概率); 关

(2)V(c)=0(其中 c 为常数).

(2)若 X~B(n,p),则 V(X)= np(1-p) ;

nM?N-M??N-n? (3)若 X~H(n,M,N),则 V(X)= . 2 N ?N-1?

研一研·问题探究、课堂更高效

2.5.2

探究点一
本 课 时 栏 目 开 关

方差、标准差的概念及性质

问题 1

某省运会即将举行,在最后一次射击选拔比赛中,甲、

乙两名运动员各射击 10 次,命中环数如下: 甲运动员:7,8,6,8,6,5,8,10,7,5; 乙运动员:9,5,7,8,7,6,8,6,7,7. 观察上述数据,两个人射击的平均成绩是一样的.那么,是 否两个人就没有水平差距呢?如果你是教练,选哪位选手去 参加正式比赛?

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2.5.2


本 课 时 栏 目 开 关

x 甲= x 乙=7,利用样本的方差公式 1 2 s = [(x1- x )2+(x2- x )2+…+(xn- x )2],求得: n
2 s2 =2.2, s乙=1.2. 甲

∴乙成绩较稳定,选乙参加比赛.

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2.5.2

问题 2 类比样本方差、标准差的概念,能否得出离散型随机变 量的方差、标准差?

本 课 时 栏 目 开 关

方差: 对于离散型随机变量 X, 如果它所有可能取的值是 x1,

x2, xi, xn, …, …, 且取这些值的概率分别是 p1, 2, pi, n, p …, …p 那么,V(X)=(x1 -E(X))2·1 +(x2 -E(X))2·2 +…+(xi -E(X))2·i p p p +…+(xn-E(X))2·n p 称为离散型随机变量 X 的方差, 式中的 E(X)是离散型随机变量 X 的均值. 标准差:V(X)的算术平方根 V?X?叫做离散型随机变量 X 的标准 差,记作 σ= V?X?.

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2.5.2

问题 3 随机变量的方差与样本的方差有何不同?

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样本的方差是随着样本的不同而变化的, 因此它是一个随

机变量,而随机变量的方差是通过大量试验得出的,刻画了随 机变量 X 与其均值 E(X)的平均偏离程度,因此它是一个常量 而非变量. 问题 4 方差、标准差的单位与随机变量的单位有什么关系?
答 方差的单位是随机变量单位的平方;标准差与随机变量 本身有相同的单位.

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2.5.2

问题 5 我们知道若一组数据 xi(i=1,2,…,n)的方差为 s2,那 么另一组数据 axi+b(a、b 是常数且 i=1,2,…,n)的方差为
本 课 时 栏 目 开 关

a2s2.离散型随机变量 X 的方差是否也有类似性质? 答 同样具有.
方差的性质:V(aX+b)=a2V(X).

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例 1

2.5.2

随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均

值、方差和标准差.

解 抛掷骰子所得点数 X 的概率分布为
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X 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 P 6 6 6 6 6 6 1 1 1 1 1 1 从而 E(X)=1×6+2×6+3×6+4×6+5×6+6×6=3.5; 1 1 1 1 2 2 2 2 V(X)=(1-3.5) ×6+(2-3.5) ×6 +(3-3.5) ×6+(4-3.5) ×6 1 1 2 2 +(5-3.5) × +(6-3.5) × ≈2.92, 6 6
V?X?≈1.71.

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2.5.2

小结

充分应用离散型随机变量的均值和方差的定义及性质来

解题. 在应用方差定义求解时, 特别要注意, 在(xi-E(X))2pi 中,
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极易把(xi-E(X))2 的平方漏掉,产生错误.

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跟踪训练 1 已知随机变量 ξ 的概率分布为 ξ P
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2.5.2

0 1 2

1 1 3

x p

2 若 E(ξ)= . 3 (1)求 V(ξ)的值; (2)若 η=3ξ-2,求 V?η?的值. 1 1 1 解 ∵2+3+p=1,∴p=6. 1 1 1 2 又 E(ξ)=0×2+1×3+x×6=3.∴x=2. ? 2? 2 1 ? 2? 2 1 ? 2?2 1 15 5 故(1)V(ξ)=?0-3? ×2+?1-3? ×3+?2-3? ×6=27=9. ? ? ? ? ? ?
(2)∵η=3ξ-2,∴V(η)=V(3ξ-2)=9V(ξ), ∴ V?η?= 9V?ξ?= 5.

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2.5.2

探究点二


两点分布与二项分布的方差

问题 若随机变量 X~B(n,p),怎样计算 V(X)?两点分布呢?
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若 X~B(n,p),可以直接利用公式 E(X)=np 计算均值;

利用公式 V(X)=np(1-p)计算方差. 两点分布是二项分布当 n=1 时的特例.E(X)=p,V(X)=p(1 -p).

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2.5.2

例 2 在某地举办的射击比赛中,规定每位射手射击 10 次,每次一 发.记分的规则为:击中目标一次得 3 分;未击中目标得 0 分; 并且凡参赛的射手一律另加 2 分.已知射手小李击中目标的概率
本 课 时 栏 目 开 关

为 0.8,求小李在比赛中得分的数学期望与方差. 解 用 ξ 表示小李击中目标的次数,η 表示他的得分.则由题
意知 ξ~B(10,0.8),η=3ξ+2.
因为 E(ξ)=10×0.8=8,V(ξ)=10×0.8×0.2=1.6,
所以 E(η)=E(3ξ+2)=3E(ξ)+2=3×8+2=26(分), V(η)=D(3ξ+2)=32×V(ξ)=9×1.6=14.4. 小结 解决本题的关键是建立二项分布模型,搞清随机变量的 含义,利用公式简化解题过程.

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跟踪训练 2

2.5.2

一出租车司机从某饭店到火车站途中有六个交通

岗,假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的,并且 1 概率是 . 3
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(1)求这位司机遇到红灯数 ξ 的期望与方差; (2)若遇上红灯,则需等待 30 秒,求司机总共等待时间 η 的期望 与方差.
解 (1)易知司机遇上红灯次数 ξ 服从二项分布, 1 1 且 ξ~B(6,3),∴E(ξ)=6×3=2, 1 1 4 V(ξ)=6×3×(1-3)=3. (2)由已知 η=30ξ,
∴E(η)=30E(ξ)=60(秒),V(η)=900V(ξ)=1 200.

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2.5.2

探究点三

均值、方差的综合应用

问题 实际问题中,均值和方差对我们的一些决策有何作用?
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答 利用均值和方差的意义可以分析、解决实际问题,也就是当 我们希望实际的平均水平比较理想时,则先求它们的均值,但不 要误认为均值相等时,它们都一样好,这时,还应看它们相对于 均值的偏离程度, 也就是看哪一个相对稳定(即计算方差的大小), 稳定者就更好,如果我们希望比较稳定时,这时应先考虑方差, 再考虑均值是否相当接近即可.

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2.5.2

例 3 有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息: 甲单位不同职位月 工资 X1/元
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1 200 0.4

1 400 0.3

1 600 0.2

1 800 0.1

获得相应职位的概率 P1 乙单位不同职位月 工资 X2/元 获得相应职位的概率 P2

1 000 0.4

1 400 0.3

1 800 0.2

2 200 0.1

根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位?

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解 根据月工资的分布列,利用计算器可算得

2.5.2

E(X1)=1 200×0.4+1 400×0.3+1 600×0.2+1 800×0.1=1 400,
V(X1)=(1 200-1 400)2×0.4+(1 400-1 400)2×0.3+(1 600-
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1 400)2×0.2+(1 800-1 400)2×0.1=40 000; E(X2)=1 000×0.4+1 400×0.3+1 800×0.2+2 200×0.1= 1 400, V(X2)=(1 000-1 400)2×0.4+(1 400-1 400)2×0.3+(1 800- 1 400)2×0.2+(2 200-1 400)2×0.1=160 000.
因为 E(X1)=E(X2),V(X1)<V(X2),所以两家单位的工资均值相等, 但甲单位不同职位的工资相对集中,乙单位不同职位的工资相对 分散.这样,如果你希望不同职位的工资差距小一些,就选择甲 单位;如果你希望不同职位的工资差距大一些,就选择乙单位.

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2.5.2

小结

实际问题中,决策方案的最佳选择是将数学期望最大的

方案作为最佳方案加以实施;如果各种方案的数学期望相同时,
本 课 时 栏 目 开 关

则应根据它们的方差来选择决策方案,至于选择哪一方案由实 际情况而定.

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2.5.2

跟踪训练 3 甲、 乙两个野生动物保护区有相同的自然环境, 且 野生动物的种类和数量也大致相等,而两个保护区内每个季度 发现违反保护条例的事件次数的概率分布分别为
本 课 时 栏 目 开 关

ξ P

0 0.3

1 0.3

2 0.2

3 0.2

η P

0 0.1

1 0.5

2 0.4

试评定这两个保护区的管理水平.

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解 甲保护区违规次数 ξ 的数学期望和方差分别为 E(ξ)=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3; V(ξ)=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2-1.3)2×0.2+
本 课 时 栏 目 开 关

2.5.2

(3-1.3)2×0.2=1.21.
乙保护区的违规次数 η 的数学期望和方差分别为 E(η)=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3; V(η)=(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2×0.4=0.41.

因为 E(ξ)=E(η),V(ξ)>V(η),所以两个保护区内每个季度发生的 违规事件的平均次数相同,但甲保护区的违规事件次数相对分 散和波动,乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定.

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2.5.2

本 课 时 栏 目 开 关

1.同时抛掷两枚均匀的硬币 10 次,设两枚硬币同时出现反面
15 8 的次数为 ξ,则 V(ξ)=________.

解析

? 1? ξ~B?10,4?, ? ?

1 ? 1? 15 ∴V(ξ)=10× ×?1-4?= . 4 ? 8 ?

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2.5.2

4 2. 设随机变量 X 的方差 V(X)=1, V(2X+1)的值为________. 则
解析 V(2X+1)=4V(X)=4×1=4.
本 课 时 栏 目 开 关

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2.5.2

3.已知离散型随机变量 X 的可能取值为 x1=-1,x2=0,x3 =1,且 E(X)=0.1,V(X)=0.89,则对应 x1,x2,x3 的概率

0.1 0.5 p1,p2,p3 分别为________,________,________. 0.4
本 课 时 栏 目 开 关

解析 由题意知,-p1+p3=0.1, 1.21p1+0.01p2+0.81p3=0.89. 又 p1+p2+p3=1,解得 p1=0.4,p2=0.1,p3=0.5.

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2.5.2

4.已知 X 的概率分布为 X P
本 课 时 栏 目 开 关

-1 1 2

0 1 3

1 1 6

(1)求 E(X),V(X); (2)设 Y=2X+3,求 E(Y),V(Y).
解 (1)E(X)=x1p1+x2p2+x3p3 1 1 1 1 =(-1)×2+0×3+1×6=-3;
5 V(X)=(x1-E(X)) p1+(x2-E(X)) p2+(x3-E(X)) p3= ; 9 7 20 (2)E(Y)=2E(X)+3= ,V(Y)=4V(X)= . 3 9
2 2 2

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2.5.2

1.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定与 波动、集中与离散的程度,以及随机变量取值偏离于均值 的平均程度.方差 V(X)或标准差越小,则随机变量 X 偏离
本 课 时 栏 目 开 关

均值的平均程度越小;方差越大,表明平均偏离的程度越 大,说明 X 的取值越分散. 2.求离散型随机变量 X 的均值、方差的步骤 (1)理解 X 的意义,写出 X 的所有可能的取值; (2)求 X 取每一个值的概率; (3)写出随机变量 X 的概率分布; (4)由均值、方差的定义求 E(X),V(X). 特别地,若随机变量服从两点分布或二项分布,可根据公 式直接计算 E(X)和 V(X).


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