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第2章 测量坐标系和高程(130301)


第二章 测量坐标系和高程

数字测图原理

第二章 测量坐标系和高程
第一节 地球形状和大小
一.地球自然形体 不规则的几何体。

需要寻找一个理想的几何体代表地球的形状 和大小,该几何体必须满足两个条件: ① 形状接近地球自然形体;
② 可以用简单的数学公式表示。

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二.大地体

铅垂线 地球上任一点的重力方向线。是测量外 业工作的基准线。 水准面 自由静止的水面。
特性 处处与重力方向(铅垂线方向)垂直的 连续曲面,有无数多个。

水平面 与水准面相切的平面。 大地水准面 通过平均海水面的水准面。是测量 外业工作的基准面。

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大地体 大地水准面所包围的地球形体。不满足 第二个条件。

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三.地球椭球体(参考椭球体)

参考椭球面

大地水准面

参考椭球体 一个非常接近 b 大地体,并可用数学式表示的 a 几何形体即旋转椭球,作为地 球的参考形状和大小;其外表 面为参考椭球面。参考椭球面 是球面坐标系的基准面、是测量计算的基准面。

参考椭球体是一个椭圆绕其短轴旋转而形成的形 体,故又称旋转椭球体。

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旋转椭球体由长半轴 a (或短半轴 b )和扁率 f 决 N 定。
我国目前采用的 1975年
b

国际椭球,元素值为:
长半轴 6378140m 扁 率
f ? a ?b 1 ? a 298.257

α

O

a

S

( 地球椭球几何参数见书上P8表2-1)。

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四.地球圆球

由于参考椭球体的扁率很小,当测区面积不 大时,在普通测量中可把地球近似看做圆球体。 地球半径
1 R ? ( a ? a ? b) ? 6371km 3

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第二节 测量坐标系 一. 测量常用坐标系 1.大地坐标系 以参考椭球面作为基准面,以起 始子午面和赤道面作为在椭球面上确定某一点投影 位置的两个参考面。用大地经度L和大地纬度 B表示 该点的大地坐标。可表示为 P( L, B) 。
大地经度( L) 通过某点 (P)的子午面与起始子午 面的夹角。

大地纬度( B) 在椭球面上的某一点 (P)作一个与 椭球体相切的平面,过该点作垂直于此平面的直线, 这条直线称为该点的法线(Pp),此法线与赤道面 的交角为该点的大地纬度。

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大地经度、大地纬 度是以法线为依据的, 即以参考椭球面作为基 准面。
起始子午面

过P点的子午面 N
P

W

Op B L

E

格林尼治天文台起始子午线

S

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某点的大地经度L 、大地纬度B可用天文观测方 法得到该点的天文经度λ、天文纬度φ,再利用该点 的法线和铅垂线的相对关系(称为垂线偏差)改算为 大地经度L、大地纬度B,在一般的测量工作中可以不 考虑这种变化。

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2.空间直角坐标系 坐标系的原点设在椭球 的中心 O ,起始子午面与赤道 面交线为 X 轴,赤道面上与 X 轴正交的方向为 Y 轴,椭球体 的旋转轴为 Z 轴,构成右手直 角坐标系O-XYZ。

y x
z

p

WGS-84坐标系为全球 定位系统(GPS)采用得坐 标系,属地心空间直角坐 标系。

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3. 独立平面直角坐标系 适用于小区域( S ? 100km2),可把球面看成平面。 x 轴为纵轴,一般用于表示南北(子午线)方向, 以y轴为横轴,表示东西方向。表示为 A( x, y) 。
x
A( x, y )

y o

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与数学平面直角坐标系比较: ① x、y轴的位置不同;
② 象限排列顺序不同; ③ 三角函数公式通用。
y



Ⅰ x





测量平面直角坐标系(左手系)

数学平面直角坐标系(右手系)

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二.参考椭球定位 确定参考椭球面与大地 水准面的相关位置,使参考 椭球面在一个国家或地区范 围内与大地水准面最佳拟合, 称为参考椭球定位。

1954北京坐标系,采用克拉索夫斯基椭球体,大 地原点位于前苏联的普尔卡沃天文台。 1980年国家大地坐标系,采用1975年国际大地测 量与地球物理联合会推荐的椭球体,大地原点(大地 基准点)位于陕西咸阳市泾阳县永乐镇石际寺村 。 是国家平面控制网中推算大地坐标的起标点。

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(补充复习地图投影知识) 三. 高斯—克吕格平面直角坐标系
高斯—克吕格投影

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投影特点

1.中央经线投影后为直线,其长度不变形,其余 经线投影后均为凹向中央经线的一系列对称曲线,离 中央经线愈远,其长度变形愈大。 2.赤道投影后也为直线,且与中央经线垂直,其 余纬线投影后均为凸向赤道的一系列对称曲线。
3.经线和纬线投影后,仍然保持互相垂直的特点, 即无角度变形。

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投影带 球面上图形变为平面上的图形会发生变形。 为了控制长度变形需要进行分带。
1. 6°带:从0°子午线起,自西向东共分60个带
东经 带号
中央子午线

0°- 6°,……, 1 ,……,

6(N-1)-6N N



,……,

L0=6N-3

我国6°带的带号:13-23

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2. 3°带:共有120个带
东经1.5°- 4.5°,……, (3n-1.5)-(3n+1.5)

带号
中央子午线

1 3°

,……, ,……,

n l0=3n

我国3°带的带号:24-45

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投影带的号数和中央经线的计算方法
L N? ? (取商的整数) ?1 (6°带的带号) 6 L (3°带的带号) n? ? (按商的余数四舍五入) 3 ? ? (6°带中央经线) L0 ? 6 N ? 3 l 0 ? 3? n
(3°带中央经线)

式中:L为某点的大地经度。

数字测图原理 高斯--克吕格平面直角坐标系的形成
X 轴 -- 中央子午线的投影; Y′轴 -- 赤道投影; X⊥Y′;A( X、Y′) 。Y′称为横坐标的自然值。
西移

(X,Y′)

为 了 使 Y′不出现负 值, X 轴西移 500 公里,形 成XOY 坐标系。 A(X,Y)

国家统一坐标



Y=带号 + Y′+ 500000米 Y 称为横坐标的通用值。

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例1:已知:YA=18 267135米 求:(1)L0, (2) Y′

解:(1) L0 =6N-3=6×18-3 =1050(东经) (2)Y′= Y-500000 =267135-500000
=-232865米

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例 2:已知在赤道附近某点为东经 104° 30′,设赤道 上 1°弧长为111公里,求:该点在6 °和 3°带中的通 用值。 解:(1)在6°带中: L0 =6N-3 ∴ N=(λ+3)/6=(104.5°+3)/6

=17.9≈18带
∴ L0 =6×18-3=105°

Y′=(104.5°-105)×111
=-55.5KM Y=带号 + Y′+ 500000米=18 444 500米

(2)在3°带中:Y = 35 444 500米

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四. 通用横轴墨卡托投影 (UTM投影) 为横轴等角割圆柱投影。

投影后中央经线投影长度 比不等于1,等于0.9996;

两条割线上没有变形,离开两条割线越远变形越大, 在两条割线以内变形为负,在两条割线以外变形为正; 平面直角坐标系与高斯投影相同,且和高斯投影坐 标有一个简单的比例关系,因此有的文献上也称其为长 度比m0=0.9996的高斯投影。 该投影的分带是将全球划分 60个投影带。

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第三节 高程

空间某点沿投影方向到高程基准面的铅垂距离, 称为高程( H)。高程基准面不同,高程系统也不同。 在一般测量工作中以大地水准面作为高程基准面。
A
H? A
HA

h AC
? HC

C

假定水准面
HC

大地水准面

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绝对高程(海拔) 某点沿铅垂线方向到大地水 准面的距离。如: H A 、H C

相对高程 某点沿铅垂线方向距任意一水准面的 ?、 ? 距离。如: HC H
A

高差 地面上两点高程之差。
如:h ? H ? H ? H ? ? H ? AC C A C A 当 hAC 为正时,C点高于A点; 当 hAC 为负时,C点低于A点。

数字测图原理 我国的高程基准 由青岛验潮站艳潮结果推算 的黄海平均海水面作为我国高程 起算的基准面。
水准原点 位于青岛市观象山,是我国 高程的起算点。

1956年黄海高程系:水准原 点高程为72.289m ; 1985年国家高程基准:水准 原点高程为72.260m。

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第四节 用水平面代替水准面的限度 一.水准面的曲率对水平距离的影响
水准面上弧长为S,其所对圆心角为θ,地球 的半径为R。水平面上直线长为t,其误差为ΔS。

?S ? AC ? AB ? t ? S
AC ? t ? Rtan? AB ? S ? R? ?

1 S3 ?S ? 3 R2 ?S 1 S 2 相对误差值: S ? 3 ( R )

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在上式中取R=6371km,则 当S=3.16km时, 当S=10km时, 当S=20km时,
当S=50km时,
?S 1 ? S 12194000

?S 1 (小于目前精密距离 ? S 1217700 测量的容许误差。)

?S 1 ? S 304400

?S 1 ? S 48710

结论 在半径为10km的圆面积内进行长度的测 量时,可以不必考虑地球曲率的影响,即可 把水准面当作水平面看待。

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二.水准面的曲率对水平角度的影响 由球面三角学可知,同一个空间多边形 在球面上投影的各内角之和,较其在平面上 投影的各内角之和大一个球面角超ε的数值。 其公式为: P ? ?? ? ? ?? 2 R
式中: ? ?? 为以秒计的弧度;
P 为球面多边形面积; R 为地球半径。

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当P=10km2时, ? ?? ? 0.05?? 当P=100km2时, ? ?? ? 0.51??

当P=400km2时, ? ?? ? 2.03?? 当P=2500km2时, ? ?? ? 12.71?? 结论 对于面积在100km2以内的多边形,地球
曲率对水平角的影响只有在最精密的测量中

才需要考虑,一般测量工作不必考虑。

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三.对高差的影响
以水准面为基准面认为 A、 B同高;以水平面为基准面认 为A、C同高。

实际上相差 当S=1km时,

?h ? OC ? OB ? S

2

2R

?h ? 7.8 cm

当S=100m时, ?h ? 0.78 mm 结论 地球曲率的影响对高差而言,即使在很短 的距离也必须加以考虑。

推导过程
由图得知 ( R ? ?h) 2 ? R 2 ? t 2 即
2 R ? ?h ? (?h) 2 ? t 2 t2 ?h ? 2 R ? ?h

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考虑用 S 代替 t ,同时 忽略 ?h ,上式可写成 S2 ?h ? 2R

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综上所述,在面积为100km2的范围内,不 论是进行水平距离或水平角测量,都可不考虑 地球曲率的影响,在精度要求较低的情况下, 这个范围还可以相应扩大。但地球曲率对高差 的影响是不能忽视的。

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第五节 方位角 一、基本方向(三北方向)
真北 通过地球表面某一点的 真子午线的切线北端所指的方向。 用天文测量方法或陀螺经纬仪测定。 磁北 在地球磁场的作用下, 磁针自由静止时其轴线所指的方向。 用罗盘仪测定。
坐标北 在一坐标系中,其坐 标纵轴正向所指的方向。

数字测图原理 二、磁偏角与子午线收敛角
子午线收敛角γ 地面上某点的中央 子午线(坐标北)与真子午线之间的 夹角,用“γ”表示。

磁偏角δ 地面上某点的真子午线 方向与磁子午线方向之间的夹角,用 “δ”表示。 δ 、γ的符号规定相同, 磁北和坐标北在真北方向东侧 时为正;西侧时为负。

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三、方位角
由直线一端的基本方向起,顺时针量至直线的 水平角为该直线的方位角。取值范围0°~360°。 由于基本方向不同,因此有真方位角A、磁方位 角Am、坐标方位角α。

方位角之间的相互换算
A ? Am ? ?

A ?? ??

? ? Am ? ? ? ? ? Am ? ?

Am

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正、反坐标方位角
一条直线的坐标方位角,由于起始点不同而存 在两个值,即正、反坐标方位角。
同一直线上的各点坐标方位角相等,且正、反 坐标方位角相差180°。

? 21 ? ?12 ? 180?

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(补充角度单位 ) 1.60进位制的度
2.弧度
1圆周角=2?? (弧度)= 360 (度) 360 1? ? ? 57 .3 (度) 2? 180 ? ? 1? ? ? 60? ? 3438 (分)

?

1? ?? ?

180

?

?? ? 60? ? 60?? ? 206265 (秒)


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