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2012年浙江省高中数学竞赛试题及答案(word版本)


2012 年浙江省高中数学竞赛试题 总分 200 分
一、选择题(50 分) 1、已知 i 是虚数单位,则复数

1 ? 2i i?2 i

=(



A i

B

?i

C

?

4 5

?

3 5

D ?

4 5

?

3 5

i


2、下列函数中,既是奇函数,又是在区间 ( ? ? , ? ? ) 上单调递增的函数是( A y ? x ? x
2

B

y ? x ? 2 sin x

C

y ? x ? x
3

D y ? tan x

? ? ? ? ? 5? )的 3、 已知 a , b 均为单位向量, 其夹角为 ? , 则命题 p : a ? b ? 1 是命题 q : ? ? [ , 2 6
( ) A 充分非必要条件 C 充要条件 4、已知集合 P ? B 必要非充分条件 D 非充分非必要条件

? x |1 ?

x ? 2 ? , M ? ? x | 2 ? a ? x ? 1 ? a ? ,若 P ? M ? P ,则实

数 a 的取值范围是( A

) C

( ? ? ,1]

B

[1, ? ? )

[ ? 1,1]

D

[ ? 1, ? ? )

5、函数 y ?

3 2

s in ( x ?

?
2

) ? cos(

?
6

? x ) 的最大值是(



A

13 4

B

13 4

C

13 2

D

13

6 、如图 ,四棱 锥 S ? A B C D 的底 面是 正方形 , S D ? 底 面 A B C D ,则下列结论中不正确的是( ) A C D

AB ? SA

B

B C ? 平面 S A D

B C 与 S A 所成的角等于 A D 与 S C 所成的角 S A 与平面 S B D 所成的角等于 S C 与平面 S B D 所成的角
2

7、程序框图如图所示,若 f ( x ) ? x , g ( x ) ? lo g 2 x ,输入 x 的 值为 0.25,则输出的结果是( A )

0 .2 4 B ? 2 C 2 D ? 0 .2 5 ? ? 8、设 i , j 分别表示平面直角坐标系 x , y 轴上的单位向量,且

? ? ? ? a?i ? a?2j ?

? ? 5 ,则 a ? 2 i 的取值范围是(



A

[2

2 , 3]

B

[

6 5 5

,2

2]
2

C

[ 5 , 4]
2

D

[

6 5 5

, 3]

9、已知 F1 , F 2 分别为双曲线 C :

x

?

y

? 1 的左右焦点,点 A 的坐标为 (


9 2

,

135 2

),

9

27

则 ? F1 A F 2 的平分线与轴的交点 M 的坐标为( A

(2, 0)

B
2

(?2, 0)

C

(4, 0)

D

(?4, 0)


10、设 f ( x ) ? x ? b x ? c ,若方程 f ( x ) ? x 无实根,则方程 f ( f ( x )) ? x ( A 有四个相异实根 C 有一个实根 二、填空题(共 49 分) B 有两个相异实根 D 无实数根

11、 设直线 y ? a x ? 4 与直线 y ? 8 x ? b 关于直线 y ? x 对称, a ? _ _ _ , b ? _ _ _ _ . 则

12、已知

1 ? cos x 1 ? cos x

? s in x ,则 x ? _ _ _ _ _ _ _ .

13、已知 x ? R ,则

x ( x ? 1) ? a rc sin (
2 2

x ? x ? 1 ) 的值为_______.
2

14 、 已 知 实 数 a , b , c , d 满 足 a b ? c ? d _______.

? 1 , 则 ( a ? c ) ? (b ? d ) 的 最小值 为
2 2

15、设数列 ? a n ? 为等比数列,且每项都大于 1,则 lg a 1 lg a 2 0 1 2 ? _______.

2011

1 lg a i lg a i ? 1

的值为

i ?1

(x ?
16、设 x ? 0 ,则 f ( x ) ?

1 x 1 x

) ? (x ?
4 4

1 x 1 x
4

)
的最小值为_______.

(x ?

) ? (x ?
3 3

3

)
4017 4015 2014 9 2012 11

17、如图是一个残缺的 3 ? 3 幻方,此幻方每一行每一列及每一 条对角线上得三个数之和有相等的值,则 x 的值为_______.

三、解答题(每题 17 分,共 51 分)

18、 已知实数 x1 , x 2 , ? , x1 0 满足 ? | x i ? 1 | ? 4 , ? | x i ? 2 | ? 6 ,求 x1 , x 2 , ?, x10 的平
i ?1 i ?1

10

10

均值.

19、设 P 为椭圆
2 2

x

2

?

y

2

? 1 长轴上一个动点,过点 P 斜率为 k 直线交椭圆于两点。若

25
PA

16

? P B 的值仅仅依赖于 k 而与 P 无关,求 k 的值.

? 20 、 设 p , q
(p ?
2 n

?

Z , 且 p ? q
N
2

2

。 试 证 对 n? Z
2 n

?

, 存 在 N ?Z

?

, 使

p ? q) ? N ?

? q 且( p ?
n

p ? q) ? N ?

N

2

?q

n

.

四、附加题(每题 25 分,共 50 分) 。 21、设圆 O 4 与 O 1 ,圆 O 1 与 O 2 ,圆 O 2 与 O 3 ,圆 O 3 与 O 4 分别外切于 P1 , P2 , P3 , P4 ,试 证: (1) P1 , P2 , P3 , P4 四点共圆; ( 2 ) 四 边 形 O 1O 2 O 3 O 4 是 某 个 圆 的 外 切 四 边 形 ; 并 且 该 圆 的 半 径 不 超 过 四 边 形

P1 , P2 , P3 , P4 的外接圆的半径.

22、设 i1 , i 2 , ? , i1 0 为 1, 2, ? ,1 0 的一个排列,记 S ? i1 ? i 2 ? i3 ? i 4 ? ? ? i9 ? i1 0 , 求 S 可以取到的所有值.


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