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角的概念推广(一)


优质课教案

角的概念推广(一)

上蔡县第二高级中学

冀红丽

角的概念推广(一)
教学目的: 1.掌握用“旋转”定义角的概念,理解并掌握“正角” “负角” “象限角” “终边相同 的角”的含义
王新敞
奎屯 新疆

2. 掌握所有与α 角终边相

同的角(包括α 角)的表示方法 3.体会运动变化观点,深刻理解推广后的角的概念; 教学重点:理解并掌握正角负角零角的定义,掌握终边相同的角的表示方法.教学难点: 终边相同的角的表示. 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 内容分析: 本节主要介绍推广角的概念,引入正角、负角、零角的定义,象限角的概念,终边 相同的角的表示方法. 树立运动变化的观点,理解静是相对的,动是绝对的,并由此深 刻理解推广后的角的概念. 教学方法方法可以选为讨论法,通过实际问题,教师抽象并 通过用几何画板多媒体课件演示角的形成更加形象直观,如螺丝扳手紧固螺丝、时针与 分针、车轮的旋转等等,都能形成角的概念,给学生以直观的印象,形成正角、负角、 零角的概念,明确“规定”的实际意义,突出角的概念的理解与掌握. 通过具体问题, 让学生从不同角度作答,理解终边相同的角的概念,并给以表示,从特殊到一般,归纳 出终边相同的角的表示方法,达到突破难点之目的. 教学过程: 一、复习引入: 1.复习:初中是如何定义角的? 从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形
王新敞
奎屯 新疆

这种概念的优点是形象、直观、容易理解,但它是从图形形状来定义角,因此角的 范围是 [0 ,360 ] ,这种定义称为静态定义,其弊端在于“狭隘” 2.生活中很多实例会不在改范围 [0 ,360 ] 体操运动员转体 720?,跳水运动员向内、向外转体 1080? 经过 1 小时时针、分针、秒针转了多少度? 这些例子不仅不在范围 [0 ,360 ] , 而且方向不同, 有必要将角的概念推广到任意角, 想想用什么办法才能推广到任意角?(运动)
1
0 0 0 0 0 0
王新敞
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二、讲解新课: 1.角的概念的推广 ⑴角的定义:“旋转”形成角

B O

α

A

一条射线由原来的位置 OA,绕着它的端点 O 按逆时针方向旋转到另一位置 OB,就形 成角α.旋转开始时的射线 OA 叫做角α的始边,旋转终止的射线 OB 叫做角α的终边, 射线的端点 O 叫做角α的顶点. 突出“旋转” 注意:“顶点”“始边”“终边” ⑵角的分类:“正角”与“负角”“0 角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角,把按顺时针方向旋转所形成的角叫 做负角,如图,以 OA 为始边的角α =210°,β =-150°,γ =660°,
6600

2100

-1500

特别地,当一条射线没有作任何旋转时,我们也认为这时形成了一个角,并把这个 角叫做零角.记法:角 ? 或 ?? 可以简记成 ?
王新敞
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说明:零角的始边和终边重合。 ⑶意义 用“旋转”定义角之后,角的范围大大地扩大了 1? 角有正负之分 2? 角可以任意大 实例:体操动作:旋转 2 周(360?×2=720?) 3 周(360?×3=1080?) 3? 还有零角 一条射线,没有旋转 如:?=210? ?=?150?
王新敞
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?=660?

角的概念推广以后,它包括任意大小的正角、负角和零角.要注意,正角和负角是 表示具有相反意义的旋转量,它的正负规定纯系习惯,就好象与正数、负数的规定一样, 零角无正负,就好象数零无正负一样. 2.象限角
2

为了研究方便,我们往往在平面直角坐标系中来讨论角 (1)象限角:角的顶点合于坐标原点,角的始边合于 x 轴的正半轴,这样一来,角的 终边落在第几象限,我们就说这个角是第几象限的角 (2)非象限角(也称象限间角、轴线角) :角的终边落在坐标轴上,则此角不属于任 何一个象限 例如:30?、390?、?330?是第Ⅰ象限角,300?、?60?是第Ⅳ象限角,585?、1180?是 第Ⅲ象限角,?2000?是第Ⅱ象限角等 3.终边相同的角 ⑴观察:390?,?330?角,它们的终边都与 30?角的终边相同 ⑵探究:终边相同的角都可以表示成一个 0?到 360?的角与 k (k ? Z ) 个周角的和: 390?=30?+360? ?330?=30??360? 30?=30?+0×360? 1470?=30?+4×360? ?1770?=30??5×360?
王新敞
奎屯 新疆

(k ? 1)

(k ? ?1)
(k ? 0) (k ? 4)

(k ? ?5)

⑶结论:所有与?终边相同的角连同?在内可以构成一个集合:

S ? ? | ? ? ? ? k ? 360? , k ? Z

?

?
王新敞
奎屯 新疆

即:任何一个与角?终边相同的角,都可以表示成角?与整数个周角的和 ⑷注意以下四点: (1) k ? Z (2) ?是任意角; (3) k ? 360 与?之间是“+”号,
0

如 k ? 360 -30°,应看成 k ? 360 +(-30°);
0 0

(4)终边相同的角不一定相等,但相等的角,终边一定相同,终边相同的角有无数多 个,它们相差 360°的整数倍. 三、讲解范例:
3

例 1 在 0 到 360 度范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它是哪个象限的 角

(1) ?120?

(2)640?

(3) ? 950?12'
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解:⑴∵-120?=-360?+240?, ∴240?的角与-140?的角终边相同,它是第三象限角. ⑵∵640?=360?+280?, ∴280?的角与 640?的角终边相同,它是第四象限角. ⑶∵-950?12’=-3 ? 360?+129?48’, ∴129?48’的角与-950?12’的角终边相同,它是第三象限角. 例 2 写出与下列各角终边相同的角的集合 S,并把 S 中在 ? 360 ? ~ 720 ? 间的角写出 来: ⑴60?

⑵ ? 21 ?

⑶ 363 ?14 ?

王新敞
奎屯

新疆

解:(1) S ? ?? | ? ? 60? ? k ? 360?,k ? Z ? S 中在-360°~720 间的角是 -1×360°+60°=-280°; 0×360°+60°=60°; 1×360°+60°=420°. (2) S ? ?? | ? ? ?21? ? k ? 360?,k ? Z ? S 中在-360°~720 间的角是 0×360°-21°=-21°; 1×360°-21°=339°; 2×360°-21°=699°. (3) S ? ?? | ? ? 363?14? ? k ? 360?,k ? Z ? S 中在-360°~720°间的角是 -2×360°+363?14’=-356?46’; -1×360°+363?14’=3?14’; 0×360°+363?14’=363?14’. 四、课堂练习: 1.锐角是第几象限的角?第一象限的角是否都是锐角?小于 90°的角是锐角吗?
4

0°~90°的角是锐角吗? (答:锐角是第一象限角;第一象限角不一定是锐角;小于 90°的角可能是零角或负 角,故它不一定是锐角;0°~90°的角可能是零角,故它也不一定是锐角.) 总结有关角的集合表示. 锐角:{θ |0°<θ <90°}, 0°~90°的角:{θ |0°≤θ ≤90°}; 小于 90°角:{θ |θ <90°}. 2.已知角的顶点与坐标系原点重合,始边落在 x 轴的正半轴上,作出下列各角,并 指出它们是哪个象限的角? (1)420°,(2)-75°,(3)855°,(4)-510°. (答:(1)第一象限角,(2)第四象限角,(3)第二象限角,(4)第三象限角)
-5100 -750
8550

4200

五、小结 本节课我们学习了正角、负角和零角的概念,象限角的概念,要注意如 果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限.本节课重点是学习终边相同的 角的表示法.严格区分“终边相同”和“角相等” ; “轴线角” “象限角”和“区间角” ; “小 于 90°的角” “第一象限角” “0°到 90°的角”和“锐角”的不同意义. 六、课后作业: 1.下列命题中正确的是( ) A.终边在 y 轴非负半轴上的角是直角 B.第二象限角一定是钝角 C.第四象限角一定是负角 D.若β =α +k·360°(k∈Z) ,则α 与β 终边相同 2.与 120°角终边相同的角是( ) A.-600°+k·360°,k∈Z B.-120°+k·360°,k∈Z C.120°+(2k+1) ·180°,k∈Z D.660°+k·360°,k∈Z 3.若角α 与β 终边相同,则一定有( ) A.α +β =180° B.α +β =0° C.α -β =k·360°,k∈Z D.α +β =k·360°,k∈Z 4.与 1840°终边相同的最小正角为 ,与-1840°终边相同的最小正角 是 . 5.今天是星期一, 100 天后的那一天是星期 , 100 天前的那一天是星期 . 6.钟表经过 4 小时,时针与分针各转了 (填度). 7.在直角坐标系中,作出下列各角 (1)360° (2)720° (3)1080° (4)1440°
5

8.已知A={锐角} ,B={0°到 90°的角} ,C={第一象限角} ,D={小于 90° 的角} . 求A∩B,A∪C,C∩D,A∪D. 9.将下列各角表示为α +k·360°(k∈Ζ ,0°≤α <360°)的形式,并判断角 在第几象限. (1)560°24′ (2)-560°24′ (3)2903°15′ (4)-2903°15′ (5)3900° (6)-3900° 参考答案:1.D 2.A 3.C 4.40° 320° 5.三 六 6.-120°-1440° 7.
3.5
3.5
3.5 3.5

3
3
3 3

2.5
2.5
2.5 2.5

2
2
2 2

1.5
1.5
1.5 1.5

1
1 1

1

0.5
0.5 0.5

0.5

5
5 4 3 2 1 1 2 3 4

4

3

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2

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4
5 4 3 2 1 1 2 3 4

5

4

3

2

1

1

2

3

4

3600

0.5

1

7200

0.5

1

10800

0.5

0.5

1

1.5

1.5

1.5

14400

1

1.5

2

2

2

2

2.5

2.5

2.5

2.5

8.A∩B=A A∪C=C C∩D={α |k·360°<α <90°+k·360°,k∈Z,k≤0= A∪D=D 9.(1)∵560°24′=200°24′+360° ∴560°24′与 200°24′终边相同在第三象限 (2)∵-560°24′=159°36′+(-2)·360° ∴-560°24′与 159°36′终边相同在第二象限 (3)∵2903°15′=23°15′+8·360° ∴2903°15′与 23°15′终边相同在第一象限 (4)∵-2903°15′=336°45′+(-9)·360° ∴-2903°15′与 336°45′终边相同在第四象限 (5)∵3900°=300°+10·360° ∴3900°与 300°终边相同在第四象限 (6)∵-3900°=60°+(-11)·360° ∴-3900°与 60°终边相同在第一象限 七、板书设计(略) 八、课后记:

6


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