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三角函数知识点归纳


三角函数 一、任意角、弧度制及任意角的三角函数
1.任意角 (1)角的概念的推广 ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角.

?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ? 任意角?负角:按顺时针方向旋转形成的角 ?零角:不作任何旋转形成的角 ?
②按终边位置不同分为象限角和轴线角.

角 ? 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的

非负半轴重合,终边落在第几象限,则称 ? 为第几象限角.

? ? 第二象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 90 ? k ? 360 ? 180 , k ? ?? 第三象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 180 ? ? ? k ? 360 ? 270 , k ? ?? 第四象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 270 ? ? ? k ? 360 ? 360 , k ? ?? 终边在 x 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 , k ? ?? 终边在 y 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 ? 90 , k ? ?? 终边在坐标轴上的角的集合为 ?? ? ? k ? 90 , k ? ??
第一象限角的集合为 ? k ? 360? ? ? ? k ? 360? ? 90? , k ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

(2)终边与角 α 相同的角可写成 α+k· 360° (k∈Z).终边与角 ? 相同的角的集合为 ? ? ? k ? 360 ? ? , k ? ?
?

?

?

(3)弧度制 ①1 弧度的角:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角. ②弧度与角度的换算:360° =2π 弧度;180° =π 弧度. ③半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l ,则角 ? 的弧度数的绝对值是 ? ? ④若扇形的圆心角为 ?

l r

??为弧度制? ,半径为 r ,弧长为 l ,周长为 C ,面积为 S ,则 l ? r ? ,C ? 2r ? l ,

1 1 S ? lr ? ? r 2 . 2 2
2.任意角的三角函数定义 设 α 是一个任意角,角 α 的终边上任意一点 P(x,y),它与原点的距离为 r r ?

?

x2 ? y 2 ,那么角 α 的正弦、余弦、

?

y x y 正切分别是:sin α= ,cos α= ,tan α= . (三角函数值在各象限的符号规律概括为:一全正、二正弦、三 r r x

正切、四余弦)
3.特殊角的三角函数值
1

角度 函数 角 a 的弧度 sina cosa tana

0 0 0 1 0

30 π /6 1/2 √3/2 √3/3

45 π /4 √2/2 √2/2 1

60 π /3 √3/2 1/2 √3

90 π /2 1 0

120 2π /3 √3/2 -1/2 -√3

135 3π /4 √2/2 -√2/2 -1

150 5π /6 1/2 -√3/2 -√3/3

180 π 0 -1 0

270 3π /2 -1 0

360 2π 0 1 0

二、同角三角函数的基本关系与诱导公式
A.基础梳理
1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1; (在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号) (2)商数关系: 2.诱导公式 公式一:sin(α+2kπ)=sin α,cos(α+2kπ)=cos_α, tan( ? ? 2k? ) ? tan? 公式二:sin(π+α)=-sin_α,cos(π+α)=-cos_α,tan(π+α)=tan α. 公式三:sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos_α, tan ?? ? ? ? ? ? tan ? . 公式四:sin(-α)=-sin_α,cos(-α)=cos_α, tan ? ?? ? ? ? tan ? . π ? ?π ? 公式五:sin? ?2-α?=cos_α,cos?2-α?=sin α. π ? ?π ? 公式六:sin? ?2+α?=cos_α,cos?2+α?=-sin_α. π π 诱导公式可概括为 k· ±α 的各三角函数值的化简公式.口诀:奇变偶不变,符号看象限.其中的奇、偶是指 的奇数 2 2 倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化.若是奇数倍,则函数名称要变(正弦变余弦,余弦变正弦);若是偶数倍, π 则函数名称不变,符号看象限是指:把 α 看成锐角 时,根据 k· ±α 在哪个象限判断原 三角 函数值的符号,最后作为结 .... . .. 2 果符号. 其中 k∈Z. sin α =tan α. cos α (3)倒数关系: tan ? ? cot ? ? 1

B.方法与要点 一个口诀 1、诱导公式的记忆口诀为:奇变偶不变,符号看象限. 2、四种方法 在求值与化简时,常用方法有: sin α (1)弦切互化法:主要利用公式 tan α=cos α化成正、余弦. (2)和积转换法:利用(sin θ± cos θ)2=1± 2sin θcos θ 的关系进行变形、转化. ( sin ? ? cos ? 、 sin ? ? cos ? 、 sin ? cos ? 三个式子知一可求二) (3)巧用“1”的变换:1=sin2θ+cos2θ= sin π ? =tan 4 2
2

(4)齐次式化切法:已知 tan ? ? k ,则

a sin ? ? b cos ? a tan ? ? b ak ? b ? ? m sin ? ? n cos ? m tan ? ? n mk ? n

三、三角函数的图像与性质
学习目标: 1 会求三角函数的定义域、值域 2 会求三角函数的周期 :定义法,公式法,图像法(如 y ? sin x 与 y ? cos x 的周期是 ? ) 。 3 会判断三角函数奇偶性 4 会求三角函数单调区间 5 知道三角函数图像的对称中心,对称轴 6 知道 y ? A sin(? x ? ? ) , y ? A cos(? x ? ? ) , y ? A tan(? x ? ? ) 的简单性质 (一) 知识要点梳理 1、正弦函数和余弦函数的图象:正弦函数 y ? sin x 和余弦函数 y ? cos x 图象的作图方法:五点法:先取横坐标分别 为 0,

?
2

,? ,

3? , 2? 的五点,再用光滑的曲线把这五点连接起来,就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。 2

y=sinx
-4? -7? -3? 2 -5? 2 -2? -3? -? 2 -

y
? 2

1 o -1
y
? 2 ?

3? 2 2? 5? 2 3?

7? 2 4?

x

y=cosx
-3? -4? -7? 2 -5? 2 -? -2? -3? 2 -

? 2

1 o -1
? 2

?

3? 2 2? 5? 2

3?

7? 2

4?

x

2、正弦函数 y ? sin x( x ? R) 、余弦函数 y ? cos x( x ? R) 的性质: (1)定义域:都是 R。 (2)值域:都是 ??1,1? ,

(3)周期性: y ? sin x , y ? cos x 的最小正周期都是 2 ? ; (4)奇偶性与对称性:

3? ? k ? Z ? 时, y 取最小值-1; 2 2 对 y ? cos x ,当 x ? 2k? ? k ? Z ? 时, y 取最大值 1,当 x ? 2k? ? ? ? k ? Z ? 时, y 取最小值-1。
对 y ? sin x ,当 x ? 2k? ?

?

? k ? Z ? 时, y 取最大值 1;当 x ? 2k? ?

①正弦函数 y ? sin x( x ? R) 是奇函数,对称中心是 ? k? ,0?? k ? Z ? ,对称轴是直线 x ? k? ? ②余弦函数 y ? cos x( x ? R) 是偶函数,对称中心是 ? k? ?

?
2

?k ? Z ? ;

? ?

?

? (正(余) , 0 ? ? k ? Z ? ,对称轴是直线 x ? k? ? k ? Z ? ; 2 ?

弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于 x 轴的直线,对称中心为图象与 x 轴的交点) 。 (5)单调性:

? 3? ? ? ? ?? ? y ? sin x在 ? ? ? 2k? , ? 2k? ? ? k ? Z ? 上单调递增,在 ? ? 2k? , ? 2k? ? ? k ? Z ? 单调递减; 2 2 ? 2 ? ?2 ?
y ? cos x 在 ??? ? 2k? ,2k? ?? k ? Z ? 上单调递增,在 ?2k? ,2k? ? ? ? ? k ? Z ? 上单调递减。特别提醒,别忘了 k ? Z !
3

3、正切函数 y ? tan x 的图象和性质: (1)定义域: {x | x ?

?
2

? k? , k ? Z } 。

(2)值域是 R,无最大值也无最小值; (3)奇偶性与对称性:是奇函数,对称中心是 ?

? k? ? , 0 ? ? k ? Z ? ,特别提醒:正(余)切型函数的对称中心有两类:一 ? 2 ?

类是图象与 x 轴的交点,另一类是渐近线与 x 轴的交点,但无对称轴,这是与正弦、余弦函数的不同之处。 (4)单调性:正切函数在开区间 ? ?

? ? ? ? ? k? , ? k? ? ? k ? Z ? 内都是增函数。但要注意在整个定义域上不具有单调性。 2 ? 2 ?
y ? cos x

4、正弦、余弦、正切函数的图像和性质 性 函 质 数

y ? sin x

y ? tan x

图象

定义域 值域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?
R

??1,1?
当 x ? 2 k? ?

??1,1?
当 x ? 2k? ? k ??? 时,

?
2

? k ??? 时,
?
2

最值

ymax ? 1 ;当 x ? 2k? ?

ymax ? 1 ;当 x ? 2k? ? ?

既无最大值也无最小值

? k ??? 时, ymin ? ?1.
周期性 奇偶性
2? 奇函数

? k ??? 时, ymin ? ?1.
2? 偶函数

?
奇函数

? ?? ? 在 ? 2k? ? , 2k? ? ? 2 2? ?

? k ??? 上是增函数;在
单调性

在 ?2k? ? ? ,2k? ? ? k ??? 上 是 增函数;在 ?2k? ,2k? ? ? ?

? ?? ? 在 ? k? ? , k? ? ? 2 2? ?

? 3? ? ? 2k? ? , 2k? ? ? ? 2 2? ?

? k ??? 上是减函数.

? k ??? 上是增函数.

? k ??? 上是减函数.
对称中心 ? k? ,0?? k ??? 对称性 对称轴 x ? k? ?

?
2

?k ? ??

? ? ? 对称中心 ? k? ? , 0 ? ? k ? ? ? 2 ? ?
对称轴 x ? k? ? k ???

? k? ? 对称中心 ? , 0 ? ? k ? ?? ? 2 ?
无对称轴

4

5、研究函数 y ? A sin(? x ? ? ) 性质的方法:类比于研究 y ? sin x 的性质,只需将 y ? A sin(? x ? ? ) 中的 ? x ? ? 看 成 y ? sin x 中的 x 。 函数 y=Asin(?x+?) (A>0,?>0)的性质。 (1)定义域:R (2)值域:[-A, A] (3)周期性: T ? 2? |? | ① f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 和 f ( x) ? A cos(? x ? ? ) 的最小正周期都是 T ? ② f ( x) ? A tan(? x ? ? ) 的最小正周期都是 T ?

2? 。 |? |

? 。 |? |

(4)单调性:函数 y=Asin(?x+?) (A>0, ? >0)的

? ? ≤?x+?≤2k ? + ,k∈z 解得; 2 2 3? ? 单调减区间可由 2k ? + ≤?x+?≤2k ? + ,k∈z 解得。 2 2 在求 y ? A sin(? x ? ? ) 的单调区间时,要特别注意 A 和 ? 的符号,通过诱导公式先将 ? 化正。 ? 如函数 y ? sin( ?2 x ? ) 的递减区间是______ 3
单调增区间可由 2k ? - (答:

解 析 : y=

,所以求 y 的递减区间即是求

的递增区间,由



,所以 y 的递减区间是

四、函数 y ? Asin ? ?x ? ?? 的图像和三角函数模型的简单应用
一、 知识要点
2? 1 ? ? ;④相位: ? x ? ? ;⑤初相: ? . ? ? 2? 2、 函数 y ? A sin(? x ? ? ) 表达式的确定:A 由最值确定; ? 由周期确定; ? 由图象上的特殊点确定. 函 数 y ? ?s i n ??x ? ? ? ? ? , 当 x ? x1 时 , 取 得 最 小 值 为 ymin ; 当 x ? x2 时 , 取 得 最 大 值 为 ymax , 则
1、 几个物理量: ①振幅: ? ;②周期: ? ?

;③频率: f ?

??

1 ? ym a x ? y 2

min

?

??


1 ? ? x2 ? x1 ? x1 ? x2 ? ? ymax ? ymin ? 2 ,2 .

3、函数 y ? A sin(? x ? ? ) 图象的画法:①“五点法”――设 X ? ? x ? ? ,令 X =0, 计算得出五点的坐标,描点后得出图象;②图象变换法:这是作函数简图常用方法。 4、函数 y=sinx 的图象经变换可得到 y ? Asin ? ?x ? ?? ? ?>0 ? 的图象

?
2

,? ,

3? , 2? 求出相应的 x 值, 2

5

左(右)

y ? sin ? x 1 伸 (缩) 倍

横坐标

平移

?

纵坐标 y ? A sin ?x 伸(缩)A 倍

左(右) ? 平移 ? 横坐标 y ? sin??x ? ? ? 纵坐标 1 伸(缩)A 倍 伸(缩) 倍

? ?

y ? sin??x ? ? ?

纵坐标 伸(缩)A 倍

y=sinx y=sinx XXXx xx

左(右) y ? sin ? x ? ? ? 纵坐标 y ? Asin ? x ? ? ? 平移 ? 伸 (缩) A倍

?

y ? Asin ??x ? ? ?

横坐标 伸 (缩) 左(右) ? 平移 ?

? 倍 ?

横坐标

y ? A sin x 伸(缩)Ay=sinx 倍

纵坐标

伸(缩)

1

y ? A sin ?x


?

左(右) y ? A sin?x ? ? ? 横坐标 平移 ? 伸 (缩)1 倍
?

5、函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? b 的图象与 y ? sin x 图象间的关系:①函数 y ? sin x 的图象向左( ? >0)或向右( ? <0) 平移 | ? | 个单位得 y ? sin ? x ? ? ? 的图象;②函数 y ? sin ? x ? ? ? 图象的纵坐标不变,横坐标变为原来的

1

数 y ? sin ?? x ? ? ? 的 图象;③ 函数 y ? sin?? x ? ? ? 图象的横 坐标不变 ,纵坐标变为 原来 的 A 倍,得到函 数

?

,得到函

y ? A sin(? x ? ? ) 的图象;④函数 y ? Asin(? x ? ? )图象向上( b ? 0 )或向下( b ? 0 )平移 | b | 个单位,得到

y ? Asin ??x ? ? ? ? b 的图象。
要特别注意,若由 y ? sin ?? x ? 得到 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象,则向左或向右平移应平移 | π 如要得到函数 y=sin(2x- )的图象,只需将函数 y=sin2x 的图象( 3 (A)向左平移 π 个单位 3 π (B)向右平移 个单位 3 π (D)向右平移 个单位 6 )

? | 个单位, ?

π (C)向左平移 个单位 6

6、函数 y=Acos(?x+?)和 y=Atan(?x+?)的性质和图象的变换与 y=Asin(?x+?)类似。

三角恒等变换
1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴ cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ;⑵ cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑶ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ;⑷ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ⑸ tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ?

( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) ;

⑹ tan ?? ? ? ? ?

( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) .

6

如 tan20 ? tan40 ? 3 tan20 tan40 ?
o o o o



(答案: 3 )

2、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴ sin 2? ? 2sin ? cos ? . ? 1 ? sin 2? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? 2 sin ? cos? ? (sin? ? cos? ) 2 5π π 5π π 如 cos2 +cos2 +cos cos 的值等于 12 12 12 12 ⑵ cos 2? ? cos
2



5 (答案: ) 4

? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ?

?升幂公式 1 ? cos 2? ? 2cos2 ? ,1 ? cos 2? ? 2sin 2 ? ?降幂公式 cos 2 ? ?
⑶ tan 2? ? 2 tan ? . 1 ? tan 2 ? 3、二弦归一 ? 把两个三角函数的和或差化为一个三角函数: a sin ? ? b cos ? ? a ? b sin ?? ? ? ? ,其中 tan ? ?
2 2

1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 2 , sin ? ? . 2 2

b . a

4、三角变换时运算化简的过程中运用较多的变换,灵活运用三角公式,掌握运算化简的方法.常用的方法技巧如下: (1)角的变换:在三角化简,求值,证明中,表达式中往往出现较多的异角,可根据角与角之间的和差,倍半,互补, 互余的关系,寻找条件与结论中角的关系,运用角的变换,使问题获解,对角的变形如:

? ? ? 的二倍; 是 的二倍; 2 2 4 ? ? o o o o o ? ? ② 15 ? 45 ? 30 ? 60 ? 45 ;问: sin ; cos ; 12 12 ? ? ? ? ? ③ ? ? (? ? ? ) ? ? ;④ ? ? ? ? ( ? ? ) ;⑤ 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ? ( ? ? ) ? ( ? ? ) ;等等. 4 2 4 4 4
① 2? 是 ? 的二倍; 4? 是 2? 的二倍; ? 是 如[1] tan ?? ? ? ? ?

2 ?? 1 ?? ? ? , tan ? ? ? ? ? , 则 tan ? ? ? ? ? 5 4? 4 4? ? ?

.

(答案:

3 ) 22

4 4 π 3π [2]若 cos(α+β)= ,cos(α-β)=- ,且 <α-β<π, <α+β<2π,则 cos2α=_____,cos2β=_____. 5 5 2 2 7 (答案:- ,-1) 25 [3]已知

sin ? cos ? 2 ? 1, tan ?? ? ? ? ? ? , 则 tan ? ? ? 2? ? ? 1 ? cos 2? 3



(答案:

1 ) 8

(2)函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础,通常化切为弦, 变异名为同名(二弦归一) 。 如

sin 50o (1 ? 3 tan10o ) ?



?1 ? 3 2 ? cos10o ? sin10o ? o o o o o o o 2 2 ? ? cos10 3 sin10 ? ? ? sin 50o ? 2sin ? 30 ? 10 ? ? 2sin 40 cos 40 ? sin 80 ? 1 o 解析:原式= sin 50o ? ? ? ? sin 50 ? ? ? cos10o cos10o ? cos10o cos10o cos10o cos10o ? ?

(3)常数代换:在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,例如常数“1”的代换变形有:

1 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? sin 90o ? tan 45o
(4)幂的变换:降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式 有: ; 。有时需要升幂,常用升幂公式 有: ; .如对无理式 1 ? cos? 常用升幂化为有理式.
7

(5)公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用,逆用及变形应用。 如: cos ? cos ? ? sin ? sin ? = ____________ ; sin ? cos ? ? cos ? sin ? = ____________ ;

tan? ? tan ? ? __________ __ ; 1 ? tan? tan ? ? __________ _; tan? ? tan ? ? __________ __ ; 1 ? tan? tan ? ? __________ _;

sin ? cos ? ? ____________ ; 2sin

? ? cos ? ____________ ; 2 2

cos2 ? ? sin2 ? ? ____________; 2cos2 ? ? 1 ? ____________; 2sin2 ? ? 1 ? ____________;
1 ? cos ? ?
; 1 ? cos ? ? ; 1 ? tan ? ?
2

; ; ; )

2 tan ? ?
a sin ? ? b cos ? ?

; (其中 tan ? ?

(6)三角函数式的化简运算基本规则:复角化单角,异角化同角,见切化弦,二弦归一,高次化低次,特殊值与特殊 角的三角函数互化。

8


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