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2012届高三周考试卷(文科)


光山二高分校 2012 届毕业班高三往(8)班回顾测试 届毕业班高三往(

数学( 数学(文)试卷 2012.5.12
小题, 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 选择题: 1.在复平面内,复数 .在复平面内, A.第一象限 .

1+ i 为虚数单位)对应的点位于( ( i 为虚数单位)对应的点位于

( 2?i
B.第二象限 . C.第三象限 . )

) D.第四象限 .

b? ? 的值为( 2.若集合 ?1, a, ? = {0, a 2 , a + b} ,则 a ? b 的值为( . a? ?

A.0 B.1 C.-1 D. ±1 - 3.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示 则该几何体的侧视图为( .将长方体截去一个四棱锥 得到的几何体如图所示 则该几何体的侧视图为( 得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为



侧侧

A.

B.

C.

D.

4.若“ 0 < x < 1 ”是“ ( x ? a)[ x ? ( a + 2)] ≤ 0 ”的充分而不必要条件,则实数 a 的取值范围是 . 的充分而不必要条件, 是 的充分而不必要条件 ( ) A. [ ?1,0] . C. ( ?∞,0] U [1, +∞) . B. ( ?1,0) . D. ( ?∞, ?1) U (0, +∞) . )

5.已知直线 l , m 与平面 α,β,γ 满足 β I γ = l,l // α,m ? α 和 m ⊥ γ ,则有( . 则有( A. α ⊥ γ 且 l ⊥ m . C. m // β 且 l ⊥ m .

B. α ⊥ γ 且 m // β . D. α // β 且 α ⊥ γ . π 6. 若函数 f ( x ) = a sin x + b cos x (ab ≠ 0) 的图象向左平移 个单位后得到的图象对应的函 图象向左平移 个单位后得到的图象对应的函 图象 3 数是奇函数,则直线 的倾斜角为( ) 数是奇函数 则直线 ax ? by + c = 0 的倾斜角为 A. 30o . B. 60o . C. 120o . D. 150o . )

7. 已知数列 {an } ,an = ?2n 2 + λ n , 若该数列是递减数列, 的取值范围是( 若该数列是递减数列, 则实数 λ 的取值范围是 ( A.

( ?∞,3]

B.

( ?∞, 4]

C.

( ?∞,5)

D.

( ?∞, 6 )

8. 过双曲线

x2 y 2 ? = 1 ( a > 0, b > 0) 的右焦点 F2 作斜率为 ?1 的直线,该直线与双曲线的两条 的直线, a 2 b2 uuur uuu r 则双曲线的渐近线方程为 方程为( 渐近线的交点分别为 A, B .若 F2 A = AB ,则双曲线的渐近线方程为( )

B. x ± 3 y = 0 C. 2 x ± 3 y = 0 D. 3 x ± 2 y = 0 . . . uuu r uuu r uuu r uuu uuu r r 9.A,B,C 为平面上三点,若 AB = 1 , CA = 2 CB ,则 CA ? CB 的最大值为( 为平面上三点, 的最大值为( )

A. 3 x ± y = 0 .

A. .

2 3

B.2

C.

8+5 2 9

D.3

1

1 ? ?| x + x |,| x |≥ 1 , g ( x) 是二次函数,若 f [ g ( x )] 的值域是 [0, +∞) ,则 10.设函数 f ( x) = ? 是二次函数, . π ?2sin x,| x |< 1 ? 2 的值域是( g ( x ) 的值域是( )
A. ( ?∞, ?1] ∪ [1, +∞ ) . B. ( ?∞, ?1] . C. [0, +∞ ) . D. [1, +∞ ) . 11.如图, 如图, ABCDEF,中心在原点, 如图 在直角坐标平面的正六边形 ABCDEF,中心在原点, 边长为 a ,AB 平行于

x 轴,直线 l : y = kx + t ( k 为常数 与正六边形交于 M,N 两点,记 ?OMN 的 为常数)与正六边形交于 两点,
)

S=f( 的奇偶性的判断正确的是( 面积为 S,则关于函数 S=f(t)的奇偶性的判断正确的是 A. 一定是奇函数 B.—定是偶函数 C.既不是奇函数,也不是偶函数 既不是奇函数, D.奇偶性与 k 有关 12.如图,直角梯形 ABCD 中,AB//DC, .如图, ,

∠ DAB = 90 °, DC = 1, AB = 3, AD = 3 ,点 E 在边 BC 上, uuu r uuu r 成等比数列。 且 AC,AE,AB 成等比数列。若 CE = λ EB ,则 λ =( ) , , 3 + 15 3 + 2 15 A. B. . . 3 3 87 ? 9 87 + 9 C. D. . . 3 3
开开

小题, 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 填空题: 13.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 .执行如图所示的程序框图, .

i=1,S=0 i=i+1 S=S+i2 否 是

x2 y2 分别是其左、右焦点, 14.椭圆 2 + 2 = 1( a > b > 0 ) , F1 , F2 分别是其左、右焦点,椭 . a b
则该椭圆离心率的取值范 圆上存在点 P 满足 PF1 = 2 PF2 , 围是_____________. 围是 .

S=S-i2

i是是是? i<4?
是 否

uuu r r uuu r r 15. AB = ( x, y ) , x, y ∈ {?2, ?1, 0,1, 2} ,a = (1, ?1) , AB 与 a . 若 则
的夹角为锐角的概率是 的夹角为锐角的概率是 .

输输S

? ? ?x ≥ 1 ? ? ? 16.已知集合 A = ?( x, y ) | ? y ≤ 1 . ? ,集合 ? ? ? ?x ? y ≤ 2 ? ?

结结

的取值范围是_________. B = {( x, y ) | x cos α + y sin α ? 1 = 0, α ∈ [0, 2π )} ,若 A ∩ B ≠ ? ,则 α 的取值范围是 .

2

三、解答题: 解答题: 17.(本题满分 12 分)设△ABC 的三内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,已知 a、b、 .(本题满分 .( 、 、 , 、 、
3 c 成等比数列,且 sin A sin C = . 成等比数列, 4

的大小; (Ⅰ)求角 B 的大小; 的值域. (Ⅱ)若 x ∈[0,π ) ,求函数 f ( x ) = sin( x ? B ) + sin x 的值域

18. 本小题满分 12 分)文科班某同学参加河南省学业水平测试,物理、化学、生物获得 . ( 文科班某同学参加河南省学业水平测试,物理、化学、 的机会相等,物理、化学、 等级 A 和获得等级不是 A 的机会相等,物理、化学、生物获得等级 A 的事件分别记为 W1 、

W2 、 W3 ,物理、化学、生物获得等级不是 A 的事件分别记为 W1 、 W2 、 W3 . 物理、化学、
所有可能结果( (Ⅰ)试列举该同学这次水平测试中物理、化学、生物成绩是否为 A 的所有可能结果(如 试列举该同学这次水平测试中物理、化学、 物理 三科成绩均为 A 记为 (W1 , W2 , W3 ) ); 求该同学参加这次水平测试中恰好获得两个 的概率; (Ⅱ)求该同学参加这次水平测试中恰好获得两个 A 的概率; (Ⅲ)试设计一个关于该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩情况的事件,使该 试设计一个关于该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩情况的事件, 这次水平测试物理 事件的概率大于 并说明理由。 事件的概率大于 85% ,并说明理由。

19.(本小题满分 19.(本小题满分 12 分) .( 如图, 如图,直角梯形 ABCD 中, AB ∥ CD , AD ⊥ AB , CD = 2 AB = 4 , AD = E 为 CD 的中点,将 ?BCE 沿 BE 折起,使得 CO ⊥ DE ,其中点 O 在线段 DE 内. 的中点, 折起, 求证: (1)求证: CO ⊥ 平面 ABED ; 多大时, 的体积最大? 最大值为多少? (2)问 ∠CEO (记为 θ )多大时, 三棱锥 C ? AOE 的体积最大? 最大值为多少?
C

2,

D

E

C

D

θ

A

B
A

O B

E

20.(本题满分 12 分)已知函数 f ( x ) = x ? 2 x + 1, g ( x ) = ln x . .(本题满分 .(
3

的单调区间和极值; (Ⅰ)求 F ( x ) = f ( x) ? g ( x) 的单调区间和极值; 若存在, (Ⅱ)是否存在实常数 k 和 m ,使得 x > 0 时, f ( x ) ≥ kx + m 且 g ( x ) ≤ kx + m ? 若存在, 的值;若不存在,说明理由. 求出 k 和 m 的值;若不存在,说明理由

3

21.(本小题满分 如图, 21.(本小题满分 12 分)如图,已知椭圆 C : .(

x2 y2 3 + 2 = 1(a > b > 0) 的离心率为 ,以 2 a b 2 2 2 2 椭圆 C 的左顶点 T 为圆心作圆 T : ( x + 2) + y = r ( r > 0) ,设圆 T 与椭圆 C 交于 点 M 与点 N . 的方程; (1)求椭圆 C 的方程; uuur uuu r 的最小值, 的方程; (2)求 TM ? TN 的最小值,并求此时圆 T 的方程; 的任意一点, ( 3 ) 设点 P 是椭圆 C 上异于 M , N 的任意一点 , 且直线 MP , NP 分别与 x 轴交于点
y P M R T N S O x

R, S , O 为坐标原点,求证: OR ? OS 为定值. 为坐标原点,求证: 为定值.

22.(本小题满分 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 .( 如图, 的直径, 是弦, 如图, AB 是⊙ O 的直径, AC 是弦, ∠BAC 的平分线 AD 交⊙ O 于 D , DE ⊥ AC 交 AC 延长线于点 E , OE 交 AD 于点 F . E 求证: 的切线; (Ⅰ)求证: DE 是⊙ O 的切线; AC 3 C (Ⅱ)若 的值. = ,求 AF 的值. DF AB 5
F A

D B

23.选修 4—5;不等式选讲(10 分) 23.选修 不等式选讲( 已知函数 f ( x) = 2 x ? a + a . 的值; (1)若不等式 f ( x ) ≤ 6 的解集为 x ? 2 ≤ x ≤ 3 ,求实数 a 的值;

o

{

}

成立, 的取值范围 (2)在(1)的条件下,若存在实数 n 使 f ( n) ≤ m ? f ( ? n) 成立,求实数 m 的取值范围. 的条件下,

4

数学(文科) 数学(文科)答案
一、选择题: 选择题: 题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 A 5 A 6 D 7 D 8 A 9 B 10 C 11 B 12 A

二、填空题: 填空题:

13.- 6

?1 ? ? ,1? 14. ? 3 ?

15. 15.

8 25

16. ? 0, ? ∪ ? , 2π ? ? 2? ? 4 ?

? π?

? 7π

?

小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题: 17.解:(Ⅰ)因为 a、b、c 成等比数列,则 b2 = ac .由正弦定理得 sin 2 B = sin A sin C . . ( 、 、 成等比数列, 由正弦定理得
3 3 3 . 又 sin A sin C = ,所以 sin 2 B = .因为 sinB>0,则 sin B = 因为 > , 4 4 2 π 2π . 因为 B∈(0,π),所以 B= 或 , =
3 3

的最大边, 又 b2 = ac ,则 b ≤ a 或 b ≤ c , 即 b 不是△ABC 的最大边,故 B = (Ⅱ)因为 B =

π . 3

π π π π , 则 f ( x ) = sin( x ? ) + sin x = sin x cos ? cos x sin + sin x 3 3 3 3

3 3 π = sin x ? cos x = 3 sin( x ? ) . 2 2 6 x ∈ [0,π ) ,则 ?

π
6

≤ x?

π
6

<

5π π 1 ,所以 sin( x ? ) ∈ [ ? ,1] . 6 6 2
3 , 3] . 2

故函数 f ( x ) 的值域是 [ ?

18、解:(I)该同学这次水平测试中物理、化学、生物成绩是否为 A 的可能结果有 8 种, 、 :( )该同学这次水平测试中物理 化学、 物理、

( 分 别 为 W1 , W2 , W3) ( 1 , W2 , W3) (W1 , W2 , W3) (W1 , W2 , W3) ( 1 , W2 , W3) 、 W 、 、 、 W 、

(W1 ,W2 ,W3) (W1 , W2 ,W3) (W1 ,W2 ,W3) 、 、 ;
从而其概率为 P =

……………4 ……………4 分

( 三个, (II)由(I)可知,恰有两个 A 的情况为 W1 , W2 , W3) (W1 , W2 , W3) (W1 , W2 , W3) ) )可知, 、 、 三个,
3 8
…………………8 …………………8 分

这次水平测试中物理 (III)方案一、该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩不全为 A 的事件概率大 )方案一、该同学参加这次水平测试中物理、化学、 …………………10 于 85% , …………………10 分 理由如下:该同学参加这次水平测试中物理、化学、 这次水平测试中物理 理由如下:该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩不全为 A 的事件有如 下七种情况: ( 下七种情况 : W1 , W2 , W3) (W1 , W2 , W3) (W1 , W2 , W3) ( 1 , W2 , W3) ( 1 , W2 , W3) 、 、 、 W 、 W 、

(W1 , W2 ,W3) (W1 ,W2 ,W3) 概率是 P = 、 ,概率是

7 = 0.875 > 85% . ………………12 分 8 方案二、该同学参加这次水平测试中物理、化学、 方案二 、 该同学参加这次水平测试中物理 、 化学 、生物成绩至少一个 A 的事件概率大于 85% , …………………10 分 理由如下:该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩不全为 A 的事件有如下七种 理由如下: 该同学参加这次水平测试中物理、 化学、 ( ( ( ( ( ( 情况: 、 、 、 、 、 、 情况: W1 , W2 , W3) W1 , W2 , W3) W1 , W2 , W3) W1 , W2 , W3) W1 , W2 , W3) W1 , W2 , W3)

5

(W1 , W2 ,W3) 概率是 P = ,

7 = 0.875 > 85% .………12 分 8 19.( 证明: 19.(1)证明: 在直角梯形 ABCD 中, CD = 2 AB , E 为 CD 的中点, 的中点, 则 AB = DE ,又 AB ∥ DE , AD ⊥ AB ,知 BE ⊥ CD
在四棱锥 C ? ABEO 中, BE ⊥ DE , BE ⊥ CE , CE I DE = E ,

CE , DE ? 平面 CDE ,则 BE ⊥ 平面 CDE .
因为 CO ? 平面 CDE ,所以 BE ⊥ CO. 内两条相交直线, 又 CO ⊥ DE , 且 BE , DE 是平面 ABED 内两条相交直线, 故 CO ⊥ 平面 ABED . (2)解 (1)知 (2)解:由(1)知 CO ⊥ 平面 ABED ,

1 1 1 S ?AOE ? OC = × × OE × AD × OC 3 3 2 由直角梯形 ABCD 中, CD = 2 AB = 4 , AD = 2 , CE = 2 , 得三棱锥 C ? AOE 中, OE = CE cos θ = 2 cos θ , OC = CE sin θ = 2sin θ ,
知三棱锥 C ? AOE 的体积 V =

V=

2 2 π ? π? sin 2θ ≤ 时取等号, ,当且仅当 sin 2θ = 1, θ ∈ ? 0, ? ,即 θ = 时取等号, 3 3 4 ? 2?

(此时 OE = 故当 θ =

2 < DE , O 落在线段 DE 内).

π 2 的体积最大, 时, 三棱锥 C ? AOE 的体积最大,最大值为 . 4 3
3

20.解 :(1)F ( x ) = x ? 2 x + 1 ? ln x ( x > 0 ) , 解 求导数得 F ′ ( x ) =

( x ? 1)( 3x + 1)
x

( x > 0)

0,1)单调递减, 单调递增, ∴ F (x ) 在(0,1)单调递减,在(1,+ ∞ )单调递增,从而 F (x ) 的极小值为 F (1) = 0 。 ( 2 ) 因 f ( x ) 与 g ( x ) 有 一 个 公 共 点 (1,0), 而 函 数 g ( x ) 在 点 (1,0) 的 切 线 方 程 为 y = x ? 1 。… 9 分 下面验证 ?

? f ( x) ≥ x ?1 ? 都成立即可。 都成立即可。 ?g ( x) ≤ x ?1 ?
3 3 2

设 h ( x ) = x ? 2 x + 1 ? ( x ? 1) = x ? 3x + 2 ( x > 0 )

∴ h( x ) 在(0,1)上单调递减, (1,+∞) 上单调递增, h ( x ) = x3 ? 2 x + 1 ? ( x ? 1)( x > 0 ) (0,1)上单调递减 在 上单调递增, 所以
的 最 小 值 为

求导数得 h′ ( x ) = 3 x ? 3 = 3 ( x + 1)( x ? 1)( x > 0 )

f ( x ) ≥ x ?1 恒 成 立 。 h(1) = 0 , 所 以 1? x 设 k ( x ) = ln x ? ( x ? 1) ? k ′ ( x ) = ( x > 0) x k ( x ) 在 (0,1)上单调递增 , 在 (1,+∞) 上单调递减 , 所以 k ( x ) = ln x ? ( x ? 1) 的最大值为 (0,1)上单调递增 上单调递减, k (1) = 0 所以 k ( x ) ≤ x ? 1 恒成立。 恒成立。
故存在这样的实常数 故存在这样的实常数 k 和 m ,且 k = 1 且 m = ?1 。
6

21.解:(1 依题意, 21.解:(1)依题意,得 a = 2 , e =

c 3 = , a 2

∴ c = 3, b = a 2 ? c 2 = 1; x2 + y2 = 1 . 4 (2)方法一:点 M 与点 N 关于 x 轴对称,设 M ( x1 , y1 ) , N ( x1 ,? y1 ) , 不妨设 y1 > 0 . 方法一: 轴对称,
故椭圆 C 的方程为 由于点 M 在椭圆 C 上,所以 y1 = 1 ?
2

x1 . 4 由已知 T ( ?2, 0) ,则 TM = ( x1 + 2, y1 ) , TN = ( x1 + 2, ? y1 ) ,
2 2

2

∴ TM ? TN = ( x1 + 2, y1 ) ? ( x1 + 2, ? y1 ) = ( x1 + 2) 2 ? y1
2

x 5 2 = ( x1 + 2) ? (1 ? 1 ) = x1 + 4 x1 + 3 4 4 5 8 1 1 = ( x1 + ) 2 ? ≥ ? . 4 5 5 5 uuur uuu r 8 1 由于 ? 2 < x1 < 2 ,故当 x1 = ? 时, TM ? TN 取得最小值为 ? . 5 5 3 8 3 13 2 由(*)式, y1 = ,故 M ( ? , ) ,又点 M 在圆 T 上,代入圆的方程得到 r = . 5 5 5 25 13 2 2 的方程为: 故圆 T 的方程为: ( x + 2) + y = . 25 方法二:点 M 与点 N 关于 x 轴对称,故设 M (2 cos θ , sin θ ) , N (2 cos θ , ? sin θ ) , 方法二: 轴对称, 由已知 T ( ?2, 0) ,则 ?1 < cos θ < 1 ,

TM ?TN = (2 cos θ + 2, sin θ ) ? (2 cos θ + 2, ? sin θ ) = (2 cos θ + 2) 2 ? sin 2 θ = 5 cos 2 θ + 8 cos θ + 3 4 1 1 = 5(cos θ + ) 2 ? ≥ ? . 5 5 5 uuur uuu r 4 1 8 3 故当 cos θ = ? 时, TM ? TN 取得最小值为 ? ,此时 M ( ? , ) , 5 5 5 5 13 13 2 2 2 又点 M 在圆 T 上,代入圆的方程得到 r = . 故圆 T 的方程为: ( x + 2) + y = 的方程为: 25 25 方法一: 由题意知: . (3) 方法一:设 P ( x 0 , y 0 ) ,由题意知: x0 ≠ x1 , y0 ≠ ± y1 . y ? y1 的方程为: ( x ? x0 ) , 则直线 MP 的方程为: y ? y 0 = 0 x0 ? x1
令 y = 0 , xR = 得

x1 y 0 ? x0 y1 x y + x0 y1 x y ? x 0 y1 同理: x , 同理: S = 1 0 , 故 xR ? xS = 1 0 2 2 y 0 ? y1 y 0 + y1 y 0 ? y1
2 2 2 2 2
2 2

2

在椭圆上, 又点 M 与点 P 在椭圆上,故 x0 = 4(1 ? y 0 ) , x1 = 4(1 ? y1 ) , 代入(**) 代入(**)式,得:

xR ? xS =

4(1 ? y1 ) y 0 ? 4(1 ? y 0 ) y1
2 2 2

2

y 0 ? y1
2

2

=

4( y 0 ? y1 )
2 2

y 0 ? y1
2

2

= 4.

为定值. 所以 OR ? OS = x R ? x S = x R ? x S = 4 为定值. 方法二:设 M (2 cos θ , sin θ ) , N (2 cos θ , ? sin θ ) , P ( 2 cos α , sin α ) , 方法二:

7

sin α ? sin θ ( x ? 2 cos α ) , 2 cos α ? 2 cos θ 2(sin α cos θ ? cos α sin θ ) 令 y = 0 ,得 x R = , sin α ? sin θ 2(sin α cos θ + cos α sin θ ) 同理: 同理: x S = , sin α + sin θ 4(sin 2 α cos 2 θ ? cos 2 α sin 2 θ ) 4(sin 2 α ? sin 2 θ ) = = 4. 故 x R ? xS = sin 2 α ? sin 2 θ sin 2 α ? sin 2 θ 为定值. 所以 OR ? OS = x R ? x S = x R ? x S = 4 为定值.
的方程为: 则直线 MP 的方程为: y ? sin α = 22. 22.选修 4—1:几何证明选讲 证明:(Ⅰ)连接 OD,可得 证明:(Ⅰ :(

其中 cos θ ≠ cos α , sin α ≠ ± sin θ .

∠ODA = ∠OAD = ∠DAC
又 AE ⊥ DE ?

OD


C

E

............................................3 AE............................................3 分

OD ⊥ DE 的切线. ∴ DE 是⊙ O 的切线.
A

D F O H B

(Ⅱ)过 D 作 DH ⊥ AB 于 H,则有 ∠DOH = ∠CAB

∴ cos ∠DOH = cos ∠CAB =


AC 3 = .设 OD = 5 x AB 5
2 2

则 AB = 10 x, OH = 3 x, DH = 4 x ∴ AH = 8 x, AD = 80 x ........................ ..................8 ..................8 分 2 由 ?ADE ∽ ?ADB 可得 AD = AE ? AB = AE ? 10 x 又 ?AEF ∽ ?ODF ,

∴ AE = 8 x

AF AE 5 = = DF DO 8 23. 解 : ( Ⅰ ) 由 2 x ? a + a ≤ 6 得 2 x ? a ≤ 6 ? a , ∴ a ? 6 ≤ 2 x ? a ≤ 6 ? a , 即 a ? 3 ≤ x ≤ 3 ,┈┈3 分∴ a ? 3 = ?2 ,∴ a = 1 。┈┈4 分 ┈┈3 ┈┈4 的最小值┈ (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x ) = 2 x ? 1 + 1 ,┈5 分,只需 m ≥ f ( n) + f ( ? n) 的最小值┈6 分
1 ? ? 2 ? 4 n, n ≤ ? 2 ? 则 1 1 ? ? ( n ) = 2n ? 1 + 2n + 1 + 2 = ?4, ? <n≤ 2 2 ? 1 ? n> ? 2 + 4 n, 2 ?

令 ? ( n ) = f ( n ) + f ( ?n ) ,

┈┈8 ┈┈8 分∴ ? ( n ) 的最小值为 4,┈9 分;故实数 m 的取值范围是 [ 4, +∞ ) 。┈10 分

8


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