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力学竞赛辅导(2)(2013)


? dP (1)牛顿第二定律 F ? dt ? ? dL 对于质点, 角动量 (2)角动量定理 M ? dt 对于刚体, 角动量

力学主要公式 ? ????????????????????????
? ? ? L? r?P ? ? L ? J?

? (3)保守力与势能关系 F ? ??E p
(4)三种势能 弹性势能



重力势能 E p ? mgh

Mm 万有引力势能 E p ? ?G r ? ? (5)保守力的特点 ? F ? dr ? 0 作功与路径无关
L

1 2 E p ? kx 2

1

力学主要公式
(6)洛伦兹时空坐标变换和速度变换
x? ? x ? ut u2 1? c2

u t ? 2 x c t? ? u2 1? 2 c

y? ? y z? ? z

vx ? u v? x ? u 1 ? 2 vx c vy u2 v ?y ? 1? 2 u c 1 ? 2 vx c 2 vz u v? 1? 2 z ? u c 1 ? 2 vx c 2

力学主要公式
(7)长度收缩和时间延缓
u2 动 长 ? 原 长? 1 ? 2 c
?t ? ?t ? u2 1? 2 c

(8)相对论的质量和动量

m?

m0 v 1? 2 c
2
2

? ? m0

? ? P ? mv

(9)相对论能量

E ? mc

mc 2 = Ek + m0 c 2

3

力学主要公式
(10) 连续性方程
无粘滞性且不 可压缩的流体

?S1? 1 ? ?S 2? 2 —连续性定理
(11) 伯努利方程

1 2 P ? ?? ? ?gh ? 常量 2
上式表明压强、动能体密度、 势能密度三项之和在流线上 各点处处相等。

4

第25届(2008)考题
例1:在一车厢内,由图示的水平桌面、质量分 别为mA和 mB的物块A和B、轻绳和质量可忽略 的滑轮装置。(1)系统无摩擦,车厢具有竖直 向上的加速度a0,则物块B相对车厢竖直向下的 加速度a_____。(2)设与水平桌子侧面的间的 摩擦因素μ≥ mA/mB,系统其余部位无摩擦,今使车
厢具有水平朝右的加速度a0,则a0的取值范围为_____ 时,能使物块B相对车厢不动。 mB A (1)F0 ? ma0 竖直向下 a ? ( g ? a0 ) m A ? mB
mB g (2)F0 ? ma0 水平向左 a 0 ? m A ? ?mB
B
5

第24届(2007)考题
[例2]: 在一个竖直的平面内有三个质点A、B、 C,某一时刻它们恰好位于每边长为2米的正方 形三个顶点上,方位如图所示。设此时C无初速 地自由下落, ? B以1m/s的速度竖直向下运动,A 则以初速度 ? A开始自由运动。不计空气阻力, 如果A恰好在C落地时刻同时击中 B、C,则C初始离地 ? 19.6 2 面的高度为 _______m , ? A的大小为_______m/s.
? 2 ? ? A cos?t A ? A:? 1 2 2 ? h ? ? A si n?t ? gt ? 2m 2 ? 1 2 1 2 B : h ? 2 ? 1t ? gt C : h ? gt 2 2
2m B 2m 2m
6

C

第28届(2011)考题
例3: 如图所示,小球从竖直平面的O点的斜上方 抛出, 抛射角为θ, 速度为υ0, 在此竖直平面内作 OM射线与小球抛射方向垂直,小球到达OM射线 时的速度分解为图示中与OM射线垂直方向的分 ? 0∥= ____。 2?0tg? 量υ⊥和平行分量υ∥,则υ⊥= ____,υ
d? x ? a x ? g sin? ? ? ? dt ? d? y ?a y ? - g cos? ? ? dt ?

y υ0

? ? x ? g sin ?t ? ?? y ? - g cos ?t ? ? 0 ? x ? g sin ?t 2 / 2 ? 2 y ? g cos ? t / 2 ? ?0t ?

O

?

水平线

当y ? 0时 ? 2? 0 t? g cos?

υ⊥

M x
7

υ∥

第24届(2007)考题
例4:金属丝绕着铅垂轴弯成等距螺旋线,螺距 h=2cm,旋转半径R=3cm,在金属丝上穿一小 珠,小珠-由无初速度开始下滑,不计摩擦。小 珠在第一圈螺旋末端处的水平方向速度的大小 0.62 12 ? 94 m/s2。 为_____m/s ,总的加速度大小为_____ 2 m? / 2 ? mgh ? ? ? 2gh 2πR A B ?水平 ? 2gh sin? ? 0.62m / s
a ? a ?a
2 ? 2 n

h θ

υ

2 2 2 ? ( g cos ? )2 ? (? 水 / R ) ? 12 . 94 m / s 平 h 2?R ? 0.106 sin? ? ? 0.994 cos? ? 2 8 2 2 2 h ? ( 2 ? R ) h ? ( 2?R)

C

第22届(2005)考题
例5:质量m、半径R的匀质圆板静止在光滑 ? 水平面上,极短时间内使其受水平冲量 I , 有关的几何方位和参量如图所示。圆板中心 ? ? O点将因此获得速度 ? = I / m ,同时圆板 将绕过O点的竖直轴以角速度ω= I / mR 旋 转。 m ? ? ? ? ? I ? F?t ? m? ? ? ? I / m O R/2 R M?t ? J?
R 1 2 F ? ?t ? mR ? ? F?t ? mR? 2 2 I ? mR ? ? ? ? I / mR
I
9

第28届(2011)考题
例6:如图所示,由三根相同的均匀细杆连成等 边三角形刚体框架的每边长a,总质量M。将框 架相对于过框架上任意一点P且垂直于框架平面 的转轴的转动惯量记为Ip,所有Ip 中最小者所对
各边中点, 所有 Ip 中最大者Imax 应的P点必定在 ________
1 与Imin之间的差值 ________ Ma 2 。 4

10

第23届(2006)考题
例7:如图所示,长为l、质量为M的匀质重梯上 端A靠在光滑的竖直墙上,下端B落在水平地面 上,梯子与地面的夹角为60℃。一个质量也为 M的胖男子从B端缓慢爬梯,到达梯子中点时, 梯子尚未滑动,据此可知梯子与地面间的摩擦 3 / 6 。令质量为2M/3的瘦男子替换胖男 因数μ= _____ 子从B端缓慢爬梯,为使梯子不会滑动,他可到 A l/2 。 达的最高位置与B端相距_____ 对梯:未滑动时 合外力为0 合外力矩为0

60? 11

B

第28届(2011)考题
例8:水平静止的车厢中, 用一根劲度系数 为 k的轻弹簧水平静止地连接质量为m的小滑块 ,滑块与车厢底板间无摩擦。今如图示使车 厢以固定的加速度a0水平向右运动,小滑块 将在车厢内左右振动,振动频率ω k/m , 振幅Ama0 /k 。 ? a0 平衡位置 F0 ? T ? ma0 ? kx0 解: F0

d2x T x 任一位置 - T - F0 ? m 2 o dt x0 ma0 k d2x d2x k 2 A ? x0? - k ( x - x0 ) - ma0 ? m 2 ? x?0 ? ? 2 m k dt dt m ? ? - A? sin? ? 0 ? ? ? 0 x 0 ? A cos? 12 x ? A cos(?t ? ? ) x

第22届(2005)考题
例9:静质量为2m0的物块,从静止状态自发的 分裂成两个相同的小物块,以一样的高速率v 朝着相反的方向运动。若与外界无能量交换, 那么每一小块的质量为 m0 ,每一小块 的静质量为
m0 1 ?

?2
c 2。

2m0 c 2 ? 2mc2 ? m ? m0
?m ? m静 1?

?2
c2

? m静 ? m 1 ?

?2
c
2

? m0 1 ?

?2
c2
13

第20届(2003)考题
例10:飞船静止时体积为V0,平均密度为ρ0, 3 相对地面以 ? ? 5 c 高速飞行时,地面参
1 V0 ? 0 c 2 考系测得它的动能为Ek 4 ,平均 25 ?0 密度为ρ 16 。
2 2

解: ? m0 ? V0 ? 0

1 2 ? E k ? mc ? m0 c ? ? m c ? V ? c 0 0 0 2 4 ?? ? 1? ? ? ?c?
2

m0 c 2

??

m ? V

m0 ?? ? 1? ? ? ?c?
2

25 ?? ? V0 1 ? ? ? ? ? 0 16 ?c?
14

2

第26届(2009)考题
例11:如右图所示,底部开有小孔的瓶内盛水 2 gH 。 高度为H,静止直立时,小孔流速υ1=______ 若改为用右手拇指堵住底部小孔,其余四指捏 住瓶体,使其仍处于静止直立状态,而后右手 将瓶子竖直上抛,略去空气阻力,此时小孔流 0 速υ2=______ 。
1 P0 ? ??12 ? P0 ? ?gH 1 2
因瓶子竖直上抛, 瓶中的水受到一个向 上的惯性力, 故瓶中的水不会流出。
15

H

第23届(2006)考题
例12:在水平地面上的一个桶内盛有高度为 h1+h2的水,同侧面有一小孔,孔与水面相距h1, 2 gh1 水从小孔流出时的速度为υ1=______,对应水 的射程为S1,如图所示。如果小孔的位置改取 在水面下方h2处,对应的水平射程记为S2,则 S2-S1=______。 0 1 h1 2 P0 ? ??1 ? P0 ? ?gh1 ν1 2 2 h2 ? ?12 ? 2 gh1 同理 ? 2 ? 2 gh2 1 2 h2 ? gt ? S1 ? ?1t S1 2 S1 ? 2 h1h2 同理 S2 ? 2 h1h2 16

? 例13:如图,光滑绝缘水平桌面上有场强为 E

第27届(2010)考题

的均匀电场,质量为m、半径为R的匀质簿圆板 均匀带电,电量q>0。可以过圆周上的P1或P2或 P3点设置一个竖直、光滑、绝缘转轴,P1、P2、 P3的方位已经在图中标出。设置转轴后,从静 止释放的圆板便会作定轴转动,转动角速度的 最大值依次记为ω1max、ω2max、ω3max,三个中最 ? 3max 大者为_______ 。 E P3 当角速度达到此值时, 45 q 转轴提供的支持力大 m P 1 小为_____________ 。 1 (7 ? 2 2 ) Eq
?

3

P2

17

分析:
因为带电体处在外电场中,所 E O3 以具有初始的电势能。处在三 ? P3 45 个位置时的电势能分别为:0 q O F电 经过一段时间后,其电势能的 m 改变分别为: P1 P 1 O1 : ?W 1? EqR ( 减 少) P2 P 2 O2 : ?W 2 ? EqR ( 减 少)

1 ?W ? J? 2 ? 0 根据能量守恒: P3点的ω3max最大 2 1 1 ? 且 Eq( R cos45 ? R) ? ( mR2 ? mR2 )? 32max 2 2

P3 O3 : ?W 3 ? Eq( Rcos45? ? R ) ( 减 少)

轴提供的支持力为: F ? Eq ? m?

2 3max

R

1 ? (7 ? 2 18 2 ) Eq 3

力学主要内容
例14:两个均质圆盘转动惯量分别为J1和J2, 开始时第一个圆盘以?10的角速度旋转,第二 个圆盘静止,然后使两盘水平轴接近,求:当 接触点处无相对滑动时,两圆盘的角速度。

?10

r1

r2

19

力学主要内容
解:受力分析 无竖直方向上的运动

N1 ? f ? m1 g N 2 ? f ? m2 g
以O1点为参考点 计算系统的外力矩:

?10
o1 O

N1

N2

f
r1
o O22
r2

f

M ? ( N 2 ? m2 g )(r1 ? r2 )

m1 g

m2 g
20

? ? f (r1 ? r2 ) ? 0

力学主要内容
作用在系统上的外力矩不为0,故系统的角动量不守恒。 只能用转动定律做此题。

对于盘1:以O1为轴

d? 1 J1 ? ? fr1 阻力矩 dt d?1 fr1 ?? dt J1 fr1 d?1 ? ? dt J1

?10
o1

N1

N2

f
r1
o2
r2

f

m1 g

m2 21 g

力学主要内容
t fr2 r2 d? 2 ? dt 两边积分 ? d? 2 ? fdt ? J2 J 2 0 0 t J1 J2 r2 于是有: (?10 ? ?1 ) ? ?2 ?2 ? fdt ? r1 r2 J2 0 N1 N2 不打滑条件:r1?1 ? r2?2

?2

接触点处两盘的线速度相等
2 1 2 2 1 2

?10

f

J r ?10 可解得: ?1 ? 2 J r ? J 2 r1 J 1r1r2 ?10 ?2 ? 2 2 J 1r2 ? J 2 r1

r1
o1

o2

r2

m1 g

f m2 22 g

第25届(2008)考题
例15: 长L的均匀软绳静止对称地挂在光滑固定 的细钉上, 如图1所示。后因扰动, 软绳朝右侧滑 下, 某时刻左侧绳段长度记为x, 如图2所示。 (1)x(x<L/2)达到何值时,细钉为软绳提供 的向上支持力N恰好为零? (2)N恰好为零时, 突然将细钉撤去, 再经过多 长时间t, 软绳恰好处于伸直状态? L L 解:(1)由能量守恒得 x
1 L/ 2? x 2 M? ? Mg( L / 2 ? x ) 2 L

υ

x

2

2

L-x

L/2

L/2-x
L/2-x

υ 图1

1 2g ?L ? 2 x ? ?? 2 L

图2
23

此时软绳向下动量为(左端动量向上, 右端动量向下): ( L ? x) ? x M 2g ?L ? 2 x ?2 P? M? ? L 2L L 由质心运动定理, 得
dx dP 2 Mg 2 N ? Mg ? ? Mg ? 2 ? L ? 2 x ? (注意 dt ? ?? ) dt L N恰好为零时,对应的x便为

1 x ? x0 ? ( 2 ? 2 ) L 4
(2)x = x0时,有

1 2g 1 ?L ? 2 x0 ? ? gL ?? 2 L 2

24

取初速方向竖直向下,大小为υ的自由 落体参考系S,S系中软绳右侧绳段初 速为零,左侧绳段竖直向上初速为 ?0 ? 2? ? gL 质心法:初始质心坐标为

υ0

0 B

x0
C
L-x0

S

x0 x0 由系统的动量: M? c ? M? 0 ? ? c ? ? 0 L L 此后B、C在S系中一直作直线运动, ? L BC ? 经时间t,两点的距离增加为 2 ? 2 L ? x0 x0 14 ? 9 2 L BC ? BC ? ? ? t? ? ?0 ? ?c 4 g L ? x0 ? 0

L ? x0 x 1 2 1 1 ? x0 x ? x0 ? ( L ? x0 ) 2 xc ? ? ? Mdx ? ? Mdx? ? 0 2L M? 0 L L ? 2L 2 L2 ? 4 Lx0 ? 2 x0 BC ? xc ? x0 ? 2L

25

动量法:S系中左侧的绳段无论剩余多少,向上速度 υ0不变,右侧绳段增加ζ时,向上的速度记为 υζ,过程态如右图所示,则 υ

? ? ( L ? x0 ) ? ? ? M ??? ? M? 0 ? L L ? ?

0

x0- ζ

(L-x0)+ ζ

? ? ?? ? ?0 L ? x0 ? ? 因此获得左、右速度差为 ? 0 ? ?? ?

S系

υζ

dt 时间内左侧向右侧输运绳段dζ L ? x0 1 d? ? (? 0 ? ?? )dt ? ? 0dt 2 2( L ? x0 ? ? )

L ? x0 ?0 L ? x0 ? ?

? ? dt ? ?
0 0

t

x0

0

2 L ? x0 x0 14 ? 9 2 L 2( L ? x0 ? ? ) ? ? d? ? t ? L ? x0 ? 0 4 26 g L ? x0

第22届(2005)考题
例16:如图所示, 光滑水平面上有一半径固定的 圆环,长为2L的均质细杆可无相对滑动的绕着圆 环外侧运动,直到细杆的B端与环接触后彼此分 离,已知细杆与圆环间的摩擦系数μ处处相同, 试求μ的取值范围。
A

L

C

L

B

解:细杆旋转角速度为ω0, 转过 θ角时角速度记为ω, 由图示可知 1 1 2 2 J P ? ? J C ? 0 其中 2 2 1 2 2 J P ? J C ? mr , J C ? ml 3 ? l ? 解得: ? ? 2 0 2 l ? 3r

R

?
R
R?

? ?

力学主要内容
r1 fr1 d?1 ? ? dt 两边积分 ? d?1 ? ? ? fdt J1 0 J1 t ? r1 ?10 ? ?1 ? ? fdt N2 N1 J1 0
10

?1

t

对于盘2:以O2为轴 d? 2 J2 ? fr2 dt d? 2 fr2 ? dt J2 fr2 d? 2 ? dt J2

?10

f

r1
o1

o2

r2

f

m1 g

m2 g 28

第22届(2005)考题
?? ? l
2 2

l ? 3r l ? 3r C点沿着圆的渐开线运动,其切向和法向加速度分别为 2 2 2 4 ?0 l r d? C d? C dr d? ?0 l R 2 aC法 ? ? r ? 2 aC切 ? ? ? 2 2 2 dt dr d? dt (l ? 3r ) l ? 3r 2 根据牛二定律,细杆受环的的弹力和沿杆方向的摩擦 力分别为 f aC法 N ? maC切,f ? maC法 且? ? ? N aC切 2 2 ( l ? 3 r )r 即 得? ? ? 2 f l R
2 2

?0 ?? c ? ?r ?

?0 l

r 且r ? R?

又?0 ? r ? l

4l ?? ? R

?

R

R?

? ?

N

力学主要内容
例17: 质量为2m,半径为R的均质圆盘形滑 轮,挂质量分别为m和2m的物体,绳与滑轮之 间的摩擦系数为?,问?为何值时绳与滑轮之 间无相对滑动。

解: 受力分析

T2

T1

T2

T1

2m g

mg

2m

m

力学主要内容
列方程: m : T1 ? mg ? ma
?

T2

T1

2m : 2mg ? T2 ? 2ma
滑轮: 1 T2 2mR2 ? ? RT2 ? RT1 2 不打滑的条件: a ? R? 由以上四式解得: 3 5 T2 ? mg T1 ? mg 2 4
T1

a
2m g

a
mg

力学主要内容
绳中的张力分析 任取线元 dl ? Rd? T ? dT 此线元切向运动方程为: d? d?
T cos 2 ? df ? (T ? dT ) cos 2
d? 2

d?

dN

此线元法向运动方程为: d? d?
dN ? T sin 2 ? (T ? dT ) sin 2

?
T2

T
T1

df
d? 2

df ? ?dN d? d? d? ? 1 sin ? 利用近似:cos 2 2 2 忽略二阶无穷小量,得到: ?dN ? dT 和dN ? Td?

力学主要内容

?dN ? dT
dN ? Td ?
当 T ? T2

dT 两式相除得到: ?d? ? T
??

解此方程得到:T ? T1e 时, ? ? ?

6 于是得到摩擦系数为: ? ? ln ? 5

1

力学主要内容
例18:一个质量为m 的卫星围绕着质量为M,半径为R 的大星体作半径为 2R的圆周运动。从远处飞来一个 质量为2m, 速度为 ? ?
GM R

的小流星。恰好沿着卫

星运动方向追上卫星并和卫星发生激烈碰撞,结成新

的星体, 作用时间非常短。假定碰撞前后位置的变化可
以忽略不计,新星的速度仍沿原来方向。

(1)试用计算表明新星的轨道类型,算出轨道的偏心率.
(2)如果小流星沿着卫星速度的反方向发生如上的碰 撞给出新星体能否与大星体 M碰撞的判断。

(1)解: 轨道类型与新星 的机械能的正负有关. 如果动能大于势能, 新星可以摆脱地球的 吸引,轨道成为非闭合的 如果动能小于势能,

? v

?

? v?

b

?

a

新星不能摆脱地球的

r远 ? r近 的正负来判断轨道的类型. 偏心率的定义为 e ? r远 ? r近
35

吸引,轨道成为闭合的,即椭圆轨道.可以用新星的机械

力学主要内容
为了计算碰后的机械能,首先要计算出碰后的速度. 设碰后新星速度为? ? 碰撞过程动量守恒. 碰前卫星的运动方程为

?

Mm m ?G 2R ( 2 R)2

?12

GM 求得碰前卫星的运动速度: ?1 ? 2R
碰撞过程动量守恒

m?1 ? (2m)? ? ?m ? 2m ?? ?

2 2 ? 1 GM 求得碰后新星的运动速度: ? ? ? 3 2R
此时的位置相当于在新星运动的近地点.

力学主要内容
我们计算新星近地点的机械能 1 M ( 3m ) 4 2 ? 9 GM ( 3m ) 2 E ? ?3m ?? ? ? G ? ?0 36 R 2 2R 说明新星作椭圆轨道运动. 下面我们讨论一下新星的机械能与远地点距离关系

2R(3m)? ? ? r远 ?3m? ?远
得到

新星运动角动量守恒

? v?

b

?

2R 2 2 ?1 ?远 ? ?? ? 2GMR r远 3r远
代入远地点的机械能表达式

a

r远

力学主要内容
1 M ( 3m ) 2 E ? ( 3m )? 远 ? G 2 r远
此能量应等于新星在近 地点的机械能
? v?
b

?

a

r远

1 2 2 ? 1 2GMR M ( 3m ) 4 2 ? 9 GM ( 3m ) E ? ( 3m ) ?G ? 2 2 9r远 r远 36 R

?

?

2

经化简得到

?2

2 ?1 R 1 9?4 2 ? ? ?0 2 9r远 r远 36R

?

2

解得

? ? 18R 2 9?4 2 r远 ? ? 1 ? 2 2 ? 1 ? 1? ? 8.8 R 81 ? ? ? ? 9?4 2

?

?

力学主要内容
r远 ? r近 ? 0.63 偏心率 e ? r远 ? r近
(2)解:反方向碰撞,设碰后新星体的速度为 ? ?
GM 碰前卫星的速度: ?1 ? 2R GM 碰前流星的速度: ? ? R

质量为m

质量为2m

?? 碰撞过程动量守恒 ? m?1 ? (2m)? ? ?m ? 2m ?

2 2 ? 1 GM 求得碰后新星的运动速度: ? ? ? 3 2R 此时的位置相当于在新星运动的远地点。

力学主要内容
我们计算新星远地点的机械能

1 M ( 3m ) ? 4 2 ? 9 GM ( 3m ) 2 E ? ?3m ?? ? ? G ? ?0 2 2R 36 R
说明新星作椭圆轨道运动. 新星运动角动量守恒 得到
? v?

2R(3m)? ? ? r近 ?3m? ?近

?

2R 2 2 ?1 ?近 ? ?? ? 2GMR r近 3r近
代入近地点的机械能表达式

1 M ( 3m ) 2 E ? ( 3m )? 近 ? G 2 r近 此能量应等于新星在远地点的机械能

? v?

1 2 2 ? 1 2GMR M ( 3m ) E ? ( 3m ) ?G 2 2 9r近 r近 ? 4 2 ? 9 GM ( 3m ) ? 36 R 2 2 2 ?1 R 1 9? 4 2 经化简得到 ? ? ?0 2 9r近 r近 36R

?

?

2

?

?

?

? ? 18R 2 9? 4 2 2 2 ? 1 ? 1? ? 0.4 R ? R 解得 r近 ? ? 1 ? 81 9 ? 4 2 ? ? ? ? 肯定与大星体相碰。 41

?

?

力学主要内容
例19: 质量分别为4m和m的两质点A、B能沿x轴 无摩擦地运动, 两质点间有大小为kr的相互吸引 力, 其中k是正值常数, r是两质点间的距离, t=0 时, 质点A位于x=5a处, 质点B位于x=10a处, 均处 于静止状态, 求 (1) 两质点发生碰撞的x值; (2) 在将发生碰撞的时刻两质点的相对速度; (3) 如碰撞是弹性的,碰撞后到再次发生碰撞经 历的时间。 x 5a 10a 解:(1) 取质点A为参考系 0 质点B相对于A 4m ? m 4 ? r? ? ? kr ? ? r? ? kr ?0 42 的运动方程为 4m ? m 5

? 10 ? x ? 20 ? 0 当t ? 0时,x10 ? 5a,x20 ? 10a,x ?0 ? x ? 20 ? x ? 10 ? 0 r0 ? x20 ? x10 ? 5a,r ? 5k ? 4 ? ? r? ? kr ? 0 微分方程的通解为: r ? C cos? t ? ? ? 4m ? 5 ? ? 由初始条件可得出: C ? 5a,? ? 0 ? 5k ? ? ? r ? 5a cos? t (1) ? 4m ? ? ? ? 5k ? 5k ? ?2 ? x ?1 ? r ? ? 5a x si n? t ( 2) ? ? 4m ? 4m ?
? 1 ? mx ?2 ? 0 由动量守恒 4mx (3)
43

? 5k ? 5k ? ?1 ? a 由( 2)(3)得 x si n? t ? 4m ? 4m ? ?

对上式积分,用初始条件t=0, x10=5a得
t

碰撞时,r=0, 由(1)式此时t=t1
5k ? t1 ? 4m 2

? 5k ? ? 5k ? 5k ? ?dt ? 5a ? a cos? ? 1 ? 5a ? ? a t ? 1 x sin? t ? 4m ? ? 4m ? 0 4m ? ? ? ?

4m m ? t1 ? ?? 2 5k 5k ? ? ? ? x1 ? 5a ? a? cos ? 1? ? 6a 2 ? ? x2 ? x1 ? 6a

?

(2) 在将发生碰撞的时刻两质点的相对速度
5a 5k ? 5k ? 5k ? ? ? 2 ( t1 ) ? x ? 1 ( t1 ) ? ? 5a x sin? t ? 4m 1 ? 2 m 4m ? ? m (3)再次发生碰撞经历的时间 ?t ? 2? 5k

44

第26届(2009)考题
例20: 静止于太空惯性系S的飞船,主体质量(不包含燃
料)质量为M0, 携带的燃料质量为MR, 某时刻发动机点火 使飞船开始沿直线方向朝前加速运动。已知单位时间燃 料质量为m0, 燃料全部生成物的喷射速度(生成物相对飞 船的朝后速度)为常量u,在一直到燃料烧尽的全过程中 ,试求: (1)飞船加速度的最小值amin和最大值amax; (2)飞船末速度υe; (3)初始时刻飞船发动机提供的功率(单位时间燃料在 燃烧过程中释放的内能,也就是单位时间内系统动能的 增量)Pi和全过程时间内的平均功率P; (4)发射功率(飞船最终获得的动能占发动机释放的全 部燃料内能之比)η; 45 (5)α=MR/M0为何值时(给出1位有效数字),η取极大值

解:(1) 设t时刻飞船(飞船+剩余燃料)质量为M, 速度为υ,经过dt时间燃料烧掉-dM=m0dt, 飞船 速度增加为υ+dυ, 由动量守恒可知: M? ? ( M ? dm)(? ? d? ) ? dm(? ? d? ? u) 或 M? ? ( M ? dM)(? ? d? ) ? (?dM)(? ? d? ? u)
Md ? ? udM ? 0

将dM=-m0dt, dυ=adt代入上式,得 m0 d? udM um0 MR ? u a? ?? ? (0 ? t ? ) dt Mdt M M 0 ? M R ? m0 t m0 即有 m0 m0 MR u (t ? 0时) amax ? u (t ? 时) amin ? M0 ? M R M0 m0 46

(2) 对 Md ? ? udM ? 0 进行积分 ? d? M dM M0 ? M R ?0 ? ? ?M ? M M ? 0 ? ? ? u ln M (3) 在t→t+dt时间内,系统的动能增量为
0 R

1 1 ?1 2 2? dEk ? ? ( M ? dM )(? ? d? ) ? (?dM )(? ? u) ? ? M? 2 2 ?2 ? 2 1 2 ? ( Md? ? udM )? ? u dM (? Md? ? udM ? 0) 2 1 2 1 2 ? ? u dM ? m0 u dt 2 2 dEk 1 dEk 1 2 2 P ? ? m u ? P (t ) ? ? m0 u 0 dt 2 dt 2
47

(4) 飞船最终获得动能为

M0 ? M R ? 1 1 2 2? ? E k ? M 0? ? M 0 u ? ln ? ? 2 2 M 0 ? ? MR 1 释放的全部内能为 U内 ? P ? M R u2 m0 2 2 Ek M0 ? M0 ? M R ? ? ? ? ln 效率为 ? ? ? ? U内 M R ? M0 ? 1 2 (5) 将MR=αM0代入上式,得 ? ? ?l n (1 ? ? )?

2

? d? 1 1 1 2 ? ? ? 2 ?ln( 1 ? ? )? ? ?ln( 1 ? ? )? ?0 d? ? ? 1?? 2? ln( 1??) ? 1?? 48

? 1 2 3 4 5 2? 1 1.33 1.5 1.6 1.67 1?? ln( 1 ? ? ) 0.69 1.10 1.39 1.61 1.79 ? 48% 60% 64% 65% 64%
当? ? 4时,? ? ?max ? 65%

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