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高二数学必修5解三角形单元测试题及答案


高二数学必修 5 解三角形单元测试题
(时间 120 分钟,满分 150 分) 一、选择题: (每小题 5 分,共计 60 分) 1. 在△ABC 中,a=10,B=60°,C=45°,则 c 等于 ( A. 10 ? 3 B. 10 3 ? 1 )

?

?

C. 3 ? 1

D.

10 3

2. 在△ABC 中,b= 3 ,c=3,B=300,则 a 等于( ) A. 3 B.12 3 C. 3 或 2 3 D.2 3. 不解三角形,下列判断中正确的是( ) 0 A.a=7,b=14,A=30 有两解 B.a=30,b=25,A=1500 有一解 C.a=6,b=9,A=450 有两解 D.a=9,c=10,B=600 无解 4. 已 知 △ ABC 的 周 长 为 9 , 且 s i nA : s i n : s i n ? 3 : 2 : 4 , 则 cosC 的 值 为 B C ( ) 1 2 1 2 A. ? B. C. ? D. 4 3 4 3 a?b?c 5. 在△ABC 中,A=60°,b=1,其面积为 3 ,则 等于( ) sin A ? sin B ? sin C 2 39 8 3 39 A.3 3 B. C. D. 3 3 2 6. 在△ABC 中,AB=5,BC=7,AC=8,则 AB ? BC 的值为( ) A.79 B.69 C.5 D.-5 C 7.关于 x 的方程 x 2 ? x ? cos A ? cosB ? cos2 ? 0 有一个根为 1,则△ABC 一定是 2 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 8. 7、已知锐角三角形的边长分别为 1,3,a,则 a 的范围是( ) A. ?8,10 ? B.

?

8 , 10

?

C.

?

8 ,10

?

D. 10 ,8

?

?

9. △ABC 中,若 c= a 2 ? b 2 ? ab ,则角 C 的度数是( ) A.60° B.120° C.60°或 120° D.45° 10. 在△ABC 中,若 b=2 2 ,a=2,且三角形有解,则 A 的取值范围是( ) A.0°<A<30° B.0°<A≤45° C.0°<A<90° D.30 ° < A < 60° 11.在△ABC 中, tan A ? sin 2 B ? tan B ? sin 2 A ,那么△ABC 一定是 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形 12. 已知△ABC 的三边长 a ? 3, b ? 5, c ? 6 ,则△ABC 的面积为 ( A.
14



B. 2 14

C. 15

D. 2 15

二、填空题(每小题 4 分,满分 16 分) 13.在△ABC 中,有等式:①asinA=bsinB;②asinB=bsinA;③acosB=bcosA;④
a b? c . 其中恒成立的等式序号为______________ ? sin A sinB ? sin C

14. 在等腰三角形 ABC 中,已知 sinA∶sinB=1∶2,底边 BC=10,则△ABC 的周长 是 。 15. 在△ABC 中,已知 sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7,则此三角形的最大内角的度数 等于________. a2 ? b2 ? c2 16. 已知△ABC 的三边分别是 a、、, b c 且面积 S ? , 则角 C=____________. 4 三、解答题(84 分) 20 17. 在△ABC 中,已知 AB ? 10 2 ,A=45°,在 BC 边的长分别为 20, 3 ,5 3 的情况下,求相应角 C。 (本题满分 12 分)

18. 在△ABC 中,已知 a-b=4,a+c=2b,且最大角为 120°,求△ABC 的三边长. (本题满分 12 分)

19. 在△ABC 中,证明:

cos 2 A cos 2 B 1 1 ? ? 2 ? 2 。 (本题满分 13 分) 2 2 a b a b

20. 在△ABC 中,若 sin A ? sin B ? sin C ?cos A ? cos B ? . (1)判断△ABC 的形状; (2)在上述△ABC 中,若角 C 的对边 c ? 1 ,求该三角形内切圆半径的取值范围。 (本题满分 13 分)

21. 如图 1,甲船在 A 处,乙船在 A 处的南偏东 45°方 向, A 有 9 海里并以 20 海里/时的速度沿南偏西 15°方向 距 航行,若甲船以 28 海里/时的速度航行,应沿什么方向,用 多少小时能尽快追上乙船? (本题满分 12 分)

北 A 45° B 15°

C 图1

22.在△ABC 中, 已知角 A、 C 所对的边分别是 a、 c, c= B、 b、 边 tanA·tanB- 3 ,又△ABC 的面积为 S△ABC=

7 , tanA+tanB= 3 且 2

3 3 ,求 a+b 的值。 (本题满分 12 分) 2

高二数学必修 5 解三角形单元测试题参考答案 一、选择题 题号 1

2 C

3 B

4 A

5 B

6 D

7 B

8 B

9 B

10 B

11 D

12 D

答案

B

二、填空题 13. ②④ 三、解答题 14.50, 15.1200, 16. 450

17. 解答:27、解:由正弦定理得 sin C ? (1)当 BC=20 时,sinC=

AB sin A 10 ? BC BC

1 ;? BC ? AB ? A ? C ?C ? 30 ° 2

(2)当 BC=

3 20 ; 3 时, sinC= 2 3

? AB ? sin 45? ? BC ? AB ?C 有两解 ?C ? 60? 或 120° (3)当 BC=5 时,sinC=2>1; ?C 不存在 18. 解答:a=14,b=10,c=6

19. 证明:

? sin 2 A sin 2 B ? cos 2 A cos 2 B 1 ? 2 sin 2 A 1 ? 2 sin 2 B 1 1 ? ? ? ? 2 ? 2 ? 2? ? a2 ? b2 ? ? a2 b2 a2 b2 a b ? ?

由正弦定理得:
?

sin 2 A sin 2 B ? a2 b2

cos 2 A cos 2 B 1 1 ? ? 2 ? 2 2 2 a b a b

20. 解: (1)由 sin A ? sin B ? sin C ?cos A ? cos B ?
C ? 1 ? cosC ? 0 即 C=90° 2 ?△ABC 是以 C 为直角顶点得直角三角形 1 (2)内切圆半径 r ? ?a ? b ? c ? 2 1 ? ?sin A ? sin B ? 1? 2

可得 2 sin 2

?

2 ? ?? 1 sin? A ? ? ? ? 2 4? 2 ?

2 ?1 2

? 2 ?1? ? ?内切圆半径的取值范围是 ? 0, ? 2 ? ? ?

21. 解析:设用 t h,甲船能追上乙船,且在 C 处相遇。 在△ABC 中,AC=28t,BC=20t,AB=9,设∠ABC=α ,∠BAC=β 。 ∴α =180°-45°-15°=120°。根据余弦定理 2 AC ? AB2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC cos ? , 1 2 2 (4t-3) (32t+9)=0, ? 28t ? ? 81 ? ? 20t ? ? 2 ? 9 ? 20t ? (? ) , 128t 2 ? 60t ? 27 ? 0 , 2 3 3 3 9 解得 t= ,t= (舍)∴AC=28× =21 n mile,BC=20× =15 n mile。 4 4 4 32 3 15 ? BC sin ? 2 ? 5 3 ,又∵α =120°,∴β 为锐 根据正弦定理,得 sin ? ? ? AC 21 14 5 3 5 3 7 2 2 5 3 ? 角,β =arcsin ,又 < < ,∴arcsin < ,∴甲船沿南偏东 14 14 14 2 14 4 5 3 3 ? -arcsin 的方向用 h 可以追上乙船。 14 4 4 22. 解答:由 tanA+tanB= 3 tanA·tanB- 3 可得 tan A ? tan B =- 3 ,即 tan(A+B)=- 3 1 ? tan A ? tan B ? ∴tan(π -C)= - 3 , ∴-tanC=- 3 , ∴tanC= 3 ∵C∈(0, π ), ∴C= 3 3 3 1 3 3 1 3 3 3 又△ABC 的面积为 S△ABC= ,∴ absinC= 即 ab× = , ∴ab=6 2 2 2 2 2 2 7 ? 又由余弦定理可得 c2=a2+b2-2abcosC ∴( )2= a2+b2-2abcos 2 3 7 121 11 ∴( )2= a2+b2-ab=(a+b)2-3ab ∴(a+b)2= , ∵a+b>0, ∴a+b= 2 4 2


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