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第4节 函数的定义


第4节

函数的定义一、函数与映射

4、函数与映射的异同 函数 相同点 不同点 x:自变量 A 是非空数集 y:因变量 B 是非空数集 B 中元素不可剩余 A 中元素不可剩余 x:象 A 是非空集合,不一定是数集 y:原象 B 是非空集合,不一定是数集 B 中元素可剩余 映射

定义域 A

值域 B

不同点

对应法则 f

相同点

一对一行,多对一行,一对多不行 (A 中任意,B 中唯一) 方向性:y=f(x)与 x=f(y)是不同函数 方向性: f:A→B 与 f:B→A 是不同映射

三要素 小结 注:

不同点

定义域、值域、对应法则

原象、象、对应关系

函数是特殊的映射,映射是特殊的对应关系。

(1)定义域为空集的函数不存在 (2)三要素缺一不可,对应法则是核心,定义域是根本,当定义域和对应关系已确定,值域也就 确定了。 (3) f ( x) 表示一个整体,一个函数,记号“ f ”可以看做是对“x”施加的某种运算。 例如: f ( x) ? x 2 ? 3x ? 2 ,当 x=2 时,可以看做是对“2”施加了“先平方、加上它与 3 的乘积、 再加上 2”的运算;当 x 为某一个代数式(或某一个函数)时,则左右两边的所有 x 都要用同 一 个 代 数 式 (或 同 一 个函 数 ) 代 替 ,例 如 : f (2x ? 1) ? (2 x ? 1)2 ? 3(2 x ? 1) ? 2 ? 4 x2 ? 2 x ,

f [ g ( x)] ? [ g ( x)]2 ? 3g ( x) ? 2 。
(4) f ( x) 与 f (a)
f (a) 是函数 y ? f ( x) 中当 x ? a 时的函数值,是一个常数。 f ( x) 表示函数 y ? f ( x) 中自变量 x

对应的因变量,即 y。 例如:函数 f ( x) ? 2 x ? 1 中, f (a) ? 2a ? 1 ( a 是常数) 。 (5)判断图象能否确定函数:任作一条垂直于 x 轴的直线,判断该直线与图形是否至多只有一个 交点。 (6)判断同一函数:方法一: (1)A、B 是非空数集; (2)A 中任意,B 中唯一。
1

方法二:定义域和对应法则分别相同。 (7)一一映射:A、B 无剩余,元素一对一的映射。 (8)映射个数:若集合 A 有 n 个元素,集合 B 有 m 的元素,则从 A 到 B 的映射最多可以有 mn 个。

二、区间
设 a 、 b 是两个实数,而且 a ? b 。 区间表示 不等式表示 集合表示 名称
a? x?b a? x?b
a? x?b a? x?b

数轴表示 记作
[ a, b]

读作 闭区间 a 、 b 开区间 a 、 b 开闭区间 a 、 b 闭开区间 a 、 b 闭区间 a 到正无穷 开区间 a 到正无穷 闭区间负无穷到 a 开区间负无穷到 a

{x | a ? x ? b} {x | a ? x ? b} {x | a ? x ? b} {x | a ? x ? b} {x | x ? a} {x | x ? a}

闭区间 开区间 半开半闭 区间

a a a

b b b

( a, b) ( a, b] [ a, b)
[a, ??)

a a a
a a

b

x?a

x?a
x?a

(a, ??)

无穷区间
{x | x ? a} {x | x ? a}
(??, a]

x?a
注:

(??, a)

(1)区间左端点值要小于区间右端点值,常作为隐藏条件使用,即 a ? b ; (2)区间符号里面两个字母或数字之间要用“, ”隔开; (3) “ ? ”无穷大,分为“ ?? ”正无穷大和“ ?? ”负无穷大两种,是一个符号,不是具体数。 (4)注意开区间 (a, b) 与坐标 (a, b) 的含义不同。

2

例 1 下列图形中,哪些能确定 y 是 x 的函数 y y

。 y y

O ⑴ y

x

O ⑵ y

x

O ⑶ y

x

O ⑷ y

x

O ⑸ y

x

O ⑹ y

x

O ⑺ y

x

O ⑻ y

x

O ⑼

x

O ⑽ 。

x

O ⑾

x

O ⑿

x

例 2 下列关系是函数的有

① y 2 ? 4 x ? 2 ; ② y ? x 2 ; ③ x2 ? y 2 ? 4 ; ④ x 2 ?| y | ; ⑤

x ?1 ? y ?1 ? 1 ; ⑥

y ? x ?1 ? 2 ? x 。
例 3 下 列 对 应 中 , 是 映射 的 有 有
开平方

,一一映射有

,是函数的


求正弦 求平方 乘以 2

9 4 1 ⑴
a1
a2 a3

3 ?3 2 ?2 1 ?1

30? 45? 60? 90?

1 2 2 2 3 2 1

1 ?1 2 ?2 3 ?3

1 4 9 ⑶

1 2 3 ⑷

1 2 3 4 5 6

a1
a2

b1
b2


b1
a1


b1

b1

a1
a2 a3

b1

a1
a2

a1
a2 a3

b1
b2

b2
b3 b4

a2
a3

b2
b3 b4

b3 b4

a3 a4

b3

b3 b4

a4

a4

a4











⑾ A ? {1, 2,3, 4} , B ? {3, 4,5,6,7,8,9} ,法则:乘 2 加 1; ⑿ A ? N ? , B ? {0,1} ,法则:B 中的元素 x 除以 2 得的余数;
3

⒀ A ? Z , B ? N * ,法则:求绝对值; ⒁ A ? {0,1, 2, 4} , B ? {0,1, 4,9,64} , f : a ? b ? (a ? 1)2 ; ⒂ A ? {x | x ? 2, x ? Z } , B ? { y | y ? 0, y ? N} , x ? A , f : x ? y ? x2 ? 2x ? 2 ; ⒃ A ? [1, 2] , B ? [a, b] ? ? , x ? A , f : x ? y ? (b ? a) x ? 2a ? b ; ⒄ A ? {三角形} , B ? {x ? R | x ? 0} , f : 对 A 中的三角形求面积与 B 中的元素对应; ⒅ A ? {x | x是三角形} , B ? {x | x是圆} , f : 每一个圆对应它的内接三角形;
2 ⒆ x ? , x ? 0, x ? R ; x

⒇ x ? y, y 2 ? x, x ? N , y ? R 。 ) 。

例 4 集合 A ? {x | 0 ? x ? 2} , B ? { y | 0 ? y ? 1} ,下列表示从 A 到 B 的映射的是( A. f : x ? y ?
1 x 2

B. f : x ? y ? 2 x

1 C. f : x ? y ? x 3

D. f : x ? y ? x

例 5 M ? {x | 0 ? x ? 2} , N ? { y | 0 ? y ? 3} ,给出下列四个图形,其中能表示从集合 M 到集合 N 的 函数关系的有( )。 2 1
O

y 2 1 1 2 x
O

y 3 2 1 1 2 x
O

y 2 1 1 2 x
O

y

A.0个 C.2个

B.1个 D.3个

1 2 ,

x

例 6 ( 1 )在对应法则 x ? y , y ?| x | ?b , x ? R , y ? R 中,若 2 ? 5 ,则 ?2 ?
? 6。

( 2 ) 点 ( a, b) 在 映 射 f 的 作 用 下的 象 是 (a ? b, a ? b) , 则 在 f 作 用 下 点 (3, 1)的 象 为 点 ________,点 (3,1) 的原象为点________。 例 7 将下列集合用区间表示出来: ( 1 ) {x|x ≥ 1}= 8}= 。 个。 ; ( 2 ) {x|x<1 或 x ≥ 2}= ; ( 3 ) {x|x=1 或 2 ≤ x ≤

例 8 f 是集合 X ? {a, b, c} 到集合 Y ? {d , e} 的一个映射,则满足映射条件的 f 可以有 例 9 下列各组函数中,表示同一个函数的有 ① y ? x ?1 和 y ? ④ f ( x) ? ⑦ f ( x) ? 。

x2 ? 1 ; x ?1

② y ? x2 和 y ? 1 ;

③ f ( x) ? x2 和 g ( x) ? ( x ? 1)2 ; ⑥ y ?| x | 和 y ? ( x )2 ; ⑨ f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1 与

( x )2 x 和 f ( x) ? ;⑤ y ? x 和 f ( x) ? 3 x3 ; 2 x ( x)

1 和 g ( x) ? x( x ? 0) ; x

⑧ y ? x0 和 y ? 1 ;

g (t ) ? t 2 ? 2t ? 1 。
例 10 函数 y ? f ( x) 的图象与直线 x ? 1 的公共点数目是( A.1 B.0 C.0 或 1 ) 。 D.1 或 2
4

随堂精练 1、设 f : M ? N 是集合 M 到 N 的映射,下列说法正确的是( A. M 中每一个元素在 N 中必有象 C. N 中每一个元素在 M 中的原象是唯一的 2、对于函数 y ? f ( x) ,一下说法正确的有 。 ) 。

B. N 中每一个元素在 M 中必有原象 D. N 是 M 中所有元素的象的集合

①y 是 x 的函数;②对于不同的 x,y 的值也不同;③ f (a) 表示当 x ? a 时函数 f ( x) 的值,是一 个常量; ④ f ( x) 一定可以用一个具体的式子表示出来。 3、判断下列对应关系是集合 A 到集合 B 的映射的有 。

?1, x ? 0 ① A ? B ? N? , f : x ? y ?| x ? 3 | ;② A ? R , B={0,1} , f : x ? y ? ? ;③ A ? B ? R , ?0, x ? 0

f : x ? y ? ? x ;④ A ? Z , B ? Q , f : x ? y ?

1 ;⑤ A ? N ? , B ? {?1,1, ?2, 2} , f : x ? (?1) x 。 x

4、设 M ? {1, 2,3, 4,5} , N ? {1,3,7,15,31} ,下列的 f : M ? N 是从 M 到 N 的函数的是( A. f : x ? x2 ? x ? 1 B. f : x ? x ? ( x ? 1)2 C. f : x ? 2x ?1 ? 1

) 。

D. f : x ? 2x ? 1 ) 。

1 1 5、在给定的映射 f : ( x, y) ? (2 x ? y, xy) , ( x, y ? R) 下,点 ( , ? ) 的原像是( 6 6

1 1 A. ( , ? ) 6 36

1 1 1 2 B. ( , ? ) 或 (? , ) 3 2 4 3

C. (

1 1 ,? ) 36 6

1 1 2 1 D. ( , ? ) 或 (? , ) 2 3 3 4

6、已知映射 f : A ? B ,其中 A=B=R,对应法则 f : y ? x2 ? 2 x ? 3 , x ? A , y ? B ,对于集合 B 中 的元素 1,下列说法正确的是( A.在 A 中有 1 个原象 无原象 7、若 A ? {1, 2,3, 4} , B ? {a, b, c} , a, b, c ? R ,则 A 到 B 的映射有 个, A 到 B 的函数有 个。 个, B 到 A 的映射有 ) 。 C.在 A 中有 3 个原象 D.在 A 中

B.在 A 中有 2 个原象

∩ {(x , y ) | x ? 1}中所含元素的个数有 8、已知函数 f ( x) , x ? F ,那么集合 {( x , y ) | y ? f ( x ), x ? F }

个。 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的有 ① y1 ? 。

( x ? 3)( x ? 5) , y2 ? x ? 5 ; ② y1 ? x ? 1 x ? 1 , y2 ? ( x ? 1)( x ? 1) ; ③ f ( x) ? x , x?3
3

g ( x) ? x2 ;④ f ( x) ?

x4 ? x3 , F ( x) ? x 3 x ?1 ;⑤ f1 ( x) ? ( 2x ? 5)2 , f 2 ( x) ? 2 x ? 5 。
2 2 , (1)求 f ( ?3) , f ( ) 的值; (2) a ? 1 时,求 f (a) , f (a ? 1) 的 x?2 3

10、已知函数 f ( x) ? x ? 3 ? 值。

5

第 5 节 函数的定义域和值域
知 识 点

一、函数的定义域
函数的定义域是自变量 x 的取值范围,但在实际问题中,定义域往往要受到实际意义的制约。 常见函数的定义域: 定义域 名称 形式 不等式表示 偶次方根 分母 0 次幂 注: (1)求定义域的实质就是把自变量的限制一一列出来,得到不等式组,为了不遗漏、不重复,在 列举时遵循从整体到局部的原则。 (2)如果 f ( x) 是由几部分的数学式子构成的,那么函数的定义域是使各部分都有意义的集合的交 集。 区间表示
[0, ??)

f ( x) ? x
f ( x) ? 1 x

x?0 x?0
x?0

(??,0)∪(0, ??) (??,0)∪(0, ??)

f ( x) ? x 0

二、函数的值域
函数的值域是由对应法则 f 对自变量 x 在定义域内取值时相应的函数值的集合。 求函数值域的常用求法: (1)观察法:通过对解析式的简单变形和观察,利用熟知的基本函数的值域,求出函数的值域; (2)配方法:若函数是二次函数形式,可通过配方后再结合二次函数的性质求值域,但要注意给 定区间上的二次函数最值的求法; (3)分离常数法:形如 y ? (4)判别式法:求形如 y ?
cx ? d c 的函数值域为 { y ? R | y ? } ; ax ? b a
a2 x 2 ? b2 x ? c2 的值域时,常利用函数的定义域非空这一隐含的条件, a1 x 2 ? b1 x ? c1

将函数转化为一个系数含有 y 的关于 x 的二次方程 a( y) x2 ? b( y) x ? c( y) ? 0 , 则在 a( y) ? 0 时, 由于 x, y 为实数,故必须有 ? ? b2 ( y) ? 4a( y) ? c( y) ? 0 ,从而确定函数的值域或最值;
6

(5)不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值; (6)换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的; (7)反求法:如求函数 y ?
5 。 { y | y ? 或 y? 1} 2
2y ?1 2y ?1 x ?1 ? ?4 , 解 得 ,?x ? ( x ? ? 4 )的 值 域 , 解 出 x ? 1 ? y 1? y x?2

三、抽象函数
没有具体的函数表达式,只以 y ? f ( x) 的形式出现的函数是抽象函数。 抽象函数的定义域求法: 原则: (1)定义域指的是 x 本身的范围; (2)对应法则 f 不变的前提下括号里的范围不变,即被 f 作用的对象的范围不变。

四、复合函数
如果函数 y ? f (t ) 的定义域为 A,函数 t ? g ( x ) 的定义域为 D,值域为 C,则当 C ? A 时,称函 数 y ? f [ g ( x)] 为 f 与 g 在 D 上的复合函数,其中 t 叫做中间变量, t ? g ( x ) 叫内函数, y ? f ( x) 叫 做外函数。 1、复合函数的解析式 (1)由里向外求:代入法。 (2)由外向里求:换元法。 (3)简单的复合的抽象函数:①作负代换;②作倒代换;③作负倒代换。 2、复合函数的定义域与值域 复合函数的定义域是由外函数的定义域、内函数的值域以及内函数的定义域共同确定的,值域 也是由内函数的定义域、内函数的值域以及外函数的值域共同确定的,其求法同上。 注: (1)通常,要求复合函数 y ? f [ g ( x)] 中,函数 y ? f ( x) 的定义域与函数 y ? g ( x) 的值域范围相同。 (2) f ( x) 与 f [ g ( x)] 中的“x” :含义不同,是用同一个字母表示两个不同函数的自变量,因此它们 的取值不一定相同;若 f ( x) 中的“x”与 f [ g ( x)] 中的“ g ( x) ”取相同的值时,它们所对应的 函数值相同,因为对应法则都是 f 。 (3) f [ g ( x)] 与 g[ f ( x)] 是两种不同的复合函数,但有可能结果相同。

例 题 例 1 求下列函数的定义域 (1) y ? 2 x ? 1 ? x (2) y ? x ? 1 ? x

x2 3) y ? x ? 8 ? 3 ? x (4) y ? (5) x ?1

7

y?

x?2 x2 ? 4
3

(6) y ?

2 x2 ? x ? 2 1 (7) y ? x ? 3 ? 2 x?2 x ? x?2
x2 ? 1 ? 1 ? x2 x ?1

( 8) y ?

x?4 ( x ? 1)0 (9) y ? x?2 x ?x

(10) f ( x) ?

x ?1 (11) f ( x) ? x ?1

(12) f ( x) ?
1?

1 1 1? 1 x ?x

例 2 已知函数 f ( x) 的定义域为[0,1] ,求下列抽象函数的定义域: (1) g ( x) ? f ( x ? 1) ; (4) g ( x) ? 3 f ( 2 ? x ) ? f (
1 ) x ?1

(2) g ( x) ? f ( x2 ) ; (3) g ( x) ? f (1 ? x) ? f (1 ? x) ; (5) g ( x) ? f ( x ? a) ; (6) g ( x) ? f ( x ? a) ? f ( x ? a) 。

例 3 等腰△ABC 的周长为 10,则底边长 y 关于腰长 x 的函数关系为 y ? 10 ? 2 x ,此函数的定义域 为( A.R ) B. {x | x ? 0} C. {x | 0 ? x ? 5} D. {x |
5 ? x ? 5} 2

例 4 若函数 y ? f (3x ? 1) 的定义域是 [1, 3] ,则 y ? f ? x ? 的定义域是( A. [1, 3] B. [2, 4] C. [2,8]

) 。 D. [3,9] ) 。

例 5 已知函数 y ? f ( x ? 1) 定义域是 [ ?2,3] ,则 y ? f (2 x ? 1) 的定义域是(
5 A. [0, ] 2

B. [ ?1, 4]

C. [ ?5,5]

D. [ ?3, 7]

例 6 求下列函数的值域 (1) y ?

x2 1 3x ? 1 ;( 2 ) ; ( 3) y ? ; (4) y ? 3x2 ? x ? 2 ; f ( x ) ? 2 2 x ?2 x?2 x ?1
5 ; (7) y ? 2x ? 4x ? 3
2

5) y ? ? x2 ? 6x ? 5 ;( 6 ) y ? (10) y ? y ? x ? 1 ? x2 ;

1 x ?x?2
2

; (8) y ? x ? 4 1? x ; (9)

2 x2 ? x ? 2 x2 ? x ? 1 ; ( 11 ) ; y ? x2 ? x ? 1 x2 ? x ? 1

(12) y ?| x ? 1| ? | x ? 4 | ; 例 7 若函数 y ?
1 2 x ? 2x ? 4 的定义域、值域都是 [2, 2b] ,则 b = 2 2x ,求 f [ f ( x)] 的解析式及其定义域。 x?2



例 8 已知 f ( x) ?

例 9 设函数 f ( x) ? 2x ? 3 , g ( x ? 2) ? f ( x) ,求 g ( x) 的解析式及其定义域。 例 10 已知函数 f ( x) 满足 2 f ( x) ? f (? x) ? x2 ? x ? 2 ,求 f ( x) 的解析式。

随堂精练

8

1、函数 f ( x) 的定义域是 [a, b] , b ? ?a ? 0 ,则函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) 的定义域是( A. [?a, a] 2、已知函数 f ( x) ? A. {x | x ? 1} 3、函数 f ( x ) ?
5 A. [ , ??) 4

) 。

B. [a, ?a]

C. [b, ?b] ) 。

D. [?b, ?b]

1 ,则函数 f [ f ( x)] 的定义域是( x ?1

B. {x | x ? ?2}
1 的值域是( 1 ? x (1 ? x )

C. {x | x ? ?1, ?2} ) 。
4 C. [ , ??) 3

D. {x | x ? 1, ?2}

5 B. (??, ] 4

4 D. (??, ) 3

4、下列四个函数:① y ? x ? 1 ;② y ? x2 ? 1 ;③ y ? 是( ) 。 B.②③

1 3x ? 2 ;④ y ? ,其中定义域与值域相同的 x x ?1

A.①② 5、函数 f ( x) ? A.3

C.①③ ) 。

D.②③④

cx 3 ,( x ? ? ) 满足 f [ f ( x)] ? x 则常数 c 等于( 2x ? 3 2

B.﹣3

C.3 或﹣3 ) 。

D.5 或﹣3

6、 g ( x) ? 1 ? 2 x , f [ g ( x)] ? A.1 7、已知函数 y ?
2

1 ? x2 1 ( x ? 0) ,则 f ( ) 等于( 2 2 x
C.15

B.3

D.20

2kx ? 8 的定义域为全体实数,求 k 的值。 k x2 ? 3kx ? 1

8、求函数 y ? ? x2 ? x ? 2 的定义域和值域。

9、 (1)若函数 f ( x) 满足 f (2x) ? (1 ? 2x)(1 ? 2x) ,求 f ( x) ; (2)已知 f ( x ? 1) ? 2 x2 ? 1 ,求 f ( x ? 1) ; (3)已知 f ( x2 ? x) ? x4 ? 2 x3 ? x2 ? 1,求 f [ f ( x)] 。
1 10、 (1)已知函数 f ( x) 满足 2 f ( x) ? f ( ) ? x2 ? x ? 2 ,求 f ( x) 的解析式; x

1 (2)已知函数 f ( x) 满足 2 f ( x) ? f (? ) ? x2 ? x ? 2 ,求 f ( x) 的解析式 x

第6节
知 识 点

函数的表示方法

一、函数的表示方法
9

列表法 内容 通过列出自变量与对应函数 值的表格来表示函数关系的 方法。

图象法 用函数的图像表示两个变量 之间关系的方法。

解析法 把两个变量的函数关系用一 个等式表示出来。 简洁明了, 能从解析式清楚看 到两个变量之间的全部相依 关系, 并且适合于进行理论分 析和推导计算。 不够形象、直观、具体,在求 对应值时,要做较复杂的计 算, 而且并不是所有的函数都 能用解析式表示出来。 中学阶段主要研究该类函数

优点

形象直观, 可以形象地反映出 对于表中自变量的每一个值, 函数关系变化的趋势和某些 可以不通过计算, 直接把函数 性质, 把抽象的函数概念形象 值找到,查询时很方便。 化。 表中不能把所有的自变量与 函数对应值全部列出, 所以只 能表示自变量可以一一列出 的函数关系, 而且从表中看不 出变量间的对应规律。 银行利率、列车时刻表等

缺点

从自变量的值常常难以找到 对应的函数的准确值。

应用范围 注:

企业生产图、股票走势图等

(1)函数的三种基本表示方法,各有各的优点和缺点,因此,要根据不同问题与需要,灵活地采 用不同的方法。在数学或其他科学研究与应用上,有时把这三种方法结合起来使用,即由已 知的函数解析式,列出自变量与对应的函数值的表格,再画出它的图象 (2)用图象法表示一个函数是数形结合的基础,函数的图像可以使一条直线(如正比例函数和一 次函数) ,一条曲线(如抛物线) ,也可以是由一些点、一些线段、几条曲线(如反比例函数) 构成。 (3)函数关系在客观实际中是广泛存在的,而不仅仅是能给出解析式的就是函数,有些函数反而 无法写出解析式;

二、函数的图象
1、函数图象的定义 在平面直角坐标系中,以函数 y ? f ( x) 中的 x 为横轴,函数值 y 为纵坐标的点(x,y)的集合, 就是函数 y ? f ( x) 的图象,它包含着以下两方面的含义:图象上每一个点的坐标(x,y)均满足函 数关系 y ? f ( x) ;反之,满足 y ? f ( x) 的每一组对应值 x,y 为坐标的点(x,y) ,均在其函数图象 上。 2、函数图象的作法 (1)描点法:列表→描点→连线。 描点法是做函数图象的基本方法,根据函数解析式,列出函数中 x 与 y 的一些对应函数 值的表,然后分别以它们为横、纵坐标,在坐标系中描出点,最后用平滑曲线将这些点连接 起来,就是函数图象。 (2)变换作图法:
向左平移a个单位 ? y ? f ( x ? a) ; ①平移: y ? f ( x) ??????

向右平移a个单位 y ? f ( x) ?????? ? y ? f ( x ? a) ;左加右减

10

向上平移b个单位 y ? f ( x) ?????? ? y ? f ( x) ? b ; 向下平移b个单位 y ? f ( x) ?????? ? y ? f ( x) ? b ;上加下减
关于x轴对称 ? ? y ? ? f ( x) ②对称: y ? f ( x) ???? 关于y轴对称 y ? f ( x) ???? ? ? y ? f (?x)

关于原点对称 y ? f ( x) ????? ? y ? ? f (? x)
保留x轴上方的图像 y ? f ( x) ????????? y ?| f ( x) | 把x轴下方的图像对称到上方 保留y轴右边的图像 y ? f ( x) ????????? ? y ? f (| x |) 把y轴右边的图像对称到y轴左边

注: (1)在定义域内作图; (2)图象是实线或实点,定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象; (3)宜标出某些关键点。例如,图象的顶点,端点与坐标轴的交点等,要分清这些关键点是实心 点,还是空心点; (4)若函数是分段函数,则应在同一直角坐标系中分段画出。 3、函数图象的应用 (1)由图象确定解析式 解决“已知函数的图像,求函数的解析式”的问题关键在于充分挖掘图形信息。 ①定性:曲线的形状如何,据此设定相应的函数解析式的类型,即哪类函数; ②定量:图象有关的特征点坐标如何,据此确定解析式的系数。 (2)利用函数的图象求函数的值域或最值 解决这类问题的关键在于能否正确作出函数的图象。 (3)利用函数图象并运用数形结合的思想解决方程与不等式的有关问题 ① f ( x) ? g ( x) 实数解问题 构造两个函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) , 并作其图象, 两图象交点的横坐标即为方程 f ( x) ? g ( x) 的实数解,交点个数即为实数解的个数。 ② f ( x) ? g ( x) (或 f ( x) ? g ( x) )的解集问题 构造两个函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) ,并作其图象,函数 y ? f ( x) 的图象在函数 y ? g ( x) 的图 象上(下)方的点的横坐标的取值集合。

三、函数的解析式
1、求函数解析式的常用方法 (1)代入法:如已知 f ( x) ? x2 ? 2 ,求 f ( x ? x 2 ) 时,有 f ( x ? x2 ) ? ( x ? x2 )2 ? 2 ; (2)换元法:令 t ? g ( x ) ,再求出 f (t ) 的解析式,然后用 x 代替 f [ g ( x)] 解析式中所有的 t 即可; (3)拼凑法:已知 f [ g ( x)] 的解析式,要求 f ( x) 时,可从 f [ g ( x)] 的解析式中拼凑出“ g ( x) ” ,即 用 g ( x) 来表示,再将解析式两边的 g ( x) 用 x 代替即可;
11

(4)待定系数法:已知 f ( x) 的函数类型,要求 f ( x) 的解析式时,可根据类型设其解析式,确定其 系数即可,如一次函数、二次函数、反比例函数等; (5)方程组法:已知 f ( x) 和 f [ g ( x)] 满足的关系式,要求 f ( x) 时,可用 g ( x) 代替两边的所有的 x, 得到关于 f ( x) 及 f [ g ( x)] 的方程组,解之即可得 f ( x) ,如自变量互为倒数或互为相反数等。 该方法实质是一种特殊的赋值法; (6)赋值法:给自变量赋予特殊值,观察规律,从而求出函数的解析式,多用于抽象函数; (7)图像法:由函数的图象确定函数的解析式。 注: (1)求一个函数的解析式,就是要清楚对接受法则的对象施于什么运算和建立什么关系,并不在 意接受法则的对象是哪一个字母或是怎样的式子; (2)在进行变形或变量代换的过程中,要注意变量取值范围的变化; (3)求函数的解析式应指明函数的定义域,函数的定义域是使式子有意义的的取值范围,同时也 要注意变量的实际意义。

四、分段函数
1、定义: 有些函数在其定义域内,对于自变量 x 的不同取值区间,有着不同的对应法则,这样的函数通 常称为分段函数。 2、解析式:因分段函数的特点可以分成两个或两个以上的不同解析式; 3、图像: 由几部分构成,有的可以是光滑的曲线段,有的也可以是一些孤立的点或几段线段; 4、定义域:各部分上的自变量取值的集合的并集。 5、值域: 各部分上的函数值集合的并集。 注: (1)最好的求解方法是“图像法” ; (2)分段函数虽然由几部分组成,但它代表的仍是一个函数,一个整体; (3)分段函数中的“段”由具体问题而定,无固定规则; (4)函数式中含有绝对值,可通过分段讨论,去掉绝对值符号,写成分段函数,再画图象。 例 题 例 1 已知函数 f ( x) , g ( x) 分别由下表给出

x
f ( x)

1 1

2 3

3 1

x
g ( x)

1 3

2 2

3 1

则 f [ g (1)] 的值为 例 2 函数 f ( x) ?| x | ?1 的图象是( y

;满足 f [ g ( x)] ? g[ f ( x)] 的 x 的值是 ) y y y
12

1 O 1 x -1 O x O -1 x O x

例 3 画出下列函数的图象: ① y ? ? x ? 2x ? 3 ,
2

② f ( x) ? x2 ? 2 | x | ?1



? x(1 ? x) x ? 0 f ( x) ? ? ? x(1 ? x) x ? 0 利用图象求出函数在[0,4]上的值域。 |1 ? x 2 | ④ y ?| x ? 1| ? | x ? 2 | ⑤y? 1? | x |

⑥y?

2x ? 1 x ?1

⑦ y ? x ?3?

1 x?3

例 4 为 了 得 到 函 数 y ? f (? x ? 3) ? 7 的 图 象 , 可 以 把 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 适 当 平 移 , 这 个 平 移 是 。
7 ,求 f (3x ? 2) , f [ f ( x)] 的解析式; x

例 5 (1)已知 f ( x) ? x2 ? 4x ?

(2)已知函数 f ( x ? 1) ? x2 ? 4 x ,求函数 f ( x) , f (2 x ? 1) 的解析式;
1 1 (3)已知 f ( x ? ) ? x3 ? 3 ,求 f ( x) ; x x

(4)①若一次函数 y ? f ( x) 满足 f [ f ( x)] ? 9 x ? 1 ,求 f ( x) 的解析式。 ②已知 f ( x) 为二次函数,且满足 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ? x2 ? 2 x ? 4 ,求 f ( x) 的解析式;

(5)①已知 f ( x) ? 2 f (? x) ? 3x ? 2 ,求 f ( x) 的解析式;

1 ②已知函数 f ( x) 满足 2 f ( x) ? f ( ) ? 3x ? 4 ,求 f ( x) 的解析式; x

1 ③已知函数 f ( x) 满足 2 f ( x) ? f (? ) ? 3x ? 4 ,求 f ( x) 的解析式 x

④对满足 x ? 0 , x ? 1 的所有实数 x,函数 f ( x) 满足 f ( x) ? f (

x ?1 ) ? 1 ? x ,求 f ( x) 的解析式; x

(6)①设 f ( x) 是 R 上的函数,且满足 f (0) ? 1 ,并且对任意实数 x,y,有
f ( x ? y ) ? f ( x) ? y (2 x ? y ? 1) ,求 f ( x) 的解析式。

②设 f ( x) 的定义域为 N, 且满足条件 f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) ? xy , f (1) ? 1 , 求 f ( x) 的解析式;

13

(7)①已知函数的图象由两条射线及开口向下的抛物线(包括端点)组成,如图所示,求函数的 解析式。

②向高为 H 的水瓶中注水,注满为止。如果注水量 V 与水深 h 的函数关系式如图所示,那么 水瓶的形状是( V )

O

H

h

A

B

C

D

? x 2 ( x ? 0) ? 例 6 已 知 函 数 f ( x) ? ?1 ( x ? 0) , f (1) = ?0 ( x ? 0) ?
f { f [ f (?3)]} =

, f ( ?3) =

, f [ f (?3)] =





例 7 任给实数 x , f ( x) 取 x+1, x 2 ? 2 x ? 3 , ?2 x ? 12 中的最小值,写出函数 y ? f ( x) 的解析式, 画出函数 y = f ( x) 的图像,并求函数 y ? f ( x) 的最大值。
? x ? 2( x ? ?1) ? 例 8 已知 f ( x) ? ? x 2 (?1 ? x ? 2) ,若 f ( x) ? 3 , x = ?2 x( x ? 2) ?
? x ? 2,( x ? 10) 例 9 设 f ( x) ? ? 则 f (5) 的值为 ? f [ f ( x ? 6)],( x ? 10)





例 10 等腰梯形 ABCD 的两底分别为 AD=2,BC=1,∠BAD=45°,直线 MN⊥AD 交 AD 于 M, 交折线 ABCD 于 N,记 AM=x,试将提醒 ABCD 位于直线 MN 左侧的面积 y 表示为 x 的分 段函数,并写出函数的定义域和值域。 随堂精练 1、函数 f ( x ) ?
1 的图象是( 1? | x |

) y 1 1 -1 O -1 x

1 2、已知函数 f ( x) 是图象是两条线段(如图不含端点) ,则 f [ f ( )] = 3



14

3、作出函数 y ?| x2 ? 6x | ?7, x ? (3,6] 的图象,并求其值域。 4、已知二次函数 y ? x2 ? bx ? 1 (?1 ? b ? 1) ,当 b 从 ?1 逐渐变化到 1 的过程中,它所对应的抛物线 位置也随之变动。下列关于抛物线的移动方向的描述中,正确的是( A.先往左上方移动,再往左下方移动 C.先往右上方移动,再往右下方移动 )

B.先往左下方移动,再往左上方移动 D.先往右下方移动,再往右上方移动 。
1 , f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) ,求 5

5、若函数 y ? x2 ? (a ? 2) x ? 3, x ?[a, b] 的图像关于直线 x ? 1 对称,则 b = 6、已知定义域为 R ? 的函数 f ( x) ,同时满足下列条件: f (2) ? 1 , f (6) ?
f (3) , f (9) 的值。

7、①若函数 f (2 x ? 1) ? x2 ? 2 x ,则 f (3) = ②设 f ( x) ? x3 ? 3x , g ( x) ? x2 ? 2 ,则 g[ f ( x)] = 设 f ( x) ? 2 x ? 3 , g ( x ? 2) ? f ( x ? 1) ,则 g ( x) =

。 。 。

8、已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx(a ? 0) 满足条件 f (5 ? x) ? f ( x ? 3) 且方程 f ( x) ? x 有等根,则 f ( x) 的解析式为_____ 。 。

9、已知函数 y ? f (n) ,满足 f (0) ? 1 ,且 f (n) ? nf (n ? 1) , n ? N? ,则 f (2) =
?1 x ? 1( x ? 0) ? ? 10、设函数 f ( x) ? ? 2 ,若 f (a) ? a ,则实数 a 的取值范围是 ?1 ( x ? 0) ? ?x



?1, x ? 0 11、已知 f ( x) ? ? ,求不等式 x ? ( x ? 2) ? f ( x ? 2) ? 5 的解集。 ??1, x ? 0

?2 x ? x 2 (0 ? x ? 3) ? 12、求函数 f ( x) ? ? 2 的值域。 ? ? x ? 6 x(?2 ? x ? 0)

13、已知函数 f ( x) ? x2 ? x ? 1 ,
1 1 (1)求 f (2 x) 的解析式; (2)求 f [ f (x)] 的解析式; (3)对任意 x ? R ,求证 f ( x ? ) ? f (? ? x) 恒 2 2

成立。 14、一直角三角形 ABC,AC=3,BC=4,动点 P 从直角顶点 C 出发沿 CB、BA、AC 运动回到 C, 设 P 点运动的路程为 x,写出线段 AP 的长度与 x 的函数式 f ( x) 。

15、利用函数图象,讨论方程 3x2 ? 2 | x |? a ? 7 的解的个数。

15

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