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1.5三角函数y=Asin(ωx+ψ)图像变换(高一数学人教A版必修四)


(1)y=sinx与y=sin(x+?)的图象关系;
(2)y=sinx与y=sin?x的图象关系; (3)y=sinx与y=Asinx的图象关系; (4)y=sinx与y=Asin(?x+?)的图象关系.

***复习回顾***

y ? sin x, x ?[0,2? ]的图象
? 3? 关键点: (0,0),

( ,1), (? ,0), ( ,?1), ( 2? ,0) 2 2 y 1
O 1
?
2

?

3? 2

2?

x

函数y ? sin (x + )在一个周期内的简图. 3
x

?
? ?
6

?

?

x+

?
3

3

2? 3

0 0

sin(x + ) 3 描点作图:

?

2 1 y

?
0

7? 6 3? 2 -1

5? 3 2?
0

1
?
?

?
3

o

π
6

-1

2? 3

?

7? 6

5? 3

2?

x

探究一:
试研究

? 对函数图象的影响
y ? sin( x + ), 3

?

与 y ? sin x 的图象关系.

y ? y ? sin( x + ) 1 3

y ? sin x

?

?
2

O
?

?
3

? ?? 2 ? 632 3

?

3? 5? 2? 13? x 2 3 6

4? 3

-1

探究一:

?
?

对函数图象的影响
?

函数 y ? sin( x + 3 ), y ? sin( x ? 3 ) 与 y ? sin x 的图象

间的变化关系.

探究一:
试研究

? 对函数图象的影响
? ?

y ? sin( x + ), y ? sin( x ? ) 与 y 3 3

? sin x 的图象关系.

y ? y ? sin( x + ) 1 3

y ? sin x

? y ? sin( x ? ) 3
3? 5? 2? 13? x 2 3 6
4? 3

?

?
2

O
?

?
3

? ?? 2 ? 632 3

?

-1

一、函数y=sin(x+?)图象: 平移变换
函数 y=sin(x+?)(??0) 的图象可以看作是把 y=sinx 的图象上所有的点向左(当?>0时)或 向右(当?<0时)平行移动|?|个单位而得到的.
所有的点向左(? >0) 或向右(? <0)平移 | ? | 个单位

y=sinx

y=sin(x+?)

?的变化引起图象位置发生变化(左加右减)

探究二: ? 对函数图象的影响
y=sin?x与y=sinx的图象关系:
作函数 y ? sin 2 x 及 y ? sin
2x
0 ? ?
2 4

0 sin 2 x 0

x

? ?
2

1

0 ?1 0

3? 2? 2 3? ? 4

1 x 的图象. 2 1x ? ? 3? 2? 0 2
2

x

sin

y 1 O -1
? 4 ? 2 3? 4

1 x 2

0 0

? 1

2

2? 3? 4? 0 ?1 0

?

3? 2

2?

5? 2

3?

7? 2

4?

y ? sin 2 x

y ? sin x

1 y ? sin x 2

x

1 函数 y ? sin 2 x、 y ? sin x 与y ? sin x 的图象 2 间的变化关系.

的图象间的变化关系。
y
2

1 函数 y ? sin2 x 、y ? sin x 与 y ? sinx 2

y ? sin 2 x

1

1 y ? sin x 2
?
2

o

?

4?

3? 2

2?

-1

二、函数y=sin?x(?>0)图象: 周期变换
函数 y=sin?x (?>0且??0) 的图象可以看作 是把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短 (当?>1时)或伸长(当0< ?<1时)到原来的1/? 倍(纵坐标不变)而得到的.

y=sinx

所有点的横坐标缩短(?>1) 或伸长(0< ?<1) 1/?倍 纵坐标不变

y=sin?x

?决定函数的周期: T ?

2?

?

探究三: A 对函数图象的影响
例3:作下列函数图象:

y 2 1

y ? 2 sin x 1 y ? sin x 2

x sinx 2sinx
1 si n x 2

0 0 0 0

?
2
1 2
1 2

3? ? 2? 2
0
?1

0 0 0

0 ?2
1 0 ? 2

O -1 -2

? 2

?

3? 2

2?

x

1 y ? sin x 2

y ? sin x

y ? 2 sin x

1 y ? sin x 与 y ? sin x 的图象 函数 y ? 2 sin x 、 2

间的变化关系.

1 y ? sin x 与 y ? sin x 的图象 函数 y ? 2 sin x 、 2

间的变化关系.
y 2 1 O
?
2

?

-1 -2

3? 2

2?

x

1 y ? sin x 2

y ? 2 sin x

三、函数y=Asinx(A>0)图象: 振幅变换
函数 y=Asinx(A>0且A?1) 的图象可以看作是把y=sinx 的图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0< A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到的.

y=Asinx,x?R的值域是[-A, A], 最大值是A,最小值是-A.
所有的点纵坐标伸长(A>1) 或缩短(0< A<1) A倍 y=sinx y=Asinx 横坐标不变

A的大小决定函数的最大(小)值

总结
y=sinx y=sinx y=sinx
所有的点向左(? >0) 或向右(? <0)平行移动 | ? | 个单位长度 所有点的横坐标缩短(?>1) 或伸长(0< ?<1) 1/?倍 纵坐标不变 所有的点纵坐标伸长(A>1) 或缩短(0< A<1) A倍 横坐标不变

y=sin(x+?) y=sin?x

y=Asinx

例.用“五点法”画出函数y=3sin(2x+π/3)的简 图. ? ? ? 7? x ? 解: 6 12 3 12
2x +

?

3

0

?

sin(2 x + ? / 3)

0 0

2

?

1 3

0 0

3? 2

5? 6

2?

-1

0 0

3sin(2x+π/3)

-3

y 3
5? 6

2 1

?

?

?
3

?

oπ 6 12 -1
?

?
2

?

3? 2

2?

x

-2 -3

? 例 画出函数y=3sin(2x+ 3),x∈R的简图

解:(五点法)
x Y 3
? 2x+ 3
?

? 6

? 12

? 3

7? 12
3? 2

5? 6

0
0

? 2

π
0


0

3sin(2x+ 3 )

?

3

–3

?

?
6

O

? 12

? 3

7? 12

5? 6

X

-3

(四)y=sinx与y=Asin(?x+?)的图象关系.

思考:如何由 y ? sinx 变换得
y ? 3 sin( 2x +

?
3

) 的图象?

方法1: 先平移后变周期
y
3
2 1

? y=3sin(2x+ 3 )

y=sinx ?

o
?

?
3

?

? 6 -1

? ? 6 3

7 ? 2 5? 12 3 ? 6

7 ? 6

5? 3

2?

x

-2
-3

? y=sin(x+ ) 3 ? y=sin(2x+ ) 3

方法1: 先平移后变周期
?

(1)向左平移 3 函数 y=sinx
1 2

? y=sin(x+ ) 的图象 3 ? y=sin(2x+ ) 的图象 3 ? y=3sin(2x+ )的图象 3

(2)横坐标缩短到原来的 纵坐标不变 (3)横坐标不变



纵坐标伸长到原来的3倍

总结: y=sinx
y=sinx

y=Asin(?x+?)

方法1:先平移后变周期的一般规律:
向左?>0 (向右?<0) 平移|?|个单位

y=sin(x+?)

横坐标缩短?>1 (伸长0<?<1)到原来的1/?倍

纵坐标不变 横坐标不变

y=sin(?x+?)

y=Asin(?x+?)

纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍

方法2: 先变周期后平移
y

3
2

? y=3sin(2x+ ) 3

1

y=sinx
?
? 3
5? 6

? ? 6

o
-1

? 3

5? 3

2?

x

-2

y=sin2x ? y=sin(2x+ ) 3

-3

方法2: 先变周期后平移
(1)横坐标缩短到原来的 函数 y=Sinx 纵坐标不变
?
1 2



y=Sin2x的图象

(2)向左平移 6

? y=Sin(2x+ ) 的图象 3 ? y=3Sin(2x+ )的图象 3

(3)横坐标不变
纵坐标伸长到原来的3倍

总结: y=sinx

y=Asin(?x+?)

方法2:先变周期后平移的一般规律:
y=sinx
横坐标缩短?>1 (伸长0<?<1)到原来的1/?倍 纵坐标不变

y=sin?x

向左?>0 (向右?<0)

平移|?|/?个单位

? ? ? y ? sin ?? ( x + )? ? sin( ?x + ? ) ? ? ?
y=Asin(?x+?)

横坐标不变

纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍

由y ? sin x的图象得到 y ? A sin(?x + ? ) (其中A ? 0, ? ? 0)的图象

(1)先画出函数 y ? sin x的图象;
(2)再把正弦曲线向左 (右)平移? 个单位长度, 得到函数 y ? sin( x + ? )的图象;
(3)然后使曲线上各点的横 坐标变为原来的 倍, 1

?

(纵坐标不变 )得到函数 y ? sin( ?x + ? )的图象;

(4)最后把曲线上各点的纵 坐标变为原来的 A倍, (横坐标不变 )这时的曲线就是函数 y ? A sin( ?x + ? ) 的图象.

函数, y ? A sin(?x + ? )
A称为振幅
1 f ? T



2? T? 称为周期 |? |

称为频率

?x + ? 称为相位

?

称为初相

y ? A sin( ?x + ? )(其中A ? 0, ? ? 0)在简谐 运动中的相关概念: (1) A 振幅 2? ( 2)T ? 周期 ? 1 ? ( 3) f ? ? 频率 T 2? (4)?x + ? 相位
(5)?

初相

例2、某简谐运动图象 如图.试根据图象回 答下列问题: (1)这个简谐运动的振幅,周期与频率各是多少?
(2)如果从O点算起,到曲线上的哪一点,表示完成了一 次往复运动?如果从A点算起呢?

(3)写出这个简谐运动的函数表达式.
y/cm
A 0.4 B 0.8 D F 2 E 1.2

O

x/s

C

解:(1)从图像上可知,这个简谐振动的振幅为 2cm;周期为8s;频率为1.25

(2)如果从O点算起,到曲线上的D点,表示完 成了一次往复运动;如果从A点算起,则到曲线 上的E点,表示完成了一次往复运动
(3)设这个简谐振动的函数表达式为
y ? A sin(? x + ? ), x ?[0, +?)

那么,A=2;由于

2? 5? ? 0.8得? ? ; ? 2

由图象知初相为0,于是所求函数表达式是
y ? 2 sin 5? x , x ? [0,+ ?). 2

1

y o
?
?
2

步骤1
-1

3? 2

2?

x

(沿x轴平行移动)

y
步骤2
1
3? 2

2?

o
-1

?
2

?

x (横坐标伸长或缩短)

1

y o
?
2

步骤3
-1

?

3? 2

2?

x

(纵坐标伸长或缩短)
1

y o

?
2

步骤4
-1

?

3? 2

2?

x

练习一
?1. 要得到函数 y= 2 sin x 的图象,只需将 y= sinx 图象(D ) A.横坐标扩大原来的两倍 B. 纵坐标扩大原来的两倍 C.横坐标扩大到原来的两倍 D. 纵坐标扩大到原来的两倍 ?2. 要得到函数 y=sin3x 的图象,只需将 y=sinx 图象(D ) A. 横坐标扩大原来的3倍 B.横坐标扩大到原来的3倍 C. 横坐标缩小原来的1/3倍 D.横坐标缩小到原来的1/3倍 ?3. 要得到函数 y=sin(x + π/3)的图象,只需将 y=sinx 图象( C) A. 向左平移π/6个单位 B. 向右平移π/6个单位 C. 向左平移π/3个单位 D. 向右平移π/3个单位 ?4. 要得到函数 y=sin(2x-π/3)的图象,只需将y=sin2x图象( D) A. 向左平移π/3 个单位 B. 向右平移π/3个单位 C. 向左平移π/ 6个单位 D. 向右平移π/6 个单位

2.选择题 :已知函数 y ? 3 sin( x +

?

5 ? (1)为了得到函数 y ? 3 sin( x ? )的图象, 只要 5 ? 把C上所有的点 ? C ? ? ? ?

)的图象为 C.

( A)向右平行移动 ( B )向左平行移动

? ?
5

个单位长度 . 个单位长度 .

5 2? (C )向右平行移动 个单位长度 . 5 2? ( D )向左平行移动 个单位长度 . 5

5.选择题 :已知函数y ? 3 sin( x + )的图象为C. 5 ? (2)为了得到函数 y ? 3 sin(2 x + )的图象, 只要 5 把C上所有的点? B ? ( A)横坐标伸长到原来的 2倍, 纵坐标不变 1 ( B)横坐标缩短到原来的 倍, 纵坐标不变 2 (C )纵坐标伸长到原来的 2倍, 横坐标不变 1 ( D)纵坐标缩短到原来的 倍, 横坐标不变 2

?

5.选择题 :已知函数y ? 3 sin( x + )的图象为C. ? 5
(3)为了得到函数 y ? 4 sin( x + 把C上所有的点? C ? 5 )的图象, 只要

?

4 ( A)横坐标伸长到原来的 倍, 纵坐标不变 3 3 ( B )横坐标缩短到原来的 倍, 纵坐标不变 4 4 (C )纵坐标伸长到原来的 倍, 横坐标不变 3 3 ( D )纵坐标缩短到原来的 倍, 横坐标不变 4

)的图象向右平移 个单位, 3 6 这时图象所表示的函数 为? D ? 2 6 3 C. y ? sin( 2 x + ) D. y ? sin 2 x 2 x ? x 7.要得到函数y ? sin( ? )的图象, 可由y ? sin 的图象? ? C ? ? ? ? 2 6 2 ? ? A. 向右平移 B. 向左平移 6 6 ? ? C . 向右平移 D. 向左平移 3 3 A. y ? sin( 2 x +

6.把y ? sin( 2 x +

?

?

?

)

B. y ? sin( 2 x +

?

)

总结
y=sinx y=sinx y=sinx y=sinx
所有的点向左(? >0) 或向右(? <0)平行移动 | ? | 个单位长度 横坐标缩短(?>1)或 伸长(0< ?<1) 1/?倍 纵坐标不变 纵坐标伸长(A>1)或 缩短(0< A<1) A倍 横坐标不变

y=sin(x+?) y=sin?x y=Asinx

y=Asin(?x+ ?)

总结: y=sinx
y=sinx

y=Asin(?x+?)

方法1:先平移后变周期的一般规律:
向左?>0 (向右?<0) 平移|?|个单位

y=sin(x+?)

横坐标缩短?>1 (伸长0<?<1)到原来的1/?倍

纵坐标不变 横坐标不变

y=sin(?x+?)

y=Asin(?x+?)

纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍

总结: y=sinx

y=Asin(?x+?)

方法2:先变周期后平移的一般规律:
y=sinx
横坐标缩短?>1 (伸长0<?<1)到原来的1/?倍 纵坐标不变

y=sin?x

向左?>0 (向右?<0)

平移|?|/?个单位

? ? ? y ? sin ?? ( x + )? ? sin( ?x + ? ) ? ? ?
y=Asin(?x+?)

横坐标不变

纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍


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