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26.3


小结:

26.3实际问题与二次函 数

1.什么样的函数叫二次函数? 形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)
的函数叫二次函数

2.如何求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的最值?有哪几种方法?写出求二 次函数最值的公式
(1)配方法求最值(2)公式法求最值

/>b 4ac-b 当x=- 时,y有最大(小)值 2a 4a

2

课前练习
1.当x= 1 有最大值. 2.已知二次函数y=x2-6x+m的最小值为1,那 么m的值为 10 . 时,二次函数y=-x2+2x-2

在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的 实际问题。如繁华的商业城中很多人在买卖东西。

如果你去买商品,你会选买哪一家的?如果你是商场经理, 如何定价才能使商场获得最大利润呢?

26.3 实际问题与二次函数
第1课时

如何获得最大利润问题

一、自主探究 问题1.已知商品的进价为每件40元, 售价是每件60元,每星期可卖出300 件。据市场调查反映:如果调整价 格 ,每涨价1元,每星期要少卖出10 件,要想获得6090元的利润,该商品 应定价为多少元?

已知商品的进价为每件40元,售价是每件60元, 每星期可卖出300件。据市场调查反映:如果 调整价格 ,每涨价1元,每星期要少卖出10件, 要想获得6090元的利润,该商品应定价为多少 元? 若设销售单价x元,那么每件商品的利润可表 示为 x-40 元,每周的销售量可表示
为 300-10(x-60) 件,一周的利润可表示 为 (x-40)[300-10(x-60)] 元,要想获得6090元 利润可列方程 (x-40)[300-10(x-60)]=6090 .

问题2.已知商品的进价为每件40元,售价
是每件60元,每星期可卖出300件。据市 场调查反映:如果调整价格 ,每涨价1元, 每星期要少卖出10件,该商品应定价为多 少元时,商场能获得最大利润?

问题2.已知商品的进价为每件40元,售价
是每件60元,每星期可卖出300件。据市 场调查反映:如果调整价格 ,每降价1元, 每星期要多卖出20件,该商品应定价为多 少元时,商场能获得最大利润?

例1:已知商品的进价为每件40 元,售价为每件60元,每星期可 卖出300件,市场调查反映:每涨 价1元,每星期少卖出10件;每降 价1元,每星期可多卖出20件,如 何定价才能使利润最大? 请大家带着以下几个问题读题:

(1)题目中有几种调整价格的方法? (2)题目涉及到哪些变量?哪一个量是 自变量?哪些量随之发生了变化?

某商品现在的售价为每件60元,每星期 可卖出300件,市场调查反映:每涨价1 元,每星期少卖出10件;每降价1元,每 星期可多卖出20件,已知商品的进价为 每件40元,如何定价才能使利润最大?

分析: 调整价格包括涨价和降价两种情况

先来看涨价的情况:⑴设每件涨价x元,则每星期售出商 品的利润y也随之变化,我们先来确定y与x的函数关系式。 涨价x元,则每星期少卖 10x 件,实际卖出(300-10x) 件,销 售额为 (60+x)(300-10x) 元,买进商品需付 40(300-10x)元, 因此所得利润为 y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x) 元

y ? ?10 x 2 ? 100 x ? 6000 即
(0≤X≤30)

怎样确定x的 取值范围?

解:设每件涨价为x元时获得的总利润为y元.
y =(60-40+x)(300-10x) (0≤x≤30) =(20+x)(300-10x) =-10x2+100x+6000 =-10(x2-10x-600) =-10[(x-5)2-25-600] =-10(x-5)2+6250 当x=5时,y的最大值是6250.

定价:60+5=65(元)

y ? ?10 x ? 100 x ? 6000
2

(0≤X≤30)

b 4ac ? b 2 x?? ? 5时,y最大值 ? ? 6250 2a 4a
5 5 当x = ________时,y最大,也就是说,在涨价的情况下,涨价____元,
即定价_________元时,利润最大,最大利润是___________. 65 6250元
y \元

6250 6000

(5,6250)

0

5

30

x\元

可以看出,这个函数的 图像是一条抛物线的一 部分,这条抛物线的顶 点是函数图像的最高点, 也就是说当x取顶点坐 标的横坐标时,这个函 数有最大值。由公式可 以求出顶点的横坐标.

做一做

在降价的情况下,最大利润是多少? 请你参考(1)的过程得出答案。

解:设降价x元时利润最大,则每星期可多卖20x件,实际卖出 (300+20x)件,销售额为(60-x)(300+20x)元,买进商品需付 40(300+20x)元,因此,得利润

y ? ?60 ? x ??300 ? 20 x ? ? 40?300 ? 20 x ?
b 5 5 ?5? 当x ? ? ? 时,y最大 ? ?20 ? ? ? ? 100 ? ? 6000 ? 6125 2a 2 2 ?2?

? ?20 x 2 ? 100 x ? 6000 (0≤x≤20) 2

所以定价为60-2.5=57.5时利润最大,最大值为6125元.

由(1)(2)的讨论及现在的销售 情况,你知道应该如何定价能 使利润最大了吗?
答:综合以上两种情况,定价为65元时可 获得最 大利润为6250元.

(1)列出二次函数的解析式,并根据自变量的 实际意义,确定自变量的取值范围; (2)在自变量的取值范围内,运用公式法或通 过配方求出二次函数的最大值或最小值。

四、自主拓展
已知商品的进价为每件40元,售价为每 件60元,每星期可卖出300件,市场调查 反映:每涨价1元,每星期少卖出10件; 每降价1元,每星期可多卖出20件,如何 定价才能使利润最大?
在上题中,若商场规定试销期间获利不得低 于40%又不得高于60%,则销售单价定为多少时, 商场可获得最大利润?最大利润是多少?

解:设商品售价为x元,则x的取值范围 为40(1+40%)≤x≤40(1+60%) 即56≤x≤64
若涨价促销,则利润 y=(x-40)[300-10(x-60)] =(x-40)(900-10x) =-10x2-1300x-36000 =-10[(x-65)2-4225]-36000 =-10(x-65)2+6250 ∵60≤x≤64 ∴由函数图像或增减性知当 x=64时y最大,最大值为6240元 若降价促销,则 利润y=(x-40)[300+20(60-x)] =(x-40)(1500-20x) =-20(x2-115x+3000) =-20(x-57.5)2+6125 ∵56≤x≤60 ∴由函数图像或增减性知 当x=57.5时y最大,最大 值为6125元

综上x=64时y最大,最大值为6240元

三、自主展示
(09中考)某超市经销一种销售成本为每件40 元的商品.据市场调查分析,如果按每件50 元销售,一周能售出500件;若销售单价每 涨1元,每周销量就减少10件.设销售单价 为x元(x≥50),一周的销售量为y件. (1)写出y与x的函数关系式(标明x的取值范围) (2)设一周的销售利润为S,写出S与x的函数 关系式,并确定当单价在什么范围内变化时, 利润随着单价的增大而增大? (3)在超市对该种商品投入不超过10000元的 情况下,使得一周销售利润达到8000元,销 售单价应定为多少?

解:(1)y=500-10(x-50) =1000-10x(50≤x≤100) (2)S=(x-40)(1000-10x) =-10x2+1400x-40000 =-10(x-70)2+9000 当50≤x≤70时,利润随着单价的增大而增大.

(3)在超市对该种商品投入不超过10000元的情 况下,使得一周销售利润达到8000元,销售单 价应定为多少? 解:(3)-10x2+1400x-40000=8000 解得:x1=60,x2=80 当x=60时,成本=40×[500-10(60-50)] =16000>10000不符要求,舍去. 当x=80时,成本=40×[500-10(80-50)] =8000<10000符合要求. 所以销售单价应定为80元,才能使一周销售利 润达到8000元的同时,投入不超过10000 元.

五、自主评价
1.谈谈这节课你的收获 2.总结解这类最大利润问题的一般步骤 (1)列出二次函数的解析式,并根据自变量 的实际意义,确定自变量的取值范围; (2)在自变量的取值范围内,运用公式法或 通过配方求出二次函数的最大值或最小值。

利达销售店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代 销是指厂家先免费提供货源,待货物售出后再进行 结算,未售出的由厂家负责处理)。当每吨售价为 260元时,月销售量45吨,该经销店为提高经营利 润,准备采取降价的方式进行促销,经市场调查发 现,当每吨售价每下降10元时,月销售量就会增加 7.5吨,综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共 需支付厂家及其他费用100元,设每吨材料售价为x 元,该经销店的月利润为y元。 (1)当每吨售价是240元时,计算此时的月销售量; (2)求出y与x的函数关系式(不要求写出x的取值范 围); (3)该经销店要获得最大月利润,售价应定为每吨 多少元; (4)小明说:“当月利润最大时,月销售额也最 大”,你认为对吗?请说明理由。


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