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【与名师对话】2015新课标A版数学理一轮复习课时作业:3-3 Word版含解析]


课时作业(十九)
一、选择题 1. (2013· 云南昆明高三调研)已知 a 是实数, 则函数 f(x)=acos ax 的图象可能是( )

解析:对于 A、D,注意到当 x=0 时, f(x)=acos 0=a≠0,因 此结合选项知,选项 A、D 不正确;对于 B,注意到其最小正周期 T 2π = a =π,a=2,此时相应的最大值是 2,这与所

给的图象不相吻合, 因此选项 B 不正确.综上所述,选 C. 答案:C 2. (2013· 河南洛阳高三统考)如果函数 y=3sin(2x+φ)的图象关于 π 直线 x=6对称,则|φ|的最小值为( π π π π A.6 B.4 C.3 D.2
?π ? π π π 解析:依题意得,sin?3+φ?=± 1,则3+φ=kπ+2,即 φ=kπ+6, ? ?

)

π 其中 k∈Z,因此|φ|的最小值是6,选 A.

答案:A 3.(2013· 吉林期中复习检测)函数 f(x)=(1+ 3tan x)cos x 的最小 正周期为( )

3π π A. 2 B.2π C.π D.2 π? ? 解析:f(x)=(1+ 3tan x)cos x=cos x+ 3sin x=2sin?x+6?,最小
? ?

正周期为 2π,选 B. 答案:B 4.(2013· 天津和平区第一次质量调查)若 f(x)=asin x+b(a,b 为 a 常数)的最大值是 5,最小值是-1,则b的值为( 2 2 2 3 3 A.-3 B.3或-3 C.-2 D.2 5-?-1? 5+?-1? 解析: 函数 f(x)的最大值是 5, 最小值是 1, 2 =b, 2 a 2 =|a|,∴a=± 2,b=3,则b=± 3,选 B. 答案:B π 5. (2013· 河北唐山第二次模拟)已知函数 f(x)=sin(2x+α)在 x=12 时有极大值, 且 f(x-β)为奇函数, 则 α, β 的一组可能值依次为( π π A.6,-12 π π C.3,-6 π π B.6,12 π π D.3,6 ) )

π π π 解析:x=12时 f(x)取最大值,得 2×12+α=2+2kπ(k∈Z),∴α π π =3+2kπ 排除 A、B,令 β=6,检验知选 D.

答案:D 6.(2013· 黑龙江哈尔滨四校统一检测)对于函数 f(x)= 2(sin x+ cos x),给出下列四个命题:
? π ? ①存在 α∈?-2,0?,使 f(α)= 2; ? ? ?

π? ? ②存在 α∈?0,2?,使 f(x-α)=f(x+α)恒成立;
?

③存在 φ∈R,使函数 f(x+φ)的图象关于坐标原点成中心对称; 3π ④函数 f(x)的图象关于直线 x=- 4 对称; π ⑤函数 f(x)的图象向左平移4个单位就能得到 y=-2cos x 的图 象. 其中正确命题的序号是( )

A.①②③ B.③④⑤ C.③④ D.②③⑤ π? ? 解析: f(x)= 2(sin x+cos x)=2sin?x+4?, 对于①, 由 f(α)= 2得
? ?

π? π? ? ? π ? ? 2 π ? π π? sin?α+4?= 2 , 因为 α∈?-2,0?, 所以 α+4∈?-4,4?, 此时 sin?α+4? ? ? ? ? ? ? ? ? π? ? 2 = 2 不成立, ①错, 排除 A; 对于②, 由 f(x-α)=f(x+α)得 sin?x-α+4? ? ? π? ? π π π = sin ?x+α+4? ,所以 x - α + 4 = x + α + 4 + 2kπ 或 x - α + 4 = π -
? ?

π? ? π ?x+α+ ?+2kπ 恒成立,k∈Z,即 α=kπ 或 x= +kπ(舍),由于 α∈ 4? 4 ? π? ? ?0, ?,所以②错,排除 D; 2? ? π? ? 对于③, f(x + φ) = 2sin ?x+φ+4? 的图象关于坐标原点成中心对
? ?

π π 称,所以 φ+4=kπ(k∈Z),即 φ=-4+kπ,所以③正确;对于④,

π? ? π 由 f(x)=2sin?x+4?知, 函数 f(x)的对称轴为 x=4+kπ(k∈Z), 函数 f(x)
? ?

3π 的图象关于直线 x=- 4 对称,所以④正确;对于⑤,函数 f(x)的图 π? ? π 象向左平移4个单位得到 y=2sin?x+2?=2cos x 的图象,所以⑤错误, ? ? 选择 C. 答案:C 二、填空题 7 . (2013· 柳州市、 贵港市 、钦州市 、河池 市模拟 )f(x) = 2sin π? ? ωx(0<ω<1)在区间?0,3?上的最大值是 2,则 ω=________.
? ?

π? π ? ? ? ?π ? 解析:x∈?0,3?时,ωx∈?0,3ω?,其最大值为 2<2,2sin?3ω?= ? ? ? ? ? ? 3 2,∴ω=4. 3 答案:4 π? ? 8.(2013· 南平市质检)已知函数 f(x)=3sin?ωx-6?(0<ω<2)图象的
? ?

π? ? π 一条对称轴方程为 x=3, 若 x∈?0,2?, 则 f(x)的取值范围是________.
? ?

π π π π 解析:函数 f(x)关于 x=3对称,所以3ω-6=2+kπ(k∈Z),∴ω =3k+2,又∵0<ω<3∴ω=2, π? π? π? ? ? ? π ? π 5 ? f(x)=3sin?2x-6?, 当 x∈?0,2?时, 2x-6∈?-6,6π?, 3sin?2x-6?
? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? ? 3 ? ∈?-2,3?∴f(x)的取值范围是?-2,3?. ? ? ? ? ? 3 ? 答案:?-2,3? ? ?

π? ? 9.(2013· 湖北八市调考)函数 f(x)=3sin?2x-3?的图象为 C,如下
? ?

结论中正确的是________.(写出所有正确结论的编号) 11 ①图象 C 关于直线 x=12π 对称;
?2π ? ②图象 C 关于点? 3 ,0?对称; ? ? ? π 5π? ③函数 f(x)在区间?-12,12?内是增函数; ? ?

π ④由 y=3sin 2x 的图象向右平移3个单位长度可以得到图象 C. 11π π? ?11 ? ? 11 3π 解析:对①,当 x=12π 时,f?12π?=3sin?2× 12 -3?=3sin 2 = ? ? ? ? 2π π? ?2π? ? 2π -3,故①正确;对②,当 x= 3 时,f? 3 ?=3sin?2× 3 -3?=3sin π=
? ? ? ?

π? ? 0 ,故②正确;对③,因为函数 f(x) = 3sin ?2x-3? 的单调增区间为
? ?

π 5π? π? ? ? ?kπ- ,kπ+ ?(k∈N*),当 k=0 时,函数 f(x)=3sin?2x- ?的单调 12 12? 3? ? ?
? π 5π? π 增区间?-12,12?,故③正确;对④,由 y=3sin 2x 的图象向右平移3 ? ?

π? 2π? ? ? 个单位长度可以得到函数 y=3sin 2?x-3?=3sin?2x- 3 ?的图象不是
? ? ? ?

π? ? 函数 f(x)=3sin?2x-3?,故④错误.
? ?

所以正确结论的编号为①②③. 答案:①②③ 三、解答题 10. 设函数 f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0), y=f(x)图象的一条对称轴 π 是直线 x=8.

(1)求 φ; (2)求函数 y=f(x)的单调增区间. π π 解:(1)令 2×8+φ=kπ+2,k∈Z, π 5 1 ∴φ=kπ+4,又-π<φ<0,则-4<k<-4, 3π ∴k=-1,则 φ=- 4 . 3π? ? (2)由(1)得:f(x)=sin?2x- 4 ?,
? ?

π 3π π 令-2+2kπ≤2x- 4 ≤2+2kπ, π 5π 可解得8+kπ≤x≤ 8 +kπ,k∈Z, 5π ?π ? 因此 y=f(x)的单调增区间为?8+kπ, 8 +kπ?,k∈Z.
? ?

π? ?π 11.设函数 f(x)= 3sin?3x-3?-1. ? ? (1)求 y=f(x)的最小正周期及单调递增区间; (2)若函数 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称,求当 x∈ [0,1]时,函数 y=g(x)的最大值.
?πx π? 2π 解:(1)由 f(x)= 3· sin? 3 -3?-1,得 y=f(x)的最小正周期 T= π ? ?

3 =6. π π π π 由 2kπ-2≤3x-3≤2kπ+2,k∈Z, 1 5 得 6k-2≤x≤6k+2,k∈Z, 1 5? ? 所以 y=f(x)的单调递增区间为?6k-2,6k+2?,k∈Z.
? ?

(2)因为函数 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称, 所以当 x∈[0,1]时, y=g(x)的最大值即为 x∈[3,4]时, y=f(x)的最 大值. π? ? ? ?π π π ?2 3? 当 x ∈ [3,4] 时, 3 x - 3 ∈ ?3π,π? , sin ?3x-3? ∈ ?0, ? , f(x) ∈ 2? ? ? ? ? ? 1? ? ?-1, ?, 2? ? 1 此时 y=g(x)的最大值为2. π? π? ? ? 12. 已知 a>0, 函数 f(x)=-2asin?2x+6?+2a+b, 当 x∈?0,2?时,
? ? ? ?

-5≤f(x)≤1. (1)求常数 a,b 的值; π? ? (2)设 g(x)=f?x+2?且 lg g(x)>0,求 g(x)的单调区间.
? ?

π? ? π ?π 7π? 解:(1)∵x∈?0,2?,∴2x+6∈?6, 6 ?.
? ? ? ?

π? ? 1 ? ? ∴sin?2x+6?∈?-2,1?,
? ? ? ?

π? ? ∴-2asin?2x+6?∈[-2a,a].
? ?

∴f(x)∈[b,3a+b],又∵-5≤f(x)≤1, ∴b=-5,3a+b=1,因此 a=2,b=-5. (2)由(1)得 a=2,b=-5, π? ? ∴f(x)=-4sin?2x+6?-1,
? ?

π? 7π? ? ? g(x)=f?x+2?=-4sin?2x+ 6 ?-1
? ? ? ?

π? ? =4sin?2x+6?-1,
? ?

又由 lg g(x)>0 得 g(x)>1, π? π? 1 ? ? ∴4sin?2x+6?-1>1,∴sin?2x+6?>2,
? ? ? ?

π π 5π ∴2kπ+6<2x+6<2kπ+ 6 ,k∈Z, π π π 其中当 2kπ+6<2x+6≤2kπ+2,k∈Z 时, π g(x)单调递增,即 kπ<x≤kπ+6,k∈Z, π? ? ∴g(x)的单调增区间为?kπ,kπ+6?,k∈Z
? ?

π π 5π 又∵当 2kπ+2<2x+6<2kπ+ 6 ,k∈Z 时, π π g(x)单调递减,即 kπ+6<x<kπ+3,k∈Z. π π? ? ∴g(x)的单调减区间为?kπ+6,kπ+3?,k∈Z.
? ?

[热点预测] π? ? 13. (1)(2013· 辽宁六校高三联考)已知 ω>0, 函数 f(x)=cos?ωx+3?
? ? ?π ? π 的一条对称轴为 x=3,一个对称中心为?12,0?,则 ω 有( ? ?

)

A.最小值 2 B.最大值 2 C.最小值 1 D.最大值 1 π? ? (2)(2013· 湖南重点高中十校联考)已知函数 f(x)=sin?2x+6?, 其中
? ? ? π ? x∈?-6,a?. ? ?

π ①当 a=3时,f(x)的值域是________;
? 1 ? ②若 f(x)的值域是?-2,1?,则 a 的取值范围是________. ? ?

(3)(2013· 江西宜春高三模拟)已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,

π 其中 ω>0,-π<φ≤π.若 f(x)的最小正周期为 6π,且当 x=2时,f(x) 取得最大值,则( )

A.f(x)在区间[-3π,-π]上是减函数 B.f(x)在区间[-2π,0]上是增函数 C.f(x)在区间[0,2π]上是减函数 D.f(x)在区间[π,3π]上是增函数 π π T 2π 解析:(1)由题意知3-12≥4,T= ω ≤π,ω≥2,故选 A.
? π π? ? π 5π? ? π 5π? π (2)令 t=2x+6,x∈?-6,3?,∴t∈?-6, 6 ?,∵t∈?-6, 6 ?, ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? 1 ? π π 7π ∴sin t∈?-2,1?,若函数值域为?-2,1?,则2≤2a+6≤ 6 ,∴a∈ ? ? ? ? ?π π? ? , ?. ?6 2?

1 π 1 π (3)由 T=6π 可知 ω=3;由 x=2时,f(x)取得最大值,可知3×2+
? x π? π π φ=2+2kπ, (k∈Z)由题意-π<φ≤π 所以 φ=3, 所以 f(x)=2sin?3+3?, ? ?

易知 B 正确,故选 B.
? 1 ? 答案:(1)A (2)①?-2,1? ? ? ?π π? ②?6,2? ? ?

(3)B


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