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探究一道竞赛题


2 0 1 3年 7月   命 题 感 悟  坛  线  探 究一道竞赛题  ⑧ 江 苏 省 常 熟 市 中学 查 正 开  赛 题 : 已 知 。   , y < l , 试 求  轰   值.   的 最 大  容 ) , 笔者编拟 了一个类似 问题 , 供 同学们探究.   问 题 : 已 知 戈 , y > 。 , 求 。 ( 】 寻   类 比加 强 ,利 用 换 兀 结 合 两角 和 正 切 公 式 ( 高 考 重 点 内  这是 2 0 1 1 年西部奥林匹克数学竞赛第 1 题, 参 加这次  竞赛 的同学普遍感 到此题较难上 手. 实 际上 , 本题是 一个  贴 近高考 、 背景公平 、 对称优美 的竞赛 题 , 学 生解题 困难  是没有把握 问题 的本质 , 事实上 , 这道赛题源 自人教 版选  修4 — 5 教 材 中的一道不等式题.    ̄ - 的 最 小 值 .   解 答 :  = t a n   o  ̄ , y = t a n 卢 ,   , 卢 ∈ ( 0 , 詈 ) , 则   原式=   ( C O S   O / 一 s i n   a) ( o o s l f — s i n ] 3 ) ( c o s   a c o s / 3 + s i n   a + s i n  ̄ )   习题 : 已知a , b , C ∈ &, 且a + b + c = 1 .   = 求证 : ( 1 - 口 ) ( 1 - b ) ( 1 - c ) ≥8 a b c .   I c o s ( . -  ̄) 一 s i n ( o  ̄ + ] 3 ) ] ? c o s ( a -  ̄ )   分析: 这道题 目的证 明 , 是运用二元均值不等式 的一  个典型范例.   证明: 由a , b , C ∈   , a + b + c = l , 结 合均值不等式得 :   1 - a = b + c 12 > 、 / 瓦 > 0 .   ≥[ c o s (   ) 一 1 ] ? c o s (  ̄ - / 3 )   = C O S   (   = ) 一 c o s (   )   [ c o s (   ] B ) 一 丢 ] 2 _   1   .   ≥ 一   1 - b= c +0≥ 2   > 0.   4   、   1 - a = - b + c ≥2 、 / 瓦 > O .   且 仅 当 (  = {  ,  】 ,   即{   , y } = f 2 + 、 / 了, 2 一 、 / 了} 时,   上式取等号 ,   所以所 求式子的最小值为一   1 .  以上三式相乘 即得 ( 1 — 0 ) ( 1 - b ) ( 1 - c ) ≥8 a b c .   变 形 得   ≤ ÷ ,   当 且仅当 a = 6 = c = ÷时取等号,   所 以   在赛题 中, 令1   的 最 大 值 为 吉 .   ,   + ) , = 1  , 问题 即为 :   由此可知 ,竞赛题 和高考题 均源 自课本 ( 或高于课  本) , 我们 只要 透过 表面现象 , 把握 问题 的本质 , 分析题 目   的结构特征 , 运 用所学数学 知识 和方法 , 可以使 很多看似  高 中 版 中。   毒 i : ? ?  


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