2 0 1 3年 7月 命 题 感 悟 坛 线 探 究一道竞赛题 ⑧ 江 苏 省 常 熟 市 中学 查 正 开 赛 题 : 已 知 。 , y < l , 试 求 轰 值. 的 最 大 容 ) , 笔者编拟 了一个类似 问题 , 供 同学们探究. 问 题 : 已 知 戈 , y > 。 , 求 。 ( 】 寻 类 比加 强 ,利 用 换 兀 结 合 两角 和 正 切 公 式 ( 高 考 重 点 内 这是 2 0 1 1 年西部奥林匹克数学竞赛第 1 题, 参 加这次 竞赛 的同学普遍感 到此题较难上 手. 实 际上 , 本题是 一个 贴 近高考 、 背景公平 、 对称优美 的竞赛 题 , 学 生解题 困难 是没有把握 问题 的本质 , 事实上 , 这道赛题源 自人教 版选 修4 — 5 教 材 中的一道不等式题.  ̄ - 的 最 小 值 . 解 答 : = t a n o  ̄ , y = t a n 卢 , , 卢 ∈ ( 0 , 詈 ) , 则 原式= ( C O S O / 一 s i n a) ( o o s l f — s i n ] 3 ) ( c o s a c o s / 3 + s i n a + s i n  ̄ ) 习题 : 已知a , b , C ∈ &, 且a + b + c = 1 . = 求证 : ( 1 - 口 ) ( 1 - b ) ( 1 - c ) ≥8 a b c . I c o s ( . -  ̄) 一 s i n ( o  ̄ + ] 3 ) ] ? c o s ( a -  ̄ ) 分析: 这道题 目的证 明 , 是运用二元均值不等式 的一 个典型范例. 证明: 由a , b , C ∈ , a + b + c = l , 结 合均值不等式得 : 1 - a = b + c 12 > 、 / 瓦 > 0 . ≥[ c o s ( ) 一 1 ] ? c o s (  ̄ - / 3 ) = C O S ( = ) 一 c o s ( ) [ c o s ( ] B ) 一 丢 ] 2 _ 1 . ≥ 一 1 - b= c +0≥ 2 > 0. 4 、 1 - a = - b + c ≥2 、 / 瓦 > O . 且 仅 当 ( = { , 】 , 即{ , y } = f 2 + 、 / 了, 2 一 、 / 了} 时, 上式取等号 , 所以所 求式子的最小值为一 1 . 以上三式相乘 即得 ( 1 — 0 ) ( 1 - b ) ( 1 - c ) ≥8 a b c . 变 形 得 ≤ ÷ , 当 且仅当 a = 6 = c = ÷时取等号, 所 以 在赛题 中, 令1 的 最 大 值 为 吉 . , + ) , = 1 , 问题 即为 : 由此可知 ,竞赛题 和高考题 均源 自课本 ( 或高于课 本) , 我们 只要 透过 表面现象 , 把握 问题 的本质 , 分析题 目 的结构特征 , 运 用所学数学 知识 和方法 , 可以使 很多看似 高 中 版 中。 毒 i : ? ?