２ ０ １ ３年 ７月 命 题 感 悟 坛 线 探 究一道竞赛题 ⑧ 江 苏 省 常 熟 市 中学 查 正 开 赛 题 ： 已 知 。 ， ｙ ＜ ｌ ， 试 求 轰 值． 的 最 大 容 ） ， 笔者编拟 了一个类似 问题 ， 供 同学们探究． 问 题 ： 已 知 戈 ， ｙ ＞ 。 ， 求 。 （ 】 寻 类 比加 强 ，利
用 换 兀 结 合 两角 和 正 切 公 式 （ 高 考 重 点 内 这是 ２ ０ １ １ 年西部奥林匹克数学竞赛第 １ 题， 参 加这次 竞赛 的同学普遍感 到此题较难上 手． 实 际上 ， 本题是 一个 贴 近高考 、 背景公平 、 对称优美 的竞赛 题 ， 学 生解题 困难 是没有把握 问题 的本质 ， 事实上 ， 这道赛题源 自人教 版选 修４ — ５ 教 材 中的一道不等式题． ￣ － 的 最 小 值 ． 解 答 ： ＝ ｔ ａ ｎ ｏ ￣ ， ｙ ＝ ｔ ａ ｎ 卢 ， ， 卢 ∈ （ ０ ， 詈 ） ， 则 原式＝ （ Ｃ Ｏ Ｓ Ｏ ／ 一 ｓ ｉ ｎ ａ） （ ｏ ｏ ｓ ｌ ｆ — ｓ ｉ ｎ ］ ３ ） （ ｃ ｏ ｓ ａ ｃ ｏ ｓ ／ ３ ＋ ｓ ｉ ｎ ａ ＋ ｓ ｉ ｎ ￣ ） 习题 ： 已知ａ ， ｂ ， Ｃ ∈ ＆， 且ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ＝ １ ． ＝ 求证 ： （ １ － 口 ） （ １ － ｂ ） （ １ － ｃ ） ≥８ ａ ｂ ｃ ． Ｉ ｃ ｏ ｓ （ ． － ￣） 一 ｓ ｉ ｎ （ ｏ ￣ ＋ ］ ３ ） ］ ? ｃ ｏ ｓ （ ａ － ￣ ） 分析： 这道题 目的证 明 ， 是运用二元均值不等式 的一 个典型范例． 证明： 由ａ ， ｂ ， Ｃ ∈ ， ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ＝ ｌ ， 结 合均值不等式得 ： １ － ａ ＝ ｂ ＋ ｃ １２ ＞ 、 ／ 瓦 ＞ ０ ． ≥［ ｃ ｏ ｓ （ ） 一 １ ］ ? ｃ ｏ ｓ （ ￣ － ／ ３ ） ＝ Ｃ Ｏ Ｓ （ ＝ ） 一 ｃ ｏ ｓ （ ） ［ ｃ ｏ ｓ （ ］ Ｂ ） 一 丢 ］ ２ ＿ １ ． ≥ 一 １ － ｂ＝ ｃ ＋０≥ ２ ＞ ０． ４ 、 １ － ａ ＝ － ｂ ＋ ｃ ≥２ 、 ／ 瓦 ＞ Ｏ ． 且 仅 当 （ ＝ ｛ ， 】 ， 即｛ ， ｙ ｝ ＝ ｆ ２ ＋ 、 ／ 了， ２ 一 、 ／ 了｝ 时， 上式取等号 ， 所以所 求式子的最小值为一 １ ． 以上三式相乘 即得 （ １ — ０ ） （ １ － ｂ ） （ １ － ｃ ） ≥８ ａ ｂ ｃ ． 变 形 得 ≤ ÷ ， 当 且仅当 ａ ＝ ６ ＝ ｃ ＝ ÷时取等号， 所 以 在赛题 中， 令１ 的 最 大 值 为 吉 ． ， ＋ ） ， ＝ １ ， 问题 即为 ： 由此可知 ，竞赛题 和高考题 均源 自课本 （ 或高于课 本） ， 我们 只要 透过 表面现象 ， 把握 问题 的本质 ， 分析题 目 的结构特征 ， 运 用所学数学 知识 和方法 ， 可以使 很多看似 高 中 版 中。 毒 ｉ ： ? ？