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四川省成都市石室中学2010-2011学年高一下学期期末考试数学试题


石室中学高 2013 级 2010~2011 学年度下期期末考试

数学试题
(时间:120 分钟 满分:150 分) 说明:请将所有试题的答案都答在答题卷上. 一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每个小题只有一个正确答案. 1.已知点 M (1, 2) , N (1,1) ,则直线 MN 的倾斜角是 A.

>90

B.

45

C.

135

D.

不存在

2.在 ?ABC 中,已知 AB ? 2 , BC ? 1 , ?ABC ? 60? ,则 ?ABC 的面积为 A.

3

B.

1

C.

3 2

D.

1 2
a?c ?b?d

3.已知 a ? b , c ? d ,且 cd ? 0 ,则 A. ad ? bc B. ac ? bd C. a ? c ? b ? d

D.

4.如果直线 ax ? 2 y ? 2 ? 0 与直线 3x ? y ? 2 ? 0 垂直,那么系数 a ? A.

2 3

B.

?3

C.

?6

D.

?

3 2

?x ? 2 ? 5.若变量 x、 y 满足约束条件 ? y ? 2 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值为 ?x ? y ? 2 ?
A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 6.到直线 y ? 3x 的距离与到 x 轴的距离相等的点的轨迹方程为

A.

y?

3 x 3 3 x 或 y ? ? 3x 3

B.

y ? ? 3x

C.

y?

D.

y ? (2 ? 3) x 或 y ? ( 3 ? 2) x
a b c ? ? , cos A cos B cos C
D.等边三角形

7.设 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,若 则 ?ABC 是 A.直角三角形 B.钝角三角形
2 2

C.等腰直角三角形

8.圆 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 3 被直线 x ? y ? 1 ? 0 截得的弦长是

A.

2

B. 1

C.

2 2

D. 2

9.已知圆 C 与直线 x ? y ? 0 及 x ? y ? 4 ? 0 都相切,圆心在直线 x ? y ? 0 上,则圆 C 的方 程为 A. C.

( x ? 1)2 ? ( y ?1)2 ? 2 ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 2

B. D.

( x ?1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2

10.已知锐角 ?、? 满足 sin? ? A.

10 5 , sin(? ? ? ) ? ? ,则 ? 等于 10 5
C.

5? 12 6 4 3 1 1 1 * 2 11.设数列 {an } 满足 a1 ? , an?1 ? an ? an ( n ? N ),记 Sn ? ? ? 3 1 ? a1 1 ? a2
B. D. 则 S10 的整数部分为 A.

?

?

?

?

1 , 1 ? an

1

B.

2

C.

3

D.

4

9a 2 ? b 2 12.函数 f (a) ? (3m ?1) a ? b ? 2m ,当 m ? [0,1] 时, 0 ? f (a) ? 1 恒成立,则 的 ab
最大值与最小值之和为 A. 18 B. 16 C. 14 D.

49 4

二、填空题:本题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.设 x ? 0 ,则函数 y ? x ?

4 的最小值是 x

. .

14.如果 tan ? ? tan ? ? 2 , tan(? ? ? ) ? 4 ,那么 tan ? tan ? 等于
2 2 2 2

15.若圆 O1 : x ? y ? 5 与圆 O2 : ( x ? m) ? y ? 20 ( m ? R )相交于 A、B 两点,且两圆 在点 A 处的切线互相垂直,则线段 AB 的长度是
*

.

16.已知数列 {an } ( n ? N ),其前 n 项和为 Sn ,给出下列四个命题: ①若 {an } 是等差数列,则三点 (10,

S10 S S ) 、 (100, 100 ) 、 (110, 110 ) 共线; 10 100 110

②若 {an } 是等差数列,且 a1 ? ?11 , a3 ? a7 ? ?6 ,则 S1 、 S2 、…、 Sn 这 n 个数中必然 存在一个最 大者; ③若 {an } 是等比数列,则 Sm 、 S2 m ? Sm 、 S3m ? S2m ( m ? N )也是等比数列;
*

④若 Sn?1 ? a1 ? qSn (其中常数 a1q ? 0 ),则 {an } 是等比数列. 其中正确命题的序号是 .(将你认为的正确命题的序号 都填上) ..

三、解答题:本题共 6 个小题,满分 74 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知 ?OAB 的顶点 O (0, 0) 、 A(2, 0) 、 B(3, 2) , OA 边上的中线所在直线为 l . (I)求 l 的方程; (II)求点 A 关于直线 l 的对称点的坐标.

18.(本小题满分 12 分) 已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? x ? (3 ? a) x ? 2(1 ? a) (其中 a ? R ).
2

(I)求 f (2) 的值; (II)解关于 x 的不等式 f ( x) ? 0 .

19.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin x cos x ? 3 cos 2 x ? 1( x ? R ). (I)求 f ( x ) 的最小正周期; (II)求 f ( x ) 在区间 x ? [

? ?
2

, ] 上的最大值和最小值; 4 2

(III)若不等式 [ f ( x) ? m] ? 4 对任意 x ? [

? ?

, ] 恒成立 ,求实数 m 的取值范围. 4 2

20.(本小题满分 12 分) 如图所示,港口 A 北偏东 30 ? 方向的点 C 处有一观 测站,港口正东方向的 B 处有一轮 船, 测得 BC 为 31 海里. 该轮船从 B 处沿正西方向航行 20 海里后到达 D 处, 测得 CD 为 21 海里. 问此时轮船离港口 A 还有 多少海里?
北 30° 东 A D 20题图 B C

21. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xoy 中, 设二次函数 f ( x) ? x ? 2x ? b( x ? R) 的图象与两坐标轴 有 ....
2

三个 不同的 交点 . 经过这三个交点的圆记为 C . .. ... .. (I)求实数 b 的取值范围; (II)求圆 C 的一般方程; (III)圆 C 是否经过某个定点(其坐标与 b 无关)?若存在,请求出点点的坐标;若不存在, 请说明理由.

22. (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 中, a1 ? 2 , a2 ? 10 ,对任意 n ? N 有 an?2 ? 2an?1 ? 3an 成立.
*

(I)若 {an?1 ? ? an } 是等比数列,求 ? 的值; (II)求数列 {an } 的通项公式; (III)证明:

1 1 1 ? ? ? a1 a2 a3

?

1 2 ? 对任意 n ? N * 成立. an 3

石室中学高 2013 级 2010——2011 学年度下 期期末考试 数学试题参考答案
一、选择题: ACDA ACDD 二、填空题: 13.4;14. 三、解答题: (本题满分 12 分) BBCB

1 ;15.4;16.①④. 2

[来源:学科网 ZXXK]

[来源:Z§xx§k.Com]

17.解:(I)线段 OA 的中点为 (1, 0) ,于是中线方程为 y ? x ? 1 ;

?b ? 0 ? ?1 ? ?a ? 1 ?a ? 2 (II)设对称点为 A?(a, b) ,则 ? ,解得 ? ,即 A?(1,1) . ?b ? 1 ?b ? 2 ? a ?1 ? ?2 2
(本题满分 12 分) 18 解:(I) f (2) ? 2 ? 2(3 ? a) ? 2(1 ? a) ? 0 ;
2

(II)由(I)知方程 f ( x) ? 0 的两根为 x1 ? 2 , x2 ? 1 ? a ,从而 f ( x) ? ( x ? 2)[ x ? (1 ? a)] , 而 x1 ? x2 ? 2 ?1 ? a ? a ? 1 , f ( x) ? 0 等价于 ( x ? 2)[ x ? (1 ? a)] ? 0 ,于是 当 a ? ?1 时, x1 ? x2 ,原不等式的解集为 (??, 2) 当 a ? ?1 时, x1 ? x2 ,原不等式的解集为 (??, 2)

(1 ? a, ??) ; (2, ??) ; (2, ??) .

当 a ? ?1 时, x1 ? x2 ,原不等式的解集为 (??,1 ? a)

(本题满分 12 分) 19.解:(I) f ( x) ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 1 ? 2sin(2 x ? (II)易得

?
3

) ? 1 ,故 T ? ? ;

2 ? ? ? ,于是 1 ? 2sin(2 x ? ) ? 2 ,即 2 ? f ( x) ? 3 , 6 3 3 3 5? ? 即 f ( x)max ? 3 ,当 x ? 取得, f ( x)min ? 2 ,当 x ? 时取得. 12 4

?

? 2x ?

?

(III)原不等式等价于 ?

?m ? f ( x) ? 2 恒成立,由(II)得 1 ? m ? 4 . ?m ? f ( x) ? 2

(本题满分 12 分) 20.解:由已知 A ? 60? ,在 ?BCD 中,由余弦定理得

BD 2 ? CD 2 ? BC 2 1 ?? , cos ?BDC ? 7 2 ? BD ? CD
故 sin ?BDC ? 1 ? cos ?BDC ?
2

C

4 3 , 7

A

D

B

从而 sin ?ACD ? sin(?BDC ? 60?) ? sin ?BDC cos 60? ? cos ?BDC sin 60? ? 在 ?ACD 中,由正弦定理得 于是 AD ?

5 3 . 14

AD CD ? , sin ?A C D s i n ?6 0

[来源:Z#xx#k.Com]

CD ? sin ?ACD ? 15 (海里),即此时轮船距离港口 A 还有 15 海里. sin 60?

(本题满分 12 分)
2 21.解:(I)令 x ? 0 得抛物 线与 y 轴交点是 (0, b) ;令 f ( x) ? x ? 2x ? b ,由题意 b ? 0 ,

且 ? ? 0 ,解得 b ? 1 ,且 b ? 0 . (II)设所求圆的一般方程为 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,
2 2
2 2 令 y ? 0 得, x ? Dx ? F ? 0 ,这与 x ? 2 x ? b ? 0 是同一个方程,故 D ? 2 , F ? b .

2 令 x ? 0 得, y ? Ey ? F ? 0 ,此方程有一个根为 b ,代入得出 E ? ?b ? 1 ,

所以圆 C 的一般方程为

x2 ? y 2 ? 2x ? (b ? 1) y ? b ? 0 .

(III)圆 C 过定点 (0,1) 和 (?2,1) . 证明如下: 法 1,直接将点的坐标代入验证; 法 2,圆 C 的方程改写为 x ? y ? 2x ? y ? b( y ?1) ? 0 ,于是有
2 2

? x2 ? y 2 ? 2x ? y ? 0 ? x ? 0 ? x ? ?2 ,解得 ? 或? ,故过定点 (0,1) 和 (?2,1) . ? ?y ?1 ?y ?1 ?y ?1

(本题满分 14 分) 22.解:(I)设 an?2 ? ?an?1 ? ? (an?1 ? ?an ) ,则 an?2 ? (? ? ? )an?1 ? ?? an , 令?

?? ? ? ? 2 ?? ? 3 ? ? ? ?1 ,得 ? 或者 ? ,即 ? ? 1 或 ? ? ?3 ; ??? ? 3 ?? ? 1 ?? ? ?3

(II)由(I)知 an?2 ? an?1 ? 3(an?1 ? an ) ,而 a2 ? a1 ? 12 , 故 an?1 ? an ? (a2 ? a1 ) ? 3
n?1

? 12 ? 3n?1 ? 4 ? 3n ,
n?1

同理 an?2 ? 3an?1 ? ?(an?1 ? 3an ) 有 an?1 ? 3an ? (a2 ? 3a1 ) ? (?1) 两式作差得
n ?1 n n ,即 an ? 3 ? (?1) . 4an ? 4? 3 ? ? 4 ?( n1)
*
2 k ?1

? 4 ? (?1)n?1 ,

(III)当 n ? 2k (k ? N ) 时,注意到 3

? 32 k ? 1 ? 2 ? 32 k ? 1 ? 0 ,于是

1 1 1 1 1 1 32 k ?1 ? 32 k ? ? ? ? ? ? an an?1 a2 k a2 k ?1 32 k ? 1 32 k ?1 ? 1 (32 k ? 1)(32 k ?1 ? 1)
32 k ?1 ? 32 k 32 k ?1 ? 32 k 1 1 ? 2 k 2 k ?1 2 k ?1 2 k ? 2 k 2 k ?1 ? 2 k ? 2 k ?1 . 3 ? 3 ? 3 ? 3 ?1 3 ? 3 3 3
显然当 n ? 1 时,不等式成立;对于 n ? 2 , 当 n 为奇数时,

1 1 1 ? ? ? a1 a2 a3
? 1 1 1 ? ? ? 2 32 33 ?

?

1 1 1 1 ? ?( ? )? an a1 a2 a3

?(

1 1 ? ) an?1 an

1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 2 ? n ? ? ? 2 (1 ? n ?1 ) ? ? (1 ? n ?1 ) ? ? ? ; n ?1 3 3 2 2 3 3 2 6 3 2 6 3

当 n 为偶数时,

1 1 1 ? ? ? a1 a2 a3
? 1 1 1 ? ? ? 2 32 33 ?
*

?

1 1 1 1 ? ? ? ? an a1 a2 a3

?

1 1 ? an an?1

1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 2 ? n ?1 ? ? ? 2 (1 ? n ) ? ? (1 ? n ) ? ? ? . n 3 3 2 2 3 3 2 6 3 2 6 3

综上 对任意 n ? N 有

1 1 1 ? ? ? a1 a2 a3

?

1 2 ? 成立. an 3


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