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高中物理竞赛辅导参考资料之17


机械振动

本章内容

Contents

chapter 17

简谐振动的特征及其描述 characteristic and describe of simple harmonic motion 简谐振动的能量 energy of simple harmonic motion 简谐振动的合成 c

ompose of simple harmonic motion

机械振动 往复运动。如声源的振动、钟摆的摆动等。 物体发生机械振动的条件:

第一节 引言 物体在它的平衡位置附近所作的
17-1

物体受到始终指向平衡位置的回复力;
物体具有惯性。

characteristic and describe of 掌握机械振动的基本规律是研究其它形式振动的基础。 simple harmonic motion
简谐振动(simple harmonic vibration) 是最简单、
最基本的振动理想模型。它是研究各种复杂振动的 重要基础。这里主要讨论简谐振动。

动力学特征

正X向

反X向

X
水平光滑面,弹簧劲度
物体在任一位 置受的弹性力

质量可忽略,物体质量

以物体受力为零的平衡位置为坐标原点

以铅垂方向

为摆角参考轴线,单摆在任一角位置
取摆幅很小

所受的重力矩为



运动学特征
X
对于给定的弹簧振子 则 得 该微分方程的解 通常表成余弦函数 为常量,其比值亦为常量。令 即

简谐振动微分方程

A A

简谐振动方程

A

为微分方程求解时的积分常量,由系统的初始条件决定。

简谐振动的速度 简谐振动的加速度

A

应用转动定律,同理也可求得单摆的角振动方程

简谐振动的振动方程

续上
A

A
简谐振动的速度

A

A
简谐振动的加速度

A

A

最大

最大 最大

A

A

简谐振动参量
振幅 A : 的最大绝对值 完成一次振动需时 周期 : 频率 : 角频率 :
弹簧振子 单 是界定振子在时刻 和速度 同时描述,而 和 摆 的运动状态的物理量 的正负取决于

X

A
相位 :
运动状态要由位置

A

A
初相
所谓 初始条件即为

A
时,振子的相位。
,不是指开始振动,而是指开始观测和计时。 时质点的运动状态 位置 速度

:是

A
A





求给定振子的振幅 A

续上
A

A
A
由 和

消去 得 求给定振子的初相

A A

消去 A 得

但由于 在 0 ~ 2p 范围内,同一正切值对应有两个 值,因此,还必须 再根据 和 的正负进行判断。联系振子运动状态直观图不难作出判断 若 则 且 (第二象限)
(第三象限) 若 且 则 若 且 则 (第一象限) (第四象限)

若 且



旋转矢量法
简谐振动方程

x = A cos (w t﹢j ) 旋转矢量 A

M M(t )M(t ) (t )

循环往复 M ((T )) 周期 T M (0 0 初相 j 初相 X

wt 以匀角速 wt 逆时针转动 M ( t ) w t wt wT t 时刻的
振动相位

wt t w t A ww t
A

jj

O

(w t﹢j )

M(t )

M(t )

M(t ) 矢量端点 在X 轴上 的投影对 M ( t ) 应振子的 位置坐标

X

A

A

旋转矢量端点 M 作匀速圆周运动
其 速率

续上
w
X

wA

振子的运动速度(与 X 轴同向为正)

wA

wt j
w A w A


wt j
O

A

旋转矢量端点 M 的加速度为 法向加速度,其大小为

振子的运动加速度(与 X 轴同向为正)
任一时刻的 和 值, 其正负号仅表示方向。

wt j
O

同号时为加速 异号时为减速

X

A

A

例一
简谐振动的 曲线
0.04
1 0.04 2

完成下述简谐振动方程

w
A = 0.04 (m) T = 2 (s)
v0

t=0 A =p/2

w = 2 p / T = p (rad /s )
0.04

p

p
2

A 从 t = 0 作反时针旋转时,
矢端的投影从x=0向X轴的负方运动, 即 v0 ,与 已知 X~ t 曲线一致。

SI

试证明,若选取受力平衡点作为位置坐标原点,垂直弹簧 振子与水平弹簧振子的动力学方程和振动方程相同。
选取受力平衡点作为位置坐标原点 小球在为置坐标 处所受弹性力
合外力 平衡点
小球 在受力平衡点 受弹性力大小

例二

动力学方程
微分方程

的解:

振动方程

A

均与水平弹簧振子结果相同

m = 5×10 -3 kg 例三 弹簧振子 k = 2×10 -4 N· -1 m s t = 0 时 x0 = 0 v0 = 0.4 m· -1
完成下述简谐振动方程
已知 x0 = 0 v0 相应的旋转矢量图为

m k

0.2 (rad · –1) s

x0
2

v0
0.2

2 (m) (SI)

v0

w

某物体沿

X 轴作简谐运动, 振幅 例四 A = 0.12 m,

周期 T = 2 s,t = 0 时 物体背离原点移动到位置 x0 = 0.06 m处 初相 j , t = 0 .5 s 时的位置 x, 速度 v, 加速度 a

t

由简谐振动方程 x = A cos (w t﹢j ) = 0 时 0.06 = 0.12 cos j 得 j =±p / 3

再由题意知 t = 0 时物体正向运动,即 且

A p/3

,则 j 在第四象限,故取 j =

0

将 A = 0.12 m,T = 2 s ,

j=

p / 3 rad 及 t = 0 .5 s 代入谐振动的 x, v, a 定义式得 x A cos (w t﹢j ) 0.104 (m) 0.19 ( m · -1 ) s A

w = 2p / T = p rad · -1 , s

A

1.03 ( m · -2 ) s

例五 Acos
两质点 1、2
同在 X 轴上作简谐振动

A


cos
A A
因 且

振幅 A 相同
周期均为 T = 8.5s t=0时
在 A 处 质点1 向平衡点运动

在第一象限 应取

Acos

A

质点2 在

cos
两质点振动相位差 从旋转矢量图可以看出: 时,质点1第一次通过平衡点 A 转过

处 向平衡点运动

A

用旋转矢量法 两质点振动相位差 两质点第一次通过 平衡点的时刻

1.06 (s)

A 转过

时,质点2第一次通过平衡点

2.13(s)

第二节 振动能量
振子质量 振动系统:如 水平弹簧振子 弹簧劲度 简谐振动方程 振子运动速度 系统的 动能 系统的 势能 振动角频率

1 7 - 2A
A A

A

(以x=0处为零势点)

系统的 机械能

energy of simple harmonic motion
A
均随时间而变且能量相互转换 能 变为零 变到最大时 量 变到最大时 变为零

A

系统的机械能

守恒。



A

时 间

动能 一水平弹簧振子 势能 则 其中 当 时

例六A
A

或 中,解得

以平衡点为原点 沿 X 轴振动 弹簧劲度 振子质量 振幅 A 当振动系统的 动能值与势能值 相等时 振子的 位置坐标

振动相位
代入

A
能量

x

位置

匀质细直悬棒 质量 m、长 L 在铅直面内摆动

该摆动系统的机械能守恒数学表达式 该摆的运动学微分方程及摆动周期

例七

动能

刚体(直棒)转动动能

摆幅很小

势能 系统的重力势能 以垂态直棒中心点 C 为重力零势点

机械能
机械能守恒,即 为恒量,

即 转动惯量 得 简谐角振动微分方程 该摆的振动周期



随堂小议 请在放映状态下点击你认为是对的答案
一弹簧振子作简谐振动,总能量为 E1,如果谐振 动的振幅增加为原来的两倍,重物的质量增加为原来的4 倍,则其总能量将变为

(1)E1/4;

(2)E1/2;

(3)2E1;

(4)4E1。

结束选择

小议链接1 请在放映状态下点击你认为是对的答案
一弹簧振子作简谐振动,总能量为 E1,如果谐振 动的振幅增加为原来的两倍,重物的质量增加为原来的4 倍,则其总能量将变为

(1)E1/4;

(2)E1/2;

(3)2E1;

(4)4E1。

结束选择

小议链接2 请在放映状态下点击你认为是对的答案
一弹簧振子作简谐振动,总能量为 E1,如果谐振 动的振幅增加为原来的两倍,重物的质量增加为原来的4 倍,则其总能量将变为

(1)E1/4;

(2)E1/2;

(3)2E1;

(4)4E1。

结束选择

小议链接3 请在放映状态下点击你认为是对的答案
一弹簧振子作简谐振动,总能量为 E1,如果谐振 动的振幅增加为原来的两倍,重物的质量增加为原来的4 倍,则其总能量将变为

(1)E1/4;

(2)E1/2;

(3)2E1;

(4)4E1。

结束选择

小议链接4 请在放映状态下点击你认为是对的答案
一弹簧振子作简谐振动,总能量为 E1,如果谐振 动的振幅增加为原来的两倍,重物的质量增加为原来的4 倍,则其总能量将变为

(1)E1/4;

(2)E1/2;

(3)2E1;

(4)4E1。

结束选择

第三节 振动合成
同在 X 轴 且 相同

合成振动

17-3

用旋转矢量法可求得合成振动方程

compose of simple harmonic motion
合成初相 与计时起始时刻有关 与计时起 分振动初相差 始时刻无关,但它对合成振幅 属相长还是相消合成起决定作用

续上
分振动 合振动
其中,合振幅








为合振幅可能达到的最大值
若 则


为合振幅可能达到的最小值






为其它值,则

处于



之间

0.05 0.06 0.07

简谐振动 (SI) (SI) (SI)

例八 合成的



合成的 最大时 合成的 最小时 8.92×10 –2 (m) 12′ 68° 12′ 248° (舍去)

0.928 当
合成的 达到最大



得 当
合成的 达到最小





振动合成二
为了突出重点,设两分振动的振幅相等且初相均为零。

合振动

频率为 简谐振动



频率为 的 简谐振动

此合振动不是简谐振动,一般比较复杂,只介绍一种常见现象:





相差不大,

续上
频率相对较高的简谐振动 两分振动的频率

合振动 例如:
可看作呈周期性慢变的振幅

9 Hz 8 Hz
1秒 合振动频率

8.5 Hz
合振动振幅 变化的频率称为 “ 拍频 ” (包络线) 385 Hz 383 Hz

1 Hz
听到的音频 384 Hz 强度节拍性变化 2 Hz

振动合成三
消去

得轨迹方程:

该方程为椭圆的普遍方程, 介绍几种特殊情况:


若 若

或 或

得直线

得直线
得正椭圆

续上



振动合成四
其合运动一般较复杂,且轨迹不稳定。 但当 为两个简单的整数之比时 可以得到稳定轨迹图形,称为李萨如图形

例如

随堂小议 请在放映状态下点击你认为是对的答案
两个同方向同频率的谐振动,振动方程为
x1=6×10-2 cos (5t + 2 ), x2=2×10-2 sin ( π – 5 t ) π

则其合振动的振幅为 (1)0 ; (2)4 cm;

(3)4

cm;

(4)8 cm。
结束选择

小议链接1 请在放映状态下点击你认为是对的答案
两个同方向同频率的谐振动,振动方程为
x1=6×10-2 cos (5t + 2 ), x2=2×10-2 sin ( π – 5 t ) π

则其合振动的振幅为谐振动 (1)0 ; (2)4 cm;

(3)4

cm;

(4)8 cm。
结束选择

小议链接2 请在放映状态下点击你认为是对的答案
两个同方向同频率的谐振动,振动方程为
x1=6×10-2 cos (5t + 2 ), x2=2×10-2 sin ( π – 5 t ) π

则其合振动的振幅为谐振动 (1)0 ; (2)4 cm;

(3)4

cm;

(4)8 cm。
结束选择

小议链接3 请在放映状态下点击你认为是对的答案
两个同方向同频率的谐振动,振动方程为
x1=6×10-2 cos (5t + 2 ), x2=2×10-2 sin ( π – 5 t ) π

则其合振动的振幅为谐振动 (1)0 ; (2)4 cm;

(3)4

cm;

(4)8 cm。
结束选择

小议链接4 请在放映状态下点击你认为是对的答案
两个同方向同频率的谐振动,振动方程为
x1=6×10-2 cos (5t + 2 ), x2=2×10-2 sin ( π – 5 t ) π

则其合振动的振幅为谐振动 (1)0 ; (2)4 cm;

(3)4

cm;

(4)8 cm。
结束选择

作业
HOME WORK 17 - 9 17 - 1 9 17 - 1 6 17 - 2 2

选讲:阻尼振动
振幅逐渐衰减的振动 称为阻尼振动或衰减振动

形成阻尼振动的原因: 振动系统受摩擦、粘滞等阻力作用,造成热损耗;

振动能量转变为波的能量向周围传播或辐射。
以第一种原因为例,建立阻尼振动的力学模型。

以液体中的水平弹簧振子为例:振子 弹性力 摩擦阻力

受 弹性力 振动速度不太大时受

续上

摩擦阻力
与 反向 负号: :阻力系数

合外力 即 得 若阻尼较弱,且 令
称为振动系统的固有角频率 称为阻尼系数

时,上述微分方程的解为

续上
和 取决于初始状态。 为振动角频率, 为阻尼振动的振幅,随时间的增大而指数衰减。 越大,振幅衰减越快,且振动周期 周期 越长。

本图设

续上 相对较大的阻尼振动,其振幅衰减较快,但只要满足
,振子仍可出现往复运动的特征,仍属阻尼振动。 临界阻尼 过阻尼

阻尼振动 ,用此条件求解微分方程,其 若阻尼过大,以致 结果表明(数学表达从略)振子不能作往复运动,而是从 开始的最大位置缓慢地回到平衡位置。此情况称为过阻尼。 若 ,振子从开始的最大位置较快地回到平衡位置, 并处于往复运动的临界状态。此情况称为临界阻尼。

受迫振动

周期性外力 (强迫力) 示意
幅 值 角频率 弹性力

系统在周期性外力的持续作用下所作 的等幅振动称为受迫振动。 建立动力学方程

即 表成 此微分方程的解为

续上

受迫振动进入稳定振动状态 后,其振动角频率为强迫力 的角频率 ,其振幅为

受迫振动与强迫力有一定的 相位差 ,用初相 表示

和 开始振动 比较复杂 经过一段时间后,受迫 振动进入稳定振动状态。 固有角频率

都与 阻尼系数 相对于系统的 的大小有关。

强迫力角频率

重点讨论受迫振动稳定状态时的振幅

续上
较小

若强迫力的角频率
若阻尼系数

已定, 大则

小。

较大

已定,当

等于或接近 获得极大值。 极大时的 为

系统的固有角频率时,



求得

受迫振动的振幅出现极大值的现象称为 共振。 共振时的强迫力频率
共振时的振幅值为 称为共振频率


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