当前位置:首页 >> 数学 >>

【金版学案】2013-2014学年度高中数学 4.1.2 圆的一般方程同步辅导与检测课件 新人教A版必修2


圆与方程

4.1 圆的方程
4.1.2 圆的一般方程

1.正确理解圆的一般方程及其特点. 2.会求圆的一般方程. 3.能进行圆的一般方程和标准方程的互化.

基础梳理 1.圆的一般方程的定义 当D2+E2-4F>0时,二元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 称为圆的一般方程. ______________________ 2.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形
方程 条件 D2+E2 -4F<0 D2+E2 -4F=0 图形

不表示任何图形
表示一个点____________

x2+y2+ Dx+Ey +F=0

D2+E2 -4F>0

表示以____________为圆心,以 ______________为半径的圆

D E? ? D E? 1 2 2 ? - ,- 2. - 2 ,- 2 D + E -4F 2? 2 ? ? ? 2

3.由圆的一般方程判断点与圆的位置关系 已知点M(x0,y0)和圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0.则 其位置关系如下表: 位置关系 点M在圆外 点M在圆上 点M在圆内 代数关系 x02+y02+Dx0+Ey0+F>0 x02+y02+Dx0+Ey0+F=0 x02+y02+Dx0+Ey0+F<0

练习1.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0,在什 么条件下表示圆的方程.? 练习2.圆x2+y2-2x+10y-24=0的圆心为:________, 半径为:________. 练习1. A=C≠0,B=0且D2+E2-4AF>0 练习2. (1,-5) 5 2

思考应用 1.圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点? 解析:圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2明确了圆心和 半径,方程左边为平方和,右边为一个正数,且未知数的系

数为1;一般方程体现了二元二次方程的特点,但未明确圆心
和半径,需计算得到,当二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+ Ey+F=0中的系数A=C≠0,B=0,D2+E2-4F>0时,二元 二次方程就是圆的一般方程.

2.求圆的方程常用“待定系数法”,“待定系数法”的 一般步骤是什么? 解析:(1)根据题意选择方程的形式——标准方程或一 般方程;

(2)根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组;
(3)解出a、b、r或D、E、F,代入标准方程或一般方 程.

自测自评 1.圆x2+y2+4x-6y-3=0的圆心和半径分别为( )

A.(4,-6),r=16
C.(-2,3),r=4

B.(2,-3),r=4
D.(2,-3),r=16

解析:由圆的一般方程可知圆心坐标为(-2,3), 1 2 半径 r= 4 +?-6?2+12=4. 2 答案:C

2.如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)所 表示的曲线关于y=x对称,则必有( ) A.D=E B.D=F C.F=E D.D=E=F D E? ? 解析:由题知圆心 - 2 ,- 2 在直线 y=x 上, ? ?
E D 即- =- ,∴D=E. 2 2 答案:A

3.若方程x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆,则实数k的取 值范围是( ) A.R B.(-∞,1) C.(-∞,1] D.[1,+∞) 解析: 由 D2 + E2 - 4F = ( - 4)2 + 22 - 4×5k = 20 - 20k>0 得k<1. 答案:B

4.圆心是(-3,4),经过点M(5,1)的圆的一般方程为 ________________.

解析:圆的半径r= ?-3-5?2+?4-1?2= 73,
∴圆的标准方程为(x+3)2+(y-4)2=73,

展开整理得,
x2+y2+6x-8y-48=0为圆的一般方程. 答案:x2+y2+6x-8y-48=0

5.指出下列圆的圆心和半径: (1)x2+y2-x=0; (2)x2+y2+2ax=0(a≠0); (3)x2+y2+2ay-1=0. 解析:(1)(x- 1 )2+y2= 1 ,圆心( 1 ,0),半径r = ; (2)(x+a)2+y2=a2,圆心(-a,0),半径r=|a|; (3)x2+(y+a)2=1+a2,圆心(0,-a),半径r= 1+a2.
1 2 2 4 2

圆的一般方程的概念 下列方程能否表示圆?若能表示圆,求出圆心和 半径:

(1)2x2+y2-7y+5=0;
(2)x2-xy+y2+6x+7y=0; (3)x2+y2-2x-4y+10=0; (4)2x2+2y2-5x=0. 解析:将其化成标准式再进行判断,并给出答案.

(1)∵方程2x2+y2-7x+5=0中x2与y2的系数不相同,
∴它不能表示圆; (2)∵方程x2-xy+y2+6x+7y=0中含有xy这样的项, ∴它不能表示圆;

(3)方程x2+y2-2x-4y+10=0化为(x-1)2+(y-2)2=-5,
∴它不能表示圆; (4)方程2x2+2y2-5x=0化为 (x- 5 )2+y2=( 5 )2,
4 5 4 5 ∴它表示以( ,0)为圆心, 为半径的圆. 4 4

点评:(1)判断一个二元二次方程是否表示圆的程序是:先看 这个方程是否具备圆的一般方程的特征即:①x2与y2的系数相等, ②不含xy的项;当它具有圆的一般方程的特征时,再看它能否表示 圆,此时有两种途径,一是看D2+E2-4F是否大于零,二是直接 配方变形,看右端是否为大于零的常数.

(2)圆的标准方程指出了圆心坐标与半径大小,几何特征明显; 圆的一般方程表明圆的方程是一种特殊的二元二次方程,代数特 征明显.

跟踪训练 1.求出下列各圆的圆心坐标和半径:
(1)x2+y2-6x=0;

(2)x2+y2+2by=0(b≠0);
(3)x2+y2-2ax-2 3 y+3a2=0. 解析:(1)原方程化为(x-3)2+y2=32,因此该圆的圆心为 (3,0),半径为3. (2)原方程化为x2+(y+b)2=b2(b≠0),因此该圆的圆心为(0, -b),半径为|b|. (3)原方程化为(x-a)2+(y- 3 )2=3-2a2.因为表示圆, 所以3-2a2>0,从而该圆的圆心为(a, 3 ),半径为 3-2a2.

求圆的方程 (多解题)求经过A(-2,-4),且与直线l:x+3y -26=0相切于点B(8,6)的圆的方程. 解析:根据题中条件,既可设标准方程,也可设一般 方程,有多种解法. 解法一:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
?-2?2+?-4?2-2D-4E+F=0,
2 2

? 6 +8D+6E+F=0, ?8 + 则有? -E-6 2 1 ×?- ?=-1, D 3 ? - - 8 ? 2

2D+4E-F=20, D=-11, ? ? ? ? 整理得?8D+6E+F=-100, 解得?E=3, ? ? ?3D-E=-36, ?F=-30. ∴所求圆的方程为 x +y -11x+3y-30=0. b)且圆的方程为 解法二: 设圆心C(a , 2 2 2 (x-a) +(y-b) =r . ∵|CA|=|CB|,CB⊥l, 2 2 2 2 ??a+2? +?b+4? =?a-8? +?b-6? ,
2 2

? ∴?b-6 1 ? × -3?=-1. ? ?a-8

11 3 125 . 解得 a= 2 ,b=-2,从而 r= 2 11 2 3 2 125 ( x ) ( y 故所求的方程为 - 2 + +2) = 2 .

C,则 CB⊥l, 解法三:设圆心为 ∴CB 的方程为 y-6=3(x-8),即 3x-y-18=0. 又 AB 的垂直平分线的方程为 x+y-4=0, ? ?3x-y-18=0 . 联立? ? ?x+y-4=0 11 3 得圆心 C( 2 ,-2). 11 3 125 2 2 ? ? ? ? 8 6 . ∴半径 r= 2 - + -2- = 2 11 2 3 2 125 ∴所求圆的方程为 (x- 2 ) +(y+2) = 2 .

点评:(1)求圆的方程的基本方法: 确定圆的方程需要三个独立条件,“选标准,定参数” 是解题的基本方法.其中,选标准是根据已知条件选恰当 的圆的方程的形式,进而确定其中三个参数.一般来讲, 条件涉及圆上的点多,可选择一般方程,条件涉及圆心与 半径,可选择标准方程. (2)求圆的方程的一般步骤: ①根据题意选用圆的两种形式的方程中的一种;②根 据所给条件,列出关于D、E、F或a、b、r的方程组;③解 方程组.求出D、E、F或a、b、r的值,并把它们代入所设 的方程中,得到所求的圆的方程.

跟踪训练 2.(1)已知圆经过A(2,-3)和B(-2,-5),若圆心在 直线x-2y-3=0上,求圆的方程. (2)求过点A(-1,0)、B(3,0)和C(0,1)的圆的方程. 解析:由题设三个条件,可利用待定系数法求方程, 如利用弦的中垂线过圆心,也可先确定圆心,再求圆的 半径. (1)法一:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0则

D=2, ? ? ∴?E=4, ? ?F=-5. ∴圆的方程为 x2+y2+2x+4y-5=0. 法二:设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则
2 2 2 ? 2 - a ? + ? - 3 - b ? = r , ?

? ??-2-a?2+?-5-b?2=r2, ? ?a-2b-3=0.

a=-1, ? ? ??b=-2, ? ?r2=10

∴圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10.

法三:线段AB中垂线的方程为2x+y+4=0.它与直线x -2y-3=0的交点(-1,-2)为圆心,由两点间距离得r2= 10, ∴圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10.

(2)法一:设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0(*) 把 A、B、C 三点坐标代入方程(*)得 1-D+F=0 ? ? ?9+3D+F=0 ? ?1+E+F=0 D=-2 ? ? ∴?E=2 ? ?F=-3

故所求圆的方程为 x2+y2-2x+2y-3=0 法二:线段 AB 的中垂线方程为 x=1, 线段 AC 的中垂线方程为 x+y=0 ? ?x=1 由? 得圆心坐标为 M(1,-1), ? ?x+y=0 半径 r=|MA|= 5, ∴圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.

求轨迹方程 自圆x2+y2=4上的点A(2,0)引此圆的弦AB,求

弦AB的中点轨迹方程.
x1+2 y1+0 =4,且 x= ,y= . 2 2

解析:设AB的中点P(x,y),B(x1,y1),则有 x1+y1

2

2

∴x1=2x-2,y1=2y. ∴(2x-2)2+(2y)2=4,即(x-1)2+y2=1. 当A、B重合时,P与A点重合,不合题意, ∴所求轨迹方程为(x-1)2+y2=1(x≠2).

跟踪训练 3.设圆的方程为x2+y2=4,过点M(0,1)的直线l交圆于

点A、B,O是坐标原点,点P为AB的中点,当l绕点M旋转时,
求动点P的轨迹方程. 解析:设点P的坐标为(x,y)、A(x1,y1)、B(x2,y2). 因为A、B在圆上,所以 x1+y1 =4,x22+y22=4, 两式相减得x12-x22+y12-y22=0, 所以(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0,
2 2

y1-y2 当 x1≠x2 时,有 x1+x2+(y1+y2)· =0,① x1-x2

? ? y +y 并且?y= 2 . y-1 y -y ? ? x =x -x ,
x1+x2 x= , 2
1 2 1 2 1 2 2



1?2 1 ? 将②代入①并整理得 x + y-2 = .③ ? ? 4 当 x1=x2 时,点 A、B 的坐标为(0,2)、(0,-2), 这时点 P 的坐标为(0,0)也满足③, 1?2 1 2 ? 所以点 P 的轨迹方程是 x + y-2 = . ? ? 4

1.方程x2+y2=a2(a∈R)表示的图形是( A.表示点(0,0) B.表示圆

)

C.当a=0时,表示点(0,0),当a≠0时表示圆 D.不表示任何图形 解析:注意分a=0和a≠0两种情况讨论. 答案:C 2.x2+y2-4y-1=0的圆心和半径分别为( )

A.(2,0),5 C.(0,2), 5

B.(0,-2), 5
D.(2,2),5

解析:x2+(y-2)2=5,圆心(0,2),半径 5 . 答案:C

1.任何一个圆的方程都可写成x2+y2+Dx+Ey+F=
0的形式,但方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定 D 2 2 是圆,只有D +E -4F>0时,方程才表示圆心为(- 2 , - E ),半径为r= 1 D2+E2-4F 的圆. 2 2 2.在圆的方程中含有三个参变数,因此必须具备三 个独立条件才能确定一个圆.求圆的方程时是选用标准方 程还是一般方程的依据:当给出的条件与圆心坐标、半径 有关,或者由已知条件容易求得圆心和半径时,一般用标 准方程.当上述特征不明显时,常用一般方程,特别是给 出圆上三点,用待定系数法求圆的方程时,常用一般式, 这样得到的关于D、E、F的三元一次方程组,要比使用标 准方程简便得多. 3.要画出圆的图象,必须知道圆心和半径,因此应 掌握用配方法将圆的一般方程化为标准方程.


相关文章:
【金版学案】2015-2016高中数学人教版选修2-2模块综合...
【金版学案】2015-2016高中数学人教版选修2-2模块综合检测卷_高中教育_教育专区...(2014· 高考课标全国Ⅰ卷)已知函数 f(x)=ax3-3x2+1,若 f(x)存在...
...2016学年高一历史人教版必修2同步辅导与检测:单元综...
【金版学案】2015-2016学年高一历史人教版必修2同步辅导与检测:单元综合检测卷(一) Word版含答案.doc_理化生_高中教育_教育专区。一、选择题(本大题共 15 小...
【金版学案】2016-2017学年高中数学必修四(人教A版)模...
【金版学案】2016-2017学年高中数学必修四(人教A版...所以点 P 在单位圆上, 3 由正弦函数定义得 sin ...
【金版学案】2015-2016高中数学 模块综合检测卷 新人教...
【金版学案】2015-2016高中数学 模块综合检测人教A版选修2-2_数学_高中...? ? 6.(2014·高考山东卷)用反证法证明命题“设 a,b 为实数,则方程 x +...
【金版学案】2015-2016学年高中数学 2.4 线性回归方程...
【金版学案】2015-2016学年高中数学 2.4 线性回归方程检测试题 苏教版必修3_数学_高中教育_教育专区。2.4 线性回归方程 基础巩固 1.下列关系中,是相关关系的有(...
【金版学案】2015-2016学年人教A版高中数学选修4-4 模...
【金版学案】2015-2016学年人教A版高中数学选修4-4 模块综合检测卷_数学_高中...系中与圆 ρ=4sin θ 相切的一条直线的方程为( A.ρ cos θ=2 B.ρ ...
【金版学案】2015-2016学年高中数学 2 章末过关检测卷(...
【金版学案】2015-2016学年高中数学 2 章末过关检测卷()苏教版必修3_数学...6 0.5 7 -2.0 8 -3.0 ^ 得到的回归方程为y=bx+a,则( A.a>0,b<0...
【金版学案】2014-2015学年高中数学 2.3直线的参数方程...
【金版学案】2014-2015学年高中数学 2.3直线的参数方程同步检测试题 人教A版选修4-4_数学_高中教育_教育专区。【金版学案】 2014-2015 学年高中数学 2.3 ...
【金版学案】2014-2015学年高中数学(人教必修五)课时训...
【金版学案】2014-2015学年高中数学(人教必修五)课时...5 5 答案:B 5 . (2013· 课标全国Ⅱ卷 ) ...最大, 此时 z=600x+900y 取最大值. 解方程组...
【金版学案,同步备课】2014-2015学年高中数学(人教版选...
【金版学案,同步备课】2014-2015学年高中数学(人教版选修4-4)模块综合检测卷_...系中与圆 ρ=4sin θ 相切的一条直线的方程为( A.ρcos θ=2 ? π? ...
更多相关标签: