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2015年郑州市竞赛高一数学试题(word版含答案)


2015 年郑州市高一数学竞赛试卷
(2015 年 5 月 10 日上午 8:30—11:00) 一、选择题(每小题 6 分,共 30 分) 1.已知集合 S ? {1, 2,3, 4,5} ,集合 A 是 S 的非空子集,满足 a ? A ,且 (6 ? a) ? A ,则 这样的集合 A 的个数为( ) A.5 B.6

C.7

/>D.8 )

1 ? 3cos x ? 3cos 2 x 2.已知函数 f ( x) ? , x ? R ,则 f ( x ) 的值域为( sin 2 x ? cos x ? 1
A. (??, 7] B. [7, ?? ) C. (??, ?7] )

D. [?7, ??)

3.方程 x6 ? x2 ? ( x ? 2)3 ? x ? 2 的解集为( A. {?2,1} B. {?1, ?2}

C. {1, 2}

D. {?1, 2} )

4.在四边形 ABCD 中, AB ? m , CD ? n ,则 ( AB ? DC) ( BC ? AD) ? ( A. m ? n
2 2

B. m n

2

2

C. n ? m
2

2

D. m ? n
2

2

5.一根长度为 1 的玻璃棒摔断成三段,则最短的一段的平均长度为( A.



1 9

B.

1 8

C.

1 7

D.

1 3

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 6.一个棱长为 2 的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图所示,则该 几何体的体积为______.

正视图

侧视图

俯视图

7.已知不等式 ? x ? sin x ? t ? ?t ? 1 对于 x ?[?1,1] 且 ? ? (??, ?1] 时恒成立, 则实数 t
2

的取值范围是________.

8.已知圆 C : x2 ? y 2 ? 1 和两个定点 A(?1, 0) , B(1, 0) ,点 P 为圆 C 上的动点,过点 P 的圆 C 的切线为 l ,点 A 关于 l 的对称点为 D,则 AD 的最大值为________. 9.已知实数 a , b 满足 a ? b ? 4a ? 3 ? 0 ,函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x ? 1 的最大值记
2 2

为 ? (a, b) ,则 ? (a, b) 的最小值为______.

? 5) ? 1 6当 x ? (? 1 , 4时 ] , 10. 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x ) 满 足 f ( x)? f ( x ,
2 x ,则函数 f ( x ) 在 [0, 2015] 上的零点个数是_______. f ( x)? x ? 2

三、解答题(本题满分 20 分) 如图,在△ABC 中, AB ? c , BC ? a , CA ? b .其中 a ? 14 ,BC 边上的高为 12, 内切圆半径 r ? 4 .求 AB 的长.
A

N O

B

D

M

C

四、解答题(本题满分 20 分) 设正三棱锥 V ? ABC 的底面边长为 4,侧棱长为 8.过 A 作与侧棱 VB、VC 相交的截 面 AED,求截面三角形 AED 的周长的最小值.
V

D

E

B

C

A

五、解答题(本题满分 20 分) 已知 n 为大于 1 的自然数,求证:不能在 n ? n 的方格表中填入数 1 , 2 ,…, n ,使
2

得每行和每列数之和都是 2 的方幂.

六、解答题(本题满分 20 分)
2 已 知 x1 , x2 为 方 程 x ? 2 x ? a ? 0 的 两 根 , f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? ax ? a . 若 3

f ( x1 ) f ( x2 ) ? 0 ,求实数 a 的取值范围.


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