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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中人教B版数学必修一课时作业:第2章 2.2.1 2.2.2]


§ 2.2 2.2.1 2.2.2

一次函数和二次函数 一次函数的性质与图象 二次函数的性质与图象

课时目标 1.掌握一次函数的概念和性质.2.掌握二次函数的概念与性质,掌握二次函数 的不同表示形式.3.学会运用函数的图象理解和研究函数的性质.

1.一次函数 定义:函数______________叫做一次函数,它的

定义域为________,值域为________. 性质与图象:(1)一次函数__________的图象是______,简写为直线________,其中____ 叫做该直线的斜率,____叫做该直线在 y 轴上的截距,一次函数又叫________. (2)函数值的改变量 Δy=y2-y1 与自变量的改变量 Δx=x2-x1 的比值等于常数________. (3)当 k>0 时,一次函数是________;当 k<0 时,一次函数是________. (4)当______时,一次函数变为正比例函数,是奇函数; 当______时,它既不是奇函数,也不是偶函数. (5)直线 y=kx+b 与 x 轴的交点为____________,与 y 轴的交点为______. 2.二次函数 函数____________叫做二次函数,它的定义域为_______________________________. 4ac-b2 b 性质与图象:对二次函数 f(x)=a(x-h)2+k(其中 h=- ,k= )而言, 2a 4a (1) 函数的图象是 ________ , ________ 的顶点坐标是 ________ ,抛物线的对称轴是直线 ______;特别地 y=ax2(a≠0)的图象是顶点为______,对称轴为____的抛物线; (2)当 a>0 时,抛物线开口______,函数在______处取最小值 ymin=____=______,在区间 ______上是减函数,在______上是增函数; (3)当 a<0 时,抛物线开口______,函数在______处取最大值 ymax=____=______,在区 间______上是增函数,在______上是减函数; (4)当 b=0 时,函数 f(x)=ax2+c 为偶函数; 当 b≠0 时, 它既不是奇函数, 也不是偶函数.

一、选择题 1.两直线 y1=ax+b 与 y2=bx+a 在同一坐标系中的图象可能是(

)

2.如果函数 f(x)=x2+bx+c 对任意的实数 x,都有 f(1+x)=f(-x),那么( A.f(-2)<f(0)<f(2) B.f(0)<f(-2)<f(2) C.f(2)<f(0)<f(-2) D.f(0)<f(2)<f(-2)

)

3.函数 y=ax2+bx+3 在(-∞,-1]上是增函数,在[-1,+∞)上是减函数,则( A.b>0 且 a<0 B.b=2a<0 C.b=2a>0 D.a,b 的符号不定 4. 已知函数 y=x2-2x+3 在区间[0, m]上有最大值 3, 最小值 2, 则 m 的取值范围是( A.[1,+∞) B.[0,2] C.(-∞,2] D.[1,2] 5.设 b>0,二次函数 f(x)=ax2+bx+a2-1 的图象为下列图之一,则 a 的值为( )

)

)

A.1 B.-1 -1- 5 -1+ 5 C. D. 2 2 6.已知 m>2,点(m-1,y1),(m,y2),(m+1,y3)都在二次函数 y=x2-2x 的图象上,则 ( ) A.y1<y2<y3 B.y3<y2<y1 C.y1<y3<y2 D.y2<y1<y3

题 答

号 案

1

2

3

4

5

6

二、填空题 7.当 x∈(0,1)时,不等式-ax+a-5<0 恒成立,则实数 a 的范围为________. 8.函数 f(x)=-x2+2x+3 在区间[-2,3]上的最大值与最小值的和为________. 9.若函数 f(x)=(m-1)x2+mx+3 (x∈R)是偶函数,则 f(x)的单调减区间是__________. 三、解答题 10.已知函数 f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5]. (1)当 a=-1 时,求函数 f(x)的最大值和最小值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数.

11.已知函数 f(x)=x2-2x+2. 1 (1)求 f(x)在区间[ ,3]上的最大值和最小值; 2 (2)若 g(x)=f(x)-mx 在[2,4]上是单调函数,求 m 的取值范围.

能力提升 12.对任意实数 x,设 f(x)是 y=x+2、y=-2x+4、y=4x+1 三个函数中值最小的函数, 那么 f(x)的最大值是( ) 1 7 A. B. 3 3 8 C .3 D. 3 13.已知函数 f(x)=ax2-|x|+2a-1,其中 a≥0,a∈R. (1)若 a=1,作函数 f(x)的图象; (2)设 f(x)在区间[1,2]上的最小值为 g(a),求 g(a)的表达式.

1.一次函数 (1)表达式:y=kx+b,其中 k 满足 k≠0,b 为在 y 轴上的截距. (2)单调性:当 k>0 时,在 R 上是增函数;当 k<0 时,在 R 上是减函数. (3)奇偶性:一次函数为奇函数的条件是 b=0;当 b≠0 时,为非奇非偶函数. 2.二次函数 (1)二次函数的定义:函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)叫做二次函数. (2)二次函数的三种表示形式: ①一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0); ②顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0); ③两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).

§ 2.2 2.2.1 2.2.2

一次函数和二次函数 一次函数的性质与图象 二次函数的性质与图象
y=kx+b

知识梳理 1.y=kx+b(k≠0) R R (1)y=kx+b (k≠0) 直线

k

b
2

线性函数

(2)k

(3)增函数

减函数

(4)b=0

b≠0

b ? (5)? ?-k,0?

(0,b)

2.y

=ax +bx+c (a≠0) R (1)抛物线 抛物线 (h,k) x=h (0,0) y 轴 (2)向上 x=h k f(h) (-∞,h] [h,+∞) (3)向下 x=h k f(h) (-∞,h] [h,+∞) 作业设计 1.A 1 2.D [依题意,由 f(1+x)=f(-x)知,二次函数的对称轴为 x= ,因为 f(x)=x2+bx+c 2 1 开口向上,且 f(0)=f(1),f(-2)=f(3),由函数 f(x)的图象可知,[ ,+∞)为 f(x)的增区间, 2 所以 f(1)<f(2)<f(3),即 f(0)<f(2)<f(-2).] 3.B [由题意知,二次函数图象开口向下, b 且对称轴 x=- =-1,∴b=2a<0.] 2a 4.D [由 y=x2-2x+3=(x-1)2+2 知, 当 x=1 时,y 的最小值为 2, 当 y=3 时,x2-2x+3=3,解得 x=0 或 x=2. 由 y=x2-2x+3 的图象知,当 m∈[1,2]时,能保证 y 的最大值为 3,最小值为 2.] 5.B [b>0 可排除图象(1)(2),由(3)(4)知 f(0)=0, ∴a=± 1, b 若 a=1,对称轴 x=- <0,不合题意; 2 b 若 a=-1,x= >0,图(3)适合,选 B.] 2 6.A [y=x2-2x 在[1,+∞)上是增函数且 m-1,m,m+1 均在[1,+∞)内. ∴y1<y2<y3.] 7.(-∞,5] 解析 设 f(x)=-ax+a-5. ∵当 x∈(0,1)时,不等式-ax+a-5<0 恒成立, ? ?f?0?=a-5≤0, ∴? 解得 a≤5. ?f?1?=-5<0. ? ∴实数 a 的范围为(-∞,5]. 8.-1 解析 f(x)=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∵1∈[-2,3], ∴f(x)max=4,又∵1-(-2)>3-1,由 f(x)图象的对称性可知,f(-2)的值为 f(x)在[-2,3] 上的最小值,即 f(x)min=f(-2)=-5,∴-5+4=-1. 9.[0,+∞) 解析 ∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x), ∴(m-1)x2-mx+3=(m-1)x2+mx+3, ∴m=0.这时 f(x)=-x2+3, ∴单调减区间为[0,+∞). 10.解 (1)当 a=-1 时,f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1, ∵x∈[-5,5],故当 x=1 时,f(x)的最小值为 1. 当 x=-5 时,f(x)的最大值为 37. (2)函数 f(x)=(x+a)2+2-a2 图象的对称轴为 x=-a. ∵f(x)在[-5,5]上是单调的,故-a≤-5,或-a≥5. 即实数 a 的取值范围是 a≤-5,或 a≥5. 1 11.解 (1)∵f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[ ,3], 2 ∴f(x)的最小值是 f(1)=1,

1 5 又 f( )= ,f(3)=5, 2 4 所以,f(x)的最大值是 f(3)=5, 1 即 f(x)在区间[ ,3]上的最大值是 5,最小值是 1. 2 (2)∵g(x)=f(x)-mx=x2-(m+2)x+2, m+2 m+2 ∴ ≤2 或 ≥4,即 m≤2 或 m≥6. 2 2 故 m 的取值范围是(-∞,2]∪[6,+∞).

12.D [如图所示,根据题意,f(x)对应函数图象为折线 A-B-C-D,故 f(x)的最大值为 C 点纵坐标. ? ?y=-2x+4, 解? ?y=x+2, ? 2 8 得 C( , ).] 3 3 13.

解 (1)当 a=1 时, f(x)=x2-|x|+1 2 ? ?x +x+1, x<0 =? 2 . ?x -x+1, x≥0 ? 作图(如右所示) (2)当 x∈[1,2]时,f(x)=ax2-x+2a-1. 若 a=0,则 f(x)=-x-1 在区间[1,2]上是减函数, g(a)=f(2)=-3. 1 1 若 a>0,则 f(x)=a(x- )2+2a- -1, 2a 4a 1 f(x)图象的对称轴是直线 x= . 2a 1 1 当 0< <1,即 a> 时,f(x)在区间[1,2]上是增函数, 2a 2 g(a)=f(1)=3a-2. 1 1 1 当 1≤ ≤2,即 ≤a≤ 时, 2a 4 2 1 1 g(a)=f( )=2a- -1, 2a 4a

1 1 >2,即 0<a< 时,f(x)在区间[1,2]上是减函数, 2a 4 g(a)=f(2)=6a-3. 当

? ? 1 1 1 综上可得 g(a)=?2a-4a-1, 4≤a≤2 ? ?3a-2, a>1 2
6a-3,

1 0≤a< 4

.


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