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高数导数公式


【导数】 一、 导数的定义 设函数 y ?
f ( x)

在点 x 的某个邻域内有定义, x 在 x 处取得 当
0 0 0

增量 ? x (点 x + ? x 仍在该邻域内)时,相应的函数 y 取得增 量 ? y ? f ? x 0 ? ? x ? ? f ( x 0 ) ,如果当 ? x ? 0 时,增加量 ?

y 与
?x

之比的极限
?y ?x

lim

?x? 0

= lim

f (x0 ? ?x) ? f (x0 ) ?x
f ( x)

?x? 0

= lim
0

f (x) ? f (x0 ) x ? x0

x ? x0

存在,则称此极限值为函数 y ? 数 f ( x ) 在 x 处可导,
0

在点 x 处的导数,并称函

记作:

f ?( x 0 ) ?
?y

lim

f (x0 ? ?x) ? f (x0 ) ?x

?x? 0

如果 lim ? x 不存在,则称函数 f ( x ) 在 x 处不可导 ?x? 0
0

二、 左右导数 1) 左导数 若当 ? x ? 0 时, ? y 的极限存在,则称此极限值为函数 f ( x )
?

?x

在 x 处的左导数,
0

即: f ?? ? x 0 ? = lim ? x = lim ?x? 0 ?x? 0
?

?y

f ?x0 ? ?x ? ? f ?x0
?

?

?x

2) 右导数 若当 ? x ? 0 时, ? y 的极限存在,则称此极限值为函数 f ( x )
?

?x

在 x 处的右导数,
0

即: f ?? ? x 0 ? = lim ? x = lim ?x? 0 ?x? 0
?
0

?y

f ?x0 ? ?x ? ? f ?x0
?

?

?x
0

定理 1: 函数 f ( x ) 在 x 处的可导的充要条件是,f ( x ) 在 x 处 左右导数均存在,且 f ?? ? x 0 ? = f ?? ? x 0

?

三、 可导与连续的关系 若y ?
f ( x)

在 x 处可导,则在 x 处必定连续,可导 ? 连续,反
0 0

之不对。 四、 求导公式 1) 基本初等函数的导数公式 ① ② ③

C? ? 0

(C 为常数)
n ?1

?x ?
n

?

? nx
x

(n 为任意常数)

?a ?
x

?

? a ln a (a>0,a≠1)特别的: e
1 ? x ? ? log x
? ? 1 x

? ?
x

?

? e

x

? ④ log

a

a

e ?

1 x ln a (a>0,a≠1)

特别的: ? ln x ? ⑤ ⑥

?sin x ?
?cos x ?
?

?

? cos x
? ? sin x



? tan x ?
? cot x ?
?

?

?
? ?

1 cos
2

? sec x

2

x

1 sin
2



? ? csc x

2

x

⑨ ⑩ ⑾

?sec x ?

?

? sec x ? tan x

?csc x ?
? arcsin

?

? ? csc x ? cot x
? 1 1? x
1 1? x
2

x? ?
? x? ? ?

2

(-1<x<1)

? arccos ⑿

(-1<x<1)



? arctan

x?

?

?

1 1? x
2



? arc

? cot x ? ? ?

1 1? x
2

2) 导数四则运算公式 ① ② ③

?a ? b ?

?

? a? ? b?

? ab ?

?
?

? a ?b ? a b ?
? C a?
(C 为常数)

?Ca ?

? a ?b ? a b ? ?a? ? 2 ④ ?b? b ? ?

3) 复合函数求导公式 如果 y ? f (u ) , u ? g ( x ) ,且 f (u ) 和 g ( x ) 均可导,则 符 合 函 数 y ? f ?g ( x ) ? 也 可 导 , 其 导 数 为

y ? ? f ?? g ? x ?? ? g ?? x ?
五、分段函数的导数 设分段函数 步骤: 1) 当 x ? x 0 时,按导数公式求 u ( x ) 的导数 u ? ? x ? 当 x ? x 0 时,按导数公式求 v ? x ? 的导数 v ? ? x ? 2) 判断函数 f ? x ? 在分段点 x ? x 0 处的连续性,若在
x ? x0

? u ( x ).......( x ? x 0 ) f (x) ? ? ? v ( x ).......( x ? x 0 )

,则求其导数

f ?? x ?



处 f ? x ? 不连续,则 f ? x ? 在 x 处不可导
0

3) 函 数

f ?x ?

在点

x ? x0

处的连续,此时计算极限
v?x ? ? v?x0
?

lim

u ?x ? ? u ?x0 ?
?

x? x0

x ? x0

和 lim
0

?

x ? x0

x ? x0

, 若这两个极限存

在且相等,则 f ? x ? 在 x 处可导,否则 f ? x ? 在 x 处不可
0

导 4) 若 f ? x ? 在 x ? 则
x0

处不可导,

? u ? ? x ?.......( x ? x 0 ) f ?? x ? ? ? ? v ? ? x ?........( x ? x 0 )

若 f ?x ? 在 x ?

x0

处可导,则

? u ? ? x ?......( x ? x 0 ) f ?? x ? ? ? ? v ? ? x ?.......( x ? x 0 )

六、隐函数的导数(即二元方程) 1)若能从方程中解出 y ?
f ( x)

,则用前面所提方法求导;

若不能解出,或解出后表达式复杂,则采用下列方法。 2)将二元方程两边分别对 x 求导,表达式中的 y 做中 间变量, 用符合函数求导公式计算, 最后解出 y ? 的表达式 (在
y?

的表达式中允许保留 y)

七、对数求导法 1)函数式两边分别取对数 2)再用隐函数求导法求导 y ? 此法多用于,多个函数的连续乘除求导数,通过取对数 可达到简化计算的目的。或用于幂指函数的求导数 八、高阶函数
y ? f ( x)

的导数 f ?? x ? 在 x 处可导,就称 f ?? x ? 的导数为 y ?
d y dx
2 2
2

f ( x)



二阶导数,记作: y ?? 或 f ?? ? x ? 或 依此类推三阶导数 y ??? ,四阶导数 即: ? y



d f ?x ? dx
2

y

?4 ?

,n 阶导数 y

?n ?

? n ?1 ?

?

?

? y

?n ?
(n=1,2,3,………)

九、导数的应用 1、函数单调性 设y
? f ( x ) 在(a,b)内可导,则

① 若在(a,b)内任意一点 x 处恒有 f ?? x ? ? 0 则
f ? x ? 在(a,b)内严格单调增加

② 若在(a,b)内任意一点 x 处恒有 f ?? x ? ? 0 则
f ? x ? 在(a,b)内严格单调减少

? 利用 y

? f ( x ) 的导数 f ?? x ? 判断函数单调性的步骤:

①确定函数定义域 ②求导 f ?? x ? ③ 求 f ?? x ? ? 0 时 x 的取值范围, 此范围就是 y
? f ( x ) 单调增加

的范围, 可能是一个区间么也可能是若干区间, f ?? x ? ? 0 求 时 x 的取值范围,即 y
? f ( x ) 单调减少的范围

2、函数的极值 设y
? f ( x ) 在点 x 0

某个邻域有定义
x0

①若对于该邻域内任何一个异于

的点 x,恒有 为

f ? x ? ? f ? x 0 ? ,则称 f ? x 0 ? 为函数 f ? x ? 的一个极大值,称 x 0

函数 f ? x ? 的一个极大值点 ②若对于该邻域内任何一个异于
x0

的点 x,恒有 为

f ? x ? ? f ? x 0 ? ,则称 f ? x 0 ? 为函数 f ? x ? 的一个极小值,称 x 0

函数 f ? x ? 的一个极小值点。 1)极值的必要条件:
y ? f ( x) 在 x 0

处可导,且 x 0 为函数 f ? x ? 的极值点,则必有
f ?? x 0 ? ? 0

2)极值的第一充分条件 设y 或为 0) ①若 x
? x 0 时, f ? ? x 0 ? ? 0 ,当 x ? x 0 时, f ? ? x 0 ? ? 0 则
? f ( x ) 在点 x 0

某个邻域内可导(此时

f ? ? x 0 ? 不存在,

f ? x 0 ? 为 f ? x ? 的极大值, x 0

为 f ? x ? 的极大值点

②若 x

? x 0 时, f ? ? x 0 ? ? 0 ,当 x ? x 0 时, f ? ? x 0 ? ? 0 则

f ? x 0 ? 为 f ? x ? 的极小值, x 0

为 f ? x ? 的极小值点

3)极值的第二充分条件 设y
? f ( x ) 在点 x 0

存在二阶导数 y ?? ,且

f ?? x 0 ? ? 0 ,则

①若 ②若 ③若

f ?? ? x 0 ? ? 0 ,则 f ? x 0 ? 为极大值, x 0 f ?? ? x 0 ? ? 0 f ?? ? x 0 ? ? 0

为极大值点

,则 f ? x 0 ? 为极小值, x 0 为极小值点 ,则用极值第一充分条件判断

3、函数的凹凸性 ①如果在区间(a,b)内,区县弧位于曲线上每一点切线的 上方,则称曲线在(a,b)内是凹的。 ②如果在区间(a,b)内,区县弧位于曲线上每一点切线的 下方,则称曲线在(a,b)内是凸的。

1) 凹凸的充分条件 设y
? f ( x ) 在(a,b)内二阶可导

①若在(a,b)内每一点 x, 恒有 内是凹的 ②若在(a,b)内每一点 x, 恒有 内是凸的

f ?? ? x 0 ? ? 0

, 则曲线在(a,b)

f ?? ? x 0 ? ? 0 , 则曲线在(a,b)

4、曲线的拐点(即凹与凸的分界点) 1)拐点的充分条件 设y
? f ( x ) 在(a,b)内有二阶导数, x 0 ? ( a , b )

①若

f ?? ? x 0 ? 在 x 0

的左右两侧异号时,点( x 0 , f ? x 0 ? )是 的左右两侧异号时,点( x 0 , f ? x 0 ? )不

y ? f ( x ) 的拐点,此时 f ?? ? x 0 ? ? 0

②若

f ?? ? x 0 ? 在 x 0

是拐点 2) 求曲线的凹凸区间及拐点的步骤: ①求
f ?x

? 的二阶导数 f ??? x ?

②求使

f ?? ? x

? ? 0 的点以及二阶导数不存在的点 x
f ?x

③对上述 x 检验各点两侧的二阶导数的符号,若 号,则(x, ④使
f ?? ? x f ?x

?异

? )为拐点,若符号不同,则不是拐点
f ( x ) 的凹区间, 曲线

? ? 0 的 x 的取值范围是 y ?
? ? 0 的 x 的取值范围是 y ?

在此区间内是凹的 ⑤使
f ?? ? x
f ( x ) 的凸区间, 曲线

在此区间内是凸的。

5、曲线的渐近线 若曲线上的一点沿着曲线趋于无穷时,该点与某条直线 的距离趋于 0,此直线为曲线渐近线 ① 水平渐近线 若 lim
f ( x) ? A
x ? ??

或 lim

f ( x) ? A

x ? ??

则称 y ? A 为曲

线渐近线 ② 铅直渐近线 若 lim?
x? a

f (x) ? ?

或 lim?
x? a

f (x) ? ?

则称 x ? a 为曲

线铅直渐近线

6、曲线的最大值与最小值
y ? f ( x ) 在[a,b]上有定义,x 0 ? ?a , b ? , 若对任意

x ? ?a , b ?

恒有 f ? x ? ?
x0

f ? x 0 ? , f ? x 0 ? 为函数 f ? x 则

? 在[a,b]上的最大值, ? 在[a,b]上的最小值,



f ?x

? 在[a,b]上的最大值点。
f ? x 0 ? , f ? x 0 ? 为函数 f ? x 则

若 f ?x ? ?
x0



f ?x

? 在[a,b]上的最小值点。

1) 在[a,b]上的连续函数 y ①求
f ?x

? f ( x ) ,求最值得步骤:

? 在(a,b)内所有驻点(即方程 f ?? x ? ? 0 的解)

和所有导数不存在的点 ② 比较
f ?x

? (x
f ?x

为驻点或导数不存在的点) f ? a ? , ,

f ?b ? 值的大小,最大者为 f ? x ? 在[a,b]内的最大值;

最小者为 特殊情况: ①若
f ?x

? 在[a,b]内的最小值。

? 在[a,b]上单调, f ? a ? 和 f ?b ? 一个为最大, 则
f ?x

另一个为最小 ②若连续函数

? 在(a,b)内仅有一个极大值,则此极

大值为函数的最大值。 若连续函数
f ?x

? 在(a,b)内仅有一个极小值, 则此极小

值为函数的最小值。


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