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福州三中2014年高中自主招生数学试卷


福州三中 2014 年高中自主招生考试









(满分:100 分

考试时间:60 分钟)

一、选择题(每题 6 分,满分 60 分.下列各题的四个选项中只有一个是正确的,请将你的选择填写在答题卡 选择题 1~10 的位置.) 1.如果关于 x 的方程 x ? ax ? a ? 3 ? 0 至少有一个正根,则实数 a 的取值范围是(
2 2



A. ? 2 ? a ? 2

B. 3 ? a ? 2 )

C. ? 3 ? a ? 2

D. ? 3 ? a ? 2

2.下列命题中正确的个数有(

① 实数不是有理数就是无理数;② a<a+a;③121 的平方根是 ± 11;④在实数范围内,非负数一定是正 数;⑤两个无理数之和一定是无理数 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4

3.如图,有一半径是 1 米的圆形铁皮,要从中剪出一个最大的圆心角为 90 ? 的扇形,用此扇形铁皮围成 一个圆锥,该圆锥的底面圆的半径长为( A. ) D.

2米

B.

2 米 2

C.

2 米 4

2 米 8

4.一组样本容量为 5 的数据中,其中 a1 ? 2.5 , a 2 ? 3.5 , a3 ? 4 , a4 与 a5 的和为 5,当 a4 、 a5 依次 取( )时,这组样本方差有最小值。 B.1 , 4 C. 2.5 , 2.5 D. 2 , 3
2

A.1.5 , 3.5

5.已知实数 a 满足 | 2006 ? a | ? a ? 2007 ? a ,那么 a ? 2006 的值是( A.2005 B.2006 C.2007 D.2008 )
y y



6.函数 y= ?
y

1 图象的大致形状是( x
y

O

x

O

x

O

x

O

x

A

B

C

D

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7.若

a b c ? ? ? t ,则一次函数 y ? tx ? t 2 的图象必定经过的象限是( b?c c?a a?b
B.第一、二、三象限 D.第三、四象限



A.第一、二象限 C.第二、三、四象限

8. 已知一正三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍, 当这个圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三 边做无滑动的旋转,直至回到原出发位置时,则这个圆共转了( )

A.6 圈

B.6.5 圈

C. 7 圈

D.8 圈

9. 对每个 x,y 是 y1 ? 2 x , y 2 ? x ? 2, y 3 ? ? 值是( A. 4 ) B. 6

3 x ? 12 三个值中的最小值,则当 x 变化时,函数 y 的最大 2
48 7

C. 8

D.

10.在三角形 ABC 中 AB < AC < BC ,若在 BC 上存在一点 D ,使把这三角形沿 AD 剪开后的两个三角形 相似,且较大的三角形面积是较小三角形面积的 2 倍,则 AB : AC : BC =( A. 1: 2 : 3 B. 1: 2 : 3 C. 1: 4 : 9 D.以上答案均不对 )

二、填空题(每题 6 分,满分 30 分.请将答案填写在答题卡“非选择题”中第 1 框内,并按以下图示作答.) 11.已知

1 1 5 xy ? x ? y ? ? 3 ,则 的值等于 3 x ? 3 y ? 4 xy x y



12. 实数 x、y 满足 x2-2x-4y=5,记 t=x-2y,则 t 的取值范围为___________________. 13. 如图,已知点(1,3)在函数 角线 BD 的中点,函数 的图象上.正方形 ABCD 的边 BC 在 x 轴上,点 E 是对 的图象又经过 A、E 两点,则点 E 的横坐标为 _________ .

14. 已知:实常数 a、b、c、d 同时满足下列两个等式: (1) a sin ? ? b cos ? ? c ? 0 (2) a cos ? ? b sin ? ? d ? 0 (其中 ? 为任意锐角) ,则 a、b、c、d 之间的关 系式是: 。

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15. 将半径为 4cm 的半圆围成一个圆锥,在圆锥内接一个圆柱(如图示) ,当圆柱的侧面的面积最大时, 圆柱的底面半径是 _________ cm.

三、解答题(共 4 题,满分 60 分.请将下列四题的解答过程分别填写在答题卡“非选择题”第 2、3、4、5 框内.) 16.(10 分) 此题答在答题卡“非选择题”中第 2 框内. 设 ? 是一元二次方程 x ? 8 x ? 5 ? 0 的一个正根,求 ? ? 7? ? 13? ? 6 的值。
2 3 2

17.(15 分) 此题答在答题卡“非选择题”中第 3 框内. 如图,在 △ABC 中, a、b、c 分别为 ?A、?B、?C 的对边。 (1)已知 b ? 6 , c ? 8 , ?A ? 60 ,求 a 的值;
0

(2)一般地,在三角形中,已知两边及其夹角可以利用公式求出第三边的长。 现请你探索已知 b 、 c 、 A ,求 a 的计算公式,并就 △ABC 为锐角三角形这一情况,证明你的结论。

第 3 页 共 5 页

18.(15 分) 此题答在答题卡“非选择题”中第 4 框内. 已知点 O 是边长为 2 的正方形 ABCD 的中心,动点 E 、 F 分别在边 AB 、 AD 上移动(含端点) . (1)如图①,若 ?EOF ? 90? ,试证: OE ? OF ; (2)如图②,当 ?EOF ? 45? 时,设 BE ? x, DF ? y ,求 y 与 x 之间的函数关系式, 并写出 x 的取值范围. (3)在满足(2)的条件时,试探究直线 EF 与正方形 ABCD 的内切圆 O 的位置关系,并证明你的结论.
A F A F

D E

D

E O O

B

C

B

C

图①

图②

第 4 页 共 5 页

19. (20 分) 已知抛物线 y ? x2 ? 3x ? c 过两点 (m,0) 、(n,0) 且 m3 ? 3m2 ? (c ? 2)m ? 2n ? c ? 8, 抛物线与双曲线 y ? 为 (1, d ) . (1)求抛物线与双曲线的解析式;

k 的交点 x

( x ? 0) 上,它们的横坐标分别为 a, 2a,?, 2014a, O 为坐标原点, (2)已知点 P 1, P 2 ,?, P 2014 都在双曲线 y ?
记 S1 ? S?PP , S2 ? S?PP , S3 ? S?PP ,?? 点 Q 在双曲线 y ? ( x ? 0) 上,过 Q 作 QM ? y 轴于 M ,记 S ? S?QMO . 1 2O 1 3O 1 4O 求 S1 ? S2 ? ? ? S2013 ?

k x

k x

S S S ? ??? 的值. 2 3 2014

第 5 页 共 5 页


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