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湖北省孝感高级中学2014-2015学年高一数学下学期期末考试试题


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孝感高中 2014—2015 学年度高一下学期期末考试 数学试题
考试时间:120 分钟 分值:150 分 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.若 a ? b ,则下列不等式成立的是( A. a lg x ? b lg x( x ? 0)
2


2

B. ax ? bx

C. a ? b
2

2

D.

a b ? x 2 ?1 2 ?1
x

2.已知 ab ? 0 , bc ? 0 ,则直线 ax ? by ? c ? 0 通过( A.第一、二、四象限 C.第一、三、四象限



B.第一、二、三象限 D.第二、三、四象限 )

3.如果方程 x2 +y2 ? 4 x ? 2 y ? 5k ? 0 表示圆,那么 k 的取值范围是( A. (??, ??) B. (??,1) C. (??,1]

D. [1, ??)

4.下列命题中,m、n 表示两条不同的直线,α 、β 、γ 表示三个不同的平面: ① 若 m⊥α ,n∥α ,则 m⊥n; ② 若 α ⊥γ ,β ⊥γ ,则 α ∥β ; ③ 若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n; ④ 若 α ∥β ,β ∥γ ,m⊥α ,则 m⊥γ . 正确的命题是( A.①③ ) C.①④ D.②④ S=S+
输入N

开始

S=0,k=1
1 k ?1 ? k

B.②③

k ? k ?1

5.执行如图所示的程序框图,如果输入的 N 是 10,那么输出 的 S 是( A.2 C. 11 ? 1 ) B. 10 ? 1 D. 2 3 ? 1 k<N?




输出 S 结束

6. ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a、b、c , a= 2 , b= 3 , B=60? ,那么角 A 等于 ( )
?

A. 135

B. 135 或 45

?

?

C. 45

?

D. 60

?

1

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 7.一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( A. 1+ 3 B. 2+ 3 C. 1+2 2 D. 2 2



? ? 8.已知点 ?1,?2? 和? 3 ,0 ? 在直线l : ax ? y ? 1 ? 0?a ? 0? 的两侧,则直线l 倾斜角的取值范围是( ? 3 ? ? ?
A. ?



?? ? ? , ? ?4 3?

B. ?

? 2? 5? ? , ? ? 3 6 ?

C. ? 0,

? ? ? ? 3? ? ? ? ? ,? ? ? 3? ? 4 ?


D. ?

? ? 2? ? , ? ?3 3 ?

9.已知数列 ?an ? 满足 an ?1 ?

1 1 ,若 a1 ? ,则 a2015 ? ( 2 1 ? an
C. ? 1

A.2

B.-2

D.

1 2

10.在圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 2 ? 0 内,过点 E (0,1) 的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD ,则四 边形 ABCD 的面积为( A. 5 2 B. 10 2 ) C. 15 2 D. 20 2

11.已知数列 ?an ? 为等差数列, 若

a11 ? ?1 ,且它们的前 n 项和 Sn 有最大值,则使得 Sn ? 0 的 a10
C.20 D.21

n 的最大值为(
A.11

) B.19

12.已知 ?ABC 的三边长分别为 AB ? 5 , BC ? 4 , AC ? 3 , M 是 AB 边上的点, P 是平 面 ABC 外一点,给出下列四个命题: ①若 PA ? 平面 ABC ,则三棱锥 P ? ABC 的四个面都是直角三角形; ②若 PM ? 平面 ABC ,且 M 是 AB 边的中点,则有 PA ? PB ? PC ; ③若 PC ? 5 , PC ? 平面 ABC ,则 ?PCM 面积的最小值为

15 ; 2

④若 PB ? 5 , PB ? 平面 ABC ,则三棱锥 P ? ABC 的外接球体积为 其中正确命题的个数是( )

125 2? ; 3

2

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com A.1 B.2 C.3 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分)

D.4

13 .已知正四面体 ABCD 中, E 是 AB 的中点,则异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值为 ______.

? x ? y ? 2 ? 0, y ? 14.设实数 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 4 ? 0, 则 的最大值为 x ? 2 y ? 3 ? 0, ?
15.若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值是________.

.

16.若函数 f ( x) ? x ? a ? x ? 2 (a >0) 没有零点,则 a 的取值范围是________.
2

三、解答题(共 6 大题,共 74 分) 17. (本题满分 12 分)已知两直线 l1 : mx ? 8 y ? n ? 0 和 l2 : 2 x ? my ? 1 ? 0 ,试确定 m , n 的 值,使(1) l1 ? l2 ; (2) l1 ? l2 ,且 l1 在 y 轴上的截距为-1.

18. (本题满分 12 分)已知 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,且满足 cos

A 2 5 ? , 2 5

??? ? ??? ? AB ? AC ? 3 .
(1)求 ?ABC 的面积; (2)若 b ? c ? 6 ,求 a 的值.

19. (本题满分 12 分)三棱柱 ABC ? A 1 ? 平面 ABC , ?ABC 为等腰直角 1B 1C1 中,侧棱 AA 三角形, ?BAC ? 90 且 AB ? AA 1 A , CC1 , BC 的中点. 1 , D , E , F 分别是 B
?

(1)求证: DE ? 平面 ABC ; (2)求证: B1F ? 平面 AEF .

3

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20. (本题满分 12 分)某厂家拟在 2015 年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即 该厂的年产量)x 万件与年促销费用 m 万元(m≥0)满足 x=3-

k (k 为常数), 如果不搞促销活 m+1

动,则该产品的年销售量只能是 1 万件.已知 2015 年生产该产品的固定投入为 8 万元.每生产 一万件该产品需要再投入 16 万元, 厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金). (1)将 2015 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元的函数; (2)该厂家 2015 年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?

2 2 21. (本题满分 12 分)如图,已知定圆 C : x ? ( y ? 3) ? 4 ,定直线 m : x ? 3 y ? 6 ? 0 ,过

A(?1, 0) 的一条动直线 l 与直线 m 相交于 N , 与圆 C 相交于 P , Q 两点, M 是 PQ 中点.
(1)当 PQ ? 2 3 时,求直线 l 的方程;

y
C? l

???? ? ???? (2)设 t ? AM ? AN ,试问 t 是否为定值,若为定值,请求出 t 的值;
若不为定值,请说明理由. .

A
N

M ?Q P
x

O

/

m

22. (本题满分 14 分) 已知数列?an ? 是首项为 a1 ? , 公比 q ?

1 4

1 的等比数列, bn ? 2 ? 3log 1 an 4 4

(n ? N *) ,数列 ?cn ? 满足 cn ? an ? bn .
(1)求证: ?bn ? 是等差数列;
4

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (2)求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Sn ; (3)若 cn ?

1 2 m ? m ? 1 对一切正整数 n 恒成立,求实数 m 的取值范围. 4
高一数学期末考试参考答案

一.选择题 题号 答案 1 D 2 A 3 B 4 C 5 C 6 C 7 B 8 C 9 A 10 B 11 B 12 C

二.填空题 13.

3 6

14.

3 2

15. 5

16. (0,1) ? (2, ??)

三.解答题 17.(1)? l1 ? l2 ,? ?

?m ? m ? 8 ? 2 ? 0 , ?m ? (?1) ? n ? 2 ? 0
……………6 分

解得 ?

?m ? 4 ?m ? ?4 ,或 ? ?n ? ?2 ?n ? 2
?m ? 0 ?2m ? 8m ? 0 ,解得 ? ?n ? 8 ?m ? 0 ? 8 ? (?1) ? 0

(2)由题得? ?

……………12 分

18.(1)? cos

3 A 2 5 2 A ?1 ? , ,? cos A ? 2 cos ? 2 5 2 5

……………2 分

又? AB ? AC ? 3 ,? bc ? 5 ,

??? ? ??? ?

……………4 分

4 1 ,? S ?ABC ? bc sin A ? 2 ……………6 分 5 2 b 2 ? c 2 ? a 2 (b ? c)2 ? 2bc ? a 2 3 62 ? 10 ? a 2 3 ? ,? ? ? ,解 ( 2)由余弦定理 cos A ? 5 2bc 2bc 10 5 ? sin A ?
得 a ? 20 ,? a ? 2 5
2

……………12 分

19.(1)(1)证明 取 AB 中点 O,连接 CO,DO,

5

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 1 ∵DO∥AA1,DO= AA1,∴DO∥CE,DO=CE, 2 ∴四边形 DOCE 为平行四边形,∴DE∥CO,DE?平面 ABC,CO? 平面 ABC, ∴DE∥平面 ABC. ……………5 分

(2)证明 等腰直角三角形△ABC 中 F 为斜边的中点,连接 AF,∴AF⊥BC. ………6 分 又∵三棱柱 ABC-A1B1C1 为直三棱柱,∴平面 ABC⊥平面 BB1C1C, ∴AF⊥平面 BB1C1C,∴AF⊥B1F, 设 AB=AA1=1,∴B1F=
2 2 2

…………8 分

6 3 3 ,EF= ,B1E= , 2 2 2 ………12 分

∴B1F +EF =B1E ,∴B1F⊥EF,又 AF∩EF=F,∴B1F⊥平面 AEF.

20. 解:(1)由题意知,当 m=0 时,x=1(万件), ∴1=3-k? k=2,∴x=3- 2 , m+1 ……………2 分

8+16x 每件产品的销售价格为 1.5× (元),

x

∴2015 年的利润 y=1.5x× =-?

8+16x -8-16x-m

x

? 16 ? ? (m ? 1) ? +29(m ? 0). ? m ?1 ?
16 +(m+1)≥2 16=8, m+1

……………6 分

(2)∵m≥0 时,

∴y≤-8+29=21, 当且仅当 16

m+1

=m+1? m=3(万元)时,ymax=21(万元).

故该厂家 2015 年的促销费用投入 3 万元时,厂家的利润最大为 21 万元 ……………12 分 21 解: (1) 当直线 l 与 x 轴垂直时,易知 P,Q 的坐标为 (?1,3 ? 3) , (?1,3 ? 3) ,所以

PQ ? 2 3 ,故 x ? ?1 符合题意;

……………1 分

当直线与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,由于 PQ ? 2 3 ,所以
6

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CM ? 1 ,由 CM ?

?k ? 3 k 2 ?1

? 1 ,解得 k ?

4 . 3
………………5 分

故直线 l 的方程为 x ? ?1 或 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 .

(2) 当 l 与 x 轴 垂 直 时 , 由 ( 1 ) 得 M (?1,3) , N ( ?1, ? ) , 又 A(?1, 0) , 则

???? ? ???? ???? ? 5 ???? AM ? (0,3) , AN ? (0, ? ) AM ? AN ? ?5 ,即 t ? ?5 3

5 3

……………6 分

当 l 的斜率存在时 , 设 P ( x1 , y1 ) , Q ( x2 , y2 ) ,直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) , 代入圆的方程得

(1 ? k 2 ) x2 ? (2k 2 ? 6k ) x ? k 2 ? 6k ? 5 ? 0
则 xM ?

……………7 分

x1 ? x2 ?k 2 ? 3k 3k 2 ? k ?k 2 ? 3k 3k 2 ? k ? ? M ( , ) , ? 1) , , 即 y ? k ( x M M 2 1? k 2 1? k 2 1? k 2 1? k 2
……………9 分

???? ? 3k ? 1 3k 2 ? k AM ? ( , ), 1? k 2 1? k 2
又由 ?

???? ? y ? k ( x ? 1) ?3k ? 6 ?5k ?5 ?5k , ) ,则 AN ? ( , ) …………11 分 ,得 N ( 1 ? 3k 1 ? 3k 1 ? 3k 1 ? 3k ?x ? 3y ? 6 ? 0

故 t ? AM ? AN ?

???? ? ????

?15k ? 5 ?5k (3k 2 ? k ) ?5(1 ? 3k )(1 ? k 2 ) ? ? ? ?5 (1 ? k 2 )(1 ? 3k ) (1 ? k 2 )(1 ? 3k ) (1 ? k 2 )(1 ? 3k )
……………12 分

综上, t 的值为定值-5

22 解. (1) 由题意? an ? ( ) , ,?bn ? 2 ? 3n , ?bn ? 3n ? 2 , ?bn ? bn?1 ? 3 (n ? 2 , n ? N*) ,
n

1 4

∴数列 ?bn ? 是首项为 1,公差为 3 的等差数列

……………3 分

(2)由(1)知,? an ? ( ) ,?bn ? 3n ? 2 , cn ? (3n ? 2)( )
n

1 4

1 4

n

(n ? N * )

1 1 1 1 1 ? Sn ? 1? ? 4 ? ( ) 2 ? 7 ? ( )3 ? ? ? (3n ? 5) ? ( ) n ?1 ? (3n ? 2) ? ( ) n 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 1 ? Sn ? 1? ( )2 ? 4 ? ( )3 ? 7 ? ( )4 ? ? ? (3n ? 5) ? ( ) n ? (3n ? 2) ? ( ) n ?1 4 4 4 4 4 4
7

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3 1 1 1 1 1 1 Sn ? ? 3[( ) 2 ? ( )3 ? ( ) 4 ? ? ? ( ) n ] ? (3n ? 2) ? ( ) n ?1 4 4 4 4 4 4 4 3 1 1 n ?1 2 (3n ? 2) 1 n ? S n ? ? (3n ? 2) ? ( ) ,? S n ? ? ? ( ) , (n ? N * ) ……………9 分 4 2 4 3 3 4
两式相减得

1 n ?1 1 1 ? (3n ? 2)( )n ? 9(1 ? n)( )n ?1 , (n ? N * ) 4 4 4 1 当 n ? 1 时, c2 ? c1 ? ;当 n ? 2 时, cn?1 ? cn ,即 c1 ? c2 ? c3 ? c4 ? ? ? cn 4 1 1 2 ∴当 n ? 1 时,, cn 取最大值是 ,又 cn ? m ? m ? 1 对一切正整数 n 恒成立 4 4 1 2 1 ? m ? m ? 1 ? ,即? m2 ? 4m ? 5 ? 0 ,解得 m ? 1 或 m ? ?5 ……………14 分 4 4
(3) cn?1 ? cn ? (3n ? 1)( )

8


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