2015年全国高中数学联赛河南省预赛高一年级答案

zO1s年 全国高中数学联赛河南省预赛高ˉ参考答案
1.699; 2.28;

⒈ 2拒 cm或 4c城
4.石

+4`Γ 4〓 0;
∶

5。

0;

6.23; 7.(必 修 3)1;

(必 修 4)夕
8。
1。

(b兰 c;
∴ 奇偶 性 相 同,所 以 由 ′

∴

二。 因为整数 曰乌

¨ 。 ¨ -3/〓 2,可 知 万 ,y同 奇 同偶 。

I~。

。 ¨ 4分

'的
〓 z)∶ 2″ +1,y〓 2力 +1(〃 ,刀 ∈ ,y都 为奇数:潍 ∷ Θ若γ
(〃 +D=3<刀 +I,艹 1 代入原方程得〃

。 ¨ ˉ…ˉ +l,+1为 偶数,矛 盾Ⅱ (″ +I,是 奇数 由于〃 ,3《 刀
oˉ

8分

(ii)若

Z) 豸 ,刀 ∈ ,y都 为偶数,设 ∷ =2〃 ,'=2以 ″
2=6刀 2+1,2昭 2为

代入原方程得2〃
综上,严

亠 ˉ …12分 …ˉ 。 亠 。 ¨ ˉ I… 。 偶数,6∥ +1为 奇数,矛 盾。
~~。 ~。

-3/〓 2没 有整数解。

。 … 。 ˉ …ˉ 16分

三。 证明:如 上图所示,过 B点 作线段 BM〃 /C且 3M=CD

B是 圆 0的 直径知:z“ CD〓 ZDBM主 90° 曲Ⅱ
C〓 结合 Ⅱ
故 ¨ ¨ ˉ 5分 DB,ω 〓aM=>zMcD≌ ADBM¨ ˉ

ΩM,ZCγ +ZaDM〓 9o0

■ ˉ ¨ ˉ ■ ˉ ¨ ¨ ˉ ¨ 亠 。 1Q分 t0:。 △¨ˉ 故 MDnr为 等腰直角三角形△ˉ 困此 ZD/″ =45° 〓ZDEB→ BF〃 ∠盯 …¨…… 15分

'D亠

FBM为 平行四边形,所 以/F=函 M〓 继而 以
≤0主 j,嵌 旦+垒 >1。 函:不 妨设 曰

CD¨ oo20分
?

C

C

Θ 当 豸〓 0时 ,夕

F〓

DF〓 cr.1,可 以 成 为

=角

形 的三边 长 。 第 1页 共 2页

亠o5分

石'″ '2:
J≤ ≥ 1 r,而 σ :)“ 知扣 ∶ )r+〔 〔 上 :r≤ 1F望 宁

此时曰
Cii)当

:,3r9c:可

¨ 。 …ˉ ˉˉ…ˉˉ 以成为三角形的三边长。
y≤

。 10分

万)1时 ,曰

3r兰

cr。

△ D=1,再 取c〓 2r(2,雨 /+DF〓 cF丁 2, 取曰
此时 四
Cv)当

F,br,cr不

。 ■ ¨ … ˉ 能成为三角形的三边长。
oˉ

ˉˉ 15分

y<0时 ,曰 J Σbr≥ cr。
1

取 3亠 c〓
此时 曰

1∶

I〓 3r+cF〓 2, 再取 曰 =2r(9° 〓1,而 曰

r,Dr,cr不

能成为三角形的三边长。
…-ˉ …ˉ¨¨ˉ20分 …
丬)+g。

综上:y∈

IO,11.■

…ˉ ˉ ¨ ˉ…0~~~ ˉ … ˉˉ ˉ ˉ -… ˉ 一
+gfp,g∈
`七

证 明 :先 证 一 个 引 理 :当 ″ 〓 五。

Ⅳ ,0兰 日 兰 七工 D时 ,r.(刀 )〓 2p(Ι

l

α 〓 Ⅳ使得七 Ⅳ Ⅳ 事实上,V〃 ∈ +. ||昭 ,记 〃 亻 +,存 在唯∵的α∈ ','逵 Ⅱ→ /'∈ Ⅱ→ … Ⅱ→ 尸 ∥ Ⅱ,则 V￠ 若
;

'∈

'→

'∈

'￠

若
'￠

故 〃是否在 /中 由

''∈ ''￠ ∷ 有 CI/B,B〓 ← ,… ,`七 },因 此 否在 Z中 决定,而 `七 '共 '∈ '是 丬 。 。 。 ~¨ 10分 … ~'=p伊 ~D+g种 取值,每 个取值可以 不在Ⅱ中 也可以 在彳中 ,因 此/l(刀 )〓 2′ 刀
(乃

Ⅱ→ Ⅱ,则 亻 ∈

Ⅱ→

Ⅱ→ /'￠ Ⅱ→ … ?

)+日

原 题,则 (1)尼 f0)=22〓 回 到

ˉ ¨………~。 ~… ■ 4,尼 【 s)=2?刊 =峦 |。 二

。 。 ˉ 。… ■ …。 ˉ 。 … ˉ … ˉ 15分
TⅡ

对于(3),若 尻 ∈CI/B,B〓 ←,2竹 ,… ,`后 }且 几 ∈彳,而 Ct/B中 的其他元素是否属 于 /均 有可能,故 几 出现

在 /I⒄ )=2、
2

(H)+g丬

j=C+2ˉ +忄

-l,+g钿 +呷 +g⑶ ¨ˉ ? ¨ 呷 =加 【 _… ∵

集合Ⅱ中 个符合题意的 ,则 所有集合Ⅱ的 "和 "的 和

⒛ 分

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