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2015-2016学年人教A版选修2-1 双曲线方程及性质的应用 课件 (49张)


第2课时 双曲线方程及性质的应用

【题型示范】 类型一 直线与双曲线的位置关系

【典例1】
2 2 x y (1)双曲线 ? ? 1 的左、右焦点分别为F1,F2.给定四条直 9 16

线:①5x-3y=0;②x-y-4=0;③5x-3y-52=0;④4x-3y+15=0.如果 上述直线上存在点P,使|

PF2|=|PF1|+6,则满足这样条件的直

线对应的序号是___________.

2 2 x y (2)(2014·天津高二检测)已知双曲线C: ? 2 ? 1 (a>0,b>0) 2 a b 的离心率为 2 3 ,且过点 P 6, 1. 3

?

?

①求双曲线C的方程;
②若直线l1: y ? kx ? 2 与双曲线C恒有两个不同的交点A,B,

求k的取值范围.

【解题探究】1.题(1)满足条件|PF2|-|PF1|=2a(2a<|F1F2|)的

点P的轨迹是什么?
2.题(2)直线l1与双曲线C有两个公共点应满足什么条件? 【探究提示】1.满足条件|PF2|-|PF1|=2a的点P的轨迹为双曲 线的左支. 2.由直线l1与双曲线C的方程组成的方程组应有两组解.

x 2 y2 【自主解答】(1)由 ? ? 1,所以a2=9,b2=16,所以c2=25,c=5, 9 16

由双曲线的定义,双曲线上任意一点P满足||PF2|-|PF1||=6< 10. 当直线上存在点P满足|PF2|-|PF1|=6时,说明直线与双曲线的 左支有公共点. 由已知双曲线的渐近线方程为 y ? ? 4 x, 对于①③两直线的斜率均为 5 ? 4 , 故①③均与双曲线左支无公
3 3 3

共点,经验证②④表示的直线与双曲线有交点 . 答案:②④

2 3 c2 4 (2)①由 e ? 可得 2 ? ,所以a2=3b2,故双曲线方程可化为 3 a 3 2 2 x y 2=1. 将点 代入双曲线 C 的方程,可解得 b ? ? 1 , P( 6 , 1) 3b 2 b 2 2 x 所以双曲线C的方程为 ? y 2 ? 1. 3

? ? y ? kx ? 2, ②联立直线与双曲线方程 ? 2 2 ? ? x ? 3y ? 3 ? 0 ? 1 ? 3k 2 x 2 ? 6 2kx ? 9 ? 0,

?

?

2 2 ? ? ? 72k ? 4 1 ? 3k ? ? ? ? ?9? ? 0, 由题意得 ? ? 2 ? ?1 ? 3k ? 0, 解得-1<k<1且 k ? ? 3 , 3

3 3 3 3 所以k的取值范围为 (?1, ? ) ? (? , ) ? ( , 1). 3 3 3 3

【延伸探究】题(2)中若直线l1与双曲线C有且只有一个公共点, k的取值范围如何?
? y ? kx ? 2, 【解析】联立直线与双曲线方程 ? ? 2 2 ? ? x ? 3y ? 3 ? 0,

消去y得:?1 ? 3k 2 ? x 2 ? 6 2kx ? 9 ? 0.

当1-3k2=0,即 k ? ?

当 1 ? 3k 2 ? 0, ? ? 6 2k ? 36 ?1 ? 3k 2 ? ? 36 ? 36k 2 ,
2

?

3 时,直线l1与双曲线C只有一个公共点; 3

?

由Δ=0,即36-36k2=0,所以k=〒1时,直线l1与双曲线C只有一 个公共点. 所以当 k ? ? 3 或k=〒1时,直线l1与双曲线C只有一个公共点.
3

【方法技巧】直线与双曲线位置关系的处理方法 把直线与双曲线的方程联立成方程组,通过消元后化为一 元二次方程,在二次项系数不为零的情况下考察方程的判别式 . (1)Δ>0时,直线与双曲线有两个不同的交点. (2)Δ=0时,直线与双曲线只有一个公共点 . (3)Δ<0时,直线与双曲线没有公共点. 当二次项系数为0时,此时直线与双曲线的渐近线平行,直线 与双曲线有一个公共点.

【变式训练】(2014·天津高考)已知双曲线

x 2 y2 =1 ? 2 2 a b

(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的 一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为
x 2 y2 A. - ? 1 5 20 3x 2 3y 2 C. - ?1 25 100 x 2 y2 B. - ? 1 20 5 3x 2 3y 2 D. - ?1 100 25

(

)

【解析】选A.因为双曲线的一个焦点在直线l上,
易知直线l过双曲线左焦点,

所以0=-2c+10,即c=5,
又因为渐近线平行于直线l:y=2x+10, 故有
b =2, a

结合c2=a2+b2,得a2=5,b2=20,
x 2 y2 所以双曲线的标准方程为 - =1. 5 20

【补偿训练】若直线y=kx+1与双曲线x2-y2=4有两个相异公共

点,求k的取值范围.
【解析】将y=kx+1代入双曲线方程x2-y2=4,化简得:

(1-k2)x2-2kx-5=0.①
要使直线与双曲线有两个相异的公共点,则①有两个不相等的
?1 ? k 2 ? 0, 实根,应满足 ? 得 ? 5 ? k ? 5 且k≠〒1. 2 2 ?? ? 0,

5 故k的取值范围是 (? 5 , ? 1) ? ? ?11 , ? ? (1, ). 2 2

类型二

直线与双曲线相交弦问题

【典例2】
x2 (1)(2014·温州高二检测)直线l与双曲线 ? y 2 ? 1 的同一支 2

相交于A,B两点,线段AB的中点在直线y=2x上,则直线AB的斜

率为__________.
(2)已知点 A(? 3, 0) 和点 B

?

动点C到A,B两点的距离之 3, 0,

?

差的绝对值为2,点C的轨迹与直线y=x-2交于D,E两点,求线
段DE的长.

【解题探究】1.题(1)如何表示线段AB的中点坐标?

2.题(2)若直线l:y=kx+b(k≠0)与双曲线交于A(x1,y1),B(x2,
y2),你能把弦|AB|的长表示出来吗?

【探究提示】1.设A(x1,y1),B(x2,y2),则线段AB的中点坐
y1 ? y 2 标为 ( x1 ? x 2 , ). 2 2

2.|AB|=

? x1 ? x 2 ?

2

? ? y1 ? y 2 ? ? 1 ? k 2 x1 ? x 2 .
2

【自主解答】(1)设l的方程为y=kx+b,
? x2 ? y2 ? 1 ,消去y得:(1-2k2)x2-4kbx-2b2-2=0. 由 ? ?2 ? y ? kx ? b ?

因为l与双曲线交于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2), 故Δ=8b2+8-16k2>0 ①,1-2k2≠0, 由根与系数的关系知:x1+x2= 则y1+y2=k(x1+x2)+2b=
2b . 2 1 ? 2k 4kb , 2 1 ? 2k

因为线段AB的中点在直线y=2x上, 所以有
b 4kb ? , 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

得 k ? 1 , 满足①式.
4

当直线l的斜率不存在时,不符合题意.

答案:1

4

(2)设点C(x,y),则|CA|-|CB|=〒2,根据双曲线的定义,可知点
2 2 x y C的轨迹是双曲线 ? ?1 , a 2 b2

由2a=2,2c=|AB|= 2 3, 得a2=1,b2=2,
2 y 故点C的轨迹方程是 x ? ? 1. 2 2

? 2 y2 x ? ?1 , 由 ? 消去y并整理得x2+4x-6=0, 2 ? ?y ? x ? 2 ?

因为Δ>0,所以直线与双曲线有两个交点,

设D(x1,y1),E(x2,y2),则x1+x2=-4,x1·x2=-6,
故|DE|=

? x1 ? x 2 ? ? ? y1 ? y 2 ?
2 2

2

=

2 g ? x1 ? x 2 ? ? 4x1x 2 ? 4 5.

【方法技巧】求弦长的两种方法
(1)距离公式法:当弦的两端点坐标易求时,可直接求出交点

坐标,再利用两点间距离公式求弦长.
(2)弦长公式法:当弦的两端点坐标不易求时,可利用弦长公
x 2 y2 式求解,即若直线l:y=kx+b(k≠0)与双曲线C: 2 ? 2 ? 1 (a>0, a b

b>0)交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则|AB|=
? 1? 1 y1 ? y 2 . 2 k

1 ? k 2 x1 ? x 2

提醒:若直线方程涉及斜率,要注意讨论斜率不存在的情况 .

2 y 【变式训练】已知双曲线 x ? ? 1, 过点P(1,1)能否作一条 2 2

直线l,与双曲线交于A,B两点,且点P是线段AB的中点? 【解析】设所求直线方程为y=k(x-1)+1,
? 2 y2 x ? ? 1, 由 ? 2 ? ? y ? k ? x ? 1? ? 1 ?

得(2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0.

因为l与双曲线相交于A,B两点,

所以Δ=(2k2-2k)2-4(2-k2)(-k2+2k-3)>0
得 k ? 3,
2 2k ? 2k 设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系,有x1+x2= , 2 2?k 2 若点P是线段AB的中点,则有x1+x2=2,即 2k ? 2k 解得 ? 2, 2 2?k

2

k=2(舍),所以这样的直线不存在.

2 2 x y 【补偿训练】斜率为2的直线l与双曲线C: ? ? 1 交于A,B 3 2

两点,且|AB|=4,求直线l的方程. 【解析】设直线l的方程为y=2x+m,将y=2x+m代入双曲线C的方 程2x2-3y2-6=0得10x2+12mx+3m2+6=0(*) 设A(x1,y1),B(x2,y2),
6 3m2 ? 6 由根与系数的关系得 x1 ? x 2 ? ? m, x1x 2 ? 5 10



又|AB|= ? x1 ? x 2 ?2 ? ? y1 ? y 2 ?2 =

?1 ? 4 ?? x1 ? x 2 ?

2

? 4.

所以5[(x1+x2)2-4x1x2]=16 将①式代入②,解得 m ? ? 210 .
3 所以直线l的方程为 y ? 2x ? 210 . 3



类型三

双曲线性质的综合应用

【典例3】
2 2 x y (1)已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为 a b sin?PF1F2 a F1(-c,0),F2(c,0).若双曲线上存在一点P,使 ? , sin?PF2 F1 c

则该双曲线的离心率的取值范围是_______.

(2)(2014·大庆高二检测)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲

线C1:2x2-y2=1.
①过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线,求该直线与另一

条渐近线及x轴围成的三角形的面积;
②设斜率为1的直线l交C1于P,Q两点,若l与圆x2+y2=1相切,求

证:OP⊥OQ.

【解题探究】1.题(1)条件

sin?PF1F2 a ? 如何转化? sin?PF2 F1 c

2.题(2)几何条件OP⊥OQ如何转化为代数条件?
【探究提示】1.利用正弦定理,可将 sin?PF1F2 转化为边之间
sin?PF2 F1

的比值.
2.条件OP⊥OQ,一般转化为 OPgOQ ? 0, 即若设P(x1,y1),
uur uuu r Q(x2,y2),则 OPgOQ ? 0, 得x1x2+y1y2=0. uur uuu r

【自主解答】(1)在△PF1F2中由正弦定理得:
PF2 PF1 sin?PF1F2 PF2 a ? ? , ? ,即 sin?PF2 F1 PF1 c sin?PF1F2 sin?PF2 F1

所以 PF1 ? c PF2 .
a

由双曲线定义知:|PF1|-|PF2|=2a,
2 2a c 则 |PF2|-|PF2|=2a,即|PF2|= . c?a a

由双曲线的几何性质,知|PF2|>c-a,
2 2a 则 >c-a,即c2-2ac-a2<0,所以e2-2e-1<0, c?a

解得 ? 2 ? 1 ? e ? 2 ? 1. 又e∈(1,+≦),故双曲线的离心率 e ? 1, 2 ? 1 . 答案:(1, 2 ? 1)

?

?

2 x (2)①双曲线C1: ? y 2 ? 1,左顶点 A(? 2 ,, 0) 渐近线方程: 1 2 2 y ? ? 2x.

过点A与渐近线 y ? 2x 平行的直线方程为
2 ), 即 y ? 2x ? 1. 2 ? 2 x?? , ? ? y ? ? 2x , ? ? 4 解方程组 ? 得 ? ?y ? 1, ? ? y ? 2x ? 1 ? 2 ? 所求三角形的面积为 S ? 1 OA y ? 2 . 2 8 y ? 2(x ?

②设直线l的方程是y=x+b. 因直线与已知圆相切, 故 b ? 1, 即b2=2.
2 y ? x ? b, 由? 得x2-2bx-b2-1=0. ? 2 2 2x ? y ?1 ?

? x1 ? x 2 ? 2b, 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则 ? 2 ? x1x 2 ? ?b ? 1. uur uuu r 2 又y1y2=(x1+b)(x2+b),所以 OP =x x +y y =2x x +b(x +x )+b 1 2 1 2 1 2 1 2 gOQ

=2(-b2-1)+b·2b+b2=b2-2=0,故OP⊥OQ.

【方法技巧】与双曲线有关的综合问题 双曲线的综合问题常常涉及双曲线的离心率、渐近线、范围与 性质,与向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数

学知识的能力.
(1)当与向量知识结合时,注意运用向量的坐标运算,将向量

间的关系,转化为点的坐标问题,再根据根与系数的关系,将
所求问题与条件建立联系求解.

(2)当与直线有关时,常常联立直线与双曲线的方程,消元后 利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关 系求解.

【变式训练】已知F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,P为双
| PF1 |2 曲线右支上的任意一点,若 的最小值为8a,则双曲线的 | PF2 |

离心率e的取值范围是(
A.?1 , ? ?? B.(1 , 2]

)
C.(1 ,3] D.(1 , 3]

PF1 4a 2 ? PF2 ? 4a PF2 【解析】选D.依题意知|PF1|-|PF2|=2a, ? PF2 PF2
4a 2 4a 2 当且仅当 ?| PF2 | 时等号成立. ? 4a ? ? PF2 ? 8a, PF2 PF2

2

2

此时|PF2|=2a,|PF1|=4a,

因为|PF1|+|PF2|≥2c.
所以6a≥2c,即1<e≤3.

2 2 y x 【补偿训练】已知双曲线C的方程为 ? 2 ? 1 (a>0,b>0),离心 2 a b 率 e ? 5 , 顶点到渐近线的距离为 2 5 . 2 5

(1)求双曲线C的方程. (2)如图P是双曲线C上一点,A,B两点在双曲线C的两条渐近线 上,且分别位于第一,二象限,若 AP ? 2PB 求△AOB的面积. ,
uur uu r

【解析】(1)由题意知,双曲线C的顶点(0,a),到渐近线axby=0的距离为 2 5 , 所以
5 ab 2 5 ? ,所以 ab ? 2 5 , 5 c 5 a 2 ? b2

? ab 2 5 , ? ? 5 ?a ? 2, ?c 由 ?c ? 5, 得 ?b ? 1, ? ? 2 ? ?a ?c ? 5, ?c 2 ? a 2 ? b 2 ? ? 2 y 所以曲线C的方程是 ? x 2 ? 1. 4

(2)由(1)知双曲线C的两条渐近线方程为y=〒2x, 设A(m,2m),B(-n,2n),(m>0,n>0),
uur uu r m ? 2n 2m ? 4n 由 AP ? 2PB 得 P 点坐标为 ( , ), ,
3 3
2 9 y 2 将P点坐标代入 化简得 mn= . ? x ?1 , 8 4 设∠AOB=2θ,则 tan( ? ? ?) ? 2, 2 1 4 tan ? ? ,sin 2? ? . 2 5

又 OA ? 5m, OB ? 5n, 所以 SVAOB ? 1 | OA |g| OB |gsin 2? ? 2mn ? 9 .
2 4

【规范解答】与双曲线有关的综合问题 【典例】(12分)(2013·大纲版全国卷改编)已知双曲线C:
x 2 y2 - 2 ? 1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为 2 a b

3,直线y=2与C的两个交点间的距离为 6. (1)求a,b. (2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A,B两点,且

|AF1|=|BF1|.求直线l的方程.

【审题】抓信息,找思路

【解题】明步骤,得高分

【点题】警误区,促提升 失分点1:解题时若在①处建立不出关于a的等式,求不出a,则会 导致下面无法求解,本例最多得2分. 失分点2:若在②处代入消元,得出错误的一元二次方程,致使下 面的求解错误,本例最多得5分. 失分点3:若在③处无法表示出x1+x2的具体值,而含有参数k,导 致后面求线段长时也含有字母k,而无法判断其关系,本例最多 得10分.

【悟题】提措施,导方向 1.注重基础知识的掌握 直线与双曲线的位置关系是一种重要关系,而涉及相交弦的问 题是常见类型,其解决方法一般利用代数法.如本例第(2)问消 元后,由根与系数的关系,借助于|AF1|=|BF1|求k的值是本题解 题的关键.

2.重视知识间的联系 双曲线的综合问题,常常是双曲线与向量、不等式、数列等知 识的结合,平时训练时要注意对这些知识结合点的考查,如本例 便是双曲线与方程知识的结合.

2 2 x y 【类题试解】P(x0,y0)(x0≠±a)是双曲线E: ? 2 ? 1 (a>0, 2 a b

b>0)上一点,M,N分别是双曲线E的左、右顶点,直线PM,PN的斜

率之积为 1 .
5

(1)求双曲线的离心率.

(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点,O
为坐标原点,C为双曲线上一点,满足 OC ? ?OA ? OB, 求λ 的值.
uu u r uuu r uu u r

2 2 x y 【解析】(1)点P(x0,y0)(x0≠〒a)在双曲线 2 ? 2 ? 1 上,有 a b 2 2 x0 y0 ? 2 ? 1, 2 a b 由题意又有 y0 g y0 ? 1,可得a2=5b2,c2=a2+b2=6b2,则 x0 ? a x0 ? a 5 c 30 e? ? . a 5

2 2 2 (2)联立 ?x ? 5y ? 5b , 得4x2-10cx+35b2=0,设A(x1,y1),

? ? y ? x ? c,

5c ? x ? x ? , 1 2 ? 2 B(x2,y2),则 ? (*) ? 2 35b ?x x ? , 1 2 ? 4 ?

uuu r uuu r uuu r uuu r ? x 3 ? ?x1 ? x 2 , 设 OC ? ? x 3 , y3 ? ,OC ? ?OA ? OB, 即 ? 又C为双曲线上 ? y3 ? ?y1 ? y2 ,

一点,即x32-5y32=5b2,
有(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2,化简得:λ2(x12-5y12)+(x22-

5y22)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b2(Ⅰ)
又A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,所以x12-5y12=5b2,x22-5y22

=5b2.
由(*)式又有x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)=-4x1x2+5c(x1+x2)5c2=10b2.(Ⅱ) 由(Ⅰ)(Ⅱ)得:λ2+4λ=0,解出λ=0,或λ=-4.


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