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专题二第3讲知能演练轻松闯关


1.(2012· 河南省三市调研)已知 i 为虚数单位,复数 z= A.i C.1+i

2+i 1 ,则|z|+ =( z 1-2i

)

B.1-i D.-i 2+i -2i2+i i?1-2i? 1 1 解析:选 B.由已知得 z= = = =i,|z|+ =|i|+ =1-i,选 B. z i 1-2i 1-2

i 1-2i 2.设 a· b=4,若 a 在 b 方向上的投影为 2,且 b 在 a 方向上的投影为 1,则 a 与 b 的夹角等 于( ) π π A. B. 6 3 2π π 2π C. D. 或 3 3 3 a· b 4 1 解析:选 B.由题意知|a|=4,|b|=2,设 a 与 b 的夹角为 θ,则 cosθ= = = ,∴θ= |a||b| 4×2 2 π . 3 a b 3.(2012· 高考四川卷)设 a、b 都是非零向量,下列四个条件中,使 = 成立的充分条件是 |a| |b| ( ) A.a=-b B.a∥b C.a=2b D.a∥b 且|a|=|b| a b 解析:选 C. 表示与 a 同向的单位向量, 表示与 b 同向的单位向量,只要 a 与 b 同向,就 |a| |b| a b 有 = ,观察选择项易知 C 满足题意. |a| |b| → → 4.(2012· 高考大纲全国卷)在△ABC 中,AB 边的高为 CD,若CB=a,CA=b,a· b=0,|a| → =1,|b|=2,则AD=( ) 1 1 2 2 A. a- b B. a- b 3 3 3 3 3 3 4 4 C. a- b D. a- b 5 5 5 5

解析:选 D.如图,∵a· b=0,∴a⊥b, ∴∠ACB=90° , ∴AB= AC2+BC2= 5. 又 CD⊥AB, 4 5 ∴AC2=AD· AB,∴AD= . 5 4 4 → 4→ 4 ∴AD= AB= (a-b)= a- b. 5 5 5 5

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→ → → 5. (2012· 福州市质检)如图, 已知点 O 是边长为 1 的等边三角形 ABC 的中心, 则(OA+OB)· (OA → +OC)等于( ) 1 1 A. B.- 9 9 1 1 C. D.- 6 6 3 → → → 解析:选 D.∵点 O 是边长为 1 的等边三角形 ABC 的中心,∴|OA|=|OB|=|OC|= , 3 2π ∠AOB=∠BOC=∠AOC= , 3 3 3 2π 1 → → → → → → → → → → → ∴(OA+OB)· +OC)=OA2+OA· +OA· +OB· =( )2+3×( )2cos =- . (OA OC OB OC 3 3 3 6 3+bi 6.(2012· 高考湖北卷)若 =a+bi(a,b 为实数,i 为虚数单位),则 a+b=________. 1-i

?3-b=a, 2 3+bi ?3+bi??1+i? 3+3i+bi-b 解析: = = =a+bi,∴? 2 1-i ?1-i??1+i? 3+b ? 2 =b,

① ②

①+②得 a+b=3. 答案:3 7. (2012· 高考安徽卷)设向量 a=(1,2m), b=(m+1,1), c=(2, 若(a+c)⊥b, m). 则|a|=________. 解析:a+c=(1,2m)+(2,m)=(3,3m). ∵(a+c)⊥b, ∴(a+c)· b=(3,3m)· (m+1,1)=6m+3=0, 1 ∴m=- . 2 ∴a=(1,-1),∴|a|= 2. 答案: 2 8.(2012· 高考安徽卷)若平面向量 a,b 满足|2a-b|≤3,则 a· 的最小值是________. b 解析:由|2a-b|≤3 可知,4a2+b2-4a· b≤9,所以 4a2+b2≤9+4a· b,而 4a2+b2=|2a|2+ 9 |b|2≥2|2a|· |b|≥-4a· b,所以 a· b≥- ,当且仅当 2|a|=|b|, 〈a,b〉=π 时取“=”号. 8 9 答案:- 8 → → 9.已知向量AB=(3,1),AC=(-1,a),a∈R. → (1)若 D 为 BC 中点,AD=(m,2),求 a、m 的值; (2)若△ABC 是直角三角形,求 a 的值. → → 解:(1)因为AB=(3,1),AC=(-1,a), 1+a? → 1 → → 所以AD= AB+AC =?1, . 2 2 ? ? ?m=1, ?a=3, ? ? → 又AD=(m,2),所以? 解得? ? ? ?1+a=2×2, ?m=1. (2)因为△ABC 是直角三角形,所以 A=90° B=90° C=90° 或 或 .

(

)

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→ → 当 A=90° 时,由AB⊥AC, 得 3×(-1)+1· a=0,所以 a=3; → → → 当 B=90° 时,因为BC=AC-AB=(-4,a-1), → → 所以由AB⊥BC, 得 3×(-4)+1· (a-1)=0,所以 a=13; → → 当 C=90° 时,由BC⊥AC,得-1×(-4)+a· (a-1)=0,即 a2-a+4=0,因为 a∈R,所以 无解. 综上所述,a=3 或 a=13. 10.已知向量 a=(sinθ,cosθ-2sinθ),b=(1,2). (1)若 a∥b,求 tanθ 的值; (2)若|a|=|b|,0<θ<π,求 θ 的值. 解:(1)因为 a∥b,所以 2sinθ=cosθ-2sinθ, 1 即 4sinθ=cosθ,故 tanθ= . 4 2 (2)由|a|=|b|知,sin θ+(cosθ-2sinθ)2=12+22, 所以 1-2sin2θ+4sin2θ=5. 从而-2sin2θ+2(1-cos2θ)=4, 即 sin2θ+cos2θ=-1, π 2 所以 sin?2θ+4?=- . ? ? 2 π π 9π 又由 0<θ<π 知, <2θ+ < , 4 4 4 π 5π π 7π 所以 2θ+ = 或 2θ+ = . 4 4 4 4 π 3π 故 θ= 或 θ= . 2 4 x x x 11.已知向量 m=( 3sin ,1),n=(cos ,cos2 ). 4 4 4 2π (1)若 m· n=1,求 cos( -x)的值; 3 (2)记 f(x)=m· 在△ABC 中, A, C 的对边分别是 a, c, n, 角 B, b, 且满足(2a-c)cosB=bcosC, 求函数 f(A)的取值范围. x x x 解:(1)m· n= 3sin cos +cos2 4 4 4 3 x 1 x 1 x π 1 = sin + cos + =sin( + )+ . 2 2 2 2 2 2 6 2 又∵m· n=1, x π 1 ∴sin( + )= , 2 6 2 π x π 1 cos(x+ )=1-2sin2( + )= , 3 2 6 2 2π π 1 cos( -x)=-cos(x+ )=- . 3 3 2 (2)∵(2a-c)cosB=bcosC, 由正弦定理得,(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC, ∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC. ∴2sinAcosB=sin(B+C). ∵A+B+C=π,∴sin(B+C)=sinA,且 sinA≠0. 1 π ∴cosB= ,B= . 2 3
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2π π A π π ∴0<A< .∴ < + < , 3 6 2 6 2 1 A π <sin( + )<1. 2 2 6 x π 1 又∵f(x)=m· n=sin( + )+ , 2 6 2 A π 1 ∴f(A)=sin( + )+ . 2 6 2 3 故函数 f(A)的取值范围是(1, ). 2

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